Dr hab. inż. Waldemar Magda

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dr hab. inż. Waldemar Magda"

Transkrypt

1 Dr ab. inż. Waldemar Magda Politecnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Geotecniki, Geologii i Budownictwa Morskiego waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl Fala stojaca Stokesa aproksymacja ciśnienia ydrodynamicznego czy 5 rzędu? artykuł opublikowany w czasopiśmie Inżynieria Morska i Geotecnika, nr /1, str Gdańsk, 9 kwietnia 13

2 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Fala stojaca Stokesa aproksymacja ciśnienia ydrodynamicznego czy 5 rzędu? dr ab. inż. Waldemar Magda Politecnika Gdańska, Wydział Inżynierii Ladowej i Środowiska Katedra Geotecniki, Geologii i Budownictwa Morskiego WPROWADZENIE ( waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl) Znaczenie zjawiska fali stojącej jest oczywiste dla praktyki inżynierskiej z zakresu budownictwa morskiego i inżynierii brzegowej. Wartość obciążenia morskiej konstrukcji ydrotecnicznej falą stojącą zależy od carakterystyki samej konstrukcji (budowla niska, budowla wysoka, budowla na fundamencie narzutowym itp.), ale także od rodzaju falowania przyjętego do rozważań. O ile odpowiednie wzory dla ciśnienia ydrodynamicznego pod falą progresywną można znaleźć w wielu publikacjac polsko- i obcojęzycznyc, o tyle w przypadku fali stojącej sprawa przedstawia się już dużo gorzej. Okazuje się bowiem, że poza wzorem wynikającym z liniowej teorii fali powierzcniowej trudno jest natrafić w literaturze facowej na odpowiednie i do tego jeszcze poprawne (!) wzory otrzymane na bazie teorii fali Stokesa. Jeżeli już mowa o fali Stokesa, to należałoby postawić sobie pytanie o rząd aproksymacji (przybliżenia) rozwiązania, którym trzeba się posłużyć w celu obliczenia wartości obciążenia (siły poziomej i w konsekwencji momentu wywracającego) satysfakcjonującej z praktycznego punktu widzenia. Poniżej przedstawiono w zwięzłej formie rozwiązanie dla ciśnienia ydrodynamicznego, otrzymane dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji rzędu. Dodatkowo, na przykładzie wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej obciążającej falocron pionowo-ścienny, dokonano także analizy porównawczej odpowiednic rozwiązań w przypadku fali stojącej Stokesa rzędu i rzędu 5 dla wybranyc warunków wodno-falowyc. ROZWIAZANIE PROBLEMU METODA PERTURBACJI Ostatnio zaprezentowano w pracy [3] bardzo eleganckie rozwiązanie, pozwalające na opis zmienności parametrów fali stojącej Stokesa. Rozwiązanie to uzyskano metodą perturbacji (metodą małego błędu). Metoda ta dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odcylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odcylenie to oznaczane jest zwykle przez ǫ. Dla małyc wartościǫczynniki coraz wyższyc rzędów stają się zaniedbywalne. Oto postać podstawowej funkcji potencjału prędkości, aproksymowanej szeregiem potęgowym [3] φ(x,z,t)= ( g/k 3) 1/ N i ǫ i i=1 i j=m= A ijm cos[jk(+z)] cos(jk) cos(jkx) sin(mωt) (1)

3 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str gdzie:φ funkcja potencjału prędkości [m/s ], g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s ), k liczba falowa (k=π/l) [1/m], L długość fali [m], N rząd aproksymacji fali stojacej Stokesa [ ], ǫ parametr aproksymacji [ ], A ijm współczynniki aproksymacji [ ], głębokość wody [m], ω częstość kołowa fali (ω = π/t ) [1/s], T okres fali [s], t czas [s], x, z współrzędne (pozioma i pionowa) płaskiego prostokatnego układu odniesienia [m]. Parametr aproksymacji określony jest następująco ǫ=k H s () gdzie:h s wysokość fali stojacej przy pełnym odbiciu (współczynnik odbiciak r =1,) [m], H wysokość fali progresywnej inicjujacej zjawisko fali stojącej [m]. Oczywiście dla zjawiska pełnego odbicia fali (K r =1,) zacodzi poniższa równość H s =H (3) Ciśnienie ydrodynamiczne pod falą stojącą jest opisane równaniem Bernoulliego p ρ =B φ t 1 ( u +w ) (4) gdzie: p ciśnienie ydrodynamiczne pod falą stojac a Stokesa [kpa], ρ gęstość wody morskiej [t/m 3 ], B stała Bernoulliego [m /s ], u, w składowe (pozioma i pionowa) prędkości orbitalnej cząsteczki wody w rucu falowym [m/s]. Stała Bernoulliego w metodzie perturbacji zadana jest następującym szeregiem potęgowym gdzie:d i współczynniki aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ], B= g N ǫ i D i (5) ki=1 a składowe prędkości orbitalnej cząsteczki wody w rucu falowym są obliczane ze wzorów u= φ x w= φ z (6a) (6b)

4 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Poniżej podano wzory opisujące 7 współczynników aproksymacji niezbędnyc dla określenia ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa do rzędu (N=) włącznie: C 1 = q (7a) C = (7b) D 1 = (7c) D = 1 q 1 8 q (7d) A 1,1,1 = 1 q (7e) w któryc A,, = 1 1+3q 16 q 3/ A,, = 3 1+q 4 16 q 7/ (7f) (7g) q=tg(k) (8) Długość fali należy dla każdego rzędu aproksymacji obliczać ze związku dyspersyjnego opisanego w metodzie perturbacji następującym szeregiem potęgowym ω=(gk) 1/ N ǫ i 1 C i (9) i=1 gdzie:c i współczynniki aproksymacji fali stojacej Stokesa [ ]. W pracy [3] podano postaci wszystkic 54 współczynników wymaganyc do obliczenia rzędnej swobodnej powierzcni i ciśnienia ydrodynamicznego dla fali stojącej Stokesa w aproksymacji do 5 rzędu włącznie. Niestety niektóre ze współczynników, dotyczącyc aproksymacji 4 i 5 rzędu, podano w pracy [3] błędnie. Jednak ogólnie bardzo wysoka jakość pracy [3] zacęciła Autora niniejszej publikacji do poświęcenia jej więcej czasu w celu skorygowania wspomnianyc błędów. W wyniku krótkiej lecz bardzo owocnej współpracy z autorem pracy [3] prof. R.J. Sobey em z Imperial College (Department of Civil and Environmental Engineering) w Londynie udało się zidentyfikować wszystkie istotne błędy w pracy [3]. W Tabl. 1 zaprezentowano erratę do artykułu [3], która wkrótce ukaże się drukiem w tym samym czasopiśmie, co przedmiotowa praca [3]. W celu zapoznania się z postaciami pozostałyc współczynników Czytelnika odsyła się do pracy [3], gdyż przytoczenie w niniejszym artykule postaci wszystkic współczynników znacznie wykracza poza jego ramy. W pracy [3] udowodniono, że zaprezentowane tam analityczne rozwiązanie jest rozwiązaniem dokładnym do 5 rzędu włącznie. Poprawność rozwiązania wykazano z zastosowaniem

5 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Tabl. 1: ERRATA do artykułu R.J. Sobeya Analytical Solutions for Steep Standing Waves, Engineering and Computational Mecanics, 16: , 15 November 11 [3] Pozycja w artykule [3] Postać członu w artykule [3] Powinno być Wzór (18) 1/ 1/ φ ( t =w g/k 3) φ ( t =ω g/k 3) Wzór (5) cosjk(+z) cosk(+z) cos k cos k Appendix 1.4 (b 4,,4 ) +38q 6 +83q 6 Appendix 1.5 (A 5,1,3 ) 654q q q q q q 6 Appendix 1.5 (A 5,5,3 ) 1555q q 4 Appendix 1.5 (A 5,5,5 ) 837q +837q Appendix 1.5 (A 5,3,3 ) 199q q 1 Appendix 1.5 (A 5,1,1 ) +1319q q 3 Appendix 1.5 (A 5,3,1 ) 483q q 6 Appendix 1.5 (A 5,3,5 ) 11618q q 8 Appendix 1.5 (b 5,1,1 ) q q Appendix 1.5 (b 5,3,3 ) q 15388q Appendix.4 A(4, 4, ) =, A(4, 4, ) =, metody ekstrapolacyjnej Ricardsona. Jednocześnie poddano w wątpliwość inne istniejące teorie fali stojącej Stokesa w aproksymacji 3 i 4 rzędu (np. [1,, 4]), wykazując, że ic dokładność jest ograniczona do aproksymacji o jeden lub nawet dwa rzędy mniej, niż podali to autorzy odpowiednic teorii. Aproksymacja 1 rzędu Poniżej przedstawiono wyniki aproksymacji dla ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa 1 rzędu (N = 1, parametr oznaczony górnym indeksem I) w celu ic konfrontacji z powszecnie znanymi i stosowanymi wzorami. I tak, korzystając z podstawowego wzoru (4) i po wykonaniu odpowiednic operacji matematycznyc, otrzymano p I ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) cos(k) kh sin (ωt) sin(k) cos(k) { cos [k(+z)]sin (kx)+sin [k(+z)]cos (kx) } (1) Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u=w=) prowadzi do następującego wzoru na ciśnienie ydrodynamiczne p I ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) (11) cos(k) Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) (1) oraz równanie zlinearyzowane (11) przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej czą-

6 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str steczki wody w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe dla faz szczytu i dna fali stojącej. I tak, dla fazy szczytu (dolny indeks s) fali (dla t = zacodzi: sin(ωt) = i cos(ωt) = 1) w profilu ściany pionowej (dlax= zacodzi:sin(kx)= icos(kx)=1) oba równania (1) i (11) można uprościć do postaci p I s ρg =Hcos[k(+z)] cos(k) (1) natomiast dla fazy dna (dolny indeksd) fali (dlat=t/ zacodzi:sin(ωt)= icos(ωt)= 1) w profilu ściany pionowej (dlax= zacodzi:sin(kx)= icos(kx)=1) oba równania (1) i (11) można uprościć do postaci p I d ρg = Hcos[k(+z)] cos(k) (13) Aproksymacja rzędu W dalszej części artykułu przedstawiono wyniki aproksymacji dla fali stojącej Stokesa rzędu (N =, parametry oznaczone górnym indeksem II). I tak, ciśnienie ydrodynamiczne pod falą stojącą w rozwiązaniu przybliżonym rzędu opisane jest wzorem p II ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) cos(k) kh 1 8 tg(k) tg (k) 1+cos(ωt) { } 1+3tg (k)+ 3[tg4 (k) 1] cos[k(+z)] tg cos(kx) + (k) cos(k) + 4sin (ωt){ cos cos [k(+z)]sin (kx)+sin [k(+z)]cos (kx) } + (k) + 3k H 3 tg 4 (k) 1 sin(ωt) sin(ωt) 8 tg 4 (k) cos(k)cos(k) {cos[k(+z)]cos[k(+z)]sin(kx)sin(kx)+ +sin[k(+z)]sin[k(+z)]cos(kx)cos(kx)} [ 9k3 H 4 tg 4 (k) 1 ] sin (ωt) 18 tg 7 (k) cos (k) { cos [k(+z)]sin (kx)+sin [k(+z)]cos (kx) } (14) dużo bardziej skomplikowanym niż miało to miejsce w przypadku aproksymacji 1 rzędu (patrz wzór (1)). Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u = w = ) prowadzi do następującego znacznie prostszego wzoru na ciśnienie ydrodynamiczne

7 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str p II ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) cos(k) kh 8 { 1 tg(k) tg (k) 1+cos(ωt) 1+3tg (k)+ 3[tg4 (k) 1] tg (k) cos[k(+z)] cos(k) cos(kx)} (15) Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) (14) oraz równanie zlinearyzowane (15) przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej cząsteczki wody w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe dla faz szczytu i dna fali stojącej. I tak, dla fazy szczytu fali w profilu ściany pionowej oba równania (14) i (15) można uprościć do postaci p II s ρg =Hcos[k(+z)] cos(k) { kh 8 4tg(k)+ 3[tg4 (k) 1] tg 3 (k) } (16) cos[k(+z)] cos(k) natomiast dla fazy dna fali w profilu ściany pionowej oba równania (14) i (15) można uprościć do postaci p II d ρg = Hcos[k(+z)] cos(k) { kh 8 4tg(k)+ 3[tg4 (k) 1] tg 3 (k) } (17) cos[k(+z)] cos(k) W pracy [3] przedstawiono wyniki obliczeń dla aproksymacji fali Stokesa 1 rzędu (N=1) zlinearyzowanej po przyjęciu warunkuu=w= oraz dla aproksymacji fali Stokesa 5 rzędu (N = 5), przy czym przyjęte w pracy [3] wartości parametrów wodno-falowyc wskazywały na warunki głębokowodne. Znana jest powszecnie opinia o potrzebie stosowania aproksymacji 5 rzędu do opisu progresywnej fali Stokesa w sytuacji istnienia warunków głębokowodnyc oraz znacznej, bliskiej granicznej stromości fali. Trudno jest jednak sobie wyobrazić aby w warunkac pełnego morza lub oceanu istniała praktyczna sytuacja, w której docodzi do powstania fali stojącej. Oddziaływanie falowania na pełnomorskie konstrukcje ydrotecniczne (np. pionowe kolumny nośne platformy półzanurzanej, czy też stałej stalowej lub betonowej platformy morskiej) ma carakter opływu, a obciążenie carakteryzuje się przewagą sił bezwładności z udziałem procesów dyfrakcyjnyc. Z falą stojącą można mieć bez wątpienia do czynienia w warunkac o ograniczonej głębokości akwenu i posadowionyc tam morskic konstrukcji ydrotecnicznyc, jakimi są masywne falocrony pionowo-ścienne. Czy dla takic sytuacji może zaistnieć konieczność stosowania aproksymacji 5 rzędu dla opisu fali stojącej Stokesa? Jakiej różnicy w takim wypadku można się spodziewać dla ciśnienia ydrodynamicznego, i w konsekwencji obciążenia ydrodynamicznego, otrzymanyc przy użyciu aproksymacji i 5 rzędu? W dalszej części artykułu podjęto próbę odpowiedzi na te pytania.

8 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str H gt L =,4 L =,5 gt =,155 gt =,79 Strefa Strefa p³ytkowodna Strefa ograniczonej g³êbokoœci g³êbokowodna Stromoœæ graniczna fali H / L =,14 Strefa fal za³amanyc L H 3 6 Parametr Ursella Kryterium za³amania fali (teoria fali samotnej H/,78) P3 P P1 STOKES 4-go rzêdu STOKES 3-go rzêdu Teoria -go rzêdu (STOKES) Teoria fal knoidalnyc Teoria liniowa fal (AIRY) gt Rys. 1: Zakresy stosowalności teorii falowyc (wg [5, 6]) z zaznaczonymi punktami obliczeniowymi Przykład obliczeniowy W tym celu posłużono się diagramem przedstawiającym zakresy stosowalności teorii falowyc (Rys. 1), na którym zaznaczono wybrane trzy punkty obliczeniowe. Wartości parametrów wodno-falowyc, wspólne dla punktów od P1 do P3, przedstawiają się następująco: głębokość wody=1 m okres falit=7,14 s długość falil=61,39 m co implikuje wartości parametrów bezwymiarowyc/(gt )=, iω /g,79. Zmienność pozostałyc parametrów falowyc, przyjętyc do analizy obliczeniowej, przedstawiono w Tabl.. Punkty P1 do P3 znajdują się w strefie ograniczonej głębokości wody (patrz Rys. 1), przy czym punkt P1 carakteryzuje się najmniejszą stromością fali (δ =,81) a punkt P3 największą (δ =,814). Ponadto warunki wodno-falowe carakteryzujące położenie punktu P3 można uznać za bliskie ekstremalnyc dla pracy morskic budowli ydrotecnicznyc, jakimi są falocrony pionowo-ścienne. Na podstawie wyników analizy stosowalności, przedstawionej w pracy [3] w odniesieniu do opracowanej teorii fali stojącej Stokesa, można stwierdzić, że wybrane w niniejszym artykule

9 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Tabl. : Wartości zmiennyc parametrów wodno-falowyc dla wybranyc punktów obliczeniowyc (do obliczeń przyjętog=9,81 m/s ) Punkt (Rys. 1) H gt [ ] Wysokość fali H [m] Stromość fali δ [ ] ω H g [ ] P1,1,5,81,39 P,5,5,47,197 P3,1 5,,814,395 punkty obliczeniowe (carakteryzowane parametrami bezwymiarowymiω /g iω H/g) są do zaakceptowania z punktu widzenia odpowiednio małej wartości parametru aproksymacjiǫ. Na rysunkac Rys. i 3, odpowiednio dla punktów P1 i P3 (patrz Rys. 1), przedstawiono dla profilu ściany pionowej (x = ) przebiegi w czasie (t = T/): (a) ciśnienia ydrodynamicznego, p, (b) względnej różnicy ciśnienia ydrodynamicznego, p, pod falą stojącą Stokesa na głębokościz= /3= 3,3 m, przy czym ciśnienie ydrodynamiczne została wyrażona w postaci wysokości ciśnienia p= p ρg =p γ (18a) gdzie: p wysokość ciśnienia ydrodynamicznego [m], ρ gęstość wody morskiej (ρ=1,5 t/m 3 ), g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s ), γ ciężar właściwy wody morskiej (γ=1,6 kn/m 3 ), a względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego została obliczona ze wzoru p= p N=i p N= P + N= 1 (18b) gdzie: p względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojąca Stokesa [%], p N=i ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacjii rzędu (i=1,1l,,l i5) [m], p N= ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacji rzędu [m], P N= + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnic) oscylacji ciśnienia ydrodynamicznego według aproksymacji rzędu [m]. Dodatkowo, w celu zbadania wpływu efektu linearyzacji równania Bernoulliego na wartość ciśnienia ydrodynamicznego, posłużono się następującym wzorem porównawczym p L = p N=iL p N=i P + N=i 1 (18c)

10 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str (a),5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m],4,3,,1 -,1 -, -,3 -,4 N=1L L N=1 N=L L N= N=5 -,5,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas oscylacji, tt [s] [s] (b) Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] 1,5 1,5 -,5-1 -1,5 N=1L L N=1 N=L L N= N=5 -,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas oscylacji, tt [s] [s] Rys. : Rozkład w czasie (t= T/) w profilu ściany pionowej (x=): (a) ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa, (b) względnej różnicy ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa (punkt P1, patrz Tabl. ); dane wodno-falowe:h=,5 m,t=7,14 s,=1 m, z = /3 = 3,33 m; oznaczenia aproksymacji rozwiazania:n=1l 1 rzędu zlinearyzowana,n=1 1 rzędu,n=l rzędu zlinearyzowana,n= rzędu,n=5 5 rzędu)

11 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str (a) 5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m] N=1L L N=1 N=L L N= N=5-5,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas Czas oscylacji, oscylacji, t t [s] (b) Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] N=1L L N=1 N=L L N= N=5-4,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas oscylacji, t [s] [s] Rys. 3: Rozkład w czasie (t= T/) w profilu ściany pionowej (x=): (a) ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa, (b) względnej różnicy ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa (punkt P3, patrz Tabl. ); dane wodno-falowe:h=5, m,t=7,14 s,=1 m, z = /3 = 3,33 m; oznaczenia aproksymacji rozwiazania:n=1l 1 rzędu zlinearyzowana,n=1 1 rzędu,n=l rzędu zlinearyzowana,n= rzędu,n=5 5 rzędu)

12 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str gdzie: p L względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa [%], p N=iL ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacjii rzędu zlinearyzowanej po przyjęciu założeniau=w= (i=1,) [m], p N=i ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacjii rzędu nie zlinearyzowanej (i=1,) [m], P N=i + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnic) oscylacji ciśnienia ydrodynamicznego według aproksymacji i rzędu nie zlinearyzowanej (i = 1, ) [m]. Oznaczenia N = 1L i N = L w legendac rysunków symbolizują aproksymacje ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa, odpowiednio 1 i rzędu w postaci zlinearyzowanej, co uzyskano poprzez przyjęcie zerowyc składowyc prędkości orbitalnej cząstki wody (u=w=) w równaniu Bernoulliego (patrz wzór (4)), z którego wyprowadzono odpowiednie wzory na ciśnienie ydrodynamiczne (patrz wzory (11) i (15)). Jak wykazuje praktyka, najwyższym rzędem aproksymacji progresywnej fali Stokesa, wykorzystywanym przez inżyniera-projektanta, jest rząd. Z tego względu wartości względne ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa zostały odniesione właśnie do rozwiązania rzędu, w jego pełnej nie zlinearyzowanej postaci (N=). Ze względu na symetrię rozwiązań względem czasut=t/, na Rys. i 3 przedstawiono przebiegi badanyc funkcji tylko w przedziale czasowym równym połowie okresu fali (t= T/). Obliczenia wykonano z krokiem czasowym t = 1/3 T. Na podstawie analizy wyników obliczeń porównawczyc ciśnienia ydrodynamicznego, zilustrowanyc przykładowo na Rys. (dla punktu P1) i 3 (dla punktu P3), można wysnuć następujące wnioski: Rozwiązania zlinearyzowane rzędu 1 (N=1L) i (N=L) niewiele różnią się od odpowiednic rozwiązań pełnyc (tzn. nie zlinearyzowanyc) rzędu 1 (N = 1) i (N = ) w przypadku stosunkowo mniejszej stromości fali. Wzrost stromości fali powoduje pewne zwiększenie różnic. W analizowanyc 3 przypadkac obliczeniowyc, dla któryc głębokość obliczeniowa wynosiła z = /3 = 3,3 m, względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego, obliczona ze wzoru (18c), wyniosła: w przypadku rozwiązań 1 rzędu (N=1iN=1L): * punkt P1: p L=,9% (t=1/4 T it=3/4 T) * punkt P: p L=4,61% (t=1/4 T it=3/4 T) * punkt P3: p L=9,% (t=1/4 T it=3/4 T) w przypadku rozwiązań rzędu (N=iN=L): * punkt P1: p L=,9% (t=1/4t it=3/4t ; patrz Rys. ) * punkt P: p L=4,75% (t=7/3t it=5/3t ) * punkt P3: p L=1,7% (t=6/3t it=6/3t ; patrz Rys. 3) Dla fazy szczytu fali stojącej (t=) rozwiązania zlinearyzowane (rzędu 1 (N=1L) i rzędu (N = L)) są identyczne z odpowiednimi rozwiązaniami pełnymi (nie zlinearyzowanymi). Jest to oczywiste, gdyż dla tej fazy rucu falowego zacodziu=w=, co z drugiej strony stanowi założenie w procesie linearyzacji równania Bernoulliego. W przypadku umiarkowanej stromości fali (punkt P1, δ =,81, Rys. ) rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) dla ciśnienia ydrodynamicznego otrzymane z aproksymacji rzędu 1 (N=1) jest zbliżone do rozwiązania pełnego z aproksymacji rzędu (N=). Maksymalna różnica w tym wypadku wynosi p=1,46% (t=9/3 T

13 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str it=3/3 T ). Dziesięciokrotne zwiększenie stromości fali doδ=,83 (punkt P3, Rys. 3) skutkuje także około dziesięciokrotnym wzrostem różnicy pomiędzy tymi rozwiązaniami, przy czym maksymalna wartość tej różnicy wynosi p=15,3% (t=9/3 T it=3/3 T). W przypadku umiarkowanej stromości fali (punkt P1, δ =,81, Rys. ) rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) dla ciśnienia ydrodynamicznego otrzymane z aproksymacji rzędu 5 (N=5) jest także zbliżone do rozwiązania z aproksymacji rzędu (N=) w całym badanym przedziale czasowym (t= T ). Maksymalna różnica w tym wypadku wynosi p =,61% (t = ). Dziesięciokrotne zwiększenie stromości fali do δ =,83 (punkt P3, Rys. 3) skutkuje stosunkowo znacznym wzrostem różnicy pomiędzy tymi rozwiązaniami, przy czym maksymalna wartość tej różnicy wynosi p= 37,14% (t=). Rozwiązania wynikające z aproksymacji 1 rzędu (N=1L in=1) i rzędu (N=L, N=) wykazują w przedziale czasowymt= T istnienie tylko jednego maksimum lokalnego właściwego (dla t = faza szczytu fali stojącej) i jednego minimum lokalnego właściwego (dlat=t/ faza dna fali stojącej). Oba ekstrema lokalne są w tym przypadku jednocześnie ekstremami globalnymi. Przy większej stromości fali (punkt P3, Rys. 3) w przypadku aproksymacji 5 rzędu (N = 5) zaobserwowano pojawienie się w przedziale czasowym t = T dwóc identycznyc maksimów lokalnyc właściwyc (dlat it T/) i dwóc różnyc minimów lokalnyc właściwyc (dlat= it=t/), przy czym minimum lokalne właściwe osiągane dlat=t/ jest jednocześnie minimum globalnym. Kolejny etap analizy porównawczej aproksymacji i 5 rzędu rozwiązania dla ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa poświęcono bardziej praktycznej stronie zagadnienia, a mianowicie obliczenia i porównania obciążenia falą stojącą Stokesa, działającego na pionową ścianę morskiej konstrukcji ydrotecnicznej, jaką jest grawitacyjny (masywny) falocron pionowo-ścienny (Rys. 4). W tym celu wykonano obliczenia ciśnienia ydrodynamicznego w profilu ściany pionowej (x=) dla 6 poziomów:z= (poziom spokoju),,1,,, /3,,5 i (poziom dna morskiego) dla punktów od P1 do P3 (patrz Rys.1). Przykładowe wyniki obliczeń, wykonanyc dla punktu P3, zilustrowano na Rys. 5. W celu porównania na Rys. 5 pokazano także rozwiązanie dlaz= (oznaczone w legendzie rysunku jako z= (L) ), wynikające z teorii liniowej, czyli zlinearyzowanej postaci aproksymacji fali stojącej Stokesa 1 rzędu. Następnie po scałkowaniu otrzymanyc rozkładów ciśnienia po wysokości ściany na odcinku, na którym oddziałuje fala stojąca Stokesa, uzyskano wartość wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej działającej na konstrukcję falocronu, a odpowiednie rozkłady tej siły w czasie przedstawiono na Rys. 6 do Rys. 8, odpowiednio dla punktów od P1 do P3. Dodatkowo na tyc samyc rysunkac pokazano przebieg w czasie względnej różnicy siły poziomej wynikającej z porównania rozwiązań dla aproksymacji 5 rzędu z odpowiednim rozwiązaniem uzyskanym z aproksymacji rzędu. W obliczeniac względnej różnicy siły poziomej posłużono się następującymi wzorami: F= F ρg =F γ (18d) F= F N=5 F N= V + N= 1 (18e)

14 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str (a) Faza grzbietu fali stoj¹cej Port Poziom falowania Poziom spokoju ( z = ) Fala stoj¹ca p 1 Morze z(-) A Falocron B F Rozk³ad ciœnienia ydrodynamicznego Dno morza ( z = - ) p b W (b) Faza doliny fali stoj¹cej Port Fala stoj¹ca Morze Poziom falowania Poziom spokoju ( z = ) p z(-) A Falocron B F Rozk³ad ciœnienia ydrodynamicznego Dno morza ( z = - ) p b W Rys. 4: Scemat obciażenia falocronu pionowo-ściennego falą stojac a Stokesa (a) faza grzbietu (w szczególności szczytu) fali, (b) faza doliny (w szczególności dna) fali

15 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str (a) Fala stoj¹ca Stokesa (przybli enie -go rzêdu) 6 5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m] z = (L) z = z = -, z = -,5 z = -1, Czas oscylacji, t [s] t [s] (b) Fala stoj¹ca Stokesa (przybli enie 5-go rzêdu) 6 5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m] z = (L) z = z = -, z = -,5 z = -1, Czas oscylacji, tt [s] [s] Rys. 5: Przebieg ciśnienia ydrodynamicznego w czasie w profilu ściany (x = ) pod falą stojac a Stokesa: (a) aproksymacja rzędu (N=), (b) aproksymacja 5 rzędu (N=5) (dane wodno-falowe: H=5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P3, patrz Tabl. )

16 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str ,8 3 Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [kn/m / kn/m ] Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [1/m] F (N=) F (N=5) df F F N= F N=5,6,4, -, -,4 -,6 -,8 Wzglêdna ró nica si³y poziomej, F [%] Wzglêdna ró nica si³y poziomej, df [%] Czas oscylacji, t t[s] Rys. 6: Rozkład w czasie (t= T) w profilu ściany pionowej (x=): (a) wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, (b) względnej różnicy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji i 5 rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe:h=,5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P1, patrz Tabl. ) gdzie: F względna wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna w wyniku oddziaływania fali stojącej Stokesa [(kn/m)/(kn/m 3 )], F wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna w wyniku oddziaływania fali stojacej Stokesa [kn/m], ρ gęstość wody morskiej (ρ=1,5 t/m 3 ), g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s ), γ ciężar właściwy wody morskiej (γ=1,6 kn/m 3 ), F względna różnica wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej w wyniku oddziaływania fali stojacej Stokesa [%], F N=5 wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna dla aproksymacji 5 rzędu [(kn/m)/(kn/m 3 )], F N= wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna dla aproksymacji rzędu [(kn/m)/(kn/m 3 )], V N= + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnic) oscylacji wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji rzędu [(kn/m)/(kn/m 3 )]. W przypadku punktu P1 różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji i 5 rzędu są znikome. Oto zestawienie carakterystycznyc wartości (patrz Rys. 6): dlat= F N= =3,91 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F N=5 =3,88 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F=,61%

17 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [kn/m / kn/m ] Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [1/m] F (N=) F N= F (N=5) F N=5 df F Wzglêdna ró nica si³y poziomej, F [%] Wzglêdna ró nica si³y poziomej, df [%] Czas oscylacji, t [s] Rys. 7: Rozkład w czasie (t= T) w profilu ściany pionowej (x=): (a) wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, (b) względnej różnicy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji i 5 rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe:h=,5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P, patrz Tabl. ) dlat=t/ F N= = 3,61 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F N=5 = 3,59 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F=,54% W przypadku punktu P, gdzie stromość fali jest 5-krotnie większa niż dla punktu P1, różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji i 5 rzędu ulegają znaczącemu zwiększeniu. Oto zestawienie carakterystycznyc wartości (patrz Rys. 7): dlat= F N= =,1 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F N=5 =18,7 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F= 15,7% dlat=t/ F N= = 15,46 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F N=5 = 13,93 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F= 6,9% Przejście z punktu P do punktu P3 oznacza dalsze dwukrotne powiększenie stromości fali. Różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji i 5 rzędu ulegają dalszemu zwiększeniu, ale wyłącznie w rejonie czasowym t =. Oto zestawienie carakterystycznyc wartości (patrz Rys. 8):

18 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [kn/m / kn/m ] Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [1/m] F (N=) F N= F (N=5) F N=5 df F Wzglêdna ró nica si³y poziomej, F [%] Wzglêdna ró nica si³y poziomej, df [%] Czas oscylacji, t [s] Rys. 8: Rozkład w czasie (t= T) w profilu ściany pionowej (x=): (a) wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, (b) względnej różnicy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji i 5 rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe:h=5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P3, patrz Tabl. ) dlat= F N= =54,47 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F N=5 =9,63 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F= 45,61% dlat=t/ F N= = 9,47 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F N=5 = 8,15 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F=,43% maksimum lokalne właściwe i maksimum globalne dla aproksymacji 5 rzędu F N=5 =37,51 (kn/m)/(kn/m 3 ) dlat=3/3 T it=9/3 T, gdzie jednocześnie F N= =39,3 (kn/m)/(kn/m 3 ) oraz F= 3,3% PODSUMOWANIE W niniejszym artykule dokonano analizy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej działającej na ścianę falocronu pionowo-ściennego i generowanej falą stojącą Stokesa. W analizie porównano ze sobą rozwiązania wynikające z aproksymacji fali stojącej Stokesa i 5 rzędu, które zastosowano do trzec przypadku warunków ograniczonej głębokości wody (punkty P1, P i P3, patrz Rys. 1). Na podstawie wyników przeprowadzonyc obliczeń można stwierdzić, co następuje:

19 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str W przypadku mniejszej stromości fali (punkt P1) względna różnica wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, F (patrz wzór (18e)), pomiędzy wartością wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej otrzymaną z aproksymacji fali stojącej Stokesa 5 rzędu, a odpowiednią wartością wynikającą z aproksymacji rzędu, jest: bardzo mała w strefac stosunkowo mniejszyc wartości siły (t 1/4T it 3/4T ), mała (rzędu kilku procent) w strefac zbliżonyc do punktów czasowyct= it=t/. W przypadku znacznej stromości fali (punkt P3) względna różnica wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, F, jest: mała w znacznej środkowej strefie analizowanego okresu oscylacji fali, a wykazane różnice nie przekraczają kilku procent, istotna (rzędu nawet kilkudziesięciu procent) w punkcie czasowymt=. Trzeba jednak zauważyć, że w punkcie czasowym t = dokładniejsze rozwiązanie otrzymane z aproksymacji 5 rzędu nie osiąga swego maksimum globalnego. Identyczne maksima globalne dla aproksymacji 5 rzędu występują w punktac czasowyc t = 3/3 T it=9/3 T i dla tyc właśnie punktów czasowyc ic wartość praktycznie pokrywa się z rozwiąniem wynikającym z aproksymacji rzędu (różnica wynosi tylko około3%). Biorąc jednak pod uwagę tylko maksima globalne rozwiązań otrzymanyc z aproksymacji fali stojącej Stokesa i 5 rzędu, wykazano, że maksimum globalne wypadkowej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji 5 rzędu jest mniejsze o około trzydzieści procent (dokładnie 31,14%) od maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej wynikającej z aproksymacji rzędu. Stosunek maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej do bezwzględnej wartości minimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej ulega zmianie wraz ze wzrostem stromości fali i dla analizowanyc przypadków wynosi: dla punktu P1 (δ =,81) * 1,8 (aproksymacja rzędu) * 1,8 (aproksymacja 5 rzędu) dla punktu P (δ =,47) * 1,44 (aproksymacja rzędu) * 1,34 (aproksymacja 5 rzędu) dla punktu P3 (δ =,814) * 1,85 (aproksymacja rzędu) * 1,33 (aproksymacja 5 rzędu) W analizowanyc przypadkac obliczeniowyc dla punktów P1 do P3 maksimum globalne wypadkowej siły ydrodynamicznej przewyższa bezwzględną wartość minimum globalnego. Obserwacja ta ma istotne znaczenie dla większości praktycznyc przypadków projektowyc, w obliczeniac któryc wystarczy uwzględniać maksimum globalne wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej. Nie należy jednak zapominać, że niektóre przypadki analizy stateczności falocronu pionowo-ściennego mogą również wymagać znajomości minimum globalnego wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej oddziałującej na falocron.

20 artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str Wykazane różnice w wartościac wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej działącej na falocron pionowo-ścienny w wyniku powstania stojącej fali Stokesa wykazują konserwatywność rozwiązania otrzymanego z aproksymacji fali Stokesa rzędu. Obecnie w większości procedur projektowyc są wykorzytywane odpowiednie wzory wynikające z aproksymacji fali Stojącej Stokesa rzędu, które co trzeba wyraźnie podkreślić są o wiele prostsze w matematycznym zapisie w porównaniu z odpowiednimi wzorami dla aproksymacji 5 rzędu. Dokładniejsze rozwiązanie otrzymane z aproksymacji 5 rzędu, wymagające znajomości wartości wielu odpowiednic współczynników szeregów potęgowyc opisanyc na początku niniejszego artykułu, pozwala otrzymać wartości maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej mniejsze od wartości wynikającyc z aproksymacji rzędu, przy czym maksymalna różnica wykazana w analizowanyc przypadkac wyniosła około 3% (punkt P3) wartości maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej wynikającej z aproksymacji rzędu. Czy fakt ten wart jest uwzględnienia w procesie projektowym rzeczywistyc konstrukcji? Odpowiedź na to pytanie Autor niniejszego artykułu pozostawia projektantom, którzy sami muszą zdecydować, czy mniejsza wartość ekstremalnego obciążenia falocronu poziomą siłą ydrodynamiczną będzie miała swoje konsekwencje w istotnyc zmianac konstrukcyjnyc falocronu, a co za tym idzie czy tą drogą można poczynić oszczędności materiałowe, dające oczywiście wymierne korzyści finansowe. LITERATURA [1] Goda Y.: Te fourt order approximation to te pressure of standing waves. Coastal Engineering in Japan, Vol. 1, 1967, str [] Hsu J.R.C., Tsuciya Y., Silvester R.: Tird-order approximation to sort-crested waves, Journal of Fluid Mecanics, Vol. 9, 1979, str [3] Sobey R.J.: Analytical solutions for steep standing waves. Engineering and Computational Mecanics 16, Proceedings of te Institution of Civil Engineers, Issue EM4, December 9, str [4] Tadjbaks I., Keller J.B.: Standing surface waves of finite amplitude. Journal of Fluid Mecanics, Vol. 8, No. 3, 196, str [5] Recommendations of te Committee for Waterfront Structures, Harbours and Waterways (EAU 1996).7 t Englis Edition, Englis Translation of te9 t German Edition, Issued by te Committee for Waterfront Structures of te Society for Harbour Engineering and te German Society for Soil Mecanics and Foundation Engineering, ISBN , Ernst & Son, Berlin,. [6] Sore Protection Manual. Coastal Engineering Researc Center, Department of te Army, Waterways Experiment Station, Corps of Engineers, Vol. I i II, Vicksburg, Mississippi, USA, 1984.

Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego 2-go czy 5-go rzędu?

Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego 2-go czy 5-go rzędu? Fala stojąca Stokesa aproksymacja ciśnienia hydrodynamicznego -go czy 5-go rzędu? Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Znaczenie zjawiska fali stojącej

Bardziej szczegółowo

Dr hab. inż. Waldemar Magda

Dr hab. inż. Waldemar Magda Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Geotechniki, Geologii i Budownictwa Morskiego e-mail: waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl Fala stojaca Stokesa

Bardziej szczegółowo

Fala stojąca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikających z aproksymacji 2 rzędu

Fala stojąca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikających z aproksymacji 2 rzędu Fala stojąca Stokesa krytyczna analiza wzorów wynikających z aproksymacji rzędu Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii ądowej i Środowiska Znaczenie zjawiska fali stojącej

Bardziej szczegółowo

Raz jeszcze o obciażeniu hydrodynamicznym falochronu pionowościennego fala

Raz jeszcze o obciażeniu hydrodynamicznym falochronu pionowościennego fala Dr hab. inż. Waldemar Magda Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Katedra Geotechniki, Geologii i Budownictwa Morskiego e-mail: waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl Raz jeszcze o obciażeniu

Bardziej szczegółowo

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA 2010 Publikacje P (Przepisowe) wydawane przez Polski Rejestr Statków są uzupełnieniem lub rozszerzeniem Przepisów i stanowią

Bardziej szczegółowo

Wykład 17: Optyka falowa cz.1.

Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Wykład 17: Optyka falowa cz.1. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 1 Zasada Huyghensa Christian Huygens 1678 r. pierwsza

Bardziej szczegółowo

, u. sposób wyznaczania: x r = m. x n, Zgodnie z [1] stosuje się następujące metody ustalania parametrów geotechnicznych:

, u. sposób wyznaczania: x r = m. x n, Zgodnie z [1] stosuje się następujące metody ustalania parametrów geotechnicznych: Wybrane zagadnienia do projektu fundamentu bezpośredniego według PN-B-03020:1981 1. Wartości charakterystyczne i obliczeniowe parametrów geotechnicznych oraz obciążeń Wartości charakterystyczne średnie

Bardziej szczegółowo

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Drgania wymuszone - wahadło Pohla Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania

Bardziej szczegółowo

Dynamika morza FALE Wykład 1

Dynamika morza FALE Wykład 1 Dynamika morza FALE Wykład 1 Stanisław Massel 1,2 Gabriela Grusza 2 1 Instytut Oceanologii PAN Zakład Dynamiki Morza 2 Instytut Oceanografii UG Zakład Oceanografii Fizycznej 11 października 2005 roku Plan

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Zapora ziemna analiza przepływu nieustalonego

Zapora ziemna analiza przepływu nieustalonego Przewodnik Inżyniera Nr 33 Aktualizacja: 01/2017 Zapora ziemna analiza przepływu nieustalonego Program: MES - przepływ wody Plik powiązany: Demo_manual_33.gmk Wprowadzenie Niniejszy Przewodnik przedstawia

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Rodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów

Rodzaje fal. 1. Fale mechaniczne. 2. Fale elektromagnetyczne. 3. Fale materii. dyfrakcja elektronów Wykład VI Fale t t + Dt Rodzaje fal 1. Fale mechaniczne 2. Fale elektromagnetyczne 3. Fale materii dyfrakcja elektronów Fala podłużna v Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo) są równoległe

Bardziej szczegółowo

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża D.1 e używane w załączniku D (1) Następujące symbole występują w Załączniku D: A' = B' L efektywne obliczeniowe pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Analiza I i II rzędu. gdzie α cr mnożnik obciążenia krytycznego według procedury

Analiza I i II rzędu. gdzie α cr mnożnik obciążenia krytycznego według procedury Analiza I i II rzędu W analizie I rzędu stosuje się zasadę zesztywnienia, tzn. rozpatruje się nieodkształconą, pierwotną geometrię konstrukcji, niezależnie od stanu obciążenia. Gdy w obliczeniac statycznyc

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

POMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONANSU I METODĄ SKŁADANIA DRGAŃ WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH

POMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONANSU I METODĄ SKŁADANIA DRGAŃ WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH Ćwiczenie 5 POMIR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONNSU I METODĄ SKŁDNI DRGŃ WZJEMNIE PROSTOPDŁYCH 5.. Wiadomości ogólne 5... Pomiar prędkości dźwięku metodą rezonansu Wyznaczanie prędkości dźwięku metodą

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona

Bardziej szczegółowo

a, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna

a, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna Włodzimierz Wolczyński 3 RUCH DRGAJĄCY. CZĘŚĆ 1 wychylenie sin prędkość cos cos przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości sin sin 4 3 1 - x. v ; a ; F v -1,5T,5 T,75 T T 8t x -3-4 a, F energia

Bardziej szczegółowo

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość. Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

f = 2 śr MODULACJE

f = 2 śr MODULACJE 5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania

Bardziej szczegółowo

2.6.3 Interferencja fal.

2.6.3 Interferencja fal. RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE

Bardziej szczegółowo

Siła sprężystości - przypomnienie

Siła sprężystości - przypomnienie Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni

Bardziej szczegółowo

Projekt głębokości wbicia ścianki szczelnej stalowej i doboru profilu stalowego typu U dla uzyskanego maksymalnego momentu zginającego

Projekt głębokości wbicia ścianki szczelnej stalowej i doboru profilu stalowego typu U dla uzyskanego maksymalnego momentu zginającego Projekt głębokości wbicia ścianki szczelnej stalowej i doboru profilu stalowego typu U dla uzyskanego maksymalnego momentu zginającego W projektowaniu zostanie wykorzystana analityczno-graficzna metoda

Bardziej szczegółowo

Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja)

Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja) Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja) Poradnik Inżyniera Nr 37 Aktualizacja: 10/2017 Program: Plik powiązany: MES Konsolidacja Demo_manual_37.gmk Wprowadzenie Niniejszy przykład ilustruje zastosowanie

Bardziej szczegółowo

INTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA

INTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA INTERFERENCJA WIELOPROMIENIOWA prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski W tej części wykładu rozważymy przypadek koherentnej superpozycji większej liczby wiązek niż dwie. Najważniejszym interferometrem wielowiązkowym

Bardziej szczegółowo

Projekt ciężkiego muru oporowego

Projekt ciężkiego muru oporowego Projekt ciężkiego muru oporowego Nazwa wydziału: Górnictwa i Geoinżynierii Nazwa katedry: Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Zaprojektować ciężki pionowy mur oporowy oraz sprawdzić jego stateczność

Bardziej szczegółowo

ROZCHODZENIE SIĘ POWIERZCHNIOWYCH FAL LOVE A W FALOWODACH SPREśYSTYCH OBCIĄśONYCH NA POWIERZCHNI CIECZĄ LEPKĄ (NEWTONOWSKĄ)

ROZCHODZENIE SIĘ POWIERZCHNIOWYCH FAL LOVE A W FALOWODACH SPREśYSTYCH OBCIĄśONYCH NA POWIERZCHNI CIECZĄ LEPKĄ (NEWTONOWSKĄ) 1 ROZCHODZENIE SIĘ POWIERZCHNIOWYCH FAL LOVE A W FALOWODACH SPREśYSTYCH OBCIĄśONYCH NA POWIERZCHNI CIECZĄ LEPKĄ (NEWTONOWSKĄ) Dr hab. Piotr Kiełczyński, prof. w IPPT PAN, Dr inŝ. Andrzej Balcerzak, Mgr

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej

LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

Statyka płynów - zadania

Statyka płynów - zadania Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły

Bardziej szczegółowo

Aerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I

Aerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 Ściśliwe przepływy potencjalne Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy

Bardziej szczegółowo

1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna 1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej

Bardziej szczegółowo

Wzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)

Wzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2) Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)

4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu

Bardziej szczegółowo

Projektowanie kotwionej obudowy wykopu

Projektowanie kotwionej obudowy wykopu Podręcznik Inżyniera Nr 5 Aktualizacja: 1/2017 Projektowanie kotwionej obudowy wykopu Program powiązany: Ściana projekt Plik powiązany: Demo_manual_05.gp1 Niniejszy rozdział przedstawia problematykę projektowania

Bardziej szczegółowo

XIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/1970). Stopień W, zadanie doświadczalne D.. Znaleźć doświadczalną zależność T od P. Rys. 1

XIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/1970). Stopień W, zadanie doświadczalne D.. Znaleźć doświadczalną zależność T od P. Rys. 1 KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/197). Stopień W, zadanie doświadczalne D. Źródło: Olimpiady fizyczne XIX i XX Autor: Waldemar Gorzkowski Nazwa zadania: Drgania gumy. Działy: Drgania

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Aby nie uszkodzić głowicy dźwiękowej, nie wolno stosować amplitudy większej niż 2000 mv.

Aby nie uszkodzić głowicy dźwiękowej, nie wolno stosować amplitudy większej niż 2000 mv. Tematy powiązane Fale poprzeczne i podłużne, długość fali, amplituda, częstotliwość, przesunięcie fazowe, interferencja, prędkość dźwięku w powietrzu, głośność, prawo Webera-Fechnera. Podstawy Jeśli fala

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI

Katedra Mechaniki Konstrukcji ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 1 Z MECHANIKI BUDOWLI Katedra Mechaniki Konstrukcji Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Politechniki Białostockiej... (imię i nazwisko)... (grupa, semestr, rok akademicki) ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR Z MECHANIKI BUDOWLI

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

1. Dane : DANE OGÓLNE PROJEKTU. Poziom odniesienia: 0,00 m.

1. Dane : DANE OGÓLNE PROJEKTU. Poziom odniesienia: 0,00 m. 1. Dane : DANE OGÓLNE PROJEKTU Poziom odniesienia: 0,00 m. 4 2 0-2 -4 0 2. Fundamenty Liczba fundamentów: 1 2.1. Fundament nr 1 Klasa fundamentu: ława, Typ konstrukcji: ściana, Położenie fundamentu względem

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

ODKSZTAŁCENIA I ZMIANY POŁOŻENIA PIONOWEGO RUROCIĄGU PODCZAS WYDOBYWANIA POLIMETALICZNYCH KONKRECJI Z DNA OCEANU

ODKSZTAŁCENIA I ZMIANY POŁOŻENIA PIONOWEGO RUROCIĄGU PODCZAS WYDOBYWANIA POLIMETALICZNYCH KONKRECJI Z DNA OCEANU Górnictwo i Geoinżynieria Rok 35 Zeszyt 4/1 2011 Katarzyna Żelazny*, Tadeusz Szelangiewicz* ODKSZTAŁCENIA I ZMIANY POŁOŻENIA PIONOWEGO RUROCIĄGU PODCZAS WYDOBYWANIA POLIMETALICZNYCH KONKRECJI Z DNA OCEANU

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)

Bardziej szczegółowo

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która 3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x

Bardziej szczegółowo

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład nr 17 Przepływy w kanałach otwartych

J. Szantyr Wykład nr 17 Przepływy w kanałach otwartych J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałac otwartyc Przepływy w kanałac otwartyc najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy cieczy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:

Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory: Wykład 6 Funkcje Różniczkowalne - cią dalszy Twierdzenie o arytmetycznyc własnościac pocodnej Załóżmy, że funkcje f i są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f +, f, f, i, jeśli ( p) 0, to również

Bardziej szczegółowo

Projektowanie ściany kątowej

Projektowanie ściany kątowej Przewodnik Inżyniera Nr 2 Aktualizacja: 02/2016 Projektowanie ściany kątowej Program powiązany: Ściana kątowa Plik powiązany: Demo_manual_02.guz Niniejszy rozdział przedstawia problematykę projektowania

Bardziej szczegółowo

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość.

Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] -częstotliwość. Akusto-optyka Fala akustyczna jest falą mechaniczną Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem ( x, t) S cos( Ωt qx) s Częstotliwość kołowa Ω πf Długość fali

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = 6.5 10 6, α = 2 ) Efekty lepkie w przepływach ściśliwych Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego Całkowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku.

Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Ruch falowy. Fala zaburzenie wywoane w jednym punkcie ośrodka, które rozchodzi się w każdym dopuszczalnym kierunku. Definicje: promień fali kierunek rozchodzenia się fali powierzchnia falowa powierzchnia,

Bardziej szczegółowo

Badanie widma fali akustycznej

Badanie widma fali akustycznej Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 00/009 sem.. grupa II Termin: 10 III 009 Nr. ćwiczenia: 1 Temat ćwiczenia: Badanie widma fali akustycznej Nr. studenta: 6 Nr. albumu: 15101

Bardziej szczegółowo

Automatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych. Instrukcja do ćwiczenia III. Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia

Automatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych. Instrukcja do ćwiczenia III. Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia Automatyka i pomiary wielkości fizykochemicznych Instrukcja do ćwiczenia III Pomiar natężenia przepływu za pomocą sondy poboru ciśnienia Sonda poboru ciśnienia Sonda poboru ciśnienia (Rys. ) jest to urządzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA OBLICZANIE POCZĄTKOWEJ WYSOKOŚCI METACENTRYCZNEJ PODCZAS OPERACJI BALASTOWYCH Zajęcia laboratoryjne z przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin

= sin. = 2Rsin. R = E m. = sin Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta θ. Szczelinę dzielimy na N odcinków i

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( ) Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie wzoru na osiadanie płyty statycznej do określenia naprężenia pod podstawą kolumny betonowej

Wykorzystanie wzoru na osiadanie płyty statycznej do określenia naprężenia pod podstawą kolumny betonowej Wykorzystanie wzoru na osiadanie płyty statycznej do określenia naprężenia pod podstawą kolumny betonowej Pro. dr hab. inż. Zygmunt Meyer, mgr inż. Krzyszto Żarkiewicz Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny

Bardziej szczegółowo

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu

Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1

Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 1 Przykład obliczeniowy wyznaczenia imperfekcji globalnych, lokalnych i efektów II rzędu P3 Schemat analizowanej ramy Analizy wpływu imperfekcji globalnych oraz lokalnych, a także efektów drugiego rzędu

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem: WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z Fizyki Budowli. Temat laboratorium: CZĘSTOTLIWOŚĆ

Instrukcja do laboratorium z Fizyki Budowli. Temat laboratorium: CZĘSTOTLIWOŚĆ Instrukcja do laboratorium z Fizyki Budowli Temat laboratorium: CZĘSTOTLIWOŚĆ 1 1. Wprowadzenie 1.1.Widmo hałasu Płaską falę sinusoidalną można opisać następującym wyrażeniem: p = p 0 sin (2πft + φ) (1)

Bardziej szczegółowo

PUBLIKACJA INFORMACYJNA NR 22/I METODA OBLICZANIA I OCENY STATECZNOŚCI STATKU NA FALI NADĄŻAJĄCEJ

PUBLIKACJA INFORMACYJNA NR 22/I METODA OBLICZANIA I OCENY STATECZNOŚCI STATKU NA FALI NADĄŻAJĄCEJ PUBLIKACJA INFORMACYJNA NR 22/I METODA OBLICZANIA I OCENY STATECZNOŚCI STATKU NA FALI NADĄŻAJĄCEJ 2003 Publikacje I (Informacyjne) wydawane przez Polski Rejestr Statków mają charakter instrukcji lub wyjaśnień

Bardziej szczegółowo

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa. MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.

Bardziej szczegółowo

Analiza fundamentu na mikropalach

Analiza fundamentu na mikropalach Przewodnik Inżyniera Nr 36 Aktualizacja: 09/2017 Analiza fundamentu na mikropalach Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_en_36.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie wykorzystania

Bardziej szczegółowo

TABLICE PSYCHROMETRYCZNE PSYCHROMETRU ASPIRACYJNEGO. Do pomiarów wilgotności z największą dokładnością 1 % wilgotności względnej

TABLICE PSYCHROMETRYCZNE PSYCHROMETRU ASPIRACYJNEGO. Do pomiarów wilgotności z największą dokładnością 1 % wilgotności względnej TABLICE PSYCHROMETRYCZNE PSYCHROMETRU ASPIRACYJNEGO Do pomiarów wilgotności z największą dokładnością 1 % wilgotności względnej Wstęp Tablice niniejsze zawierają wartości wilgotności względnej (f), w procentach,

Bardziej szczegółowo

Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16

Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub

Bardziej szczegółowo