EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Rozwiązanie zadania, prowadzącego do równania kwadratowego (IIIb) Rozwiązanie Niech a oznacza najmniejszą z czterech szukanych liczb całkowitych Wtedy kolejne liczby to: a, a, a Zapisujemy zatem równanie kwadratowe aa a a które po przekształceniu przyjmuje postać a 5a 0 Równanie to ma dwa rozwiązania: a, a Rozwiązanie sprzeczne z treścią zadania (nie jest to liczba całkowita) Zatem szukane liczby to:, 0,, odrzucamy jako Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że szukane liczby to: a, a, a, a, gdzie a jest liczbą całkowitą Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą: a a a a lub a 5a 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt albo Przekształcenie równania a a a a do postaci równania kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste), poprawne rozwiązanie równania kwadratowego a 5a 0, nieodrzucenie rozwiązania i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania:, 0,, Uwagi Jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje punkt

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności wielomianowej (IVcR) I sposób rozwiązania Rozwiązanie nierówności wielomianowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap to zastosowanie jednej z kilku metod, które pozwalają zapisać wielomian w postaci iloczynowej, drugi etap to rozwiązanie nierówności Pierwszy etap: zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej I wariant (grupowanie wyrazów) Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę nierówności w postaci iloczynowej: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x II wariant (odgadnięcie pierwiastka i dzielenie metodą pisemną) Zapisujemy nierówność w postaci x x x 0, a następnie przedstawiamy lewą stronę x x x x x x Zauważamy, że x jest nierówności w postaci iloczynowej: pierwiastkiem wielomianu x x i dzielimy wielomian x x przez dwumian x sposobem pisemnym lub za pomocą algorytmu Hornera, otrzymując x x Następnie x x x x 0 zapisujemy nierówność w postaci iloczynowej Drugi etap: rozwiązanie nierówności Zauważamy, że trójmian x x przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby x x x x 0 jest jednocześnie rzeczywistej x, zatem rozwiązanie nierówności rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x 0, czyli sumą przedziałów,0, ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie wielomianu x x x w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest x lub x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np xxx x 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zauważenie, że rozwiązanie nierówności x x x 0 jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej x x 0 albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności x x x: x,0, )

4 Egzamin maturalny z matematyki Jeśli zdający podzieli nierówność przez x lub x, bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów II sposób rozwiązania Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach: I,0 x 0,, III x, ) I x,0 x, II Wtedy x 0 i x 0, a x 0 Stąd x x x dla każdego x,0 II x 0, Wtedy x x i x x Stąd x x x dla każdego x 0, Zatem dana nierówność nie ma rozwiązań w tym przedziale III x, ) Wtedy x x i x x Stąd x x x dla każdego x, ) Odp Rozwiązaniem nierówności x x x jest zbiór x,0, ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje po punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IV6eR) Rozwiązanie Wykorzystując wzór na cosinus podwojonego kąta: cos x cos x, przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna argumentu x: cos x cosx 0 Porządkujemy i otrzymujemy równanie: cos x cos x 0 Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np t cos x, gdzie t, Otrzymujemy równanie kwadratowe t t 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe, otrzymując: t, t Rozwiązujemy równania cos x i cos x

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zapisujemy rozwiązania równań: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej argumentu x, np: cos x cosx 0 lub cos x cos x 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Rozwiązanie równania cos xcos x 0 z niewiadomą cos x : cos x lub cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie jednego z równań cos x lub cos x Rozwiązanie pełne pkt Rozwiązanie równania: x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą albo xn60, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x 60n60, gdzie n jest liczbą całkowitą lub x60n60, gdzie n jest liczbą całkowitą Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje punkty

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 6) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IVbR) I sposób rozwiązania Obliczamy Wówczas x m i następnie m m x, x m m m m m m m m8 m m m m m m i podobnie m m m m x Następnie x i podobnie m m m mm m m m m 8m m 6m m m m m x Teraz x x m m 6m m 6, czyli mamy równanie m m 6m m6 m 6m m, czyli m m 6 6, stąd : Zatem m 6 8 lub czyli m lub m Przypadek m jest niemożliwy; zatem Należy na zakończenie zauważyć, że jeśli oba pierwiastki x i x są rzeczywiste m 8m m 6m m m m m m 6 8, m, czyli m, to m m m 6m6 m m 8m 8m8 m m m m m 6 6 m lub m m 0, a więc Zdający może rozpocząć od rozważenia nierówności 0, czyli m 0 Otrzymuje m lub m Potem może sprawdzać, czy otrzymane rozwiązania są zgodne z tymi nierównościami

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt m, czyli dla Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m do postaci równania ze zmienną m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wyznaczenie x i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie x i x Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Wyznaczenie x i x i zapisanie równości x x m m 6m m 6 Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów II sposób rozwiązania: m m m m Tak jak w sposobie I obliczamy x, x Następnie przyjmujemy oznaczenie t m Wówczas mt mt mt mt x x 6 Korzystamy ze wzorów: ab a a b6a b ab b a b a a b 6a b ab b Stąd ab ab a a b b

8 8 Egzamin maturalny z matematyki Zatem m m t t m 6m t t x x 6 8 Ponieważ t m, więc t m i t m m Mamy zatem m 8m m m6 6m mm m m x x 8 8m m 8m 56m8 m m 6m m6 8 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 0, czyli dla m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Wyznaczenie x i x Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt Przyjęcie oznaczenia, np t m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Wyznaczenie x oraz x i zapisanie równości mt mt mt mt x x m m 6m m 6 6 Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 III sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a: x x m, x x m Mamy teraz: m m m m m m m x x x x x x x x x x x x 6 6 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy m 0, czyli dla m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m do postaci równania z niewiadomą m i rozwiązanie tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równości: x x x x xx Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt x x x x x x x x x x x x Zapisanie równości: Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np x x x x x x x x xx xx m m 6m m 6 Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

10 0 Egzamin maturalny z matematyki IV sposób rozwiązania: Korzystamy ze wzorów Viète a oraz ze wzoru na a b x x x xx 6xx xx x x x xx x x 6xx 6 x x xx x x xx xx czyli 6 x x x x xx x x xx xx m m m m 6 m m m 6m m6 Dalej postępujemy tak, jak w I sposobie rozwiązania Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części: a) Pierwsza część polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie m Zatem 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 m,, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt m, czyli dla Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność 0, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga część polega na doprowadzeniu równania x x m 6m m np do postaci m m 6 6 i rozwiązaniu tego równania Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty W ramach tej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Skorzystanie z wzoru a b a a b 6a b ab b Rozwiązanie części b), w którym jest istotny postęp pkt x x x x x x x x x x 6 x x Zapisanie równości: Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Zapisanie wyrażenia x x w postaci sumy jednomianów zmiennej m, np x x xx xx xx xx 6 xx m m 6m m 6 Rozwiązanie pełne części b) pkt Rozwiązanie równania m m 8 0 : m lub m Rozwiązanie pełne 6 pkt Poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku 0 Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności 0 z etapu a) i równania m m 6 6 z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje 5 punktów

11 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5 (0 6) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego (IV5c) I sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c kolejne liczby tworzące, w podanej kolejności, ciąg geometryczny Przez a oraz q oznaczamy odpowiednio pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu geometrycznego Wówczas b aq oraz c aq Z treści zadania wiemy, że ciąg o wyrazach a, b 8, c jest arytmetyczny, co oznacza, że jest spełniona równość 8 aq 8a aq Ponadto, ciąg o wyrazach a, b 8, c 6 b 8 a c 6 aq 8 a aq 6, a stąd b a c, czyli jest geometryczny, więc Zapisujemy układ równań: aq 8 a aq aq 8 a aq 6 6 Z pierwszego równania wyznaczamy a q q (przy założeniu, że q ) i podstawiamy do drugiego równania Otrzymujemy równanie: 6 6 q 0 qq qq Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego: 6q qq 6 0, q q q 6 0, q q5 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: q 5, q Jeżeli q 5, to a, b oraz c Jeżeli zaś q, to a, b oraz c 6 Zauważmy na zakończenie, że założenie q nie zmniejsza ogólności rozważań, bo gdyby q, to otrzymalibyśmy (początkowy) ciąg geometryczny stały, zaś ciąg a, a 8, a nie byłby arytmetyczny dla żadnej wartości a, wbrew treści zadania Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania:,, 6 oraz 0 00,, Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że: liczby a, aq, aq są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz liczby a, aq 8, aq, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a, aq8, aq 6, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny

12 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań, np aaq aq8 aq 8 a aq 6 Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą np: q q5 0 lub 9a 0a 60 Jeżeli zdający w trakcie przekształcania układu równań popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np q q5 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści 0 00 zadania:,, 6 oraz,, II sposób rozwiązania Oznaczmy przez a, b, c trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego Wówczas b a c Ponieważ ciąg a, b 8, c jest arytmetyczny, więc b 8 a c Ponadto, ciąg c jest geometryczny, zatem b 8 a c 6 a, b 8, 6 Zapisujemy zatem układ równań: b ac b8ac b8 ac6 a następnie przekształcamy go w sposób równoważny: cba6 b ab6aa b8 ab6aa 6a

13 Egzamin maturalny z matematyki Odejmujemy stronami drugie i trzecie równanie i otrzymujemy b8 b 6a b b Stąd a Podstawiamy a do drugiego równania i otrzymujemy b b b b6 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 6b 7b 88b 0, czyli 9b 88b0 0 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby: b, b Jeżeli b, to a oraz c Jeżeli zaś b, to a oraz c 6 Odpowiedź: Istnieją dwa ciągi geometryczne spełniające warunki zadania:,, 6 oraz 0 00,, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania zadania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz, że liczby a, b 8, c, w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, zaś liczby a, b8, c 6, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b ac b8ac b8 ac6 Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 9a 0a 60 lub 9b 88b0 0 lub 9c c Jeżeli w trakcie przekształcania układu równań zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe rozwiązanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np 9b 88b0 0 i konsekwentne do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne

14 Egzamin maturalny z matematyki lub przekształci układ równań z błędem (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 6 pkt Zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści 0 00 zadania:,, 6 oraz,, Zadanie 6 (0 6) Modelowanie matematyczne Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (III8e; k) Rozwiązanie Wyznaczamy odległość punktów P i Q: PQ m m m m Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej wartość PQ : 50 5 f m m m m 0m500 dla m, 7 Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f: mw 0 : 5: Ponieważ 0,7, więc w tym przedziale funkcja f jest monotoniczna Zatem największa i najmniejsza wartość funkcji f dla m, 7 są przyjmowane dla argumentów, będących końcami tego przedziału 5 5 f , 5 oraz f , 5 Zatem najmniejsza i największa wartość PQ to odpowiednio 5,5 oraz 65,5 Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt 50 Wyznaczenie odległości między punktami P i Q: PQ m m lub 50 PQ m m

15 Egzamin maturalny z matematyki 5 Jeżeli zdający zapisze, np 0 punktów 50 PQ m m, to otrzymuje za całe zadanie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 5 Zapisanie wzoru funkcji f w postaci, np: f m m 5m 65 lub 5 f m m 0m 500 Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału, 7 : mw 0 i 0,7 i z rozwiązania wynika, że f 0 nie jest żadną z poszukiwanych wartości albo obliczenie f i f 7, zapisanie bez uzasadnienia, że f jest wartością największą, f 7 jest wartością najmniejszą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt Podanie najmniejszej i największej wartość PQ odpowiednio 5,5 oraz 65,5 z uzasadnieniem, np powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że pierwsza współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału Jeśli zdający obliczy f 0 500, f 65,5 i f 7 5,5 i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji f jest 500, a największą 65,5, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Zadanie 7 (0 ) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vb) Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny a b a bab 0, a a b b ab 0, a a b b b a 0,

16 6 Egzamin maturalny z matematyki a ba b 0, a b a b 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż z założenia a b 0 wszystkich liczb rzeczywistych a i b, co kończy dowód oraz a b 0 dla Schemat oceniania rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a b 0 lub Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej ab ab 0, lub a ba ba b 0 Rozwiązanie pełne pkt Przeprowadzenie pełnego dowodu Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez a b, nie zakładając, że ab 0, to otrzymuje 0 punktów W przypadku gdy zdający podzieli nierówność przez a b 0 i nie rozpatrzy przypadku ab 0, to przyznajemy punkty Zadanie 8 (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV0R) Rozwiązanie Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze Mamy więc trzy, parami wykluczające się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy : Wśród cyfr tej liczby są, i sześć ( ) Takich liczb jest: wybieramy miejsce dla na 8 sposobów i z pozostałych dla na 7 sposobów Wśród cyfr tej liczby są, 6 i sześć ( 6 ) Takich liczb jest: wybieramy miejsce dla na 8 sposobów i z pozostałych dla 6 na 7 sposobów Wśród cyfr tej liczby są dwie, jedna i pięć ( ) Takich 7 liczb jest: 8 68 wybieramy jedno miejsce z ośmiu dla a następnie dwa miejsca z pozostałych siedmiu dla Zatem liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy jest Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy (bez obliczania liczby tych możliwości): 6

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie wszystkich trzech, parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy (bez obliczania liczby tych możliwości): 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy, w co najmniej dwóch z trzech możliwości Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy : Zadanie 9 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem własności figur podobnych (IV7cR) I sposób rozwiązania D C b α h E c A a α B Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab b h oraz DE a b a b ab b ab Pole trójkąta AED jest równe P ADE h DE a b a b a b II sposób rozwiązania Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt ten jest podobny do trójkąta DEA (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku D), AE BA DE DA h a DE b więc oraz, czyli oraz Stąd AD BD DA DB b a b b a b ab h oraz DE a b b a b

18 8 Egzamin maturalny z matematyki DE b Wyznaczamy sinus kąta EAD w trójkącie AED: sin EAD = b a b Pole trójkąta AED jest równe: ab b ab PAED bhsin EAD b a b a b a b Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zauważenie, że trójkąty AED (lub AEB) i BAD są podobne i zapisanie odpowiedniej AE AB DE AD proporcji np: lub AD BD AD BD albo zapisanie pola trójkąta AED: P AE DE AE AD sin EAD lub P Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinka DE: DE b ab lub AE: AE a b a b lub sin EAD b a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie długości obu odcinków DE: DE b ab i AE: AE a b a b lub obliczenie długości odcinka AE: AE ab b i sin EAD a b a b Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b III sposób rozwiązania D C b h E c A a B

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DAB otrzymujemy c a b Trójkąt AED jest podobny do trójkąta BAD, a ten jest podobny do trójkąta BEA, więc trójkąt BEA jest podobny do trójkąta AED Skala tego podobieństwa jest równa b a Stosunek pól tych trójkątów jest równy Ponieważ Stąd P PBEA a a Stąd PBEA PAED P b b AED AED P ABD ab P BEA P ab ab a a b b AED a, więc ab P AED PAED b Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zauważenie, że trójkąty AED i BEA są podobne i zapisanie stosunku ich pól w zależności od BEA P a skali ich podobieństwa: PAED b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Wyznaczenie pola trójkąta ABD i zapisanie go jako sumy pól trójkątów BEA i AED Rozwiązanie możemy zakwalifikować do tej kategorii tylko pod warunkiem, że skala podobieństwa trójkątów BEA i AED została zapisana w zależności od a i b Rozwiązanie zadania prawie do końca pkt a Zapisanie równania z niewiadomą P AED : ab P AED PAED b Rozwiązanie pełne 5 pkt ab Obliczenie pola trójkąta AED: PAED a b

20 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 0 (0 5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV9b) S h A D B Rozwiązanie Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAS, obliczamy długość boku AB: AB Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CAS, obliczamy długość boku AC: AC Stąd wynika, że BC 6, ponieważ nie istnieje trójkąt o długościach boków,, 6 (nierówność trójkąta) Trójkąt ABC jest równoramienny, wówczas wysokość h opuszczona na bok AB jest równa: h 6 60 Obliczamy pole P trójkąta ABC: P Obliczamy objętość V ostrosłupa ABCS: V P AS Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie długości boku AB: AB albo obliczenie długości boku AC: AC 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości boku AB: AB i długości boku AC: AC 6 oraz zauważenie, że długość boku BC jest równa 6 Jeśli zdający obliczy AB oraz AC i nie zapisze (zauważy), że BC 6, to przyznajemy punkty C

21 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P 660 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie objętości ostrosłupa: V Jeśli zdający nie zauważy, że trójkąt o bokach,, 6 nie istnieje i obliczy dwie możliwe objętości ostrosłupów, to otrzymuje punkty Zadanie (0 ) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V0cd) I sposób rozwiązania Zdarzenia A B oraz A B są rozłączne P AB AB wynika, że Stąd i z faktu, że P ABAB P AB P A B, czyli P A B 0, Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zauważy, że zdarzenia A B oraz A B są rozłączne Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt P AB AB P AB P A B Zdający zapisze, że Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełny dowód Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są rozłączne, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Wiemy, że A B B, stąd P AB PB, czyli P A B PB Zatem PB 0, Wiemy, że A B B, stąd mamy P A B PB, czyli P A B 0, dowód, co kończy

22 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że AB B Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z dalszych rozważań Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie, że A B B oraz, że PB 0, Zdający nie musi tego wyraźnie napisać, o ile wynika to z pozostałych zapisów Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie wniosku: PA B 0,

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki Zasady te są omawiane

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania Odpowiedź C

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II Ti ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II Ti ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY . ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA stosuje ogólny zapis liczb naturalnych parzystych, nieparzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstawienia liczby naturalnej w postaci a k

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz I Czas pracy 10 minut ARKUSZ I GRUDZIEŃ ROK 004 Instrukcja dla zdającego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA We współpracy Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Marzec 014 Zadanie 1 Wyróżnienie na osi

Bardziej szczegółowo

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,

Bardziej szczegółowo