ESTYMACJA RYZYKA WOBEC UJEMNYCH CEN ENERGII ELEKTRYCZNEJ

Transkrypt

1 Sudia Ekonomiczne. Zesz Naukowe Uniwerseu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN Nr Informaka i Ekonomeria 10 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwerse Ekonomiczn w Kaowicach Wdział Informaki i Komunikacji Kaedra Demografii i Saski Ekonomicznej alicja.ganczarek-gamro@ue.kaowice.pl ESTYMACJA RYZYKA WOBEC UJEMNYCH CEN ENERGII ELEKTRYCZNEJ Sreszczenie: Praca zawiera rozważania doczące sposobu szacowania zmienności i rzka cen energii elekrcznej, w kórch odnoowano ujemne warości. Do ocen zmienności cen wkorzsano przros absolune i względne wraz z drobną modfikacją. Dla wbranch sposobów przekszałceń cen energii elekrcznej wznaczono miar zmienności i zagrożenia zmian cen energii elekrcznej. W oparciu o uzskane wniki podjęo próbę ocen wrażliwości rzka na wbran sposób różnicowania cen w przpadku jedno- i wielowmiarowm. Analiza empirczna zosała przeprowadzona na bazie noowań cen energii elekrcznej z rnków dobowo-godzinowch: Nord Pool, EEX, OTE oraz TGE. Słowa kluczowe: ujemne cen energii elekrcznej, przros absolune i względne, rozkład wielowmiarowe, miar zmienności i zagrożenia. JEL Classificaion: C61. Wprowadzenie Rzko związane z niepewnością osiągnięć oczekiwanch zsków w przszłości esmowane jes częso w oparciu o rozkład lub szereg czasowch sóp zwrou z inwescji. Sop zwrou rozparwane są wówczas jako liniowe przros względne: lub jako logarmiczne sop zwrou: = 1 z (1) 1

2 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej 27 gdzie: war rośćć inwescji w okr esiee ; z = ln 1 Celemm niniejszej prac jes próba znalezienia odpowiedzii naa panie: jak ocenić poziom zmian cen energii elekrcznej w suacji, gd na rnkuu ob- serwowane są ujemne warości cen? Roz zważania przeprowadzono w oparciu o warości średnichh dziennch cenn energii elekrcznejj [EUR/MWh] z dobowo- -godzinowch rnkóww europejskich giełd energii w okresiee odd do Do opisuu kszałowania a sięę poziomów cen na polskiej Towarowej Giełdzie Energii (TGE) wkorzsano indeks POLIXX [www 1]. Dla rnku Nord Pool zapr rezenowano średnie dzienne cenc energii elekrcznejj usalanee nieza- leżnie na rnkach: Szwecji (SE2 Sundsvall, SE3 Sockholm,, SE4 Malm mo) ), Norwegii (Oslo, Kr.sand., Bergen, Molde, Tromsø), Danii (DK1 Arhus, DK2 Copenhagen) ), Finlandii (FI), Liw (LT), Łow (LV), Esonii (EE) [wwww 2] ]. Warości cenn energii elekrcznej naa rnkachh Czechh (CR), Słowacji (SR), Wę- gierr (HU)) i Rumunii (RO) zosał pobrane ze sron czeskiegoo operaora ech- nicznego (OTE) [www 3]. Cen energii elekrcznej krajów Europ cenralnej Niemiec, Ausrii, FranF ncji, Szwajcariii zosał zaprezenowane wspólnm indek- semm ELIX X noowanmm na Europejskiejj GiełdG dzie EnerE rgiii (EEX) [www 4].. Na rsunku 1 zaprezenowano rozkład rozparwanch średnichh dziennch cen energiii elekrcznej wmienionchh wżej rnkr ków. 1, 0; 1 > 0. (2) Rs. 1. Rozkład średnich dziennch cenn energii elekrcznej

3 28 Alicja Ganczarek-Gamro Porównując rozkład średnich dziennch cen energii elekrcznej na poszczególnch rnkach, można zauważć, że na rnku Nord Pool cen energii są najniższe oraz najbardziej sabilne. Najwższe cen można zaobserwować na rnku polskim (POLPX), w Liwie (LT), Łowie (LV) oraz w Esonii (EE). Rozkład cen rnków środkowej Europ Czech (CR), Słowacji (SR), Węgier (HU) i Rumunii (RO) są zbliżone do rozkładu indeksu ELIX, kór reprezenuje noowania cen w Niemczech, Ausrii, Francji i Szwajcarii. Rozkład cen charakerzują się asmerią prawosronną, warości niepowe odsające zidenfikowane zosał jako niepowe wzros cen energii elekrcznej (najsilniejszą na rnkach polskim, liewskim, łoewskim i esońskim). W danm okresie ujemne cen odnoowano jednie na indeksie ELIX oraz w Danii (DK1 z noowaniami w Arhus). Na wmienionch rnkach nasępnego dnia cena energii elekrcznej, wznaczona jako cena równowagi złożonch ofer kupna i sprzedaż, oznacza warość, jaką goowi są zapłacić poencjalni odbiorc energii za jej dosarczenie w określonm czasie oraz warość, jaką goowa jes przjąć srona odpowiedzialna za dosarczenie owaru. Ujemne cen energii elekrcznej oznaczają suację, w kórej dsrbuorz energii elekrcznej są goowi zapłacić odbiorcom energii elekrcznej za pobór energii elekrcznej. Nasępuje o w przpadku nadwżki podaż nad popem. Suację aką można spokać na rnkach ze znacznm udziałem produkcji energii ze źródeł odnawialnch, np. w Niemczech, gdzie duż udział w produkcji energii elekrcznej mają elekrownie wiarowe. Kosz wworzenia nadwżki energii elekrcznej prz sprzjającch warunkach amosfercznch jes niewielki w porównaniu z koszami magaznowania. Taka suacja zdarza się rzadko, najczęściej w okresie sprzjającch warunków amosfercznch i jednoczesnm obniżeniu zaporzebowania na energię elekrczną, akich jak dni wolne od prac, w niedziele, święa oraz w godzinach nocnch. Problem wsępującch ujemnch cen bł rozważan w prac Fanone a, Gamba i Prokopczuk [2013]. Ujemne warości w szeregach czasowch cen energii elekrcznej sają się problemem w przpadku analiz zmienności cen [Ganczarek-Gamro, 2013]. Nie można wówczas zasosować przrosów logarmicznch, klasczne przros liniowe zakłócają prawidłową inerpreację zmian cen, naomias eliminacja cen ujemnch zakłóca równomierną częsoliwość obserwacji, ważną w przpadku wkorzswania modeli szeregów czasowch. Pojawia się zaem panie, jak różnicować cen, ab jednoznacznie ocenić poziom rzka zmian cen energii elekrcznej? W prac wkorzsano różni za pomocą przrosów absolunch, przrosów względnch oraz przrosów względnch skorgowanch. Dla w-

4 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej 29 znaczonch przrosów zbudowano porfele minimalizujące średnią oczekiwaną warość sra (CVaR), w przpadku przekroczenia warw rości narażonej na rzko (VaR) oszacowanejj meodą smulacjii hisorcznch. Celemm prac błaa ocenaa r- zka zmian cen enere rgii oraz wrażliwości ej ocen na n sposób różnicowania cen. 1. Rozkład przrosóww średnich dziennch cenn Na rsunku 2 przedsawiono przros absolune omawianch średnich dzied ennchh cen energii elekrcznej: Δ gdzie: śred dniaa dzienna cena energiii elekrcznej w dniu. = 1, szeregóww (3) Rs. 2. Rozkład przrosów absolunch (3) średnich dziennch cen energiii elekrcznej Asm meria rozkładóww przrosóww absolunch jes niewielka. Naomias anali- zując prze edział zmienności rozkładów,, do najbardziej sabs bilnch cenn możnm na zaliz czć cen w Norwegii, poep em Szwecji, Danii i Finlandii. RozkR kład przrosóww dla d Eso- nii, Łow, Liw, PolsP ski, Czech, Słowacji WęgW gier, Rumunii i giełdzie EEXX sąą po- równwalne, niemniej jednak dużoo grubsze ogon rozkładów orazz więcew ej warw ości odsającch obserwujem m na rnkach polskim, liewskim,, łoewskimm i esońskim.

5 30 Alicja Ganczarek-Gamro Na rsunkuu 3 przedsawionoo rozkład przrosóww względnch (1). Naa r- sunku 4 rozkład przp rosów względnch skors rgowanch: : ' z = 1 1. (4) Rs. 3. Rozkład przrosów względnch (2) średnich dziennch cen energiii elekrcznej Rs. 4. Rozkład przrosów względnchh skorgowanch (3) średnich dziennchh cen energii elekrcznej

6 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej 31 Rozkład przrosów względnch (rs. 3) oraz przrosów względnch skorgowanch (rs. 4) różnią się jednie w przpadku wsępowania w danch cen ujemnch, zn. dla szeregu DK1 oraz ELIX. Dla ch szeregów klasczne liniowe sop zwrou błędnie wskazują duż spadek cen, gdzie w rzeczwisości odnoowan bł wzros cen, zn. powró z ujemnej warości cen do dodanich poziomów cen. Skorgowanie przrosów powoduje poprawne określenie kierunku zmian cen, prz ej samej warości względnej zmian jej warości. Porównując rozkład przrosów względnch klascznch ze skorgowanmi, obserwujem zmianę asmerii rozkładu z smercznego na rozkład z asmerią prawosronną. Analizując rozkład przrosów względnch, można powiedzieć, że najwższą zmiennością charakerzuje się rnek czeski (CR), słowacki (SK), w nasępnej kolejności noowania ELIX, DK1, HU, RO, EE POLPX i pozosałe noowania na Nord Pool. Rozkład przrosów skorgowanch zachowują asmerię prawosronną obecną w rozkładach cen. Zasosowanie przrosów absolunch może bć przdane wówczas, gd wśród cen pojawią się warości zerowe. 2. Wrażliwość klasfikacji rnków na sposób różnicowania cen energii elekrcznej W nasępnm kroku sprawdzono, jak sposób różnicowania cen wpłwa na ocenę zależności pomiędz poszczególnmi rnkami. W abeli 1 zamieszczono warości ładunków cznnikowch dla cen energii elekrcznej noowanch na poszczególnch rnkach oraz warości przrosów cen oszacowanch za pomocą roacji varimax znormalizowanej w układzie dwuwmiarowm. Wsokie warości ładunków cznnikowch dla cen energii elekrcznej odzwierciedlają efek silnej współzależności cen, szczególnie w obrębie ego samego rnku regionalnego. Dla danch zróżnicowanch obserwujem niższe warości ładunków cznnikowch, niemniej jednak odzwierciedlają one również zależności w dnamice zmian cen w obrębie rnków regionalnch. Wniki klasfikacji omawianch rnków za pomocą głównch składowch (rs. 5-6) w niewielkim sopniu zależą od sposob różnicowania cen. Największą grupę sanowią rnki z Norwegii i Szwecji. Cen ej grup są ak silnie skorelowane, że sposób różnicowania cen nie wpłwa na zmianę pierwonej klasfikacji. Pozosałe noowania cen na Nord Pool w Danii, Finlandii, Liwie, Łowie i w Esonii worzą odrębną grupę. Polski indeks POLPX zarówno dla warości, jak i przrosów względnch najsilniej skorelowan jes z noowaniami w Liwie i Łowie. Osania grupa

7 32 Alicja Ganczarek-Gamro rnków o parami: Czech, Słowacja i Węgr, Rumunia oraz EEX reprezenowana indeksem ELIX. Porównując wniki grupowania indeksu ELIX, można zauważć, że inaczej zosał on zaprezenowan w układzie dwóch głównch składowch dla klascznch przrosów względnch. Może bć o efek asmerii lewosronnej rozkładu liniowch sóp zwrou w porównaniu z prawosronną asmerią dla pozosałch sposobów różnicowania cen, co przemawia za odejściem od klascznej liniowej sop zwrou w przpadku ujemnch warości cen. Tabela 1. Ładunki cznnikowe dwóch głównch składowch dla cen oraz przrosów cen Rnek/ cznnik Cznnik 1 Cen Przros absolune Przros względne Cznnik 2 Cznnik 1 Cznnik 2 Cznnik 1 Cznnik 2 Skorgowane przros względne Cznnik 1 Cznnik 2 SE2 0,9393 0,1352 0,8541 0,2096 0,8851 0,1767 0,8878 0,1678 SE3 0,9376 0,2075 0,8762 0,2362 0,8647 0,1585 0,8701 0,1430 SE4 0,9176 0,2430 0,8620 0,2688 0,8768 0,1792 0,8831 0,1605 FI 0,5786 0,5928 0,6262 0,4966 0,6657 0,3881 0,6806 0,3505 DK1 0,7440 0,3834 0,5617 0,4407 0,6421 0,2884 0,6329 0,2983 DK2 0,8097 0,3889 0,7833 0,3320 0,7877 0,1610 0,7853 0,1609 Oslo 0,9335 0,0773 0,8504 0,1656 0,8707 0,2153 0,8746 0,2026 Kr.sand. 0,9339 0,0275 0,7378 0,3441 0,8385 0,2338 0,8396 0,2272 Bergen 0,9212 0,0286 0,7335 0,3423 0,8351 0,2380 0,8369 0,2295 Molde 0,9550 0,0792 0,8456 0,1541 0,8655 0,1170 0,8699 0,1071 Tromsř 0,9301 0,0248 0,8039 0,0374 0,7889 0,0839 0,7951 0,0717 EE 0,5650 0,5625 0,6228 0,4557 0,6353 0,3596 0,6525 0,3192 LV 0,0776 0,7691 0,4778 0,4197 0,4253 0,4365 0,4467 0,3864 LT 0,0798 0,7620 0,4678 0,4195 0,4188 0,4346 0,4403 0,3841 POLPX 0,1439 0,6269 0,1997 0,5632 0,4007 0,4301 0,4083 0,4048 CR 0,2516 0,8569 0,3072 0,8536 0,0629 0,8524 0,0806 0,8592 SR 0,1926 0,8826 0,2394 0,8738 0,0634 0,8622 0,0813 0,8681 HU -0,0580 0,8412 0,1445 0,8065 0,2272 0,7740 0,2356 0,7838 RO -0,0333 0,7391 0,0592 0,6905 0,1407 0,7110 0,1592 0,6881 ELIX 0,3546 0,7541 0,3556 0,8121 0,4199 0,0880 0,2281 0,8358 Udział 0,4550 0,3001 0,3953 0,2584 0,4241 0,1901 0,4248 0,2157 % wariancji 0,7551 0,6536 0,6142 0,6406

8 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej 33 Rs. 5. Cen energii elekrcznej w układziee dwóch głównch składowch Rs. 6. Przros absolune cen energii elekrcznej w układzie dwóch głównch składowch

9 34 Alicja Ganczarek-Gamro Rs. 7. Przros względne cen energii elekrcznej w układzie dwóch głównchh składowch Rs. 8. Skorgowane przros względnee cen energii elekrcznej w układzie dwóch głównch składowch

10 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej Pomiar i zarządzanie rzkiem zmian cen energii elekrcznej W niniejszej prac rzko rozumiane jes jako sraa z ułu zawarej pozcji na giełdzie energii elekrcznej zarówno dla pozcji długiej, jak i krókiej. Sraa a zosała wrażona w warościach absolunch (przros absolune) oraz względnch (przros względne). Jako miarę rzka wkorzsano kwanlową miarę zagrożenia Value-a-Risk (VaR) [Jajuga, 2000; Weron, Weron, 2000; Heilpern, 2011]: P( Y + Δ VaR α (Y)) = α, (5) gdzie: obecna cena (warość); Y + Δ zmienna losowa, cena (warość) w okresie Δ (na rnkach dnia nasępnego jeden dzień). Dla pojednczego konraku za pomocą smulacji hisorcznch VaR można oszacować jako kwanl rzędu α odpowiedniego rozkładu: VaR ( Y α ) = F Y 1 ( α ), (6) gdzie: Y wekor warości ( Δ dla przrosów absolunch, z dla przrosów ' względnch oraz z dla skorgowanch przrosów względnch). W analizie porfelowej do szacowania warości zagrożonej wkorzswana jes koherenna miara CVaR (Condiional Value-a-Risk) [Arzner i in., 1999; Rockafellar, Urasev, 2000]: C VaR α ( Y m ) = E{ Ym Ym VaR ( Ym )} α, (7) gdzie: Y m warość m-składnikowego porfela w chwili. W oparciu o CVaR oraz modfikację klascznego modelu Markowiza [1959], dla poszczególnch przrosów cen energii elekrcznej zbudowano porfele będące rozwiązaniem zadania (8): min CVaR ( ΔYm ), (8) prz ograniczeniach: x i > 0, i = 1, K, m, m x i i = 1 = 1,

11 36 Alicja Ganczarek-Gamro m E( Y m ) = xiyi μ0, i = 1 gdzie: μ 0 oczekiwana warość porfela przed przebudową srukur porfela (warość oczekiwana prz jednakowch udziałach poszczególnch rnków); x i udział i-ej akcji w porfelu. W abelach 2-4 zamieszczono rozwiązania zadania (8) dla poszczególnch przrosów. Tabela 2. Rozwiązanie zadania (8) dla przrosów absolunch alfa Udział porfeli Paramer porfeli SE4 DK1 POLPX ELIX CVaR VaR E(Y m) s2 s 0,05 0,3649 0,2215 0,0272 0, ,1475-8,3627 0, ,0713 5,8371 0,01 0,1920 0,3060 0,1191 0, , ,8326 0, ,8837 5,9903 0, ,5199 0,1724 0, , ,8094 0, ,3553 6,1932 0,95 0,2869 0, , , ,5181 0, ,2978 5,7704 0,99 0,3045 0, , , ,6136 0, ,1848 5,7606 0,999 0,0276 0,5359 0,1120 0, , ,1916 0, ,0009 6,1645 Udział polskiej giełd energii elekrcznej w porfelu z przrosami absolunmi jes niewielki można o łumaczć wsokimi poziomami cen oraz wsoką zmiennością cen na rnku polskim w porównaniu z rnkami wbranmi we wsępnej klasfikacji meodą głównch składowch. Inerpreując wniki porfela z abeli 2 dla prawdopodobieńswa przekroczenia 0,05, można zauważć, że największ udział w porfelu ma dzienn konrak ze Szwecji oraz konrak na indeks ELIX. W badanm okresie warość oczekiwana porfela wnosiła 0,02EUR/MWh z odchleniem sandardowm 5,84EUR/MWh. Z prawdopodobieńswem 0,05 w kolejnm dniu sraa wnikająca z zakupu akiego porfela nie powinna przekroczć -8,36 EUR/MWh, średnia sraa w przpadku przekroczenia VaR 0,05 zosała oszacowana na poziomie -11,15EUR/MWh. W przpadku przrosów względnch liczonch jako klasczna liniowa sopa zwrou zmienia się srukura porfela orzmana w drodze klasfikacji rnków. Dla ch porfeli, w zależności od olerancji przekroczeń α oraz pozcji, obserwujem zmianę udziałów w porfelach. Dla ch porfeli w przpadku pozcji krókiej duż udział obserwujem na rnku szwedzkim, naomias dla pozcji długiej w Polsce (α=0,95) i Danii (α=0,99 i 0,999). Warości indeksu ELIX nie weszł do porfela.

12 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej 37 Tabela 3. Rozwiązanie zadania (8) dla przrosów względnch alfa Udział porfeli Paramer porfeli SE4 DK1 POLPX CR ELIX CVaR VaR E(Y m) s2 s 0,05 0, ,3238 0, ,2876-0,2280 0,0453 0,1503 0,3877 0,01 0,3981 0,0142 0,2954 0, ,3534-0,3302 0,0450 0,1453 0,3812 0,001 0, ,2134 0, ,3919-0,3695 0,0450 0,1462 0,3824 0,95 0,1332 0,1820 0,4330 0, ,9467 0,4945 0,0450 0,1304 0,3611 0,99 0,1627 0,3231 0,2564 0,1825 0,0754 2,0836 1,0539 0,0450 0,1164 0,3412 0,999 0,0912 0, ,8384 3,6290 0,0450 0,1757 0,4192 Porfele orzmane w oparciu o skorgowane przros względne charakerzują się niższm poziomem zmienności mierzonej odchleniem sandardowm oraz niższm poziomem warości zagrożonch (CVaR, VaR) niż porfele orzmane na bazie klascznej liniowej sop zwrou. Dla ch porfeli większość udziałów za wjąkiem olerancji 0,95 przpada na konrak z Nord Pool (SE4 oraz DK1). Tabela 4. Rozwiązanie zadania (8) dla skorgowanch przrosów względnch alfa Udział porfeli Paramer porfeli SE4 DK1 POLPX ELIX CVaR VaR E(Y m) s2 s 0,05 0,2845 0,1844 0,2448 0,2863-0,3363-0,2570 0,0440 0,0899 0,2998 0,01 0,1804 0,3240 0,2912 0,2044-0,4515-0,3760 0,0440 0,0853 0,2920 0,001 0,3159 0,4202 0,1358 0,1282-0,5518-0,5518 0,0440 0,0892 0,2987 0,95 0,0432 0,3475 0,4073 0,2020 0,9323 0,5312 0,0440 0,0860 0,2932 0,99 0,2343 0,3619 0,2295 0,1743 1,7675 1,2166 0,0440 0,0858 0,2929 0,999 0,5255 0, ,2116 2,3279 1,9560 0,0440 0,0917 0,3028 Podsumowanie Wniki przeprowadzonej w prac analiz empircznej powierdził przpuszczenie, że sposób różnicowania cen wpłwa na zmian rozkładów jednoi wielowmiarowch, ponado srukura porfela oraz rzko porfela oszacowane zarówno miarami zmienności, jak i zagrożenia zależą od sposobu różnicowania cen. Praca pokazała, że problem ujemnch cen, jeżeli nawe nie jes częsm zjawiskiem, o w dużm sopniu wpłwa na wnioskowanie w analizie rzka. Logarmiczne, jak również liniowe sop zwrou nie są narzędziem, kóre można b wkorzsać do opisu zmienności rozparwanch walorów, naomias proponowane w prac wkorzsanie przrosów absolunch lub względnch skorgowanch daje efek nieporównwalne co do skali. W przpadku przrosów absolunch rudno jes dopasować model zmienności ch przrosów, np.

13 38 Alicja Ganczarek-Gamro wkorzsując modele klas GARCH. Naomias w przpadku przrosów względnch isnieje rzko odnoowania w badanm okresie cen z warością bliską zero, co może spowodować oszacowania eksremalnie dużch zwroów. W dalszch pracach dla danch z wższą częsoliwością obserwowania podjęa zosanie próba wkazania, cz owe ujemne warości cen można porakować jako obserwację niepowe oraz esmować poziom cen i zmienność w oparciu o meod odporne. Lieraura Arzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heah D. (1999), Coheren Measures of Risk, Mahemaical Finance, No. 9, s Fanone E., Gamba A., Prokopczuk M. (2013), The Case of Negaive Da-Ahead Elecrici Energ, Economics, No. 35, s Ganczarek-Gamro A. (2013), Meod sochasczne w badaniach porównawczch wbranch rnków energii elekrcznej, Wdawnicwo Uniwerseu Ekonomicznego, Kaowice. Heilpern S.A. (2011), Aggregae Dependen Risks Risk Measure Calculaion, Mahemaical Economics, No. 7(14), s Jajuga K. (2000), Rzko w finansach. Ujęcie sasczne. Współczesne problem badań sascznch i ekonomercznch, Wdawnicwo Akademii Ekonomicznej, Kraków. Markowiz H.M. (1959), Porfolio Selecion. Efficien Diversificaion of Invesmens, Yale Universi Press, New Haven. Rockafellar R.T., Urasev S. (2000), Opimizaion of Condiional Value-a-Risk, Journal of Risk, No. 2, s Weron A., Weron R. (2000), Giełda energii, Cenrum Informacji Rnku Energii, Wrocław. [www 1] hps:// (dosęp: ). [www 2] hp:// (dosęp: ). [www 3] hp:// (dosęp: ). [www 4] hps:// (dosęp: ). RISK MANAGEMENT WITH NEGATIVE ELECTRIC ENERGY PRICES Summar: In his paper, here are a comparison of absolue and relaive indicaors of elecric energ prices ime series wih some negaive prices. The volaili and downsides risk measure were calculaed for chosen decomposiion of elecric energ prices. The senili of risk resul will b presened for unvaried and mulivariae managemen

14 Esmacja rzka wobec ujemnch cen energii elekrcznej 39 decision. Empirical analsis will b made based on elecric energ sock quoed from da-ahead marke: Nord Pool, EEX, OTE and TGE. Kewords: negaive prices of elecric energ, absolue and relaive indicaors, mulivariae disribuions, volaili and downsides measures.