zane (warunkowe), mnożniki Lagrange a
|
|
- Włodzimierz Czajkowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analia matematycna, ce ść cwarta Ekstrema wia ane warunkowe, mnożniki Lagrange a Posukuja c ekstremów lokalnych i globalnych funkcji pomijaliśmy do tej pory jeden bardo ważny prypadek. W wielu agadnieniach mie dy argumentami funkcji achoda pewne wia ki, ce sto sa one wyrażane a pomoca równości. Chca c naleźć odleg lość punktu od p lascyny ropatrujemy funkcje kwadrat odleg lości jedynie na tej p lascyźnie. Jeśli firma planuje swe wydatki i prenaca ce ść swych środków na p lace, ce ść na reklame, ce ść na akup materia lów potrebnych do produkcji itd, to suma tych wsystkich kwot jest ustalona, bo to sa środki, które osta ly prenacone na ten rodaj produkcji. W bardiej aawansowanych modelach dopusca sie nierówności: suma wydatków nie może prekrocyć tego, cym firma dysponuje, ale też nie musi być równa jej asobom finansowym. Ocywiście to tylko pryk ladowe astosowania teorii, która w skrócie amieramy tera predstawić. Tera wypada prejść do posukiwania ekstremów funkcji określonych co prawda na biorach otwartych, ale pry a lożeniu, że interesuja nas jedynie punkty bioru M definiowanego jak w twierdeniu o funkcjach uwik lanych a pomoca równania postaci 0 = F x y. Pry posukiwaniu ekstremów awse do tej pory formu lowaliśmy najpierw warunek koniecny: erowanie sie pochodnej. W prypadku tera ropatrywanym be die nieco inacej, bowiem ogranicamy swe ainteresowanie do powierchni k wymiarowej w prestreni wymiaru l. Pochodna powinna w dalsym cia gu być równa 0, ale tylko w kierunku tej powierchni! W kierunku prostopad lym może być nieerowa. Ten warunek można sformu lować w terminach wia anych opisem powierchni a pomoca uk ladu równań cyli takiego opisu, o jakim jest mowa w twierdeniu o funkcjach uwik lanych. Die ki temu be diemy mogli unikna ć rowia ywania uk ladu równań i wyrażania funkcji k + l miennych ograniconej do powierchni wymiaru k a pomoca w laściwej licby miennych, cyli k. Rowia ywanie tego rodaju uk ladów równań bywa bardo trudne a casem jest wre c niemożliwe, co mog loby musać do stosowania metod prybliżonych, niekiedy skomplikowanych. Twierdenie Lagrange a o lokalnych ekstremach warunkowych* Za lóżmy, że funkcja F : G G IR l spe lnia a lożenia twierdenia o funkcjach uwik lanych w punkcie p q G G ora że funkcja różnickowalna f pryjmuje w punkcie p q wartość najmniejsa lub naj spośród pryjmowanych w biore M = { x y : F x } y = 0. Istnieja wtedy licby λ,..., λ l takie, że grad f p q = λ grad F p q + λ grad F p q + + λl grad F p l q, wie c grad f p q jest prostopad ly do prestreni wektorów stycnych do M w punkcie p q. Dowód. Niech g onaca funkcje, której istnienie jest agwarantowane twierdeniem o funkcjach uwik lanych, tj. funkcje, której wykresem jest fragment bioru M lożony e wsystkich jego punktów najduja cych sie dostatecnie blisko punktu p q, pry cym q = gp. Dla ustalenia uwagi pryjmijmy, * casem wanych wia anymi, termin angielski: constrained maximum or minimum 66
2 że f p q jest najwie wartościa funkcji f. Wtedy funkcja prypisuja ca punktowi x IR k licbe f x gx ma najwie wartość w punkcie p U, biór U otwarty w IR k, awieraja cy punkt p jest diedina funkcji g. Wobec tego gradient funkcji f w tym punkcie musi być wektorem erowym cyli musi achodić równość 0 = x f p q + f p y q Dgp. Zbiór wektorów v, dla których achodi równość 0 = v x + v y Dg p, jest podprestrenia linowa wymiaru l. Wynika to tego, że dla każdego wektora v y IR l można pryja ć v x = v y Dg p q. Jasne jest, że baa w tej prestreni liniowej sa wierse maciery DF p q sa one liniowo nieależne, bo ra d tej maciery równy jest l, c licbie wiersy tej maciery, spe lniona jest też równość F x p q + F p y q Dgp = 0. Wobec tego każdy wektor tej prestreni liniowej jest kombinacja liniowa jej wiersy, atem grad f p q też, a to w laśnie mieliśmy wykaać. Uwaga. Licby λ,..., λ l naywane sa mnożnikami Lagrange a. Funkcja L definiowana a pomoca równości L = f λ i F i lub L = f + λ i F i funkcja Lagrange a, w ależności od podre cnika. Nase uje cie jest bardo geometrycne, dlatego nasego punktu widenia równość L = f λ i F i jest bardiej naturalna. Wybór naku jest ocywiście niestotny, bowiem można precież mienić odpowiednio nak wsystkich mnożników Lagrange a. Pokażemy tera na kilku pryk ladach, jak można a pomoca twierdenia Lagrange a do najdować wartości naj kse i najmniejse funkcji różnickowalnych na biorach adanych a pomoca uk ladu równań, na ogó l nieliniowych, ale spe lniaja cych a lożenia twierdenia o funkcjach uwik lanych, c nieależnych każde równanie coś wnosi, np. mienia wymiar bioru rowia ań, ale nie mamy tu na myśli liniowej nieależności, bo to poje cie w sytuacjach nieliniowych nie ma astosowania. Pryk lad. xy Niech f be die funkcja definiowana worem f = x + 3y. Znajdiemy jej naj i { xy } najmniejsa wartość na biore M = : x + y + 4 = 0, x + y + = 0. Zbiór ten badaliśmy w pryk ladie cwartym. Stwierdiliśmy, że pry odpowiednim traktowaniu miennych, spe lnione sa a lożenia twierdenia o funkcjach uwik lanych w każdym punkcie tego bioru. Można c stosować twierdenie Lagrange a. Zacnijmy jednak od stwierdenia, że funkcja f jest cia g la w każdym punkcie tego bioru, M jest biorem wartym bo jest ogranicony jako awarty w kuli o promieniu 4 i domknie ty, bo adany a pomoca równań, w których wyste puja jedynie funkcje cia g le, atem funkcja f pryjmuje w jakimś punkcie tego bioru wartość najmniejsa i w jakimś punkcie bioru M wartość naj pryjmowanych na tym biore. xy Jeśli w pewnym punkcie funkcja osia ga jeden e swych kresów, to musi być tam spe lniony warunek Lagrange a, cyli musi być spe lniony uk lad równań: x + y + = 4. W tych równościach wyja tkowo wektory apisywane sa poiomo amiast pionowo, bo wektor v pojawi l sie tu w aste pstwie maciery Df cyli wektora apisanego poiomo. 67
3 x + y + = 0. = λ x + λ.3 3 = λ y + λ.4 = λ + λ.5 Odejmuja c stronami równanie.4 od równania.3, naste pnie równanie.5 od równania.4 otrymujemy równości = λ x y ora 5 = λ y. Z każdej nich wynika, że λ 0. Wobec tego 5y x = y : pomnożyliśmy pierwsa tych równości pre 5, naste pnie napisaliśmy, że prawe strony tych równości sa równe i podieliliśmy wynik pre λ. Do otrymanego woru wstawiamy tera = x y, co wynika od rau.. Mamy c 5y x = y + x, cyli y = x. Sta d i. wynika, że = 3x. Wobec tego. mamy 4 = x + 4x + 9x, c x = ±. Okaa lo sie c, że funkcja x + 3y może pryjmować ekstremalne wartości jedynie w punktach ora. W jednym nich musi pryja ć wartość naj, a w drugim najmniejsa. Mamy c x + 3y Znaleźliśmy c wartość najmniejsa i naj funkcji x + 3y na biore M. Nadmienić wypada, że w tym konkretnym prypadku można sie latwościa obejść be mnożników Lagrange a i ca lej teorii. Wystarcy skorystać nierówności Schwara: x + 3y x + y + pamie taja c, że staje sie ona równościa wtedy jedynie, gdy istnieje licba t 0 taka, że x = t, y = 3t i = t. Analogicnie można poradić sobie osacowaniem do lu. Pryk lad. Niech f x { xy } y = xy, M = : x + y + = 5, x + y + 9. Znajdiemy najwie i najmniejsa wartość funkcji f na biore M. Zauważmy po pierwse, że biór M jest warty, a funkcja f cia g la, c f w jakimś punkcie bioru M ma wartość naj, a w innym najmniejsa. wektory Gradienty funkcji definiuja cych biór M = i x y { xy } : x + y + = 5, x + y + = 9, cyli sa w punktach tego bioru liniowo nieależne, bo ich linowej ależności, cyli równoleg lości wynika loby, że x = y =. Z równości x + y + = 5 wnioskowalibyśmy, że x = y = = 5 3, ale wtedy x + y + = = 5 3 < 9. Jeśli c wartość ekstremalna pryjmowana jest w jednym punktów tego bioru, to musi być spe lniony warunek Lagrange a, cyli uk lad równań: 68
4 x + y + = 9. x + y + = 5. y = λ x + λ.3 x = λ y + λ.4 xy = λ + λ.5 Odejmuja c stronami równanie.3 od równania.4, równanie.4 od równania.5 otrymujemy wia ki y x = λ x y ora xy = λ y. Jeśli x = y, to x + = 9 i x + = 5, atem 9 = x + 5 x, cyli 3x 0x + 8 = 0. Sta d x = lub x = 4 3, c naleźliśmy dwa punkty, w których f może ewentualnie pryja ć wartość ekstremalna, mianowicie:,. Analogicnie jeśli y =, to otrymujemy punkty:,. Jeśli 4/3 4/3 7/3 natomiast x y i jednoceśnie y, to = λ = x, c otrymujemy punkty Wartościami funkcji f w tych punktach sa odpowiednio = 4 ora = 7. 7/3 4/3 4/3, 4/3 7/3. 4/3 Być może f pryjmuje wartość naj lub najmniejsa w biore M ale nie w biore M, to wtedy też musi być spe lniony warunek Lagrange a, ale tera mamy do cynienia jednym równaniem x + y + = 5, c uk lad lożony równań i nierówności wygla da tak: x + y + < 9.n x + y + = 5.6 y = λ.7 x = λ.8 xy = λ.9 Jeśli λ = 0, to co najmniej dwie licb x, y, musa być równe 0, ale wtedy trecia musi być równa 5, co jest niemożliwe, bo wtedy x + y + = 5 > 9. Wobec tego λ 0. Wtedy jednak wsystkie licby x, y, sa różne od 0 i xy = y = x, c x = y =, atem x = y = = 5 3. Mamy ocywiście x + y + = 5 3, c warunki.n.9 sa spe lnione. Wobec tego punkt jest naste pnym podejranym o to, że w nim funkcja f pryjmuje jedna e swych wartości 5/3 5/3 5/3 ekstremalnych. By laby nia wtedy licba = Jasne jest, że 7 > 7 > 08 7 = 4. Wobec tego naj wartościa funkcji f spośród pryjmowanych w biore M jest licba 5 7, a najmniejsa licba 4. Pry okaji stwierdiliśmy, że naj wartościa funkcji f spośród pryjmowanych w biore M jest licba 5 7, a najmniejsa licba 7. 69
5 Uwaga. Pokażemy jak można naleźć naj i najmniejsa wartość funkcji f M parametryuja c M, c unikaja c mnoników Lagrange a. Każdy może obacyć, że M to okra g o środku w punkcie 5 3, 5 3, 5 3 i promieniu 6 3 najduja cy sie w p lascyźnie x + y + = 5. Wektory 3 3, 3, 0 i 3,, maja d lugość 6 3 i sa wajemnie prostopad le. Wobec tego każdy punkt interesuja cego nas okre gu jest postaci 3 5, 5, cos t 3, 3, sin t,, := ϕt. Nasym adaniem jest naleienie naj ksej i najmniejsej wartości funkcji F t := xt yt t = = cos t+sin t5 3 cos t+sin t5 sin t = 7[ 5+0 sin t+sin t 3 cos t ] 5 sin t = [ = sin t + 4 sin t ] 5 sin t = 7[ sin t 8 sin 3 t ]. 0 = F t = 8 9 sin t cos t+ 9 cos t wtedy i tylko wtedy, gdy cos t = 0 lub sin t = ±. Jeśli cos t = 0, to sin t = lub sin t =. W pierwsym prypadku F t = 4, w drugim F t = 7 wartości pryjmuje funkcja w punktach, w których sin t =. Te same i odpowiednio sin t =. Ponieważ funkcja F jest okresowa, c osia ga swoje kresy, a ponieważ jest różnickowalne, c osia ga je w tych punktach, w których jej pochodna jest równa 0. Wobec tego sup F = 7 i inf f = 4. Zauważmy na koniec, że preksta lcenie ϕ: R R 3 ropatrywane na jakimkolwiek prediale otwartym I, którego d lugość jest mniejsa niż π jest homeomorfimem predia lu I na biór ϕi M, pry cym, ϕi jest otwartym podbiorem M. Zauważmy jesce, że jeśli sin t =, to ϕt =,, ; Jeśli sin t =, to ϕt = 4 3, 4 3, 7 3 ; jeśli cos t = 3 i sin t =, to ϕt = 7 3, 4 3, 4 3 ; cos t = 3 i sin t =, to ϕt =,, ; cos t = 3 i sin t =, to ϕt = 4 3, 7 3, 4 3 ; cos t = 3 i sin t =, to ϕt =,,. Okaa lo sie, że naleźliśmy te same punkty na M, które da la metoda Lagrange a, co ocywiście musia lo nasta pić. Podkreślmy, że metoda Lagrange a powala naleźć te punkty, w których pochodna lożenia f ϕ jest równa 0 be ropatrywania preksta lcenia ϕ. Pryk lad 3. Niech f x y = x + y + e x y 3, M niech onaca pierwsy oktant, tj. biór lożony tych wsystkich punktów prestreni trójwymiarowej, których wsystkie try wspó lre dne sa dodatnie. Wykażemy, że w biore M funkcja f nie ma wartości najmniejsej ani naj ksej i najdiemy jej kresy. Zauważmy prede wsystkim, że ponieważ wsystkie mienne sa dodatnie, to* Niech D = { xy x + y + e x y 3 < x + y + x + y + e x+y+ < x + y + /! = x + y + } : x + y , x 0, y 0, 0. Zbiór D jest ocywiście ogranicony i domknie ty, atem warty, c funkcja cia g la f pryjmuje w NIM wartość naj i najmniejsa. Najmniejsa to ocywiście 0, pryjmowana jest w punkcie 0. Naj ksa nie może Ciekawe ilu studentów potrafi loby naleźć preksta lcenie ϕ w casie nie prekracaja cym 5 minut. Nie ma powodu mieć, jest co prawda cia g la, ale M nie jest warty, c nic ich istnienia nie gwarantuje, chioć również go nie wykluca! * e t =+ t! + t! + t3 t 3! + >! dla t>0. 70
6 być mniejsa niż licba f = 3e 6 > 3 5 = 43 > 0000 > Wobec tego: e0000 albo naj ksa wartość w biore D jest pryjmowana wewna tr bioru D i wtedy gradient tej funkcji jest w tym punkcie wektorem erowym, xy albo lub w punkcie, którego prynajmniej jedna e wspó lre dnych równa jest 0. Zauważmy, że w tych punktach bioru M, które leża poa biorem D wartości funkcji f sa mniejse niż f, atem sup fx = supfx. x M x D Zachoda równości: f x = e x y 3 x y f y = e x y 3 x y f x = e x y 3 3x 3y 3 Jest c jasne, że wsystkie try pochodne ca stkowe, ani nawet dwie nie moga być równe 0 w tym samym punkcie. Wobec tego naj ksa wartość nie może być pryjmowana w punkcie wewne trnym bioru D. Jeśli np. jest pryjmowana w punkcie, w którym = 0 i jednoceśnie x 0 y, to dwie pierwse pochodne ca stkowe musa być równe 0, co również nie jest możliwe. Analogicnie nie jest możliwe, by wartość naj ksa pryjmowana by la w punkcie, w którym y = 0 i x 0, ani w punkcie, w którym x = 0 i y 0. Zostaja tylko punkty, w których x = y = 0 i 0 lub x = = 0 i y 0 lub y = = 0 i 0 x. Pryrównuja c odpowiednie pochodne ca stkowe do 0 otrymujemy try punkty, w których funkcja f może ewentualnie pryja ć swa naj wartość 0 00 w biore D :, i. Wartościami funkcji f w tych punktach sa licby e, e i 3 e. Naj nich jest e, c ona jest naj wartościa funkcji f w biore D. Jest ona c też kresem górnym bioru wartości funkcji f w pierwsym oktancie. Kres ten nie jest osia gany, ale w punktach bliskich punktowi, 0, 0 wartości sa mu bliskie bo f jest funkcja cia g la. Analogicnie kresem dolnym jest licba 0, nie jest on osia gany, ale w punktach bliskich punktowi 0 lub w punktach w których suma x + y + jest bardo duża, wartość funkcji f jest bardo bliska 0. Pryk lad 4. Niech v IR k, a IR, v 0, M = {x IR k : v x + a = 0}. Niech p IR p i niech fx = x p. Wykażemy, że funkcja f M osia ga kres dolny na swej diedinie M. Zbiór M jest niepusty, np. a v v v M. W dalsym cia gu q M. Jeśli x / Bp, q p, to fx > fq. Wynika sta d, że inf{fx: x M} = inf{fx: x M Bp, q p }. Zbiór M Bp, q p jest domknie ty i ogranicony, c warty. Wobec tego funkcja f M osia ga na nim kres dolny. Mamy grad v x + a = v ora grad fx = x p. Z twierdenia Lagrange a o 7
7 ekstremach warunkowych wynika, że kres może być osia gany jedynie w takim punkcie x, dla którego istnieje licba λ, dla której achodi równość x p = λv. Ponieważ x M, c v x = a. Musi c achodić równość λv v = x v p v = a p v, atem λ = a+p v v v tych roważań, że jedynym kandydatem na punkt, w którym funkcja f M. Wynika pryjmuje swój kres dolny jest p a+p v v v v. Ponieważ wiemy już, że kres ten jest wartościa funkcji f M, c ta najmniejsa wartościa jest a+p v v v. Cytelnik pewnościa widi, że ropatrywany biór M to k wymiarowa podprestreń afinicna prestreni IR k, licba fx to kwadrat odleg lości punktu x od punktu p. Znaleźliśmy c punkt podprestreni M najduja cy sie najbliżej danego punktu p, cyli rut prostopad ly punktu p na podprestreń M. Odleg lość punktu p od tego rutu p a+p v v v v równa jest a+p v v. Otrymany wór nany jest w prypadku k = wielu studentom e sko ly, niektórym również w prypadku k = 3. Ocywiście wyprowadanie tego woru a pomoca twierdenia Lagrange a to strelanie armaty do wróbla, ale pokaaliśmy na tym prostym pryk ladie, jak dia la ta metoda. Pryk lad 5. Wykażemy, że dla dowolnych licb dodatnich x, x,..., x k achodi nierówność k x + x + + x k k x x... x k, cyli dobre nana nierówność o średniej arytmetycnej i średniej geometrycnej. Zauważmy, że jeśli t > 0 i licby x, x,..., x k asta pimy licbami tx, tx,..., tx k to obie strony nierówności ostana pomnożone pre t. Można c pryja ć dodatkowo, że achodi równość x + x + + x k =, jeśli tak nie jest, to wystarcy dane licby x, x,..., x k pomnożyć pre licbe t = x +x + +x k. Dowód nierówności o średnich sprowada sie c do wykaania, że kres górny funkcji f, definiowanej a pomoca równości fx = x x... x k, na biore M = {x IR k : x, x,..., x k > 0, x + x + + x k = }, nie jest ksy niż. Zbiór M jest ogranicony, ale nie jest warty, bo nie jest domknie ty. Roważmy c funkcje f na biore M = {x IR k : x, x,..., x k 0, x + x + + x k = }. Na tym biore funkcja f osia ga swe kresy, ponieważ jest nieujemna c jej kres górny jest dodatni, c jest pryjmowany w pewnym punkcie p M M. W tym punkcie musi być spe lniony warunek Lagrange a, tn. musi istnieć licba λ taka, że grad fx = λ grad x + x + + x k dla x = p, cyli p p 3 p 4... p k = λ, p p 3 p 4... p k = λ,..., p p p 3... p k = λ. Ponieważ wspó lre dne punktu p maja być różne od 0, c musa być równe. Wobec tego najwie wartość na biore M funkcja f pryjmuje w punkcie p = k, k,..., k. Wobec tego x x... x k k k dla pewnych numerów i, j. = x +x + +x k k k dla x M pry cym nierówność jest ostra, jeśli x i x j Pryk lad 6. Wykażemy, że dla dowolnych licb dodatnich x, x,..., x k, y, y,..., y k achodi nierówność Höldera x y +x y + +x k y k x p +xp + +xp k /p y q +yq + +yq k /q, gdie p i q onacaja licby dodatnie takie, że p + q =. Podobnie jak w poprednim pryk ladie asta pienie 7
8 licb x, x,..., x k licbami tx, tx,..., tx k, t > 0, powoduje pomnożenie obu stron nierówności pre licbe t. Można c be straty ogólności roważań pryja ć, że x p + xp + xp k =. Wtedy prawa strona równa jest y q + yq + yq k /q. Wystarcy c wykaać, że kres górny strony lewej pry ustalonym y nie prekraca tej licby. Aby mieć do cynienia e biorem wartym definiujemy M = {x: x 0, x 0,..., x k 0, x p +xp + +xp k = }, fx = x y +x y + +x k y k. Mamy grad x p + xp + xp k = pxp, x p,..., x p k 0, atem możemy korystać twierdenia Lagrange a prynajmniej wtedy gdy x > 0, x > 0,..., x k > 0. Powinna c istnieć licba λ taka, że y = λpx p, y = λpx p,..., y k = λpx p k. Wobec tego dla każdego j musi być spe lniona równość: x p j = yj λp. Równości p + q = ora qp = p sa równoważne, atem xp j = yj q. λp Z tej równości i x p + xp + + xp k = wynika, że λp = y q + yq + + yq k /q. Jeśli wie c funkcja f osia ga swój kres górny na biore M w punkcie, którego wsystkie wspó lre dne sa dodatnie, to x p j = y q j y q +yq + +yq k sta d x y + x y + + x k y k =. Z tej równości wynika, że x j y j = y p+q j y q +yq + +yq k /p = y q j y q +yq + +yq k /p, a yq +yq + +yq k = y q y q +yq + +yq k /p + yq + + yq k /q. Wykaaliśmy atem, że naj ksa wartość funkcji f albo równa jest y q + yq + + yq k /q albo jest pryjmowana w punkcie x, w którym jedna lub cej wspó lre dnych równa jest 0. Jeśli np. x = 0, to analogicne roumowanie prowadi nas do wniosku, że albo naj ksa wartość funkcji x y + x 3 y x k y k jest pryjmowana w punkcie, w którym x > 0, x 3 > 0,..., x k > 0 i jest wtedy równa y q + yq yq k /q < y q + yq + + yq k /q albo jest pryjmowana w punkcie w którym cej niż jedna wspó lre dna równa jest 0. Prosta indukcja końcy dowód. Pryk lad 7. Wykażemy nierówność Hadamarda: deta i,j k k i= j= a i,j. Wyjaśnimy najpierw sens geometrycny tej nierówności. Wartość bewgle dna wynacnika maciery kwadratowej to obje tość k wymiarowa równoleg lościanu k wymiarowego, w nasej interpretacji należy myśleć o wiersach jak o wektorach wynaconych pre krawe die tego równoleg lościanu. Twierdenie mówi c, że obje tość równoleg lościanu nie prekraca obje tości prostopad lościanu o tych samych krawe diach. Jest to c twierdenie cyklu ocywistych, jednak podamy jego dowód nie korystaja c interpretacji geometrycnych, można powiedieć: bo jesce nie ajmujemy sie miarami w prestreniach euklidesowych. Posta pimy jak w poprednich pryk ladach. Zacnijmy od stwierdenia, że pomnożenie jednego wiersa pre licbe t powoduje pomnożenie obu stron nierówności pre licbe t. Możemy c a lożyć, że każdy wiers to wektor o d lugości, tn. dla każdego numeru i achodi równość 73
9 a i, + a i, + + a i,k =. W dalsym cia gu M onaca biór takich w laśnie maciery. Mamy pry tym a lożeniu wykaać, że wartość wynacnika jest licba predia lu [, ]. Niech g m ai,j = a m, + a m, + + a m,k i niech g = g, g,..., g k. Zbiór maciery kwadratowych wymiaru k utożsamiamy IR k w ten sposób, że pierwsy wiers maciery to pierwse k wspó lre dnych punktu, naste pny wiers to naste pne wspó lre dne punktu itd. ocywiście nie mieniamy kolejności w ramach wiersa. Jeśli ga =,,...,, to Dga jest epimorfimem w pierwsym wiersu maciery Dga pojawiaja sie licby różne od era na co najmniej jednym pierwsych k miejsc, na poosta lych sa era; w drugim wiersu era sa wse die wyja tkiem niektórych miejsc o numerach k +, k +,..., k i na co najmniej jednym tych miejsc pojawia sie licba różna od era; itd., c sa spe lnione a lożenia twierdenia Lagrange a. Zachodi wór a i,j deta i,j = i+j A i,j, gdie A i,j jest wynacnikiem maciery powsta lej maciery a i,j pre wykreślenie i tego wiersa i j tej kolumny tw. dope lnienie algebraicne elementu a i,j. Wobec tego gradient funkcji deta i,j równy jest i+j A i,j. Mamy też równość grad g m ai,j = δ m,i a i,j, gdie δm,i onaca symbol Kroneckera, tj. δ m,i =, gdy m = i ora δ m,i = 0, gdy m i. Z twierdenia Lagrange a wynika, że jeśli w jakimś punkcie A = a i,j wynacnik osia ga naj wartość spośród osia ganych w biore M, to musa istnieć licby λ, λ,..., λ k takie, że grad a i,j = m λ m grad g m ai,j cyli i+j A i,j = λ i a i,j dla wsystkich i, j. Sta d wynika, że dla każdego m achodi równość k k deta i,j = m+j a m,j A m,j = λ m a m,j = λ m. j= j= Wynika sta d, że λ = λ =... = λ k = det a i,j = deta. Z woru na macier odwrotna do A = a i,j i równości i+j A i,j = λ i a i,j = a i,j deta wynika, że jeśli deta 0, to A = A T. Wobec tego = detaa = detaa T = deta deta T = deta, atem det A =. Wystarcy tera auważyć, że biór M jest warty: jest ogranicony, bo jest awarty w kuli o środku w punkcie 0 IR k i promieniu k, jest domknie ty jako preciwobra punktu pry odworowaniu cia g lym g: IR k IR k. Istnieja maciere, których wynacnik jest równy, np. I ora maciere których wynacnik równy jest, np. macier preka tniowa, na preka tnej której sa same jedynki wyja tkiem jednego miejsca, na którym najduje sie. Nierówność osta la wykaana. Zauważmy jesce, że warunek A = A T onaca, że preksta lcenie liniowe definiowane a pomoca maciery A jest iometria tn. Ax = x dla każdego x IR k, jeśli deta =, to iometria achowuje orientacje IR k niektóry mówia : jest parysta, jeśli deta =, to iometria 74
10 mienia orientacje jest nieparysta. TERMINOLOGIA Jeśli f: G IR l jest funkcja różnickowalna e bioru G otwartego w prestreni IR k, to punkty x G, w których Dfx jest epimorfimem naywamy punktami regularnymi f; punkty x G, które nie sa regularne naywamy krytycnymi; jeśli y = fx i x jest punktem krytycnym f, to y naywamy wartościa krytycna f ; jeśli y IR l nie jest wartościa krytycna, to naywamy je wartościa regularna. Zauważmy, że wartość regularna może w ogóle nie być wartościa funkcji f. W preciwobraie wartości krytycnej moga naleźć sie punkty regularne, natomiast musi naleźć sie co najmniej jeden punkt krytycny. W prypadku bioru M definiowanego a pomoca uk ladu równań g j = 0, gdie funkcje g, g,..., g l sa klasy C i których gradienty w punktach bioru M sa liniowo nieależne M jest romaitościa, ale ogólniejsa definicja romaitości pojawi sie w drugim semestre i funkcji f: G IR klasy C mówimy, że p M jest punktem krytycnym f M, jeśli spe lniony jest warunek Lagrange a, tn. gdy istnieja licby λ, λ,..., λ l takie, że grad fp = λ grad g p + λ grad g p + + λ l grad g l p. 75
Zadania z AlgebryIIr
Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:
Bardziej szczegółowo(warunkowe), mnożniki Lagrange a
Ekstrema zwiazane (warunkowe, Ostatnio poprawiłem 6 grudnia 2014 r. Duża cześć zadań pochodzi od dr Marcina Kuczmy Poszukujac ekstremów lokalnych i globalnych funkcji pomijaliśmy do tej pory jeden bardzo
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowoMATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha
MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (w matematyce) termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) zadanej funkcji celu.
TEMATYKA: Optymaliacja nakładania wyników pomiarów Ćwicenia nr 6 DEFINICJE: Optymaliacja: metoda wynacania najlepsego (sukamy wartości ekstremalnej) rowiąania punktu widenia określonego kryterium (musimy
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium trzecie, 1 czerwca 2010, rozwia. a b. y = = ( 2) 13 5 ( 5) = 1, wie c macierz
Matematyka A, kolokwium treie, erwa 00, rowia ania. 0 pt. Wykaać, że dla dowolnyh lib a lkowityh a, b istnieja takie liby a lkowite, y, że 5 5 3 y = a b 5 Znaleźć wartośi i wektory w lasne maiery A = 5
Bardziej szczegółowoFunkcja może mieć lokalne ekstrema jedynie w punktach, w których jej gradient, czyli wektor f = grad f = [ f
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 005 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie jest bardzo trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka A, egzamin, 17 czerwca 2005 rozwia zania
Matematyka A, egzamin, 7 czerwca 00 rozwia zania Mam nadzieje, że nie ma tu b le dów poza jakimiś literówkami, od których uwolnić sie trudno. Zache cam do obejrzenia rozwia zań zadań z egzaminu dla matematyki
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych cia
cia g lość, różniczkowalność Podajemy tu kilka definicji i twierdzeń (z dowodami, które w wie kszości zostana pominie te na wyk ladzie, które pozwola mówić o cia g lości i różniczkowalności funkcji wielu
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowo2a )2 a b2. = 2 4a ====== x + b. nawias
Wielomiany kwadratowe Wielomian a + + c nazywamy kwadratowym lu wielomianem drugiego stopnia, jeśli a jest licza różna od 0. W dalszym cia gu zak ladamy, że a i a 0. Możemy napisać a + + c = a ( + a )
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowoTekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda
Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest
Bardziej szczegółowoZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoMetody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa
Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowocie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia
8. UK LADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. DIAGONALIZACJA MACIERZY. W porzednim paragrafie zdefiniowaliśmy poje cie uk ladu równań liniowych i podaliśmy sposoby rozwia zania go, w przypadku, gdy uk lad jest uk ladem
Bardziej szczegółowoUkłady równań - Przykłady
Układy równań - Prykłady Dany układ równań rowiąać trea sposobai: (a) korystając e worów Craera, (b) etodą aciery odwrotnej, (c) etodą eliinacji Gaussa, + y + = y = y = (a) Oblicy wynacnik deta aciery
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoGranice funkcji, definicja cia
Granice funkcji, definicja Jednym z najważniejszych poje ć w matematyce jest poje cie funkcji Przypomnimy definicje Definicja 61 funkcji, wartości, obrazu, dziedziny i przeciwdziedziny Przyporza dkowanie
Bardziej szczegółowoPochodne i wykresy funkcji
Pocodne i wykresy funkcji Definicja 1 (pocodnej) Za lóżmy, że funkcja f jest określona w dziedzinie zawieraja cej przedzia l otwarty o środku p oraz że istnieje granica f(p+) f(p) 0. Granice te nazywamy
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych cia
Funkcje wielu zmiennych g lość Do tej pory zajmowaliśmy sie funkcjami jednej zmiennej W wielu zagadnieniach wyste puja wielkości zależne od wielu czynników, co prowadzi do rozpatrywania funkcji cej niż
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Modelowanie matematyczne Metody modelowania
Modelowanie i oblicenia technicne Modelowanie matematycne Metody modelowania Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model może ostać tworony dla całego system lb dla poscególnych elementów
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji różniczkowalnych
Badanie funkcji za pomoca pochodnych: ekstrema i monotoniczność Twierdzenie 6. (o monotoniczności funkcji różniczkowalnych) Za lóżmy, że funkcja f jest cia g la w każdym punkcie przedzia lu P i że jest
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowoZadania z funkcji zespolonych. III semestr
Zadania funkcji espolonych III semestr Spis treści 1. Licby espolone - dia lania i w lasności Zad. 1-11 2. Pochodna funkcji miennej espolonej holomorficność Zad. 12-2 3. Funkcje elementarne Zad. 21-34
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowo1 + c. : c(1+c) b. b c 1+c. ab, b) a, b > 0 ( 1 a + 1 b
1 Kurs wste ι pny wersja podstawowa Materia ly dla prowadza ι cych przygotowa l Piotr Stachura Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) moga ι być pominie ι te/omówione pobieżnie/zostawione na koniec w zależności
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji różniczkowalnych
Badanie funkcji za pomoca pochodnych: Ostatnie poprawki 0:35, 7 stycznia 04 r ekstrema i monotoniczność Twierdzenie 6 o monotoniczności funkcji różniczkowalnych Za lóżmy, że f jest funkcja cia g la w każdym
Bardziej szczegółowoFunkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.
Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoZastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami
Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoTransformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoMacierze i wyznaczniki
Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i omówimy uk lady równań liniowych z wieloma niewiadomymi Zaczniemy od definicji Definicja 8 (macierzy a, a, a,n a, a, a,n Tablice prostoka tna A nazywać be dziemy macierza
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoUwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione
1 Kurs wste ι pny wersja zaawansowana Materia ly dla prowadza ι cych przygotowa l Piotr Stachura Uwagi ogólne: Zadania oznaczone ( ) w zasadzie powinny być oczywiste i jako takie winny być omówione pobieżnie
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoWykres 1: Liczba szkół do których zgłosili się kandydaci niepełnosprawni w roku 2010/2011
Wyniki monitorowania rekrutacji młodieży niepełnosprawnej i prewlekle chorej do publicnych skół ponadgimnajalnych dla młodieży w wojewódtwie podlaskim. Badaniem objęto 18 skół ponadgimnajalnych wojewódtwa
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowo