Statystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.

Transkrypt

1 Statystyka opisowa. Wykªad II.

2 Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4

3 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w uporz dkowanej próbce x (1) x (2)... x (n) Median wyznaczamy jako x ( n+1 2 ) gdy n nieparzyste m e = x ( n 2 ) +x ( n 2 +1 ) 2 gdy n parzyste natomiast median dla szeregu rozdzielczego wyznaczamy ( ) m e = x l + b m 1 n 2 n i n m gdzie x l lewy koniec klasy zawieraj cej median, m numer klasy zawieraj cy median, n liczebno± próbki, n i liczebno± i tej klasy, b dªugo± klasy. i=1

4 Mod (dominant ) m o próbki x 1,..., x n o powtarzaj cych si warto±ciachnazywamy najcz ±ciej powtarzj c si warto±, o ile istnieje (nie b d ca x min ani te» x max ). Mod w szeregu rozdzielczym wyznaczamy n l n l 1 m o = x l + (n l n l 1 ) + (n l n l+1 ) b gdzie x l lewy koniec klasy modalnej, n l liczebno± klasy modalnej, n l 1 i n l+1 liczebno±ci s siednich klas, b dªugo± klasy. Je»eli w szeregu rozdzielczym najliczniejszymi s obie skrajnie klasy, to szereg rozdzielczy nazywamy antymodalnym typu U, a ±rodek najmniej licznej klasy nazywamy antymod. Gdy w szeregu rodzielczym najliczniejsza jest jedna ze skarjnych klas, to szereg rozdzielczy nazywamy antymodalnym typu J. Szereg w którym wyst puj dwie jednakowo liczne klasy i najliczniejsze nie b d ce skrajnymi nazywamy dwumodalnym.

5 Mediana i moda Najprostrz miar rozproszenia (rozrzutu) próbki x 1,..., x n jest rozst p R. Nie informuje jednak ona jak w przedziale x min, x max rozªo»one s poszczególne warto±ci próbki. Wariancj s 2 próbki x 1,..., x n nazywamy ±redni arytmetyczn kwadratów odchyle«poszczególnych warto±ci x i od ±redniej arytmetycznej x próbki s 2 = 1 n n (x j x) 2 dla szeregu rozdzielczego wariancj wyznaczamy s 2 = 1 n k (x j x) 2 n j

6 Pierwiastek z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym s = 1 n (x j x) 2 n dla szeregu rozdzielczego wariancj wyznaczamy s = 1 k (x j x) 2 n j n

7 Odchyleniem przeci tmym d 1 od warto±ci ±redniej x próbki x 1,..., x n nazywamy ±redni arytmetyczn warto±ci bezwzgl dnych odchyle«poszczególnych warto±ci x i od ±redniej arytmetycznej x próbki d 1 = 1 n n x j x lub d 1 = 1 n k x j x n j Odchyleniem przeci tmym d 2 od mediany m e próbki x 1,..., x n nazywamy ±redni arytmetyczn warto±ci bezwzgl dnych odchyle«poszczególnych warto±ci x i od ±redniej arytmetycznej x próbki d 2 = 1 n n x j m e lub d 2 = 1 n k x j m e n j

8 Kwantyle Mediana i moda Niech x (1) x (2)... x (n) oznacza uporz dkowan próbk x 1,..., x n. Warto±ci w uporz dkowanej próbce dzielimy na 2 grupy: do pierwszej zaliczamy mniejsze od mediany i median. natomiast do drugiej median i warto±ci wi ksze od mediany. Kwantylem dolnym Q 1 nazywamy median pierwszej grupy, natomiast kwantylem górnym Q 3 nazywamy median drugiej grupy warto±ci. Odchylenie wiartkowe wyznaczamy jako Q = Q 3 Q 1 2

9 Mediana i moda Momentem zwykªym m l rz du l próbki x 1,..., x n nazywamy ±redni arytmetyczn l tych pot g warto±ci elementów (±rodków klas) próbki m l = 1 n n x l j lub m l = 1 n k x l jn j Momentem centralnym M l rz du l próbki x 1,..., x n nazywamy ±redni arytmetyczn l tych pot g odchyle«warto±ci elementów (±rodków klas) od ±redniej arytmetycznej x próbki M l = 1 n n (x j x) l lub M l = 1 n (pierwszy moment centralny wynosi zero). k (x j x) l n j

10 Moment absolutny zwykªy a l rz du l próbki x 1,..., x n okre±lamy wzorem a l = 1 n x j l lub a l = 1 n n k x j l n j Moment absolutny centralny b l rz du l próbki x 1,..., x n okre±lamy jako b l = 1 n x j x l lub b l = 1 n n k x j x l n j

11 Mediana i moda Dla rozkªadów symetrycznych wszystkie momenty centralne rz dów nieparzystych s równe zero. Wspóªczynnik asymetrii (sko±no±ci) wyznaczamy jako g = M 3 s 3 W przypadku gdzy g = 0 to badany szereg jest symetryczny. W przypadku gdzy g > 0 to szereg jest bardziej "rozªo»ony na prawo" od warto±ci ±redniej (natomiast bardziej skoncentronawy na lewo od ±redniej), natomiast g < 0 to szereg jest bardziej "rozªo»ony na lewo" od warto±ci ±redniej (natomiast bardziej skoncentronawy na prawo od ±redniej).

12 Wspóªczynnik koncentacji (skupienia, kurtoza) wyznaczamy jako K = M 4 s 4 Im wspóªczynnik koncentracji jest wi kszy, tym szereg jest bardziej skoncentrowany. Warto± K 3 okre±lamy jako eksces (wspóªczynnik spªaszczenia). Dla rozkªadu normalnego N (0, 1) warto± K 3 = 0

13 Wspóªczynnik zmienno±ci wyznaczamy jako v = s x 100% Wspóªczynnik nierównomierno±ci wyznaczamy jako H = d 1 x 100%

14 Przykªad 1. Dla szeregu rozdzielczego postaci x i n i oblicz warto± ±redni, mod, median, wariancj, odchylenia standardowe, odchylenie przeci tne od ±redniej oraz wspóªczynniki: zmienno±ci, nierównomierno±ci, asymetrii, koncentracji, eksces.

15

16 Warto± ±rednia x = moda wynosi m 0 = 5.6, mediana natomiast m e = x (11)+x (12) 2 = = 5.5, wariancja i odchylenia standardowe wynosz odpowiednio odchylenie przeci tne od ±redniej s 2 = s = d 1 =

17 wspóªczynniki: zmienno±ci, nierównomierno±ci, asymetrii, koncentracji, eksces v = % 3.34% 5.46 H = % 2.88% g = K = K 3 =

18 Przykªad 2. Dla szeregu rozdzielczego przediaªowego postaci przedziaªy x i n i 1 (1.5; 2.5) (2.5; 3.5) (3.5; 4.5) (4.5; 5.5) (5.5; 6.5) (6.5; 7.5) oblicz warto± ±redni, mod, median, wariancj, odchylenia standardowe, odchylenie przeci tne od ±redniej oraz wspóªczynniki: zmienno±ci, nierównomierno±ci, asymetrii, koncentracji, eksces.

19

20 Moda wynosi mediana natomiast m 0 = m e = (8 5) + (8 2) = ( 20 2 ) ( ) = wariancja i odchylenia standardowe wynosz odpowiednio odchylenie przeci tne od ±redniej s 2 = s = d 1 = = 0.95

21 wspóªczynniki: zmienno±ci, nierównomierno±ci, asymetrii, koncentracji, eksces v = % 24.53% 4.5 H = % 19.19% g = K = K 3 =