Metoda funkcji Greena

Transkrypt

1 Metoda funkcji Greena - dla układów jednoczastkowych

2 Równania liniowe w fizyce Równanie liniowe niejednorodne ma postać ogólna: (z I L) ψ = f, z C Przykłady: 1. Równanie Poissona: L - operator liniowy, I - operator jednostkowy ψ, f - funkcje zmiennych przestrzennych z - zmienna zespolona L(x, x ) = δ(x x ) (x), f(x) = 4 π ρ(x), z = 0 2. Stacjonarne równanie Schrödingera dla czastki w polu potencjalnym: ) L(x, x ) = δ(x x ) ( 2 (x) + V (x), z energia, f 0 2m First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3 Funkcja Greena Funkcję operatorowa zmiennej z spełniajacy równanie (z I L) G(z) = I, G(z) = (z I L) 1 nazywamy funkcja Greena równania liniowego. Formalne rozwiazanie ogólne równania niejednorodnego ma postać: G 1 ψ = f ψ = G f + φ gdzie φ jest rozwiazaniem ogólnym równania jednorodnego. Przedstawienie położeniowe ψ(x) = x ψ : x L x = L(x, x ), x G x = G(x, x ), x I x = δ(x x ), ψ(x) = dx G(x, x ) f(x ) + φ(x )

4 Rozkład funkcji Greena Jeśli operator L ma zupełny ortonormalny układ funkcji własnych L φ n = λ n φ n, φ n n, n n = I to funkcję Greena można rozłożyć na podprzestrzenie własne L n G = n,n n n (z I L) 1 n n = n n n z λ n W reprezentacji położeniowej: G(x, x, z) = x G(z) x = n x n n x z λ n Przykład: równanie Poissona x n = 1 e ikx, λ k = k 2, G(x, x, z) = 1 e ik(x x ) Ω Ω z + k 2 k

5 Wnioski z rozkładu funkcji Greena G(x, x, z) = n x n n x z λ n Bieguny funkcji Greena przypadaja na wartości własne L. Własności symetrii: G (x, x, z) = G(x, x, z ), Asymptotyczne zachowanie G(z): G(z) 1 z dla: z

6 Gęstość stanów Dla ω R mamy: stad 1 ω + i0 + = 1 ω iπ δ(ω) G(x, x, ω+i0 + ) = n x n n x iπ ω λ n n x n n x δ (ω λ n ) 1 π Im tr G(ω+i0+ ) = n δ (ω λ n ) = N (ω) gdzie N (ω) jest gęstościa stanów. Lokalna gęstość stanów: N loc (x, ω) = 1 π Im G(x, x, ω+i0+ ) = n x n 2 δ (ω λ n )

7 Równanie Lippmana-Schwingera Dzielac operator liniowy na część niezaburzona i zaburzenie L = L 0 + V zapiszemy zagadnienie własne dla L w postaci (z I L 0 ) ψ = f = V ψ stad ψ spełnia równanie Lippmana-Schwingera: ψ = G 0 V ψ + φ, G 0 = (z I L 0 ) 1 Iterujac powyższe otrzymujemy ψ w postaci szeregu: lub w równoważnej postaci ψ = φ + G 0 V φ + G 0 V G 0 V φ +... ψ = φ + G V φ Równania te sa użyteczne w opisie procesów rozpraszania.

8 Funkcje Greena sieci z nieporzadkiem Rozdzielimy Hamiltonian ciasnego wiazania z nieporzadkiem lokalnym H = t <lm> c l c m + l l n l = H 0 + V na niezaburzona część periodyczna i zaburzenie energii lokalnej. Funkcja Greena G = (z I H 0 V) 1 = ( G 1 0 V ) 1 = (I G 0 V) 1 G 0 może być przedstawiona w postaci szeregu (P G 0 ) G = P + P V P + P V P V P +... = P + P V G W reprezentacji węzłowej rozwinięcie ma postać G jm = P jm + l P jl l P lm + ll P jl l P ll l P l m +...

9 Funkcja Greena układu periodycznego Zdefiniujemy transformatę Fouriera funkcji P periodycznej sieci k P k = P k = j P 0j e ikj, P 0j = P m m+j W tym samym przedstawieniu H 0 jest diagonalny H 0 = ε k c k c k, ε k = t k stad: δ =±x,±y,±z k P k = k (z I H 0 ) 1 k = δ kk z ε k Funkcja Greena P w przedstawieniu węzłowym dana jest przez odwrotna transformację Fouriera m P m + j = P m m+j = 1 N k e ikδ 1 z ε k e ikj

10 Funkcja Greena dla pojedyńczego defektu Jeśli w sieci istnieje tylko jeden defekt (w położeniu n.p. j = J) funkcję Greena można obliczyć dokładnie G jm = P jm + P jj J P Jm + P jj J P JJ J P Jm +... = P jm + P jj [ 1 + J P JJ + ( J P JJ ) ] P Jm Funkcja Greena w miejscu defektu: G JJ = = P jm + P jj J 1 P JJ J P Jm P JJ 1 J P JJ Lokalna gęstość stanów w miejscu defektu: N loc (ω, J) = 1 π Im G JJ = N (0) loc (ω) (1 J Re P JJ ) 2 + [ π J N (0) loc (ω) ] 2

11 Dla: Stany zlokalizowane i stany rezonansowe 1 = J N k 1 ω 0 ε k zależnie od wartości N (0) loc (ω 0) mamy: Przypadek A: Dla N (0) loc (ω 0) 0 lokalna gęstość stanów będzie miała osobliwość dla ω ω 0 ( ) N loc (ω ω 0, J) δ 1 J N k 1 ω ε k W układzie istnieje wtedy stan zlokalizowany, który nie miesza się z reszta widma niezaburzonego, ma nieskończony czas życia i maleje wykładniczo przy oddalaniu się od defektu. Przypadek B: Dla N (0) loc (ω 0) > 0 w miejscu defektu N loc (ω 0, J) = 1 π 2 2 J N (0) loc (ω 0) Zaburzona gęstość stanów może wtedy posiadać maksimum lokalne, identyfikowane ze stanem rezonansowym, który silnie miesza się z kontinuum i ma skończony czas życia. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

12 Nieporzadek struktury a gęstość stanów ρ(ω) t ρ(ω) t ImΣ(ω)/c t ω/t ω/t ω/t Gęstość stanów (DOS) obliczona w modelu ciasnego wia- zania dla nanorurki węglowej (5,5) dla dużych koncentracji defektów lokalnych: c=0.05 oraz c=0.1, poniżej: energia własna (=czas życia) kwazicza- stek. DOS obliczono ściśle metoda bezpośredniej diagonalizacji oraz funkcjami Greena, zakładajac izolowane defekty. Widać rezonsowa strukturę w DOS blisko centrum pasma (stany zlokalizowane istniały poza pasmem) oraz wygładzenie pików w DOS w miarę wzrostu nieporzadku (T.K. i wsp., w: Sci.and Appl. of Nanotubes, Kluwer 2000 r.). First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

13 Rekurencyjne wyznaczenie funkcji Greena Problem Wyznaczenie krańcowych elementów funkcji Greena 1D izolowanej molekuły, niezbędnych do obliczenia współczynnika przejścia: G 11, G NN, G 1N, G N1. Hamiltonian H = H 0 + H 1 = l=n l=1 l n l + l=n 1 l=1 ( t l c l c l+1 + c l+1 c ) l Funkcja Greena spełnia z definicji równanie (ω I H 0 H 1 ) G = I, albo: (ω I H 0 ) G = I + H 1 G Ostatnie równanie w reprezentacji węzłowej: ω j G jm = δ jm + t j G j+1 m + t j 1 G j 1 m, ω j = ω j

14 Równania rekurencyjne w postaci macierzowej Wyznaczymy elementy G w sposób rekurencyjny [ ] [ ] [ ] Gk+1 1 ωk /t k t k 1 /t k Gk 1 = 1 0 G k 1 G k 1 1, 1 < k < N Równania na brzegach (k = 1, N) maja inna postać ω 1 G 1 1 = 1 + t 1 G 2 1 ω N G N 1 = t N 1 G N 1 1 Uwzględnimy warunki brzegowe wprowadzajac dowolne parametry fikcyjnych przeskoków: t 0 0, t N 0 i przyjmujac: G 01 = 1/t 0 oraz G N+1 1 = 0. Mamy stad: [ ] [ ] 0 G1 1 = T, T = [ ] ωk /t k t k 1 /t k G N 1 1/t k=1...n

15 Brzegowe elementy funkcji Greena Analogicznie jak poprzednio wyznaczamy równania rekurencyjne dla G jn, przyjmujac warunki brzegowe: G N+1 N = 1/t N, G 0N = 0 [ ] [ ] 1/tN G1 N = T, 0 G N N Zebrane równania dla wszystkich elementów brzegowych tworza równanie macierzowe [ ] [ ] [ ] 0 1/tN T11 T 12 G11 G 1N = T 21 T 22 1/t 0 0 G N1 G NN Powyższy układ równań liniowych niejednorodnych ma rozwiazania G 11 = 1 T 12, G N1 = 1 ( T 22 T ) 12 T 21 t 0 T 11 t 0 T 11 G 1N = 1 t N 1 T 11, G NN = 1 t N T 21 T 11 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

16 Funkcje Greena teorii jednoczastkowej - podsumowanie Operatorowa (macierzowa) struktura funkcji Greena umożliwia rozpatrzenie bardziej złożonych sytuacji: rozszerzenie na Q1D (wielokanałowa) strukturę przewodów możliwość właczenia większej ilości (2s,2p,...) orbitali na atom uwzględnienie całek przeskoków dalszych sasiadów Wpływ oddziaływań elektronowych można częściowo uwzględnić redukujac je w ramach metody średniego pola do efektów jednoczast- kowych: W jm ˆn j ˆn m W jm ( ˆn j ˆn m + ˆn m ˆn j ) Kompletny jednoczastkowy opis transportu w stanie nierównowagi daje w rezultacie para równań (f α - funkcja Fermiego przewodu α): ρ = dω ( f 1 G Γ 1 G + f 2 G Γ 2 G ), c jσ c mσ + h.c. = j ρ m I = 2e h dω T (ω) [f 1 (ω) f 2 (ω)], T (ω) = tr ( Γ 1 G Γ 2 G ) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

17 Funkcje Greena-Zubariewa - układy wielu czastek w stanach równowagi

18 Temperaturowe dwuczasowe funkcje Greena Funkcja opóźniona: Funkcje Greena-Zubariewa G r (t, t ) = A(t)B(t ) r = iθ(t t ) [ A(t), B(t ) ] η Funkcja przedwczesna: G a (t, t ) = A(t)B(t ) a = iθ(t t) [ A(t), B(t ) ] η Funkcja przyczynowa: oznaczenia: G c (t, t ) = A(t)B(t ) c = i T A(t) B(t ) [ A, B ] η = A B η B A, (η = ± 1) T A(t) B(t ) = θ(t t ) A(t) B(t ) + η θ(t t) B(t ) A(t) A(t) = e it (H µ ˆN) A e it(h µ ˆN),... = 1 Z tr [...e β (H µ ˆN) ] First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

19 Podstawowe cechy funkcji Greena-Zubariewa 1. Sens fizyczny zależny od definicji operatorów A, B, n.p.: A, B = c k, c k A, B = S k, S+ k A, B = c k c k+q, c p+q c p korelacje wzbudzeń jednoczastkowych korelacje spinowe, fale spinowe fluktuacje gęstości, plazmony 2. A, B - fermionowe, wybieramy: η = 1, bozonowe: η = Zależność od różnicy argumentów czasowych: A(t) B(t ) = A B(t t) = A(t t ) B niezależność śladu od cyklicznej permutacji iloczynu operatorów komutacja operatorów: e β (H µ ˆN) oraz e it(h µ ˆN) 4. transformata Fouriera: G(ω) = dt e iω t G(t), G(t) = 1 2π dω e iω t G(ω) by G(t) 0 dla t ±, uwzględniamy czynnik uzbieżniajacy e 0± t First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

20 Równanie ruchu Równanie ruchu operatora A(t) (uwaga: dalej µ ˆN właczone do H) i d A d t = A H H A Różniczkowanie funkcji Greena G(t) A(t) B i d d t G(t) = δ(t) [ A, B ] η + [ A(t), H ] B Pomnożenie lewej strony równania przez e iωt i scałkowanie po t Otrzymujemy stad: dt e iω t i d d t G(t) = dt G(t) i d d t eiω t = ω G(ω) Równanie ruchu dla funkcji Greena ω A B ω = [ A, B ] η + [ A, H ] B ω

21 Uwagi o rozwiazywaniu równań ruchu Równanie ruchu wyraża wyjściowa funkcję Greena przez funkcję Greena wyższego na ogół rzędu Hierarchia równań ruchu tworzy na ogół nieskończony układ równań W przypadku Hamiltonianiów bez oddziaływań, otrzymujemy identyczne równanie ruchu jak w teorii jednoczastkowej ĆWICZENIA Rozszczepienie funkcji Greena jest metoda przybliżonej redukcji układu równań, umożliwiajacej rozwiazanie, n.p.: [ A, H ] B ω C A B ω C jest macierzowa wielkościa termodynamiczna zdefiniowana w przybliżeniu, A wektorem o elementach operatorowych. Rozwiazanie równania ruchu ma wtedy postać: A B ω (ω I C) 1 [ A, B ] η Rozszczepienia nie gwarantuja spełnienia reguł sum dla funkcji Greena i zwykle nie daja wyników zgodnych z metodami diagramowymi

22 Intensywność widmowa Funkcje Greena stanowia kombinacje liniowe czasowych funkcji korelacji A(t)B = 1 Z tr ( e iht A e iht β B e H) Ślad liczymy używajac zupełnego układu funkcji własnych H: A(t)B = 1 Z A µν B νµ e it( E µ E ν ) e β E µ, µν Definiuje się intensywność widmowa J BA (ω) A µν = µ A ν J BA (ω) = 2π Z 1 µν B µν A νµ δ (E µ E ν ω) e β E µ Funkcje korelacji można wyrazić za pomoca J BA (ω) BA(t) = 1 2π dωj BA (ω)e iωt, A(t)B = 1 2π dωj BA (ω)e iωt e βω

23 Reprezentacja widmowa funkcji Greena Z definicji opóźnionej funkcji Greena, transformaty Fouriera i przedstawień widmowych funkcji korelacji otrzymujemy: G r (ω) = 1 2π dω J BA (ω ) ( e βω η ) Całka po czasie: i dt θ(t) e i(ω ω +i 0 + )t +i = ei(ω ω 0+ )t ω ω + i 0 + Wynika stad dla G r (ω) i - analogicznie - dla G a (ω): dt ( i) θ(t) e i(ω ω +i 0 + )t 0 = 1 ω ω + iγ Przedstawienie widmowe dla funkcji Greena G r,a (ω) = 1 2π dω J BA (ω ) ( e βω η ) 1 ω ω ± i 0 +

24 Zwiazki dyspersyjne Z przedstawienia widmowego dla G r (ω) i wzoru otrzymuje się zwiazek: 1 ω ± i 0 + = P 1 ω iπ δ(ω), 2 Im G r (ω) = J BA (ω) ( e βω η ), jeśli tylko: J BA (ω) R. Wynika stad, że funkcja Greena określona jest w zupełności wyłacznie przez jej część urojona (to prawda także dla zespolonej intensywności). Część rzeczywistej G(ω) wyraża się przez transformację Hilberta części urojonej: Zwiazki dyspersyjne Re G r (ω) = 1 π P dω Im G r(ω ) ω ω, Re G a(ω) = 1 π P dω Im G a(ω ) ω ω

25 Reguły sum i przedstawienie Lehmanna Z definicji J BA (ω) i przedstawień widmowych mamy reguły sum dω J BA (ω) = 2π B µν A νµ e β E µ = 2π B A Z µν dω J BA (ω) ( e βω η ) = 2π A B η B A Podstawiajac definicyjne wyrażenie na intensywość widmowa do przedstawienia widmowego dla G r dostajemy przedstawienie Lehmanna G r (ω) = 1 Z µν e β E µ ( ) A µν B νµ ω E ν + E µ + i 0 η B µν A µν + ω E µ + E ν + i 0 +

26 Funkcje Greena-Zubariewa - podsumowanie za pomoca reguł sum funkcje Greena daja opis termodynamiki układu czastek oddziaływujacych dla N części rzeczywiste biegunów funkcji Greena daja energie wzbudzeń kwaziczastek w układzie, części urojone - czasy życia opóźnione funkcje Greena daja funkcje reakcji liniowej układu wielu ciał na zaburzenie zewnętrzne rozszczepienie układu równań ruchu funkcji Greena - podstawowa metoda przybliżonego znajdywania funkcji Greena układu z oddziaływaniem między czastkami nie istnieje bezpośrednia metoda diagramowa dla funkcji Greena- Zubariewa, możliwość wyznaczenia funkcji Zubariewa za pomoca przedłużenia analitycznego funkcji Matsubary inne metody przybliżone: metoda momentów, metoda gęstości widmowej, fenomenologiczny ansatz dla częsci urojonej