Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Transkrypt

1 Seminarium CFT p. 1/24 Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Tomasz Sowiński 1 paździenika 2008

2 Seminarium CFT p. 2/24 Atom dwupoziomowy Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + ĤI Ĥ 0 = mσ z + 0 dk k a (k)a(k), Ĥ I = σ x dk g(k) Φ(k). kwantowe pole elektromagnetyczne 0 Φ(k) = a(k) + a (k) 2k a(k), a (k) - operatory anihilacji i kreacji fotonów w odpowiednich modach

3 Seminarium CFT p. 3/24 Sytuacja fizyczna Założenia układ opisany hamiltonianem Ĥ znajduje się w równowadze termodynamicznej z rezerwuarem ciepła (termostatem) o temperaturze T temperatura termostatu jest na tyle mała, że kreacja rzeczywistych par elektron-pozyton nie występuje

4 Seminarium CFT p. 3/24 Sytuacja fizyczna Założenia układ opisany hamiltonianem Ĥ znajduje się w równowadze termodynamicznej z rezerwuarem ciepła (termostatem) o temperaturze T temperatura termostatu jest na tyle mała, że kreacja rzeczywistych par elektron-pozyton nie występuje Zespół statystyczny ustalona liczba fermionów (elektronów) i równa 1 ustalona temperatura termostatu T ustalony potencjał chemiczny µ fotonów w rezerwuarze

5 Seminarium CFT p. 3/24 Sytuacja fizyczna Założenia układ opisany hamiltonianem Ĥ znajduje się w równowadze termodynamicznej z rezerwuarem ciepła (termostatem) o temperaturze T temperatura termostatu jest na tyle mała, że kreacja rzeczywistych par elektron-pozyton nie występuje Zespół statystyczny ustalona liczba fermionów (elektronów) i równa 1 ustalona temperatura termostatu T ustalony potencjał chemiczny µ fotonów w rezerwuarze Stan kwantowy układu (β = 1/kT ) ρ = 1 Ẑ e β K Ẑ = tr ] β K [e Hamiltonian statystyczny K = Ĥ µn N - operator liczby fotonów

6 Seminarium CFT p. 4/24 Polaryzowalność atomu Wartość oczekiwana dowolnego operatora O = tr [ ρ O ] [ = tr [ tr e β KO e β K ] ]

7 Seminarium CFT p. 4/24 Polaryzowalność atomu Wartość oczekiwana dowolnego operatora O = tr [ ρ O ] [ = tr [ liniowa polaryzowalność atomu tr e β KO e β K ] ] a(t, t ) = i θ(t t ) [e iĥt σ x e iĥt, e iĥt σ x e iĥt ] Łatwo się przekonać, że a(t, t ) zależy jedynie od różnicy t t i ma zatem proste przedstawienie fourierowskie a(ω) = dt e iω(t t ) a(t, t )

8 Seminarium CFT p. 5/24 acements Druga kwantyzacja Dotychczasowy opis: 0 1 Opis w języku drugiej kwantyzacji: N g e B

9 Seminarium CFT p. 5/24 acements Druga kwantyzacja Dotychczasowy opis: 0 1 Opis w języku drugiej kwantyzacji: N g e B Operatory anihilacji: ψ = e B N g, ψ = g B + N e

10 Seminarium CFT p. 5/24 acements Druga kwantyzacja Dotychczasowy opis: 0 1 Opis w języku drugiej kwantyzacji: N g e B Operatory anihilacji: ψ = e B N g, ψ = g B + N e Operatory kreacji: ψ = B e g N, ψ = B g + e N

11 Seminarium CFT p. 5/24 acements Druga kwantyzacja Dotychczasowy opis: 0 1 Opis w języku drugiej kwantyzacji: N g e B Operatory anihilacji: ψ = e B N g, ψ = g B + N e Operatory kreacji: ψ = B e g N, ψ = B g + e N Operatory pola fermionowego: Ψ = ψ ( ) Ψ = ψ ψ, ψ Relacje antykomutacyjne: { } Ψ α, Ψ β = δ αβ, { } { } Ψα, Ψ β = Ψ α, Ψ β = 0

12 Seminarium CFT p. 6/24 cements Druga kwantyzacja Dotychczasowy opis: 0 1 Opis w języku drugiej kwantyzacji: N g e B Hamiltonian w nowym języku H = H 0 + H I H 0 = mψ σ z Ψ + H I = Ψ σ x Ψ 0 0 dk k a (k)a(k) dk g(k) Φ(k)

13 Seminarium CFT p. 7/24 Ewolucja operatorów pola Obraz Heisenberga à(t) = e iht à e iht (i t m 0 σ z )Ψ(t) = 0 dk g(k)φ k (t)σ x Ψ(t) ( 2 t + k 2 )Φ k (t) = g(k)ψ (t) σ x Ψ(t) Obraz Diraca Υ(t) = e ih 0t à e ih 0t (i t m 0 σ z )ψ(t) = 0 ( 2 t + k 2 )φ k (t) = 0

14 Seminarium CFT p. 7/24 Ewolucja operatorów pola Obraz Heisenberga à(t) = e iht à e iht (i t m 0 σ z )Ψ(t) = 0 dk g(k)φ k (t)σ x Ψ(t) ( 2 t + k 2 )Φ k (t) = g(k)ψ (t) σ x Ψ(t) Obraz Diraca Υ(t) = e ih 0t à e ih 0t (i t m 0 σ z )ψ(t) = 0 ( 2 t + k 2 )φ k (t) = 0 Zwiazek pomiędzy propagatorami chronologicznymi (twierdzenie Lowa i Gell-Manna) Ω T ΨΨ... Ψ Ψ Φ... Φ Ω = g T ψψ... ψ ψ φ... φ e i dt HI g g T e i dt H I g

15 Seminarium CFT p. 8/24 Roboczy układ statystyczny Rozważamy formalnie pewien kwantowy stan układu Definiujemy nowy operator statystyczny (β = 1/kT ) ρ = 1 Z e βk Z = tr [e βk] Hamiltonian statystyczny K = H µn N - operator liczby fotonów

16 Seminarium CFT p. 8/24 Roboczy układ statystyczny Rozważamy formalnie pewien kwantowy stan układu Definiujemy nowy operator statystyczny (β = 1/kT ) ρ = 1 Z e βk Z = tr [e βk] Hamiltonian statystyczny K = H µn N - operator liczby fotonów Wartość oczekiwana dowolnego operatora O = tr [ ρ O ] = tr[ e βk O ] tr [ e βk] Obserwacja: jeśli operatory O 1,..., O n działaja tylko w podprzestrzeni qubitu to O 1 O n = Z Ẑ Ψ O 1 Ψ Ψ O n Ψ

17 Seminarium CFT p. 8/24 Roboczy układ statystyczny Rozważamy formalnie pewien kwantowy stan układu Definiujemy nowy operator statystyczny (β = 1/kT ) ρ = 1 Z e βk Z = tr [e βk] Hamiltonian statystyczny K = H µn N - operator liczby fotonów Wartość oczekiwana dowolnego operatora O = tr [ ρ O ] = tr[ e βk O ] tr [ e βk] Obserwacja: jeśli operatory O 1,..., O n działaja tylko w podprzestrzeni qubitu to O 1 O n = Z Ẑ Ψ O 1 Ψ Ψ O n Ψ Aby znaleźć a(t, t ) wystarczy zatem znać α(t, t ) = i θ(t t ) [ ] Ψ (t)σ x Ψ(t), Ψ (t )σ x Ψ(t )

18 Seminarium CFT p. 9/24 Roboczy swobodny układ statystyczny Dla celów praktycznych definiujemy również swobodny układ statystyczny Swobodny operator statystyczny (β = 1/kT ) ρ = 1 Z 0 e βk 0 Z 0 = tr [ ] e βk 0 Hamiltonian statystyczny K 0 = H 0 µn N - operator liczby fotonów Wartość oczekiwana dowolnego operatora O 0 = tr [ ρ 0 O ] = tr[ e βk 0 O ] tr [ ] e βk 0

19 Seminarium CFT p. 10/24 Propagatory czasu rzeczywistego propagatory retardowane pola elektromagnetycznego pełny propagator D R (k, k, t, t ) = iθ(t t ) [ Φ(t), Φ(t ) ] propagator pola swobodnego D R (k, k, t, t ) = iθ(t t ) [ φ(t), φ(t ) ] 0

20 Seminarium CFT p. 10/24 Propagatory czasu rzeczywistego propagatory retardowane pola elektromagnetycznego pełny propagator D R (k, k, t, t ) = iθ(t t ) [ Φ(t), Φ(t ) ] propagator pola swobodnego D R (k, k, t, t ) = iθ(t t ) [ φ(t), φ(t ) ] 0 Wprost z równań dynami wynika zwiazek D R (k, k, k 0 ) = D R (k, k, k 0 )+ 0 dk 1 g(k 1 ) 0 dk 2 g(k 2 ) D R (k, k 1, k 0 )α(k 0 )D R (k 2, k, k 0 ) Wielkość α(k 0 ) można wyznaczyć znajac propagator retardowany pola elektromagnetycznego

21 Seminarium CFT p. 11/24 Formalizm Matsubary (τ = it) Obraz Matsubary-Heisenberga O(τ) = e Kτ O e Kτ Φ(k, τ) = e Kτ Φ(k) e Kτ Ψ(τ) = e Kτ Ψ e Kτ Ψ (τ) = e Kτ Ψ e Kτ

22 Seminarium CFT p. 11/24 Formalizm Matsubary (τ = it) Obraz Matsubary-Heisenberga O(τ) = e Kτ O e Kτ Obraz Matsubary-Diraca Φ(k, τ) = e Kτ Φ(k) e Kτ Ψ(τ) = e Kτ Ψ e Kτ Ψ (τ) = e Kτ Ψ e Kτ ψ(τ) = ψ (τ) = ψ e mτ ψ e mτ (ψ emτ, ψ e mτ ) φ(k, τ) = a(k)e kτ + a (k)e kτ 2k O(τ) = e K 0τ O e K 0τ H I (τ) = e K 0τ H I e K 0τ = ψ (τ) σ x ψ(τ) 0 dk g(k)φ(k, τ)

23 Seminarium CFT p. 12/24 Funkcje korelacji Matsubary Temperaturowe funkcje korelacji G(τ 1,..., τ n ) = T τ O(τ 1 ) O(τ n ) 0 τ i β

24 Seminarium CFT p. 12/24 Funkcje korelacji Matsubary Temperaturowe funkcje korelacji G(τ 1,..., τ n ) = T τ O(τ 1 ) O(τ n ) 0 τ i β Propagatory temperaturowe Propagator fermionowy S αβ (τ 1, τ 2 ) = T τ Ψ α (τ 1 )Ψ β (τ 2) Propagator fotonowy D(k, k, τ 1, τ 2 ) = T τ Φ(k, τ 1 )Φ(k, τ 2 ) Propagatory temperaturowe sa funkcja jedynie różnicy swoich argumentów. To znaczy, że można ograniczyć się do argumentów spełniajacych warunek β τ 1 τ 2 β

25 Seminarium CFT p. 13/24 Reprezentacja Fouriera Propagatory temperaturowe sa cykliczne na odcinku 2β. Maja zatem przedstawienie w postaci szeregów Fouriera G(τ) = 1 β n= e iω nτ G(ωn ) ω n = πn β

26 Seminarium CFT p. 13/24 Reprezentacja Fouriera Propagatory temperaturowe sa cykliczne na odcinku 2β. Maja zatem przedstawienie w postaci szeregów Fouriera G(τ) = 1 β n= e iω nτ G(ωn ) ω n = πn β Propagator bozonów/fermionów ma dodatkowa własność G(τ) = ± G(τ + β) { +1 bozony 1 fermiony Współczynniki fourierowskie maja zatem postać G(ω n ) = 0 dτ e iω nτ G(τ) ωn = 2nπ β 2(n+1)π β bozony fermiony

27 Seminarium CFT p. 14/24 Temperaturowe propagatory swobodne swobodny propagator fermionowy definicja S αβ (τ 1, τ 2 ) = T τ ψ α (τ 1 )ψ β (τ 2) 0 składniki fourierowskie S(ω n ) = 1 iω n mσ z ω n = 2(n + 1)π β

28 Seminarium CFT p. 14/24 Temperaturowe propagatory swobodne swobodny propagator fermionowy definicja S αβ (τ 1, τ 2 ) = T τ ψ α (τ 1 )ψ β (τ 2) 0 składniki fourierowskie S(ω n ) = 1 iω n mσ z ω n = 2(n + 1)π β swobodny propagator fotonowy definicja D(k, k, τ 1, τ 2 ) = T τ φ(k, τ 1 )φ(k, τ 2 ) 0 składniki fourierowskie D(k, k, ω n ) = δ(k k ) ω 2 n + k 2 ω n = 2nπ β

29 Seminarium CFT p. 15/24 Rachunek perturbacyjny Zwiazek podstawowy pomiędzy temperaturowymi funkcjami korelacji T τ O 1 (τ 1 ) O n (τ n ) = = T τ O 1 (τ 1 ) O n (τ n ) e T τ e β 0 dτ H I(τ) 0 β 0 dτ H I(τ) 0 Twierdzenie Wicka w skończonej temperaturze T τ O 1 O n 0 = σ ( 1) κ T τ O σ1 O σ2 0 T τ O σn 1 O σn 0

30 Seminarium CFT p. 16/24 Reguły Matsubary-Feynmana S(ω n ) = 1 iω n mσ z ω n = (2n + 1)π β D(ω n ) = δ(k k ) ω 2 n + k 2 ω n = 2nπ β V (k) = g(k)σ x

31 Seminarium CFT p. 16/24 Reguły Matsubary-Feynmana S(ω n ) = 1 iω n mσ z ω n = (2n + 1)π β D(ω n ) = δ(k k ) ω 2 n + k 2 ω n = 2nπ β V (k) = g(k)σ x W wierzchołku spełnione jest zachowanie częstości ω n Każda zamknięta pętla fermionowa oznacza pomnożenie wyrażenia przez 1 i ślad odpowiednich macierzy Na końcu wycałkować po wszystkich wewnętrznych pędach k i wysumować po wszystkich wewnętrznych częstościach ω n. Każda sumę podzielić przez β

32 Seminarium CFT p. 17/24 Temperaturowy propagator fotonu Propagator fotonu w pełnej teorii = = + 1 1

33 Seminarium CFT p. 17/24 Temperaturowy propagator fotonu Propagator fotonu w pełnej teorii = = = = 0 dk g2 (k) ω 2 n +k2

34 Seminarium CFT p. 17/24 Temperaturowy propagator fotonu Propagator fotonu w pełnej teorii = = = = 0 dk g2 (k) ω 2 n +k2 Temperaturowa macierz przejścia T(ω n ) = 1 1

35 Seminarium CFT p. 18/24 Drugi rzad rachunku zaburzeń P (2) (ω n ) = = 1 β { Tr σx S(ωn + ω n )σ x S(ωn ) } n Ze względu na statystyki kwantowe ω n = 2nπ β ω n = (2n + 1)π β Po wykonaniu sumowania i uporzadkowaniu P (2) 4m (ω n ) = 4m 2 + ωn 2 ( ) βm tanh 2 To daje temperaturowa macierz przejścia T (2) 4m (ω n ) = ( (4m 2 + ωn)coth 2 βm 2 ) 4m h(ω n )

36 Seminarium CFT p. 19/24 Co dalej? Propagator temperaturowy (w urojonym czasie τ = it) D(k, k, ω n ) = D(k, k, ω n ) + [ ] [ ] dk 1 g(k 1 ) D(k, k 1, ω n ) T(ω n ) dk 2 g(k 2 ) D(k 2, k, ω n ) 0 0

37 Seminarium CFT p. 19/24 Co dalej? Propagator temperaturowy (w urojonym czasie τ = it) D(k, k, ω n ) = D(k, k, ω n ) + [ ] [ ] dk 1 g(k 1 ) D(k, k 1, ω n ) T(ω n ) dk 2 g(k 2 ) D(k 2, k, ω n ) 0 Propagator retardowany (w rzeczywistym czasie t) 0 D R (k, k, k 0 ) = D R (k, k, k 0 ) + [ ] [ ] dk 1 g(k 1 )D R (k, k 1, k 0 ) α(k 0 ) dk 2 g(k 2 )D R (k 2, k, k 0 ) 0 Jeśli znalibyśmy zwiazek pomiędzy propagatorami temperaturowymi i retardowanymi to moglibyśmy odtworzyć funkcję α(k 0 ) ze znajomości macierzy przejścia T(ω n ) 0

38 Seminarium CFT p. 20/24 Reprezentacja spektralna Propagator temperaturowy D(k, k, ω n ) = dm M(M, k, k ) iω n M Propagator retardowany D R (k, k, k 0 ) = dm M(M, k, k ) k 0 M + iɛ Macierz spektralna M(M, k, k ) = n,m δ(m + K n K m ) e βk m e βk n Z n Φ(k) m m Φ(k ) n

39 Seminarium CFT p. 21/24 Przedłużenie analityczne D(k, k, ω n ) = dm M(M, k, k ) iω n M D R (k, k, k 0 ) = dm M(M, k, k ) k 0 M + iɛ

40 Seminarium CFT p. 21/24 Przedłużenie analityczne D(k, k, ω n ) = dm M(M, k, k ) iω n M D R (k, k, k 0 ) = dm M(M, k, k ) k 0 M + iɛ F (z) = dm M(M, k, k ) z M

41 Seminarium CFT p. 21/24 Przedłużenie analityczne D(k, k, ω n ) = dm M(M, k, k ) iω n M D R (k, k, k 0 ) = dm M(M, k, k ) k 0 M + iɛ F (z) = dm M(M, k, k ) z M Retardowany Temperaturowy D(k, k, ω n ) = D R (k, k, iω n ) ω n > 0 D(k, k, ω n ) = D (k, k, ω n )

42 Seminarium CFT p. 21/24 Przedłużenie analityczne D(k, k, ω n ) = dm M(M, k, k ) iω n M D R (k, k, k 0 ) = dm M(M, k, k ) k 0 M + iɛ F (z) = dm M(M, k, k ) z M Retardowany Temperaturowy D(k, k, ω n ) = D R (k, k, iω n ) ω n > 0 D(k, k, ω n ) = D (k, k, ω n ) Temperaturowy Retardowany Procedura niejednoznaczna matematycznie, ale fizycznie jednoznaczna D R (k, k, k 0 ) = D(k, k, ik 0 + ɛ) k 0 > 0

43 Seminarium CFT p. 22/24 Polaryzowalność atomu Wykonujac przedłużenie analityczne otrzymujemy w drugim rzędzie rachunku zaburzeń α (2) (ω) = (4m 2 ω 2 ) coth ( βm 2 ) 4m 4m [ (ω) + i sign(ω) Γ(ω) ] gdzie (ω) = P 0 dk Γ(ω) = πg2 (ω) 2 ω g2 (ω) k 2 ω 2

44 Seminarium CFT p. 23/24 Polaryzowalność atomu Wzór na polaryzowalność a(ω) = Z Ẑ α(ω)

45 Seminarium CFT p. 23/24 Polaryzowalność atomu Wzór na polaryzowalność a(ω) = Z Ẑ α(ω) W najniższym rzędzie rachunku perturbacyjnego wystarczajace jest przybliżenie Z Ẑ Z 0 = e βm + e βm + 2 Ẑ 0 e βm + e βm = tanh(βm) ( ) tanh βm 2

46 Seminarium CFT p. 23/24 Polaryzowalność atomu Wzór na polaryzowalność a(ω) = Z Ẑ α(ω) W najniższym rzędzie rachunku perturbacyjnego wystarczajace jest przybliżenie Z Ẑ Z 0 = e βm + e βm + 2 Ẑ 0 e βm + e βm = tanh(βm) ( ) tanh βm 2 Polaryzowalność w drugim rzędzie a(ω) = tanh(βm) ( ) tanh βm 2 (4m 2 ω 2 ) coth ( βm 2 4m ) [ ] 4m (ω) + i sign(ω) Γ(ω)

47 Seminarium CFT p. 24/24 Polaryzowalność atomu a(ω) = 4m tanh (βm) [ 4m 2 ω 2 4m T (ω) + i sign(ω) Γ ] T (ω) ( ) T (ω) = (ω) βm tanh 2 ( ) Γ T (ω) = Γ(ω) βm tanh 2 Spodziewana zależność amplitudy polaryzowalności od temperatury Niespodziewane wyostrzenie rezonansu przy wzroście temperatury Motional narrowing