Przepływ płynów i gazów

Transkrypt

1 Pełw łnów i gaów

2 Ois ełwu ciec Idealiacja ciec ecwisej nieściśliwa nie osiada lekości Ga gd ełwają owoli można nie bać od uwagę ich ściśliwości i akować je jak nieściśliwe ciece. Eule: najomość ędkości ełwu w każdm unkcie ciec o wsółędnch f f f Lagange: najomość losów okeślonej cąski ciec d d d d d d ównanie ou 3 d d f d d d f d d d f d Linia ądu: kwa w każdm unkcie scna do ędkości ciec ełwającej e en unk. Pełw sacjonan układ linii ądu nie ależ do casu a wiec chaakeuje ównoceśnie o ebiegane e oscególne cąski... 3

3 Wiąka legającch do siebie linii ądu wo ukę ądu S S W ełwie sacjonanm masa ciec awaa w ewnej objęości jes sała n. e każd ekój oecn uki ądu w jednosce casu ełwa aka sama masa ciec: m S cons Dla nieściśliwej ciec idealnej: S cons gdie S owiechnia ekoju oecnego uki w dowolnm miejscu -śednia sbkość ełwu ciec dla ego ekoju - gęsość ciec Sbkość sacjonanego ełwu jes więksa am gdie uki skuiają się aś mniejsa gd się oseają

4 Jeśli odielić cał ełw ciec na uki o jednakowej n. jednoskowej waości S. Sbkość ełwu objęość na jednoskę casu oocjonalna do licb uek ecinającch jednoskę owiechni ekoju osoadłego do ełwu. Elemenan osoadłościan o kawędiach W kieunku osi e lną ściankę osoadłościanu ełwa w casie objęość: Pe ściankę ednią osoadłościanu włwa w casie objęość: V V

5 Wadkow włw wdłuż : V Analogicnie wdłuż kieunków i dosaniem: V V Dla ciec nieściśliwej objęość ciec włwającej do osoadłościanu musi bć ówna objęości ciec włwającej niego aem: 0 V V V 0 0 Analogicnie dla ciec ściśliwej błob: Hdodnamicne ównanie ciągłości

6 Psiesenie elemenu ciec Równanie Newona dla elemenu o jednoskowej objęości można aisać w osaci: f a a siesenie elemenu ciec f - siła na jednoskę objęości - gęsość Jakie sił mogą diałać na elemen ciec? ochodące od ciśnienia a właściwie mian ciśnienia na eseni elemenu ciec Bioąc od uwagę kieunki gęsość sił wniesie: F F ] [ f V F F Wadkowa siła wdłuż : Siła wdłuż na jednoskę objęości gęsość sił: f

7 ewnęne sił achowawce diałające na odległość siła gawiacji siła Coulomba - można je oisać a omocą oencjału ϕ na jednoskę mas: f ϕ ϕ ϕ ϕ ewnęne sił nieachowawce wewnęne sił nieachowawce n. siła lekości owadi do wsęowania naężeń ścinającch w ełwającej ciec f le Sumując cnki od óżnch cnników dosajem: a ϕ Zajmijm się ea bliżeniem nielekiej ciec sucha woda f le a ϕ Sóbujm naleźć siesenie a elemenu ciec. Z oou jes o ławe

8 A B o cąski - sbkość jaką ędkość mienia się w ewnm usalonm unkcie eseni Jak mienia się ędkość wbanej cąski ciec? Jeśli elemen ciec w casie esunie się od unku A do unku B cli esunie się o w kieunku w kieunku i w kieunku. Pędkość cąski chwili w unkcie Pędkość cąski w chwili Z dokładnością do waów iewsego ędu:

9 Sąd miana ędkości cąski ejściu unku A do B: Można o aisać w osaci: Zaem ównanie uchu cąski ciec ominięciu lekości ma osać: ϕ Jeśli skosam ożsamości wekoowej: Ω oacja wekoa ϕ

10 ϕ Dla ełwu sacjonanego usalonego w każdm unkcie ciec ędkość się nie mienia w każdm unkcie ciec osaje asęowana nową ciecą linie ądu są usalone w casie. Cli: 0 ϕ Zaem ównanie uchu jmie osać: Pomnóżm je skalanie lewej son e weko Ponieważ weko jes osoadł do wekoa o lewa sona ównania ** jmuje waość eo co onaca że dla ełwu sacjonanego 0 ϕ Cli dla małego esunięcia w kieunku uchu ciec wielkość w nawiasie nie ulega mianie ** Ω ϕ lub

11 Ale w ełwie sacjonanm usalonm wsskie esunięcia achodą wdłuż linii ądu! Zaem wdłuż linii ądu achodi wiąek: Jeśli uch jes bewiow o już wceśniej moglibśm naisać: ϕ cons Ω 0 ϕ 0 Twiedenie Benoulliego ϕ cons achodi w całej ciec! Równanie Benoulliego można eż wowadić inacej kosając asad achowania enegii

12 Twiedenie Benoulliego ejaw asad achowania enegii Roważm ełw w uce ądu S Ruka ądu S m Tle ile ciec ile włnęło na jednm końcu uki musi włnąć na dugim: m Masa ciec ełwająca e ekój S w casie m S S S S

13 Paca wkonana e ciśnienie w ciec siła a esunięcie: W S S Zmiana enegii mas m ejściu od owiechni S do owiechni S S S E m E gdie E E enegia adająca na jednoskę mas odowiednio na owiechni S oa S. Całkowią enegię na jednoskę mas ciec można esawić w osaci sum enegii kinecnej oencjalnej ϕ i ewnej enegii wewnęnej ciec U: E ϕ U Kosając ego wiąku ważenie * można aasać w osaci S m ale S ϕ U m S S więc: ϕ U *

14 U U ϕ ϕ cons ϕ Dla ciec nieściśliwej i be lekości wa enegią wewnęną jes aki sam o obu sonach ównania i wdłuż uki mam: Pawo Benoulliego

15 h Włw ciec nacnia ϕ cons 0 linia ądu 0 Na góe: 0 0 ϕ 0 P owoe: Zaem: Sąd: w 0 ϕ gh 0 0 w gh w gh w Tak jak sadku swobodnm! Ile wod włwa e bionika w jednosce casu? Zdiwiłb się en ko b mślał że wsac omnożć ędkość włwu e cas i ecwisą owiechnię owou. Sumień ciec awęża się i w efekcie włw ciec mniejsa się - dla owou o ekoju kołowm do ok. 60%... Dlacego?

16 Roważm suację w kóej do śodka nacnia wsawim ukę o ewnm małm ekoju S 0 Dochcas kosaliśm asad achowania enegii. 0 Co asadą achowania ędu? h S S w Włwająca ciec unosi ewien ęd a aem musi na nią diałać ewna siła Skąd się biee? Siła ochodi od ścianek nacnia Niech ekój sumienia wniesie: S eff αs0 W casie owou wnie masa m: Unoson e ciec ęd wniesie: Zaem na elemen ścianki nacnia naeciwko uki diała siła: m αs 0 w ~ αs αs 0 w F ~ w αs 0 0 w w

17 Siła eakcji diałająca na sumień jes ówna sile acia jaki wwiea ciec na owiechnię ścianki S 0 naeciwko owou akładam że ściankach ciec się akcnie nie usa: F S 0 gh S gh αs 0 0 w Ale wiem że w gh S gh αs gh 0 0 α Zaem akiego owou włnie o ołowę mniej ciec niż b się można sodiewać! Ma o nacenie jeśli chce się wiedieć ile wod może włnąć beckowou e owó o nanej śednic

18 Ciśnienie sacne i dnamicne ϕ cons Ale ównania ciągłości: S S Na m samm oiomie mam en sam oencjał S S

19 Tochę doświadceń ilusującch awo Benoulliego kulecka ing-ongowa w sumieniu owiea sumień owiea omięd kakami owiea wciąganie kulki e lejek efek Magnusa i lekość walec sacając się o ówni > < > F Jakościowe wjaśnienie: Dięki lekości obacając się walec naęda cąsecki owiea o lewej sonie i hamuje o awej Po lewej sonie walca ga ma więksą ędkość niż o awej o onaca godnie awem Benoulliego że ciśnienie sacne o awej sonie będie więkse niż o lewej Wkosują o iłkae selając bamki n. uu ożnego

20 Lekość acie wewnęne F F k Siła oou oocjonalna do ędkości uchu D Powiee 0 0 C Woda 0 0 C D N s/m N s/m Jeśli odsę od ścianek nacnia jes więks od gubości D wasw ganicnej o można jąć że sbkość uchu ciec maleje liniowo e wosem odległości k S η η- wsółcnnik lekości Glicena 0 0 C Olej cnow 0 0 C Smoła 0 0 C N s/m N s/m 0 7 N s/m

21 Roważm dwie bliskie siebie łaskie łki ciecą leką omięd nimi F 0 Naężenie ścinania S η η - wsółcnnik lekości S 0 F łn S - owiechnia łki Jeśli oważm dwie bado bliskie wasw w ciec o wed siłę ścinającą siłę lekości możem edsawić w osaci S d F ηs d d d - sadek sbkości d ciec w kieunku osoadłm do ełwu

22 Pełw ciec lekiej e wąską ukę R l Roważm ukę sugę ciec o omieniu. Niech óżnica ciśnień na końcach elemenu akiej uki o długości l wnosi Siła odmująca ełw sacjonan w akiej uce wnosi: F π Waość sił oou lekiego diałająca ukę ścianki uki wnosi: F l η πl d d

23 Dla ełwu sacjonanego F l F π η πl d d To ównanie okeśla ależność sbkości ciec od odległości od śodka uki d ηl d Na owiechni uki R R0 W śodku uki: 0 0 d' ηl 0 R ' d' ma 4 η l ma R ηl R Rokład ędkości ma ksał aaboli!

24 Objęość ciec ełwającą e ukę w jednosce casu można oblicć sumując cnki od ieścieni o gubości d oacającch nasą sugę Wewną ieścienia ędkość wnosi d di dv d πd I R π 4ηl ηl R πd R d I 0 π ηl R 4 R 4 4 I R R 0 0 πr 8η l 4 3 d Nacnia kwionośne - sieć kailana ełw naędan e sece Wó Poiseuille a: owala okeślić waość wsółcnnika lekości η omiau ilości ciec włwającej uki kaila