Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich 4

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich 4"

Kamil Bednarski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Obzane geometrznh momentów fgur płaskh Postawowe zaeżnoś Geometrzne moment bezwłanoś fgur płaskh wzgęem os ukłau współrzęnh obzm w oparu o ponższe zaeżnoś: (.a) (.b) Geometrzn moment bezwłanoś wzgęem punktu (begunow moment bezwłanoś) jest równ: O (.) Geometrzn moment ewaj fgur płaskh okreśon jest jako: (.) Geometrzne moment bezwłanoś moment ewaj fgur płaskh wrażane są w jenostkah [(ługość) ], np. [m ], [m ], [mm ]. Moment bezwłanoś przjmują tko wartoś oatne, natomast moment ewaj mogą bć zarówno oatne, jak ujemne. Twerzene Stenera a zaganeń D (rs..) przjmuje postać: a momentów bezwłanoś: ( ) (.a) ( ) (.b) a momentów ewaj (.5) s...

2 Dnamka Zaane.. Wprowazć ogón wzór na położene śroka ężkoś wnka koła o promenu kąe rozwara (rs..). s... ozwązane Wprowazam ukła współrzęnh jak na rs... s... Wberam wnek o kąe rozwara (rs..). Zakłaają, że wnek ten jest barzo mał, możem potraktować go jako trójkąt o ługoś postaw równej: wsokoś. Położene śroka ężkoś okreśa współrzęna równa: os Położene śroka ężkoś możem zapsać następująo: gze oznaza poe -tego wnka, natomast położene jego śroka ężkoś. Powższa zaeżność przjme postać: sn ) ( ) sn( sn sn os Da wbranh wnków koła (np. półkoa, ćwartk), o wznazena śroków ężkoś można stosować ruge twerzene Pappusa-Guna, które mów, że objętość brł powstałej na skutek obrotu powerzhn płaskej wokół os eżąej w tej samej płaszzźne o powerzhna ne przenająej jej, jest równe oznow poa powerzhn rog jaką przebwa pozas obrotu śroek ężkoś tej powerzhn.

3 Obzane geometrznh momentów fgur płaskh W aszej zęś znajzem śroek ężkoś półkoa o promenu (rs..). Poe powerzhn półkoa jest równe: s... π W wnku pełnego obrotu półokręgu wokół os (rs..) otrzmam kuę o objętoś V równej: V π Droga s jaką przebwa śroek ężkoś jest równa (rs..): s π Zgone z rugm twerzenem Pappusa-Guna mam: π π s V π π W oparu o wprowazon wześnej wzór ogón mam: π sn π π Zaane.. Obzć główne entrane moment bezwłanoś fgur przestawonej na rs..5. Wmar poano w [mm]. ozwązane Oberam ukła współrzęnh jak na rs..6. ozpatrwaną fgurę pozem na wa prostokąt oznazone opoweno (prostokąt ponow o wmarah 60 mm) (prostokąt pozom o wmarah 6 mm).

4 Dnamka s..5. s..6. Wznazam położene śroka ężkoś fgur, w oparu o ponższe zaeżnoś: gze jest poem powerzhn -tej fgur, natomast są współrzęnm śroka ężkoś -tej fgur. Zgone z rs..6 mam: a prostokąta a prostokąta 60 0 mm mm 0 mm 6 mm mm mm Współrzęne śroka ężkoś ałej fgur są wę równe: ,5 mm 9,5 mm 0 0

5 Obzane geometrznh momentów fgur płaskh 5 Przstąpm teraz o obzena momentów bezwłanoś poszzegónh prostokątów wzgęem os ukłau współrzęnh o śroku w punke (rs..7). Ose te są osam entranm ałej rozpatrwanej fgur. Wkorzstujem twerzene Stenera: a prostokąta a prostokąta 60 ( ) 0 (0 9,5) 9860 mm 60 ( ) 0 ( 9,5) 80 mm 6 ( ) ( 9,5) 9 mm 6 ( ) 0 ( 9,5) 805 mm s..7. Ostatezne entrane moment bezwłanoś rozpatrwanej fgur są równe: mm mm b okreść główne entrane moment bezwłanoś rozpatrwanej fgur naeż znaeźć główne ose bezwłanoś, z take, a którh moment ewaj fgur bęze równ zeru. Wzor transformująe moment bezwłanoś ewaj wzgęem entranego ukłau współrzęnh o ukłau obróonego o kąt (rs..8) są następująe: ξ os sn sn η sn os sn ( )sn ξη os Moment ewaj wzgęem os głównh jest równ zeru. Tak wę przekształają ostatn z powższh wzorów otrzmam kąt, o któr naeż obróć ukła os, ab uzskać zerowe moment ewaj.

6 6 Dnamka s..8. ( )sn os 0 ( )sn os tg Musm jeszze pozć moment ewaj rozpatrwanej fgur. Wem, że moment ewaj prostokątów wzgęem os, opoweno oraz, są równe zeru. Korzstają z twerzena Stenera obzm moment ewaj prostokątów wzgęem os : a prostokąta ( )( ) 0 0 (0 9,5)( 9,5) 8900 mm a prostokąta ( )( ) 0 ( 9,5)( 9,5) 500 mm Moment ewaj a ałej fgur jest zatem równ: mm Znajujem poszukwan kąt : ( 5000) tg, artg(, 09), Ostatezne rozwązane przestawono na rs..9. Moment ewaj wzgęem os ξη jest równ zero, natomast moment bezwłanoś mają wartość: ξ η 657,808 mm 95, 96 mm Są to opoweno wartoś maksmana mnmana momentu bezwłanoś a rozpatrwanej fgur płaskej.

7 Obzane geometrznh momentów fgur płaskh 7 s..9.

Podobne dokumenty

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej