Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Transkrypt

1 Statystyki kwantowe P. F. Góra

2 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie sztywnych ścianach pędy sa wówczas skwantowane i czasteczki moga obsadzać tylko poziomy energii ε p = p2 2m gdzie p jest wartościa własna operatora pędu (2) p = 2π L n (3) Copyright c P. F. Góra 9 2

3 Aby obliczyć wartość energii, nalezy teraz wysumować po (obsadzonych) wartościach własnych pędu. Jeżeli pudło jest naprawdę bardzo duże, sumowanie po pędach zastępujemy całkowaniem V h 3 d 3 p (4) p Stan układu możemy wyznaczyć przez podanie liczby obsadzeń n p poszczególnych stanów. Całkowita energia i całkowita liczba czastek sa równe E = p N = p ε p n p n p (5a) (5b) Copyright c P. F. Góra 9 3

4 Bozony i fermiony Możliwe liczby obsadzeń bardzo się różnia dla bozonów i fermionów: n p = 0, 1, 2,... bozony 0, 1 fermiony (6) Dla czastek boltzmannowskich n p = 0, 1, 2,... ale jeden układ {n p } określa N!/ p (n p!) stanów układu N czastek: dla czastek boltzmannowskich przestawienie dwu czastek prowadzi do nowego stanu, podczas gdy dla bozonów przestawienie czastek nie prowadzi do żadnych zmian, a dla fermionów może jedynie zmienić znak funkcji falowej. Copyright c P. F. Góra 9 4

5 Gdy V, poziomy energetyczne tworza widmo ciagłe. Podzielmy je na grupy poziomów komórki zawierajace, odpowiednio, g 1, g 2,... poziomów. Średnia energia i-tej komórki wynosi ε i, a jej liczba obsadzeń, będaca suma liczby obsadzeń poszczególnych poziomów, wynosi n i. (Ta dziwna konstrukcja służy do tego, abyśmy mogli wykonywać dyskretne sumowanie, formalnie przeszedłwszy do widma ciagłego.) Niech W {n i } będzie liczba stanów odpowiadajac a układowi liczb obsadzeń {n i }. Wówczas Γ(E) = W {n i } (7) {n i } gdzie sumujemy po wszystkich mozliwych stanach o zadanej energii i liczbie czastek. Teraz wystarczy znaleźć wszystkie możliwości rozmieszczenia n i czastek w i-tej komórce, zawierajacej g i poziomów. Copyright c P. F. Góra 9 5

6 Doskonały gaz Bosego Każdy poziom może być obsadzony przez dowolna liczbę czastek. Niech i-ta komórka ma g i podkomórek (poziomów) i g i 1 przegród pomiędzy nimi. Trzeba znaleźć liczbę permutacji n i czastek i g i 1 przegród, które prowadza do różnych rozmieszczeń. W {n i } = i (n i + g i 1)! n i!(g i 1)! (8) Copyright c P. F. Góra 9 6

7 Doskonały gaz Fermiego Liczba czastek w każdej z g i podkomórek wynosi 0 lub 1. Trzeba znaleźć liczbę sposobów wybrania n i spośród g i przedmiotów W {n i } = i g i! n i!(g i n i )! (9) Copyright c P. F. Góra 9 7

8 Doskonały (kwantowy) gaz Boltzmanna Umieszczamy N czastek w komórkach, tak, aby i-ta komórka zawierała n i czastek. Można to zrobić na N!/ (n i!) sposobów. Z kolei w każdej i komórce jest g i poziomów: jest (g i ) n i sposobów, na które n i czastek może obsadzić te g i poziomów. Ostatecznie zatem W {n i } = 1 N! N! i (g i ) n i n i! = i (g i ) n i n i! (10) W (10) podzieliliśmy przez N! aby zapewnić poprawne zliczanie boltzmannowskie (jest to pewna niekonsekwencja, ale kwantowy gaz czastek klasycznych sam w sobie jest niekonsekwencja). Copyright c P. F. Góra 9 8

9 Entropia gazów kwantowych Aby policzyć entropię, formalnie musimy wysumować po wszystkich możliwych konfiguracjach {n i }. Jednak dla dużych układów, entropia jest dobrze przybliżona, jeśli W {n i } zastapimy przez W { n i }, gdzie { n i } jest układem odpowiadajacym maksimum W {n i } przy warunkach ε i n i = i E, n i = N. i Otrzymujemy n i = g i z 1 e βε i 1 g i z 1 e βε i + 1 g i ze βε i Bose Fermi Boltzmann (11) z = e βµ i β = 1/k B T formalnie graja rolę mnożników Lagrange a. Copyright c P. F. Góra 9 9

10 Prowadzi to do nastepujacych wyrażeń na entropię: S/k B = i [ g i i z i g i [ βεi ln z z 1 e βε i 1 ln(1 ze βε i) βεi ln z z 1 e βε i ln(1 ze βε i) g i e βε i(βε i ln z) ] ] Bose Fermi Boltzmann (12) Copyright c P. F. Góra 9 10

11 Cieplna długość fali Dla gazu Boltzmanna E = z i N = z i g i e βε i zv h 3 g i ε i e βε i zv h πp 2 e βp2 /2m dp = zv λ 3 4πp 2 ( p 2 2m ) e βp2 /2m dp = 3 3 Nk BT (13a) (13b) λ = 2π 2 jest ciepln mk B T a dlugości a fali, czyli długościa fali de Broglie a czastki o masie m i energii k b T. Copyright c P. F. Góra 9 11

12 Rozkład Plancka Rozpatrujemy gaz fotonów. Dla celów naszej dyskusji wystarczy wiedzieć, że foton o częstości ω ma energię ω foton o czestości ω ma pęd k, k = ω c istnieja dwie niezależne polaryzacje fotonu ε k = 0 liczba fotonów nie jest ograniczona, gdyż atomy wnęki moga pochłaniać i emitowac fotony (potencjał chemiczny gazu fotonów wynosi zero). Po zamknięciu gazu fotonów w pudle o krawędzi L (V = L 3 ), wektory falowe zostana skwantowane k = 2π L n, gdzie składowe wektora n mog a przybierać wartości 0, ±1, ±2,.... Liczba dozwolonych pędów pomiędzy k a k+dk wynosi V (2π) 34πk2 dk. Copyright c P. F. Góra 9 12

13 Całkowita energia takiego stanu pola elektromagnetycznego, w którym jest n k,ε fotonów o pędzie k i polaryzacji ε wynosi gdzie ω = c k, n k,ε = 0, 1, 2,.... E{n k,ε } = k,ε ωn k,ε (14) Suma statystyczna dana jest wzorem Z = e βe{n k,ε } = {n k,ε } exp β ωn k,ε k,ε = k,ε n=0 e β ωn = k,ε 1 1 e β ω (15) ln Z = 2 k ln ( 1 e β ω) = 2 n ln ( 1 e β c2π n V 1/3) (16) Copyright c P. F. Góra 9 13

14 Możemy teraz obliczyć średnia liczbę fotonów o pędzie k energię wewnętrzna n k = 1 β ( ω) ln Z = 2 e β ω 1, (17) U = β ln Z = k ω n k, (18) oraz ciśnienie p = 1 β V ln Z = 1 3V k ω n k. (19) Łacz ac (18) i (19) otrzymujemy równanie stanu gazu fotonów: pv = 1 3 U. (20) Na koniec obliczmy U/V w granicy V. Otrzymujemy Copyright c P. F. Góra 9 14

15 U V = 2 (2π) 3 Oznaczajac 0 dk 4πk 2 ck e β ck 1 = U V = 0 π 2 c 3 0 dω ω 3 e β ω 1. (21) dω u(ω, T ) (22) widzimy, że gęstość energii fotonów o częstości ω wynosi u(ω, T ) = ω 3 π 2 c 3 e β ω 1. (23) Copyright c P. F. Góra 9 15