LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW. Ćwiczenie 1

Transkrypt

1 POLIECHNIKA WARSZAWSKA INSYU RADIOELEKRONIKI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI LABORAORIUM SYGNAŁÓW I SYSEMÓW Ćwiczenie ema: MODELE CZĘSOLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW Opracowała: mgr inż. Kajeana Snope Warszawa

2 Cel ćwiczenia ilusracja związów między opisem w dziedzinie czasu i częsoliwości dla wybranych sygnałów ciągłych oresowych i impulsowych syneza sygnału oresowego ilusracja wpływu uładu liniowego na widmo sygnału badanie widma sygnału zmodulowanego AM. Wprowadzenie eoreyczne.. Szereg rygonomeryczny Fouriera Rozważmy sygnał rzeczywisy oresowy x(), R o oresie. Rozwinięcie ego sygnału względem funcji harmonicznych sin(ω ), cos(ω ), =,,,... ma posać rygonomerycznego szeregu Fouriera posaci: x() = a [ a cos( ) + b sin(ω ] + ) = ω () gdzie a = x() d a = x()cos( ) d ω b = x()sin( ) d ω () oraz π ω =, f = jes częsoliwością podsawową sygnału. Ampliudą -ej harmonicznej nazywamyd = a + b, naomias fazą -ej harmonicznej nazywamy b ψ =arcg. Widmem ampliudowym nazywamy { d, d =,,,...}, naomias widmem fazowym {ψ, =,,,...}. Jeżeli sygnał jes funcją parzysą, o współczynnii b =, naomias w przypadu sygnału nieparzysego a =.. Szereg wyładniczy Fouriera Podsawiając do szeregu () znane wzory Eulera jα cos( α) = e + e jα sin( α) = e e j orzymujemy szereg posaci x() = c + c = jα ( ) jα ( ) e jω jω + c e = gdzie c = (a jb ) oraz c = (a + jb ) Między współczynniami zachodzi oczywisa zależność c = c. W ym przypadu -ą sładową harmoniczną nazywamy funcję jπf c e jπf + c e = c cos(πf + ϕ ) (4) (3)

3 Ampliudą -ej sładowej harmonicznej nazywamy moduł c, naomias fazą -ej sładowej harmonicznej arg(c )=ϕ. Szereg () daje się zapisać w sróconej posaci gdzie jπf c = x()e x() = c = e jπf d, zwanej wyładniczym szeregiem Fouriera. W ym przypadu widmem ampliudowym oreślamy ciąg { c, =,!,!,...}, widmem fazowym ciąg {ϕ : ϕ =arg(c ), =,!,!,...}, naomias widmem mocy { c, =,,,...}. Zauważmy, że w widmie zespolonym wysępują częsoliwości ujemne, órych nie posiada widmo wyznaczone za pomocą rygonomerycznego szeregu Fouriera. Współczynnii c szeregu (4) oraz współczynnii a i b szeregu () powiązane są relacjami c = a + b = d oraz c = a (6) Przyłady. sygnał prosoąny o ampliudzie = i współczynniu wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera posaci = + π x( ) d sin( πd) cos (7) = πd sygnał rójąny o ampliudzie = i współczynniu wypełnienia d ma rozwinięcie w szereg Fouriera posaci π x( ) = sin( πd) sin (8) = π d( d ) Współczynni wypełnienia d jes zdefiniowany jao iloraz d = (9) gdzie paramery oraz poazane są na poniższym rysunu (5) A -A

4 .3 Przeszałcenie Fouriera Przeszałcenie Fouriera (ransformacja Fouriera) znajduje zasosowanie w analizie widmowej sygnałów nieoresowych (np. impulsowych). Jes ono zdefiniowane w sposób nasępujący gdzie S( ω) = a( ω) jb( ω) = S( ω) e.4 Syneza sygnału a( ω) = b( ω) = jω S( ω ) = x()e d () S( ω ω )e j x() = d ω π () jϕ ( ω) x() cos( ω)d x() sin( ω)d b( ω) ϕ( ω) = arcg a( ω) S( ω) = a ( ω) + b Zadanie synezy polegające na reonsrucji sygnału na podsawie jego widma można efeywnie rozwiązać przy dosaecznie dużej liczbie sładowych harmonicznych m (eoreycznie przy m=). Do oceny doładności przybliżenia szału danego przebiegu przez szereg Fouriera mogą służyć zależności energeyczne. Jao miarę przybliżenia przyjmijmy odchylenie średniowadraowe o posaci { x() x ()} d ( ω) () σ m = m (3) gdzie x() jes szeregiem Fouriera oreślonym wzorem (), naomias x m () szeregiem zawierającym ylo m harmonicznych. Można poazać, że błąd średniowadraowy jes równy sumie mocy pominięych sładowych harmonicznych, zn. c = m+.5 Współczynni zawarości harmonicznych d = m+ σ m = = (4) Współczynniiem zawarości harmonicznych nazywamy wielość.6 Modulacja AM z falą nośną c h = (5) = = Przy modulacji ampliudy z falą nośną funcja modulująca ma posać c

5 ( + mx ()) γ ( ) = A m (6) gdzie m jes sałą oreślającą głęboość modulacji. Przebieg zmodulowany ma zaem posać analiyczną x AM gdzie F nazywamy częsoliwością nośną. ( πf + ϕ ) = A( + mx ()) cos( πf ϕ ) () = γ () cos + (7) m Przyład. Sygnał modulujący ma posać ( πf ) x m () = Am cos sygnał zmodulowany można zapisać w posaci AM () = A cos m m π Korzysając z wzorów Eulera orzymujemy posać x ( π F ) + maa cos[ π ( F + f ) ] + maa cos[ ( F f ) ] x AM () = jπf j F j (F f ) j (F f ) ( π π Ae Ae ) maa e + π maa e Widać, że widmo sygnału AM zawiera rzy prążi: prąże fali nośnej na częsoliwości F o oraz dwa prążi boczne na częsoliwościach F -f o oraz F +f o..7 Wpływ uładu liniowego na widmo sygnału Rozważmy liniowy uład ransmisyjny o ransmiancji H(s), zdefiniowanej jao sosune ransformay Laplace a sygnału wyjściowego do ransformay Laplace a sygnału wejściowego przy zerowych warunach począowych w chwili = y~ (s) H (s) = (8) x~ (s) Jeżeli w uładzie ransmisyjnym panuje san usalony przy pobudzeniu sinusoidalnym o częsoliwości f, o zależność między ampliudami zespolonymi sygnału wejściowego X oraz sygnału wyjściowego Y dana jes wzorem Y H( j π f ) = X (9) Charaerysyą ampliudową uładu ransmisyjnego nazywamy funcję A(πf)= H( jπ f ), naomias charaerysyą fazową funcję ϕ ( πf ) = arg( H( jπf ). Jeżeli przez uład o ransmiancji H(s) przechodzi sygnał oresowy x() o częsoliwości podsawowej f oraz widmie {X, =,!,!,...}, o widmo ampliudowe sygnału wyjściowego daje się wyrazić wzorem Y = H( jπ f ) X () Widmo fazowe sygnału wyjściowego można wyznaczyć z zależności arg( Y ) = arg( H( jπ f )) + arg(x ) () Przyład. m 4 m

6 Niech liniowym uładem ransmisyjnym będzie filr RC o ransmiancji H(s) = () + src czyli H( jπf ) = + jπfrc (3) Charaerysya ampliudowa filru RC wyraża się wzorem H( jπf ) = (4) + ( πfrc) naomias charaerysya fazowa dana jes wzorem. Zadania do wyonania ( frc) ϕ( πf ) = ar cg π (5). Wyznaczyć na podsawie wzorów (7) i (8) oraz naszicować widma ampliudowe, fazowe i widmo mocy nasępujących sygnałów oresowych o częsoliwości f =Hz, A= V (pierwszych prążów): a) przebiegu prosoąnego o współczynniach wypełnienia d=/, /3 b) przebiegu rójąnego o współczynniach wypełnienia d=,/ Obliczyć dla powyższych sygnałów współczynnii zawarości harmonicznych oraz moc sygnału (z definicji czasowej).. Wyznaczyć i narysować ransformaę Fouriera a) impulsu prosoąnego o czasie rwania w b) impulsu rójąnego o czasie rwania w.3 Wyznaczyć i naszicować widma ampliudowe i fazowe nasępujących sygnałów: a) sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym o częsoliwości f = Hz i ampliudzie A= V; przyjąć F = Hz, m=.5 b) sygnału AM zmodulowanego przebiegiem prosoąnym o ampliudzie A= V, współczynniu wypełnienia d=/ i częsoliwości f = Hz; przyjąć F = Hz, m=.5 W przypadach a) i b) obliczyć sosune mocy zawarej w prążach bocznych do całowiej mocy sygnału..4 Wyznaczyć widma ampliudowe i fazowe sygnału po przejściu przez filr RC o paramerach R= Ω, C= nf i ransmiancji H( s) =, na órego wejście + src podano: sygnał sinusoidalny o ampliudzie A= V i częsoliwości f = Hz przebieg prosoąny o ampliudzie A= V, wypełnieniu d=/ oraz częsoliwości Hz Naszicować charaerysyę ampliudową i fazową filru o wymienionych paramerach..5 Wyznaczyć błąd średniowadraowy aprosymacji fali prosoąnej o ampliudzie A=V i oresie =. w funcji liczby harmonicznych szeregu Fouriera (m=,,...).

7 3. Zadania do wyonania w laboraorium Porzebne przyrządy: generaor sygnałowy G3 MHz oscylosop OX83 35MHz ompuer z oprogramowaniem (programy analiza.p, four.m, synez.m) 3. Badanie widma sygnałów oresowych Połączyć wyjście generaora sygnałowego MAIN OU przy pomocy rójnia z oscylosopem (anał CH lub CH) i ompuerem. Na generaorze usawić szał sygnału o zadanej ampliudzie i częsoliwości (parz pun.). Obserwować na oscylosopie generowany sygnał dobierając właściwy współczynni wypełnienia. Przebiegi niesymeryczne (d /) orzymujemy wcisając na generaorze przycis SYM. Po uzysaniu właściwego sygnału uruchomić program analiza (pulpi). Na eranie moniora pojawia się ono z dwoma przycisami POMIAR i ANALIZA. Po naciśnięciu przycisu ANALIZA na wyresie górnym rysowany jes generowany przebieg, naomias na wyresie dolnym jego widmo. Isnieje możliwość powięszania wyresów, zmiany ich sali id. przeanalizować widma ampliudowe sygnałów wymienionych w puncie.. dla ażdego z sygnałów należy odczyać warości pierwszych prążów widma, nanieść je na wyres sporządzony w domu lub umieścić w abelce oraz porównać je z warościami obliczonymi eoreycznie. na podsawie odczyanych warości obliczyć współczynnii zawarości harmonicznych dla ażdego z sygnałów na podsawie odczyanych warości wyznaczyć widmo mocy badanych sygnałów obliczyć moc zawarą w pierwszych prążach widma dla ażdego z sygnałów somenować rozbieżności między wyniami eoreycznymi a obliczonymi 3. Badanie widma sygnałów impulsowych Widmo sygnałów impulsowych prosoąnych i rójąnych obserwowane jes przy pomocy programu four.m. Korzysamy z opcji impuls, óra umożliwia analizę ransformay Fouriera sygnałów wymienionych w puncie 3.. Zaobserwować i opisać zachowanie się widma impulsu prosoąnego oraz impulsu rójąnego w funcji czasu rwania impulsu Czym różni się widmo impulsu prosoąnego od widma impulsu rójąnego? 3.3 Badanie widma sygnału AM zmodulowanego napięciem oresowym Opcja mod.sygnałem umożliwia obserwację sygnału AM zmodulowanego sygnałem sinusoidalnym oraz przebiegiem prosoąnym o zadanych paramerach. Zaobserwować i opisać sposób, w jai zmienia się sygnał zmodulowany oraz jego widmo, gdy zmieniamy ampliudę i częsoliwość sygnału modulującego. Na podsawie obserwacji obliczyć moc zawarą w prążach bocznych w sosunu do całowiej mocy sygnału AM.

8 3.4 Badanie widma sygnału oresowego po przejściu przez filr RC Opcja pobudzenie w programie four.m umożliwia analizę charaerysy ampliudowej i fazowej filru RC oraz obejrzenie widma ampliudowego i fazowego sygnału po przejściu przez filr o zadanych paramerach. Zaobserwować widmo sygnału sinusoidalnego oraz fali prosoąnej po przejściu przez filr RC W jai sposób filr RC wpływa na widmo ampliudowe i fazowe sygnału? 3.4 Syneza sygnału Uruchomić program synez.m (Malab), óry umożliwia wprowadzenie warości ampliud i faz dziesięciu pierwszych wyrazów szeregu rygonomerycznego Fouriera i obserwację powsającego sygnału. Korzysając z wyznaczonego w domu widma ampliudowego i fazowego i wprowadzając sopniowo olejne harmoniczne doonać synezy sygnałów opisanych w puncie.. Somenować rozbieżności między sygnałem aprosymowanym i aprosymującym. Zaobserwować i opisać efe Gibbsa widoczny przy synezie przebiegu prosoąnego. W órym przypadu aprosymacja przy użyciu harmonicznych jes najlepsza? 4. Opis programu four.m Program four.m służy do obserwacji widma ampliudowego, fazowego i mocy: wybranych przebiegów periodycznych wybranych sygnałów impulsowych sygnałów zmodulowanych AM sygnałów oresowych po przejściu przez uład liniowy (filr RC) Uruchamiany jes on w programie MALAB omendą four, po órej wywołaniu na eranie pojawiają się rzy ona. Prawe ono służy do obserwacji widma wybranego sygnału. Lewe górne ono służy do wprowadzania danych, naomias w lewym dolnym onie pojawia się analizowany sygnał.. Opis opcji lewego ona: przebieg generowanie wybranego przebiegu oresowego o współczynniu wypełnienia d. Paramery sygnału wprowadzane są z lawiaury po zaznaczeniu wybranego pola myszą. ZAKRES ZMIENNOŚCI SYGNAŁU oreśla przedział, w órym obserwujemy sygnał. Na wejściu dane przyjmują warości: A= V, f= Hz, w lewym dolnym onie pojawia się wyres sygnału sinusoidalnego, naomias w prawym onie jego widmo ampliudowe. impuls generowanie impulsu o zadanym czasie rwania w i ampliudzie A= V. mod.sygnałem modulacja sygnału sinusoidalnego o ampliudzie równej i częsoliwości F innym sygnałem (sinusoidalnym bądź falą prosoąną) o ampliudzie A m i częsoliwości f. Po zaznaczeniu ej opcji myszą w lewym części eranu pojawia się ono służące do wprowadzania paramerów sygnałów modulowanego i modulującego (zmiana ampliudy sygnału modulującego pociąga za sobą zmianę współczynnia ma m ). Przycis KONIEC umożliwia powró do menu wyjściowego.

9 Pobudzenie obserwacja charaerysy ampliudowej i fazowej filru RC o zadanych paramerach oraz widma ampliudowego i fazowego sygnału na wyjściu filru. Sygnałem wejściowym jes bądź sygnał sinusoidalny, bądź fala prosoąna o ampliudzie A i częsoliwości f. Po wywołaniu ej opcji pojawia się ono służące do wprowadzania paramerów filru (R, C, zares częsoliwości pracy filru f min...f max ) oraz paramerów sygnału wejściowego. Klawisz KONIEC umożliwia wyjście z ego menu i powró do menu wyjściowego. We wszysich oienach lawisz ODCZY umożliwia odczyanie współrzędnych punów wyresu widma, óre po zaznaczeniu punu myszą na wyresie pojawiają się w lewym dolnym rogu prawego ona. + Klawisze umieszczone przy osiach współrzędnych umożliwiają zmianę sali odpowiedniej osi. Klawisze WIDMO AMPLIUDY, WIDMO FAZOWE i WIDMO MOCY umożliwiają narysowanie wyresów widma ampliudowego, fazowego oraz widma mocy zadanego sygnału. Klawisz OK służy do zaacepowania zmian wprowadzanych danych. Klawisz KONIEC powoduje całowie wyjście z programu z równoczesnym zamnięciem wszysich owarych oiene. 5. Opis programu synez.m Program synez.m jes uruchamiany w MALAB omendą synez, po órej wywołaniu pojawiają się dwa ona. Lewe ono umożliwia wprowadzanie ampliud i faz aprosymowanego sygnału. Wywołanie opcji przebieg w pasu głównym umożliwia synezę wybranego sygnału prosoąnego lub rójąnego o zadanym współczynniu wypełnienia d. Po wprowadzeniu danych i zaacepowaniu ich przycisiem OK w prawym onie można zaobserwować widmo ampliudowe sygnału aprosymowanego oraz wyni aprosymacji. Klawisz KONIEC zapewnia wyjście z programu i zamnięcie wszysich owarych oiene. LIERAURA A. Papoulis, Obwody i ułady, WKiŁ, Warszawa 988 J. Szabain, Podsawy eorii sygnałów, WiŁ, Warszawa 99 Sygnały i sysemy, Ćwiczenia laboraoryjne, praca zbiorowa pod redacją Jaca Wojciechowsiego, Warszawa 998