1. Beton z proszków reaktywnych: dwuskalowe modelowanie i badania doświadczalne

Transkrypt

1 . Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln iągły i nistający rozwój cywilizacyjny stawia przd nowoczsnymi matriałami stosowanymi w różnych dzidzinach działalności człowika coraz to większ wymagania pod względm jakości, wytrzymałości i trwałości. Jdnym z najstarszych matriałów bdowlanych podlgających tm rozwojowi jst bton znany jż w starożytności. Współczsn btony zgrbni można podzilić na dwi katgori: tradycyjn i wysokowartościow. Jako granicę tgo podział można przyjąć wytrzymałość matriał na ściskani równą 60 MPa. Btony z proszków raktywnych (ang. Ractiv Powdr oncrt RP) w skróci BPR powstały w wynik liminowania wad btonów tradycyjnych i są zaliczan do grpy matriałów ltrawysokowartościowych. BPR jst matriałm stosnkowo młodym. Po raz pirwszy został żyty w 997 r. do wybdowania kładki piszorowrowj w mijscowości Shrbrook w Kanadzi [.,.7]. Przykłady innych ralizacji przy życi tgo matriał można znalźć na stroni poświęconj pirwszm opatntowanm btonowi z proszków raktywnych o nazwi handlowj DUTAL [.8]. Bton tgo typ charaktryzj się bardzo dobrymi właściwościami mchanicznymi i fizycznymi. Stosjąc odpowidni zabigi pilęgnacyjn i spcjalni skomponowany skład inni badacz otrzymali matriał o wytrzymałości na ściskani w granicach 80 MPa [.3]. Jst to wartość niosiągalna dla wil gatnków stali. Jśli dodamy do tgo, ż BPR moż osiągać dżą wytrzymałość na zginani, jst btonm o bardzo niskij porowatości a co za tym idzi dżj szczlności i trwałości, wyłania nam się obraz matriał bdowlango XXI wik. BPR okrślany jst często mianm kompozyt cmntowgo lb cramiki niskotmpratrowj [.6]. Pomimo wil zalt btony z proszków raktywnych posiadają równiż wady. Najpoważnijszą z nich jst koszt wytworznia takigo matriał. Nistty ciągl stosnkowo wysoki w porównani do btonów tradycyjnych. Jst to podstawowy czynnik hamjący powszchnini tgo matriał na szroko pojętym rynk matriałów bdowlanych. Ni bz znacznia jst równiż czynnik psychologiczny. Mamy t na myśli fakt, iż projktanci maja obawy przd stosowanim w odpowidzialnych konstrkcjach matriał, który można okrślić, jako żlbt bz klasyczngo zbrojnia, poniważ btony BPR w odróżnini od btonów tradycyjnych do prznosznia istotnych naprężń rozciągających pochodzących od zginania lmntów konstrkcyjnych ni potrzbją

2 Aktaln Problmy Bdowncitwa klasyczngo zbrojnia w postaci prętów stalowych. Do dzisiaj na całym świci trwają intnsywn badania nad btonami typ BPR, pomimo pływ 5-t lat od pirwszgo zastosowania tmatyka ta ni została wyczrpana. Zdcydowana większość opracowań powstająca w tym zakrsi dotyczy ksprymntalnych badań, któr mają dać odpowidzi na pytania istotn z pnkt widznia inżynirii matriałowj. Ninijsza praca jst próba zbdowania modl bton z proszków raktywnych, który moż posłżyć do optymalngo projktowania skład tgo matriał i analizowania konstrkcji projktowanych przy jgo zastosowani. zyli ma odpowidzić na t sam pytania, co kosztown ksprymntaln badania przy zdcydowani mnijszym nakładzi czas i środków finansowych... Modlowani mikrostrktry BPR W wil pracach modlowano matriały nijdnorodn stosjąc podjści stochastyczn [.6,.0,.4]. Do grpy takich matriałów, gdzi rozmiszczni składników jst czysto losow nalżą równiż btony. Matriał tn można opisać jako zbiór składników zatopionych w matrycy cmntowj. Podobn podjści zastosowano w ninijszym opracowani, al dotyczy ono modlowania mikrostrktry matriał. Na potrzby zamodlowania mikrostrktry bton BPR o składzi jak w tabli. przyjęto dwwymiarowy rprzntatywny lmnt lmntarny. Pomimo, iż komórka rprzntatywna jst płaska będzimy ją nazywać rprzntatywnym lmntm objętościowym (ang. Rprsntativ olm Elmnt, RE). RE modlowana jst za pomocą mtody lmntów skończonych. Elmnt jst kwadratowy i składa się z 500 lmntów skończonych, każdy o wymiarz 0, x 0, mm. Bok RE ma dłgość 0 mm i składa się z 50 lmntów skończonych. Na rys.. pokazano dzisięć losowo wygnrowanych komórk rprzntatywnych, z których każda płni rolę modl mikrostrktry BPR. Rys.. Losowo wygnrowan RE (Miszanka II tabla.)

3 Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln Ilościowy dział poszczgólnych mikrokomponntów jst dokładnym odzwircidlnim zaprojktowanych rcptr BPR (tabla.). Przyjęto założni, ż w skład matrycy cmntowj wchodzi: cmnt, pył krzmionkowy, woda oraz sprplastyfikator. Na rys. kolor czrwony rprzntj matrycę cmntową, błękitny grbsz krszywo, cimnonibiski drobnijsz krszywo, różowy mikrowłókna stalow, pomarańczowy włókna stalow, żółty pstki powitrzn (pory). Bdowani strktry polga na losowym wybrani lmnt (z siatki 50x50) i równiż losowym przyporządkowani składnika (pory, drobn krszywo, grbsz krszywo, matryca cmntowa, włókno stalow) do wybrango położnia. Przyjęto podstawowy wymiar składnika 0, mm. Szrsz omówini modlowania mikrostrktry BPR można znalźć w pracach [.3,.4,.5]... Dwskalow modlowani BPR Stosowaną w ninijszj pracy mtodę modlowania dwskalowgo, często nazywaną nmryczną homognizacją (ang. comptational homognization) można zaszrgować do grpy mtod wilkoskalowych. Mtody t mają na cl opis różnych zjawisk zachodzących w ośrodkach nijdnorodnych na poziomi makroskali poprzz analizowani mikro a nawt nanostrktry takigo matriał. Szroki przgląd dokonań ostatnij dkady w odnisini do modlowania btonów konstrkcyjnych można znalźć w pracy [.9]. Wraz z wzrostm ilości poziomów, na których prowadzona jst analiza i któr są z sobą wzajmni powiązan rośni stopiń skomplikowania zadania (rys.. a). Rys.. Modlowani dwskalow a) poziomy analizy, b) ida Nmryczna homognizacja, czyli dwskalow modlowani fktywnych paramtrów matriałowych w skali makro polga na tym, ż zachowani modl bton typ BPR w skali makro (skala pnkt matrialngo, poziom opis 3

4 Aktaln Problmy Bdowncitwa fnomnologiczngo) opisywan jst na podstawi zjawisk zachodzących w mikrostrktrz matriał (skala mikro), (rys.. a, b). Na ob poziomach analizy do rozwiązania zadania stosowana jst klasyczna mtoda lmntów skończonych w wrsji przmiszczniowj. Do każdgo makro pnkt całkowania Gassa zostaj przypisany modl mikrostrktry, czyli rprzntatywny lmnt objętościowy. Po rozwiązani zadania brzgowgo mchaniki dla RE zostają obliczon makronaprężnia i styczn macirz sprężystości, w przypadk, gdy modl względnia wolcję mikrostrktry czyli brana jst pod wagę niliniowość gomtryczna na poziomi mikro, lb względnia się niliniowość fizyczną składników mikrostrktry. Procdra pokazana schmatyczni na rys.. b prowadzona jst itracyjni na danym krok obciążniowym, aż do momnt osiągnięcia stan równowagi. Taki podjści moż dać możliwość optymalngo projktowania skład btonów z proszków raktywnych oraz możliwość względninia szrg zjawisk zachodzących w mikrostrktrz na właściwości fizyczn i mchaniczn matriał. Na przykład wpływ mikropęknięć na wytrzymałość bton. Ni bz znacznia jst fakt, ż mtoda ni wymaga znajomości równań konstyttywnych w skali makro, związki t są wyznaczan w sposób nijawny dla każdgo przyrost obciążnia (analiza niliniowa) na podstawi nmryczngo modl rprzntatywngo lmnt objętościowgo RE. Do wyznacznia nijawnych związków fizycznych w makroskali nizbędna jst znajomość gomtrii mikrostrktry, równań konstyttywnych na poziomi skali mikro oraz ich paramtrów.... Mikro makro kinmatyka Opirając się na pracach [.8,.,.,.7], w których wilkości makroskopow zostały zdfiniowan przz wilkości mikroskopow na potrzby sformłowania poprawnych warnków brzgowych przmiszcznia rozwijamy w szrg Taylora ograniczony do człon pirwszgo rzęd: 0 ( X, x) = ( X) + x ε( X) + r( X, x) (.) w powyższym rozwinięci r jst błędm obcięcia intrprtowanym jako mikroflktacj pola przmiszczń, X jst wktorm wodzącym środka gomtryczngo rprzntatywngo lmnt objętościowgo, x jst wktorm wodzącym w lokalnym kładzi współrzędnych RE a krska nad wilkościami oznacza, ż są on makroskopow. W cl okrślnia zalżności między mikroodkształcniami a makroodkształcniami równani (.) różniczkjmy względm x otrzymjąc zalżność: ε = ε + sym [ r] (.) 4

5 Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln która zostani spłniona w słabym snsi. Pol mikroflktacji r msi spłniać równani równowagi w każdym pnkci rprzntatywngo lmnt objętościowgo, jdnoczśni na to pol nakłada się odpowidni warnki ograniczając, o których będzi mowa w dalszj części pracy.... Odkształcnia Makroodkształcnia ε okrślan są jako wartości śrdni z mikroodkształcń ε, i aby taka zalżność zachodziła msi być spłniony warnk zrowania się gradint mikroflktacji pola przmiszczń: r d = n r d = r n d = 0 (.3) gdzi n jst wktorm normalnym do brzg RE. Spłnini powyższgo warnk zapwnia, ż dformacja brzg w śrdnim snsi jst zgodna z zadanym makroodkształcnim ε. Równani (.3) nazywan jst kinmatycznym warnkim brzgowym nakładanym na pol mikroflktacji przmiszczń. Ostatczni otrzymamy: ε = ε d = n d (.4) czyli tnsor makroskopowgo odkształcnia moż zostać wyrażony poprzz przmiszcznia brzg RE...3. Naprężnia Makronaprężnia można zdfiniować podobni jak makroodkształcnia, jako wartość śrdnią z mikronaprężń: σ = σ d (.5) Zalżność tę można wyprowadzić na podstawi twirdznia nrgtyczngo Hilla. hcąc wyrazić makronaprężnia przz siły brzgow wykorzystjmy równania równowagi div ( σ ) = 0 oraz wzór na pochodną iloczyn fnkcji. ( σ) + ( x) σ = div ( x σ) σ x = div (.6) Wykorzystjąc powyższą zalżność i twirdzni o dywrgncji otrzymamy 5

6 Aktaln Problmy Bdowncitwa div ( x σ) d = x σ n d = x t d W fkci makronaprężnia zostają wyrażon przz siły brzgow = σ σ d = x t d = t x d (.7) (.8) Traz pokazan zostani, ż zalżność (.8) pomiędzy makronaprężnim i śrdnią wartością mikronaprężń dla ciała statystyczni homognizowalngo jst prawdziwa: σ : δ ε d = t δ d (.9) Przz podstawini do prawj strony równania (.9) wariacji przmiszczń (.) otrzymamy δ W = σ : δ ε d = σ : δ ε + t δ r d 0 (.0) Powyższ równani wiąż wartość pracy mikronaprężń na wirtalnych mikroodkształcniach z pracą makronaprężń na makroodkształcniach; wynika z nigo, ż aby było spłnion twirdzni Hilla ostatnia całka w (.0) msi być równa zro. złon tn nazywany jst statycznym warnkim brzgowym i razm z warnkim kinmatycznym (.3) stanowi ograniczni nakładan na pol mikroflktacji przmiszczń. δ = σ : δ ε d = σ : δ ε W (.)..4. Przmiszczniow warnki brzgow Przmiszczniow warnki brzgow wymszają liniową dformację na brzg i można j zdfiniować w następjący sposób x ε x Przz podstawini (.) do (.9) otrzymamy (.) 6

7 Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln δ W = t δ d = t ( x δ ε) d = x t d : δ ε = σ : δ ε (.3) Równani (.) można równiż zapisać w postaci r ( x) = 0 x (.4) co daj atomatyczn spłnini statyczngo warnk brzgowgo. Równani to wyrażon w formi rzidów ważonych otrzyma postać. δ t ( x ε) = 0 δ t d (.5) Taki sposób zapis przmiszczniowych warnków brzgowych jst bardzo wygodny w przypadk, gdy na poziomi mikro zadani rozwiązywan jst mtodą lmntów skończonych. Po zdyskrtyzowani zadania równani (.5) doprowadzi do kład n równań algbraicznych, gdzi n oznacza liczbę stopni swobody na brzg rprzntatywngo lmnt objętościowgo...5. Rozwiązani zagadninia brzgowgo w mikroskali Zadani brzgow mchaniki (ZBM) dla okrślongo RE po dyskrtyzacji rozwiązj się poprzz minimalizację fnkcji z nałożonymi dodatkowymi ograniczniami T T min ϕ ( ) = K f z warnkami g = 0 (.6) ZBM można rozwiązać stosjąc mtodę Lagrang a, al dla mtody nmrycznj homognizacji mamy dżą złożoność obliczniową dlatgo podjści opart na mnożnikach Lagrang a jst zbyt czasochłonn. Z tgo powod wybrano altrnatywn podjści [.,.8,.5], któr sprowadza się do rozwiązania kład równań: ~ ~ K = F (.7) gdzi T T [( ) ( Q K Q ] ~ K = + ) T T [ D ε[( ) ( Q ) K R ] ~ = ] (.8) F (.9) 7

8 Aktaln Problmy Bdowncitwa Q = I R (.0) T T R = ( ) [ ( ) ] (.) Symbol oznacza agrgację po lmntach skończonych w mikroskali. Do wymsznia dformacji RE zgodni z makroodkształcnim ε zastosowano przmiszczniow warnki brzgow pirwszgo rodzaj [.8,.]. Korzystając z (.5) warnki t możmy zapisać w postaci macirzowj gdzi D ε = g = (.) T = H N Nd (.3) T D = H N Xd (.4) ξ 0 η X = (.5) 0 η ξ T Wirsz macirzy będącj iloczynm HN można intrprtować jako liniowo nizalżn fnkcj rozkład dopszczalnych sił brzgowych, natomiast kolmny macirzy H jako wartości sił węzłowych. Z wagi na fakt, iż dla przmiszczniowych warnków brzgowych każdy rozkład sił brzgowych jst dopszczalny przyjęto H = diag [ ]. Równani (.) wymsza dformację RE zgodni z zadanymi miarami makroodkształcń ε oraz daj zrową wartość pracy dopszczalnych rozkładów sił brzgowych na mikroflktacjach pola przmiszczń...6. Wyznaczani paramtrów matriałowych na poziomi makro Makronaprężnia σ i macirz sprężystości dla makroskali wyznaczamy poprzz rozwiązani trzch liniowych kładów równań dla RE [.8] dla dla δ ε = [,0,0] δ ε = [0,,0] (.6) 3 dla δ ε = [0,0,] 8

9 Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln gdzi = 3 [ ] ; δ σ = δ σ δ σ (.7) σ ) T = ( D λ (.8) λ = (.9) ( R T ) ( F K ) = q jst wktorm mikroprzmiszczń węzłowych RE, F = 0 wktorm mikroobciążń węzłowych RE. Korzystając z (.7) i (.8) dla płaskigo stan naprężnia i dla izotropowych liniowo sprężystych mikroskładników otrzymamy jst 0 = 0 (.30) gdzi = 0, = 0, 33 0 oraz zakładając ma poziomi makroskali postać macirzy sprężystości matriał jak dla izotropii na podstawi rozwiązania nmryczngo można wyznaczyć paramtry matriałow zhomognizowango ośrodka w makroskali 0 0 E 0 ν ν 0 E = ν 33 0 ν E ν E ν G gdzi E G = ( + ν ) (.3) po rozwiązani powyższgo kład trzch równań z trzma niwiadomymi E,ν,G otrzymamy odpowidnio modł Yonga, współczynnik Poissona i modł Kirchhoffa. E = (.3) 9

10 Aktaln Problmy Bdowncitwa = ν (.33) G = = (.34) Badania doświadczaln BPR Tok postępowania przy projktowani btonów z proszków raktywnych jst zpłni inny niż w przypadk btonów tradycyjnych, poniważ znan równania (Bolomya, Abramsa itp.) słżąc do okrślnia wytrzymałości w zalżności od skład tracą swoją ważność z względ na niski wartości wskaźnika w/s występjąc w BPR. Równania konsystncji równiż przstają obowiązywać z powod dżych ilości sprplastyfikatorów występjących w składzi miszanki. Jdyną zalżnością, która zachowj swoją ważność jst tzw. równani szczlności. Główną mtodą stosowaną do stalania rcptr BPR jst mtoda doświadczalna. W ninijszj pracy wstępngo stalnia rcptr dokonano na podstawi stdiów litratrowych oraz stosjąc równani szczlności odpowidnio rozszrzon stosowni do projktowango skład bton, gdzi: Pk PI + + Pk P I PII + P II P + III P III F + F MF + MF S + S W + W = (.35), Pk, PI, PII, PIII, F, MF, S, W - ilości mirzon w [kg/m3]: cmnt, pył krzmionkowgo, piask OS 30, piask OS 36, piask OS 38, włókin stalowych, mikrowłókin stalowych, sprplastyfikatora, wody,, Pk, P, I P, II P, III F, MF, S, W - gęstość w [kg/m3]: cmnt, pył krzmionkowgo, piask OS 30, piask OS 36, piask OS 38, włókin stalowych, mikrowłókin stalowych, sprplastyfikatora, wody. Pomocniczo w cl oszacowania potrzbnj ilości cmnt i pył krzmionkowgo do zyskania zamirzonych wytrzymałości zastosowano znan z litratry wzory mpiryczn np. równani d Larrarda. Po stalni skład miszank przprowadzono zaroby próbn w cl korkty zaprojktowanych rcptr. Ostatczni opracowano dwi miszanki BPR (tabla. i.). Więcj szczgółowych informacji dotyczących projktowania BPR, żytych składników, 0

11 Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln procs miszania oraz wykonania i przchowywania próbk można znalźć w pracy [.3]. Tabla.. Rcptry Składniki Miszanka I [kg/m3] Udział składnika [%] Miszanka II [kg/m3] Udział składnika [%] mnt EM I 4,5R , , Pył krzmionkowy 30 8,7 30 8,4 Piask kwarcowy 6,6 70 0,063-0,4 mm OS , Piask kwarcowy 0,8 85 0,04-0,5 mm OS ,5 Piask kwarcowy 0, - 0,8 mm OS ,3 Woda 60 9,8 60 9,5 Sprplastyfikator, 9,6 Wormnt FM 787 9,6, Mikrowłókna stalow 8,8 33 DM 6/0,7 KrampHarx 33 8,6 Włókna stalow DW 38/,0 N KrampHarx ,3 iężar objętościowy Tabla.. Podstawow paramtry miszank Paramtr Miszanka I Miszanka II w/c 0,9 0,9 w/s 0,3 0,3 Pk/c 0,5 0,5 Ilość sprplastyfikatora w stosnk do masy cmnt 3,3 % 3,3 % Ilość sprplastyfikatora w stosnk do masy spoiwa,6 %,6 % Do badań laboratoryjnych, któr dostarczyły danych do walidacji modl tortyczngo przygotowano łączni 3 próbki wykonan z dwóch rodzajów miszanki (tabla.). Asortymnt tn składał się z trzch rodzajów próbk: blki, blczki i kostki (rys..). Do przygotowania BPR zastosowano składniki ogólnodostępn na rynk krajowym. Jdyni mikrowłókna stalow zostały sprowadzon na spcjaln zamówini z firmy KrampHarx GmbH & o. KG z Nimic. Program badań objmował:. Trzypnktow zginani aż do zniszcznia blk na maszyni wytrzymałościowj INSTRON 8804 o nośności ±500 kn, pomiar dformacji w strfi zniszcznia za pomocą systm Aramis 3D oraz

12 Aktaln Problmy Bdowncitwa pnktowa kontrola odkształcń przy zastosowani tnsomtrów lktrooporowych w cl wyznacznia modł Yonga.. ztropnktow badani wytrzymałości na zginani blczk na maszyni wytrzymałościowj INSTRON 8804 o nośności ±500 kn. 3. Badani wytrzymałości na ściskani kostk na prasi hydralicznj o nacisk 3000 kn z jdnoczsnym pomiarm odkształcń w dwóch prostopadłych kirnkach tnsomtrami lktrooporowymi w cl wyznacznia współczynnika Poissona. Rys.. Próbki przygotowan do badań: a) blczki, b, c) kostki, d) blki Na podstawi zralizowanych tstów wyznaczono następjąc paramtry badango matriał: Tabla.3. Wyniki badań wytrzymałościowych Paramtr Miszanka I Miszanka II Modł Yonga E [GPa] 4,49 49, Współczynnik Poissona ν [-] 0,0 0,3 Modł Kirchhoffa G [GPa] 7,70 8,6 Wytrzymałość na zginani [MPa],49 8,00 Wytrzymałość na ściskani [MPa] 05,97 4,05 Na koljnj stroni zamiszczono wynik walidacji modl tortyczngo w postaci graficznj. Z względ na czytlność wykrsów snięto z nich wszystki prost odpowiadając poszczgólnym próbom. Obszary, któr zajmowały oznaczono odpowidnio kolorm jasnonibiskim dla wyników otrzymanych z badań laboratoryjnych oraz cimnonibiskim dla rozwiązania nmryczngo. Na wykrsach zaznaczono równiż śrdnion zalżności σ ε. Dokładn omówini rzltatów badań i symlacji nmrycznych można znalźć w pracy [.3].

13 Bton z proszków raktywnych: dwskalow modlowani i badania doświadczaln Rys..3 Porównani wyników analizy dwskalowj i otrzymanych na podstawi ksprymnt dla blk wykonanych z miszanki I Rys..4 Porównani wyników analizy dwskalowj i otrzymanych na podstawi ksprymnt dla blk wykonanych z miszanki II Na podstawi zralizowanych badań można stwirdzić, iż opracowany stochastyczny modl bton z proszków raktywnych dobrz opisj zachowani matriał w zakrsi liniowo sprężystym i pozwala na wyznaczni wiarygodnych wartości konstyttywnych paramtrów matriałowych na poziomi makro..4. Litratra. Ainsworth M., Essntial bondary conditions and mlti-point constraints in finit lmnt analysis, omptr Mthods in Applid Mchanics and Enginring, 00, 90,

14 Aktaln Problmy Bdowncitwa. Blais P. Y., otr M., Prstrssd Pdstrian Bridg World s First Ractiv Powdr oncrt Strctr, PI Jrnal, Dnisiwicz A., Modlowani dwskalow związków konstyttywnych bton z proszków raktywnych i ich walidacja doświadczalna, Praca doktorska, Uniwrsytt Zilonogórski, 03.4 Dnisiwicz A., Kczma M., Two-scal modling of ractiv powdr concrt by th mthod of nmrical homognization, 6th Eropan ongrss on omptational Mthods in Applid Scincs and Enginring (fll papr) EOMAS 0, inna, Astria, 0.5 Dnisiwicz A., Kczma M., Two-scal modlling of ractiv powdr concrt. Part I: rprsntativ volm lmnt and soltion of th corrsponding bondary val problm, ivil and Environmntal Enginring Rports,03, No. 0, Fishman L., Mccoy J. J., A nifid viw of blk proprty thoris for stochastic and priodic mdia, Jornal of Applid Mathmatics and Physics, 98, 3, Jasiczak J., Wdowska A., Rdnicki T., Btony ltrawysokowar-tościow. Właściwości, tchnologi, zastosowania, Stowarzyszni Prodcntów mnt, Kraków, Kaczmarczyk Ł., Parc H. J., Bićanić N., Scal transition and nforcmnt of RE bondary conditions in scond-ordr comptational homognization, Int. J. Nmr. Mth. Engng, 008, 74, Makawa K., Ishida T., Kishi T., Mlti-scal Modling of Strctral oncrt, Taylor & Francis, Mccoy J. J., Macroscopic rspons of contina with random microstrctrs, Mchanics today, 98, 6. Mih., omptational micro-to-macro transitions for discrtizd microstrctrs of htrognos matrials at finit strains basd on th minimization of avragd incrmntal nrgy, omptr Mthods in Applid Mchanics and Enginring, 003, 9, Nmat Nassr S., Hori M., Micromchanics: ovrall proprtis of htrognos matrials., Elsvir, Richard P., hyrzy M., omposition of Ractiv Powdr oncrts, mnt and oncrt Rsarch, 995, 5, Schrödr J., Balzani D., Brands D., Approximation of random microstrctrs by priodic statistically similar rprsntativ volm lmnts basd on linal-path fnctions, Archiv of Applid Mchanics, 0, 8, Strang G., Introdction to applid mathmatics, Wllsly-ambridg Prss, Zdb T., Śliwiński J., Bton z proszków raktywnych właściwości mchaniczn i mikrostrktra, Bdownictwo Tchnologi Architktra, 00, 5, Zohdi T. I., Wriggrs P., An Introdction to omptational Micromchanics, Springr,