~ stopni swobody

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "~ stopni swobody"

Stanisław Kasprzak
5 lat temu
Przeglądów:

1 Mrostan roład mroanoncn ~ 10 3 stopn swobod Uład cąste (lascn bądź wantow) Uład (roważan wantowomechancne) wonuje nesłchane sbe, chaotcne prejśca pomęd swom stanam wantowm; Jeśl patrm na uład lascne, możem powedeć, że cąst porusają sę po chaotcnch trajetorach.

2 H`» > = E HL» > HaL bór neoddałwującch osclatorów HwantowoL: H` = p` m + 1 m w x` 1 - osclator : H`» n > = ÑwIn + 1 M n >» >» n > - dentcnch osclatorów Ho tch samch cęstoścachl H`» n 1, n,... n > = ÑwIn 1 +n +... n + 1 M n 1, n,... n > 8n, n a = 0, 1,...<» >» n 1, n,... n >

3 Pomar marosopow jest cuł jedne na pewne uśrednone własnośc tego ogromu stanów wantowch. W onsewencj: uasadnon jest ops probablstcn uładów marosopowch. Zabeg ta prowad do nterpretacj mrosopowej pojęć wprowadonch na grunce termodnam fenomenologcnej. Prawdopodobeństwa wprowadane na prestren mrostanów uładu (na pocąte ne dsutowane są tw. statst wantowe) MIKROSTA: astaw wsstch lcb wantowch potrebnch do opsu stanu uładu. H` > = E > Zespół lcb wantowch charaterującch Stan (będem roważać repreentację energetcną)

4 HbL bór neoddałwującch cąste puntowch : H` = p` m H`» n 1, n,... n > = h In 1 + n ê3 8 mv n a ax, n a, n a D, n a = 1,, n M n 1, n,... n > ƒ» >» n 1, n,... n > HcL HaL + HbL lascne 8q 1,..., q 3 ; p 1,..., p 3 <

5 Prps cąsta w seścennm pudle o romarach L 3 quas-wantowe lcene stanów: ) ( 8 ) ( ) ( sn sn sn ) )sn( )sn( sn(,,,, x x n n n x x n n n n n n ml h m m L x n L x n L x n A x A x x + + = + + = = = = Ψ h h ε π π π

6 Uwaga: Klascne: dan punt w prestren faowej odpowada doładne jednemu mrostanow ruchu całego uładu Kwantowo: mrostan jednej cąstec wnacon tróją lcb wantowch, tach że L R = n = 8mε ε h

7 Lcba mrostanów jej wąe entropą: ech stan uładu» >» n 1, n,... n >, a ażd atomów może ajmować poom energetcne 8 e na <. Wted W HU, V, L : lcba mrostanów o energ U H EL dana jest pre lcbę rowąań równana U = e 8na < : W = 8a< 8n a < d j U - 8b< e 8nb < Zobacm tera, że entropa mus sę wąać W HU, V, L

8 1 W 1 ~ W 1 W W 1 W Bra oddałwana męd poduładam (lcba mrostanów dwóch oste do gr = 6. 6 podcas gd dla ażdej osobna mam 6

9 Entropa roładu prawdopodobeństwa Entropę wprowadć można użwając pojęć nformatcnch (mara neonaconośc, brau nformacj o ułade) Dane stan 1,,, r realowane w próbowanu ta, że obserwacja stanu p! H 0 H p p 1 = = = e r = 1 r = 1 λ 1 = 1/ r p p, re ln = d / dp H ln λ 1 p p = 1 + λp ln S p 1 λ = Ω 0 = r = 1 = H lm ( p )! 1 lnω

10 W stoce... [ ] p p p p p p p p p p p p p p p ln ) ln (ln } ln ln ln ln ln 1 ) )ln( ( ln )! ln(! ln )! ( ln!) ln( )! (! ln ln lm 1 1 = = = = Ω = Π = Π = Ω = =

11 Zatem, ab nterpretować entropę, potrebujem addtwnej welośc, tóra mer lcbę mrostanów dostępnch dla uładu. Jednm H! L rowąanem jest dentfacja entrop logartmem lcb dostępnch mrostanów: S = df B ln W HE, V, L (do agadnena addtwnośc jesce wrócm)

12 Roład mroanoncn S = df B ln W E, V, Ensten nawał tę formułę ZASADĄ BOLTZMAA Współcnn proporcjonalnośc B wbera sę ta, ab T = j U = 1ê H Sê UL V, S V, gadała sę e salą temperatur absolutnej, tórą popredno wprowadlśm: B = R A = â 10-3 Jê K

13 S = df B ln W E, V, Powżs wór na entropę jest jednm najważnejsch worów w fce. Został po ra perws apostulowan pre Boltmanna. Uwaga 1 Ab stnała addtwność entrop, potencjał oddałwana męd atomam HcąstamL etc. mus bć rótoasęgow, tn. anać sbcej nż r -d Hd - wmar prestren w tórej jest nas uład - wle d 3L

14 tn. lcm W HE, de,...l = df E E 8l< H,V,XL E+dE 1 Można równeż lcć Hpr presalowanu stanu podstawowego do energ E 0 = 0L pełną sumę stanów W 0 HE,...L = df 0 E 8l< H,V,XL E 1 Hwsste stan wewnątr sferl Wted defnuje sę tw. gęstość stanów : D HEL = W HE, de,...l = D HEL de E W 0 HE,,...L

15 Uwaga Mając S = B ln@ W 0 HELD> B ln@ W HELD Możem wlcć wsste poostałe funcje termodnamcne (prpomnene termodnam): S = 1 T U + p T V - m T U = E ds = 1 T du + p T dv - m T d p T = j S V U, ; 1 T = j S U V, ; m T = - j S U,V

16 III ZASADA TERMODYAMIKI Wprowadona entropa jest taże onsstentna III Zasadą Termodnam (ernst) Entropa ( na castę) uładu w ere bewględnm jest unwersalną stałą (neależną od żadnch parametrów) dla wsstch cał. Można węc prjąć S=0 (dla T=0): jest to podsumowane danch espermentalnch w poblżu T~0

17 onsewencje HćwcenaL C x ô TÆ0 0 ; j V T p, TÆ0 ô 0 j p T V, TÆ0 ô 0 Interpretacja statstcna W temperature era bewględnego uład najduje sę w stane podstawowm, tj. w stane o najnżsej energ. Jeśl stan podsta - wow ne jest degenerowan, wted W HE mn, V, L = 1 S = 0. Jeśl stan podstawow jest degenerowan a stopeń degene - racj g d, wted entropa S = B ln g d B ln Hatem na w prelcenu na cąstę - godne III. t.l

18 Prład: Model dwustanow Dgresja matematcna : Wór Strlnga : G HmL = 0 -x x m-1 x Hf.cja gamma EuleraL G H + 1L =! ~ " p HdoweśćL ln! ~ j + 1 ln - + ln " p, = ln - + Hln L

19 + E 0 H + - cąstel - E 0 H - - cąstel Zbór - neoddałwującch cąste, ażda może prjmować tlo jedną dwóch energ : -E 0, +E 0 jnp. neoddałwujące spn w awnętrnm polu magnetcnm mają energę: -hm 0 s`, s, = ± 1

20 + E 0 H + - cąstel - E 0 H - - cąstel ech całowta energa wnos : E = ME 0 = + E E 0 = H L E 0 9 = M = ô 9 - = 1 H - ML = 1 I1 - E E 0 M + = 1 H + ML = 1 I1 + E E 0 M wted W HE, L = W HME 0, L = J - =! -! +!

21 Zatem mam: ln! = ln - + Hln L S HE, L = B ln j! -! +! = ln! - ln -! - ln +!D wór Strlnga ª B 8 ln ln ln < = B 8 H L ln - - ln ln + < = - B 8 - lnh - ê L + + ln H + ê L < 9 - = 1 H - ML = 1 I1 - E E 0 M + = 1 H + ML = 1 I1 + E E 0 M

22 E = M E 0 = + E E 0 = H L E 0 9 = ô 9 - = M = = 1 1 H - ML H + ML S HE, L = - B 8 - lnh - ê L + + ln H + ê L < - = 1 H - ML = 1 I1 - E M E = 1 H + ML = 1 I1 + E M E 0 1 T = j S E E=ME 0 1 = E 0 S M = 1 E 0 A S - - M + S + + M E = 1 B E 0 ln - M + M = 1 B E 0 ln 1 - E E E E 0

23 S HE, L = ln HL - 1 B 9 j 1 - E E ln j 1-0 E E + j E E ln j E E = 0 E 0 B T = 1 ln 1 - E E E E 0 ln HL ª B T -1 E

24 E 0 B T = 1 ln 1 - E E E E 0 + E 0 H + - cąstel - E 0 H - - cąstel ln HL ª B T -1 E

25 E 0 B T = 1 ln 1 - E E E E 0 (E=U) HdU = TdS + mdl ; E E 0 = -tanh j E 0 B T C = T j S T = j U T î C B = j E 0 B T ì cosh j E 0 B T

26 HdU = TdS + mdl ; E E 0 = -tanh j E 0 B T C = T j S T = j U T î C B = j E 0 B T ì cosh j E 0 B T -0. E -0.4 E Cepło właścwe Shott ego: B T E 0 C B

27 Cm astąpć wantową sumę po stanach w granc lascnej : E H8<L ô E H H8p, q<l Chcelbśm ab wor wantowe prechodł w lascne gd h 0 (lub T bardo duże). Klascne stan uładu defnujem w 6 - wmarowej prestren faowej (p,q). Zatem 8<... ô 3 p 3 q Ale c to wstarc?

28 IE! Weźm np. wantową cąstę swobodną w pudle (aładam perodcne warun bregowe na ścanach). Wted stąd np. H` = p` p a = n a h m ; E n 1, n, n 3 = h L, n a = 0, ± 1, ±,... In m L 1 + n + n3 M W w 0 HEL df = 1 = E 8n< E n 1,n,n 3 j n 1 + n + n 3 ml h E 1 ~ 4 3 p ml j E 3 h = 4 3 p V 3 H mel h3

29 Dla porównana ta sama welość polcona lascne: W 0 l HEL = df p me 3 p 3 q = V 4 3 p H mel 3 W 0 l W 0 w ~ 1 h 3 ô 8<... ô 3 p 3 q h 3 Hdla 1 cąstl 8<... ô 3 p 3 q h 3 Hdla cąstel

30 W mechance wantowej cąst dentcne są neroróżnalne -co prowad do pojęca statst Bosego Fermego; W granc h 0 wede to do cnna 1/!. Zatem poprawna lascna suma stanów ma postać: 8<... ô 1! 3 p 3 q h 3 Hdla dentcnch cąstel Dowód ne jest łatw - trochę o nm powem pr oaj omawana macer gęstośc

31 Uwaga Cnn 1/! bł trudn do roumena pred wprowadenem asad neroróżnalnośc cąste na poome wantowm. emnej jedna od dawna wedano o onecnośc jego wprowadene, bowem be nego entropa ne bła weloścą estenswną w granc lascnej. dla nepuntowch cąste: dentfujem położena pęd uogólnone ja uc mechana lascna... ô 1! f p f q 8< h f dla cąste nedentcnch:... ô 8< 1 A! B!... 3 p 3 q h 3 ; A + B +... =

Podobne dokumenty

termodynamika fenomenologiczna p, VT V, teoria kinetyczno-molekularna <v 2 > termodynamika statystyczna n(v) to jest długi czas, zachodzi

termodynamika fenomenologiczna p, VT V, teoria kinetyczno-molekularna <v 2 > termodynamika statystyczna n(v) to jest długi czas, zachodzi fzka statstczna stan makroskopow układ - skończon obszar przestrzenn (w szczególnośc zolowan) termodnamka fenomenologczna p, VT V, teora knetczno-molekularna termodnamka statstczna n(v) stan makroskopow