Zasady dynamiki Newtona. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Transkrypt

1 Zasady dynamiki Newtona Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2019

2 Zasady dynamiki Newtona Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Podstawowa teoria, która pozwala przewidywać ruch ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newtona. Sformułowanie pierwszej zasady dynamiki Newtona: ZASADA Zasada 1: Pierwsza zasada dynamiki Newtona Ciało, na które nie działa żadna siła (lub, gdy siła wypadkowa jest równa zeru) pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej. Siła wypadkowa wyp jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało. Jeżeli wyp = 0, to również przyspieszenie ciała a = 0, a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości, tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do wartości prędkością po linii prostej. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki nie ma rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i poruszającymi się ze stałą prędkością. Nie ma też różnicy pomiędzy sytuacją, gdy nie działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru. Sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona: ZASADA Zasada 2: Druga zasada dynamiki Newtona Tempo zmian pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało. Dla ciała o stałej masie sprowadza się to do iloczynu masy i przyspieszenia ciała. lub wyp wyp = dp dt = ma, m = const. (1) (2) Sformułowanie trzeciej zasady dynamiki Newtona: ZASADA Zasada 3: Trzecia zasada dynamiki Newtona Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie. 1 2 = 2 1 (3) Pierwsza zasada dynamiki wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej, bo, gdy a = 0, to i wyp = 0. Przypisujemy jej jednak wielką wagę dlatego, że zawiera ważne pojęcie fizyczne: definicję inercjalnego układu odniesienia.

3 DEINICJA Definicja 1: Inercjalny układ odniesienia Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła (lub, gdy siła wypadkowa jest równa zeru), to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym. Układy inercjalne są tak istotne, bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rządzą dokładnie te sama prawa. Większość omawianych zagadnień będziemy rozwiązywać właśnie w inercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje się, że są to układy, które spoczywają względem gwiazd stałych, ale układ odniesienia związany z Ziemią w większości zagadnień jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego. Ponieważ przyspieszenie ciała zależy od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora), w którym jest mierzone, więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc, prawa strona równania = ma zmieniałaby się w zależności od przyspieszenia obserwatora. Więcej o układach inercjalnych i nieinercjalnych dowiesz się w module Siły bezwładności. Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w równaniu drugiej zasady dynami Niutona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności sił. Zasada ta dotyczy również masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał tego układu. Siły oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi należącymi do danego układu nazywamy siłami wewnętrznymi. Na przykład w ciałach stałych są to siły oddziaływania sprężystego pomiędzy atomami, cząsteczkami. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, jeżeli punkt i układu działa na punkt j, to równocześnie punkt j działa na punkt i siłą równą co do wartości, ale przeciwnie skierowaną i j = j i. Na punkty materialne układ mogą ponadto działać siły zewnętrzne, to jest siły pochodzące spoza układu. Druga zasada dynamiki Newtona dla układu n punktów materialnych przyjmuje więc postać n i=1 m ia i = n i=1 i, (4) gdzie m i oznacza masę i-tego punktu, a i - jego przyspieszenie, i - wypadkową siłę działająca na ten punkt. W równaniu tym występuje suma wszystkich sił, to znaczy zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych. Jednak na podstawie pierwszego równania widzimy, że siły wewnętrzne znoszą się parami, więc ostatecznie wypadkowa wszystkich sił jest równa wypadkowej sił zewnętrznych. Prześledźmy teraz zastosowanie zasad dynamiki na następującym przykładzie.

4 PRZYKŁAD Przykład 1: Zastosowanie praw Newtona Rozważmy układ trzech ciał o masach 3m, 2m i m połączonych nieważkimi nitkami tak, jak na rysunku poniżej ( Rys. 1). Układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą po gładkim podłożu. Szukamy przyspieszenia układu i naprężeń nici łączących ciała. Rysunek 1: Układ trzech mas połączonych nitkami, ciągnięty siłą. Reakcja podłoża R równoważy nacisk poszczególnych ciał tak, że siły działające w kierunku y (w pionie) równoważą się. Natomiast w kierunku x układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą, a oddziaływania są przenoszone przez nitki. Ciało o masie 3m działa na ciało o masie 2m siłą N 1, a siła N 1 jest siłą reakcji na to działanie. Podobnie jest z siłami N 2 i N 2. Przyspieszenie układu i siły naciągu nitek N 1 i N 2 obliczamy stosując drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała indywidualnie 3ma = N 1 2ma = N 1 N 2. (5) ma = N 2 Sumując równania stronami i przekształcając otrzymujemy m+2m+3m 6m a = =. (6) Zwróćmy uwagę na addytywność mas. Taki sam wynik otrzymalibyśmy traktując ciała jak jedną masę. Doświadczenia potwierdzają zasadę addytywności masy: masa układu jest sumą mas poszczególnych ciał układu. Podstawiając wynik ( 6 ) do równań ( 5 ) obliczamy naciągi nitek N 1 2 =, = N 2 6 (7) Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać podobny problem.

5 ZADANIE Zadanie 1: Dwa klocki Treść zadania: Dwa klocki o jednakowych masach m 1 = m 2 = 1 kg są połączone nieważką nitką przerzuconą przez nieważki bloczek tak, jak na rysunku poniżej (Rys. 2). Oblicz przyspieszenie układu oraz naprężenie linki. Przyjmij, że klocek m 2 porusza się po stolebez tarcia. Wynik zapisz poniżej. Rysunek 2: Wskazówka: Zastosuj drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała osobno i rozwiąż otrzymany układ równań a = N = Rozwiązanie: Dane: m 1 = m 2, przyspieszenie grawitacyjne g.na rysunku zaznaczamy siły działające w układzie Rysunek 3: Stosujemy drugą zasadę dynamiki Newtona do każdego ciała osobno: m 1 a = mg N m 2 a = N rozwiązując ten układ równań i uwzględniając, że m 1 = m 2 = m otrzymujemy g mg a = N =. 2 2 (8) (9) Zwróćmy jeszcze raz uwagę na fakt, że w drugiej zasadzie dynamiki Newtona występuje siła wypadkowa. Oznacza to, że trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na ciało. Możesz się o tym przekonać rozwiązując podane poniżej zadanie.

6 ZADANIE Zadanie 2: Klocek na równi pochyłej Treść zadania: Oblicz przyspieszenie z jakim porusza się klocek o masie m zsuwający się bez tarcia po równi pochyłej o kącie nachylenia θ (Rys. 4). Rozwiązanie zapisz poniżej. Wskazówka: Oblicz siłę wypadkową i jej składowe: równoległą i prostopadłą do równi. Zastosuj drugą zasadę dynamiki Newtona dla każdej składowej. a = Rysunek 4: Rozwiązanie: Dane: m, θ, przyspieszenie grawitacyjne gna rysunku poniżej (Rys. 5) pokazane są siły działające na klocek: ciężar klocka Q = m g i siła reakcji r (na nacisk klocka) wywierana na klocek przez płaszczyznę równi. Rysunek 5: Żeby wyliczyć siłę wypadkową należy dodać wektorowo te dwie siły{openaghmathjax (type= Bardziej zaawansowany przykład zastosowania zasad dynamiki możesz poznać w module Ruch w polu grawitacyjnym z uwzględnieniem oporu powietrza. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :08:28 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=2fc5ed08dd2ae1cac221c831ef04cf35 Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński