Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python

Transkrypt

1 Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Marcin Ciura Zakªad Oprogramowania 28 marca 2007 Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

2 Plan referatu 1 Arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python 2 Przykªad zastosowania dokªadnej arytmetyki 3 Obliczanie leniwe 4 Uªamki ªa«cuchowe 5 Podstawowe operacje arytmetyczne na uªamkach ªa«cuchowych 6 Rozstrzyganie nierozstrzygalnego 7 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych 8 Podsumowanie Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

3 Arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Dost pne implementacje Arytmetyka zmiennoprzecinkowa: typ float, biblioteka standardowa math Arytmetyka staªoprzecinkowa: typ i biblioteka standardowa Decimal Arytmetyka wielokrotnej precyzji: biblioteka dodatkowa gmpy Wspólne cechy Obliczenia s szybkie Wyst puj bª dy zaokr gle«marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

4 Arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Omawiana nowa implementacja Cechy Dokªadna arytmetyka: typ i biblioteka cf (od continued fractions uªamki ªa«cuchowe) Brak bª dów zaokr gle«nie za darmo: obliczenia s wolniejsze Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

5 Przykªad zastosowania dokªadnej arytmetyki Teoria chaosu Odwzorowanie logistyczne w przedziale (0, 1) x 0 = 0, x n+1 = 4x n (1 x n ) Wyniki liczbowe n x n (dokªadne) x n (float) 0 0, , , , , , , , Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

6 Przykªad zastosowania dokªadnej arytmetyki Wyniki liczbowe (c.d.) n x n (dokªadne) x n (float) 49 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

7 Obliczanie leniwe (lazy evaluation) Zasada dziaªania Wykonuje si tylko tyle oblicze«, ile jest w danej chwili potrzebne (w odró»nieniu od obliczania gorliwego) Podczas tworzenia wyra»enia nie wykonuj si»adne obliczenia Potem mo»na wyci ga z wyra»enia tyle cyfr, ile si chce Podwyra»enia dynamicznie dopasowuj swoj dokªadno± tak,»e zawsze dostajemy prawidªowe cyfry wyniku Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

8 Uªamki ªa«cuchowe Algorytm Euklidesa 96 = = = = = = [1; 2, 10, 3] Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

9 Uªamki ªa«cuchowe Reprezentacja kanoniczna a = [a 0 ; a 1, a 2,..., a k ], gdzie ogniwo a 0 jest liczb caªkowit, a dalsze ogniwa a n s liczbami naturalnymi wi kszymi od 0 Niektóre wªasno±ci Liczbom wymiernym odpowiadaj sko«czone uªamki ªa«cuchowe, a niewymiernym niesko«czone uªamki ªa«cuchowe Obci cie uªamka ªa«cuchowego daje najlepsze mo»liwe przybli»enie liczby, np. dla π: 3, 22/7, 333/106, 355/113,... (Lochs) Dla prawie wszystkich liczb do przedstawienia n cyfr dziesi tnych potrzeba asymptotycznie 0,97027n ogniw, np cyfr dziesi tnych π odpowiada 971 ogniwom Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

10 Uªamki ªa«cuchowe Przykªady rozwini liczb niewymiernych w uªamki ªa«cuchowe 2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,...] 2 = [ 2; 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,...] 3 = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,...] e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...] e 1/2 = [1; 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1,...] tan(1/2) = [0; 1, 1, 4, 1, 8, 1, 12, 1, 16, 1, 20,...] π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,...] 3 2 = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14,...] Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

11 Podstawowe operacje arytmetyczne na uªamkach ªa«cuchowych Funkcja bihomograczna z = axy + bx + cy + d exy + f x + g y + h = a b c d e f g h Przypadki szczególne x + y = xy = 0xy + 1x + 1y + 0 0xy + 0x + 0y + 1 1xy + 0x 0y + 0 0xy + 0x + 0y + 1 x y = x/y = 0xy + 1x 1y + 0 0xy + 0x + 0y + 1 0xy + 1x 0y + 0 0xy + 0x + 1y + 0 Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

12 Podstawowe operacje arytmetyczne na uªamkach ªa«cuchowych Leniwe obliczanie ogniw funkcji bihomogracznej (Gosper) Je±li a e = b f = c g = d h = r, to emituj ogniwo r i zmie«e f g h warto±ci wspóªczynników na a er b fr c gr d hr W przeciwnym razie je±li b a > c a f e g e, to pobierz ogniwo p z x c + ap d + bp a b i zmie«warto±ci wspóªczynników na g + ep h + fp e f W przeciwnym razie pobierz ogniwo q z y i zmie«warto±ci b + aq a d + cq c wspóªczynników na f + eq e h + gq g Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

13 Rozstrzyganie nierozstrzygalnego Problem [1; 1, 2, 2, 4, 3, 3,...] [1; 1, 2, 2, 4, 3, 3,...]? Równo± liczb niewymiernych jest nierozstrzygalna w sko«czonej liczbie kroków Problem ten wyst puje, je±li argumenty operacji s niewymierne, a wynik jest prawdopodobnie wymierny Rozwi zanie Je±li algorytm Gospera wykonaª i max iteracji z jednakowymi warto±ciami a e, b f, c g i d h nie emituj c»adnego ogniwa, to emituje max ( a e, b f, c g, d ) h i (znak ko«ca uªamka ªa«cuchowego) Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

14 Rozstrzyganie nierozstrzygalnego Prawdopodobie«stwo bª du Je±li i max = 100, to na mocy twierdze«lochsa i Gaussa-Ku¹mina prawdopodobie«stwo omyªkowego obci cia uªamka ªa«cuchowego, który powinien by niesko«czony jest mniejsze ni» 1, liczba ogniw Wymierne warto±ci funkcji o argumentach niewymiernych Np. przy obliczaniu warto±ci cos π/3 albo ln e wyst puje analogiczny problem rozwi zanie jest podobne (nie omawiane w tym referacie) Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

15 Rozstrzyganie nierozstrzygalnego Prawie jak system algebry komputerowej >>> (sqrt(2) - 1)*(sqrt(2) + 1) 1. >>> sqrt(5 + 2*sqrt(6)) == sqrt(2) + sqrt(3) True >>> [sin(x)**2 + cos(x)**2 for x in... [pi*random(), pi*random(), pi*random()]] [1., 1., 1.] >>> [cos(3*x)/cos(x) == cos(x)**2-3*sin(x)**2 for x in... [pi*random(), pi*random(), pi*random()]] [True, True, True] Prosz spróbowa tego samego z typem float Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

16 Rozstrzyganie nierozstrzygalnego Prawie jak system algebry komputerowej (c.d.) >>> [x == x + cf(10)**-1000 for x in... [cf(random()), cf(random()), cf(random())]] [False, False, False] Ale tylko prawie >>> sqrt(2) == sqrt(2) + cf(10)**-1000 True Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

17 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych Ró»ne niezb dne a proste funkcje Konstruktor, tworz cy uªamki ªa«cuchowe z liczb caªkowitych, zmiennoprzecinkowych i uªamków zwykªych Funkcje konwertuj ce uªamki ªa«cuchowe na liczby caªkowite, zmiennoprzecinkowe i napisy Oprócz czterech dziaªa«arytmetycznych równie» operator reszty z dzielenia % i operator zmiany znaku - Operatory porównania: <, <=, ==,!=, >=, > Funkcja warto±ci bezwzgl dnej abs() Jeszcze kilka pomniejszych funkcji Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

18 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych To»samo±ci sin x = cos x = ( ) / ( ) 2 tan x 1 + tan 2 x ( 2 ) / ( 2 ) 1 tan 2 x 1 + tan 2 x 2 2 arcsin x = arctan Podstawowe funkcje i π x 1 x 2 arccos x = π/2 arcsin x x y = e y ln x log 10 x = ln x/ ln 10 sqrt(), exp(), tan(), log(), atan(), pi Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

19 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych Leniwe obliczanie pierwiastka kwadratowego Metoda Newtona (szybsza ni» x 1/2 = e (ln x)/2 ) a := caªkowitoliczbowe przybli»enie x Tak dªugo, jak ogniwa liczb a i x s równe, emituj je; a w przypadku ich nierówno±ci oblicz nast pne przybli»enie a := 1 2 Zbie»no± kwadratowa ( ) a + x a Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

20 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych Leniwe obliczanie warto±ci funkcji e x Leniwie rozwijaj x w szereg Ostrogradskiego-Sierpi«skiego x = x + 1/q 1 1/q 2 + 1/q 3 1/q , pami taj c dwie ostatnie sumy cz ±ciowe s k 1 i s k e 1/q = [1; q 1, 1, 1, 3q 1, 1, 1, 5q 1,...] e x+y = e x e y, e x y = e x /e y Tak dªugo, jak ogniwa liczb e s k 1 i e s k s równe, emituj je; w przypadku ich nierówno±ci oblicz nast pn sum cz ±ciow s k+1 Zbie»no± kwadratowa (w szeregu O-S q k > q 2 k 1 ) Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

21 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych Leniwe obliczanie warto±ci tangensa Leniwie rozwijaj x w szereg Ostrogradskiego-Sierpi«skiego, pami taj c dwie ostatnie sumy cz ±ciowe s k 1 i s k tan(1/q) = [0; q 1, 1, 3q 2, 1, 5q 2, 1, 7q 2,...] tan x ± tan y tan(x ± y) = 1 tan x tan y Tak dªugo, jak ogniwa liczb tan s k 1 i tan s k s równe, emituj je; w przypadku ich nierówno±ci oblicz nast pn sum cz ±ciow s k+1 Zbie»no± kwadratowa Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

22 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych Leniwe obliczanie warto±ci logarytmu naturalnego Leniwie znajduj sumy cz ±ciowe szeregu Ostrogradskiego-Sierpi«skiego tak,»eby e s k 1 < x e s k lub e s k 1 > x e s k Tak dªugo, jak ogniwa liczb s k 1 i s k s równe, emituj je; w przypadku ich nierówno±ci oblicz nast pn sum cz ±ciow s k+1 Zbie»no± kwadratowa Leniwe obliczanie warto±ci arcus tangensa Tak, jak logarytmu naturalnego, tylko z tan s k 1 i tan s k zamiast e s k 1 i e s k Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

23 Funkcje matematyczne operuj ce na uªamkach ªa«cuchowych Leniwe obliczanie warto±ci π Uogólniony uªamek ªa«cuchowy π = Zbie»no± liniowa, ale ten algorytm okazaª si w praktyce szybszy od algorytmów o wy»szym rz dzie zbie»no±ci Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24

24 Podsumowanie Wyniki praktyczne Dziaªaj ca biblioteka implementuj ca dokªadn arytmetyk liczb rzeczywistych Wyniki teoretyczne Nowe algorytmy obliczania warto±ci funkcji wykªadniczej, logarytmów oraz funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych uªamków ªa«cuchowych, oparte na rozwini ciu w szereg Ostrogradskiego-Sierpi«skiego Plany na przyszªo± Zaimplementowanie algorytmów w j zyku C++ Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca / 24