Wstęp do Modelu Standardowego

Transkrypt

1 Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 20/03/2015 1

2 PLAN WYKŁADÓW Zagadnienia wstępne/organizacja zajęć Cztero-wektory transformacja Lorentza Obrazy Lagrange a i Hamiltona Elementy kwantowej teorii pola (QFT) Symetrie ciągłe - wstęp Oddziaływania elektromagnetyczne Symetrie dyskretne (punktowe) parzystość przestrz. oraz ładunkowa Równanie Diraca rozwiązanie dla cząstek o spinie 1/2 Formalizm diagramów Feynmana, renormalizacja Oddziaływania słabe Spontaniczne łamanie symetrii mechanizm BEH Łamanie symetrii kombinowanej CP, macierz CKM Precyzyjne testy Modelu Standardowego LEP Era Beyond the SM Nowa Fizyka 2

3 QFT (1) Przypomnienie: Kwantowa Teoria Pola jest platformą teoretyczną łączącą Mechanikę Kwantową (QM) i Teorię Względności (R) QM 1) wielkości podlegające obserwacji (observables) związane są z operatorami hermitowskimi (operator odwzorowanie) np. energia całkowita związana jest z Hamiltonianem 2) zasada nieoznaczoności x p ħ 2 E t ħ 2 3) relacje komutacji x, p = x p p x = iħ UWAGA czas w QM nierelatywistycznej jest parametrem, podobnie jak w mechanice klasycznej 3

4 QFT (2) Przypomnienie: Kwantowa Teoria Pola jest platformą teoretyczną łączącą Mechanikę Kwantową (QM) i Teorię Względności (R) Rel w zasadzie będzie nam potrzebne tylko E = m(c 2 ) Jeżeli mamy wystarczająco dużo energii możemy kreować cząstki (i to parami dlaczego?) Liczba cząstek nie jest stała! Typ cząstek też może się zmienić Te dwa fakty nie mieszczą się w kwantowym obrazie Schrödingera Funkcja falowa ma określoną tożsamość, która nie może ulec zmianie w żadnym procesie! Równanie falowe Schrödingera ħ2 2m 2 ψ ψ x2 + Vψ = iħ t Funkcja falowa 4

5 QFT (3) Kolejne dwa kroki w teorii kwantowej równania Kleina- Gordona oraz Dirac a nie pomogły w zrozumieniu powyższych problemów! Potrzebna rewolucja Funkcje falowe (ψ, φ ) nie są obiektami, które opisują pojedyncze cząstki zamiast tego traktujemy je jako pola Pola będziemy traktować jak operatory, które mogą kreować lub niszczyć cząstki! Potrzebna nam nowe zasady komutacyjne: x, p φ x, t, π(y, t) Pole odgrywające rolę pędu 5

6 QFT (4) Pola reprezentowane są matematycznie przez funkcje ciągłe relacje komutacyjne zmieniają formę φ x, t, π(y, t) = iħδ x y ważne założenie pola muszą spełniać zasadę przyczynowości jeżeli są oddalone przestrzennie to nie mogą mieć wpływu na siebie Podsumowując pola traktujemy jak operatory pola są funkcjami wsp. przestrzennych i czasowych położenie x oraz czas t są liczbami degradacja położenia jako operatora (QM) pęd pozostaje operatorem Powyższe cztery punkty możemy traktować jako przejście od QM do QFT 6

7 QFT (5) Jednym z najbardziej niezwykłych faktów związanych z QFT jest to, że podstawowe narzędzia matematyczne tej teorii opracowano w XVII i XIX wieku Awesome! Lagranżjan L = E K E P Zasada najmniejszego działania (Hamilton a) S = L dt = Ext. Sukcesy stosowania podejścia Lagrange s do sformułowania QFT leżą głównie w fakcie, że Lagranżjan jest niezmienniczy ze względu na różne operacje symetrii (np. obroty w przestrzeni) 7

8 Show me some action d dt x x = 0 Przykład: cząstka poruszająca się w 1-dim 1) L = 1 2 m x2 V(x) 2) x 1 2 m x2 V(x) = m x d dt x = m x x = x 1 2 m x2 V(x) = V(x) x m x = V x F = m x 8

9 Działanie a równania ruchu (1) Działanie całka oznaczona (liczba!) z L po t (rachunek wariacyjny badamy zachowanie funkcjonału) Zasada Hamilton a cząstki poruszają się po torach, dla których S jest najmniejsze Równanie toru znajdujemy poprzez analizę wariacji działania Jeżeli ustalimy w przestrzeni dwa punkty q (1) (q 1, t 1 ) oraz q (2) (q 2, t 2 ), to zauważymy, że istnieje -wiele dróg łączących je Rzeczywista droga to ta, dla której działanie osiąga minimum S S + δs: dla toru rzeczywistego δs = 0 Poszukiwanie δs prowadzi do równań ruchu! 9

10 Działanie a równania ruchu (2) Zaczynamy od rozważenia zmiany położenia Warunki brzegowe Potencjał x x + ε ε t 1 = ε t 2 = 0 V x + ε = V x + ε dv dx Mała pierwszego rzędu względem x Końce trajektorii są ustalone Działanie dla rzeczywistej trajektorii S = t 2 L q t, q t, t dt = t 1 t 1 t m x + ε 2 V x ε dv dx dt 10

11 Działanie a równania ruchu (3) Wariację działania możemy zapisać więc (uogólniamy na i zmiennych) δs = t 1 t 2 i δq q i + δ i q i q i dt δ q i = d dt δq i Całkujemy przez części δs = t 1 t 2 i q i d dt δq q i dt = 0 i d dt q i q i = 0 Równania ruchu Euler a-lagrange a 11

12 Podsumowanie 12