Kwantowe splątanie dwóch atomów

Transkrypt

1

2 Walne Zebranie Oddziału Poznańskiego Polskiego Towarzystwa Fizycznego Poznań, 7 grudnia 2006 Kwantowe splątanie dwóch atomów Ryszard Tanaś Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Zakład Optyki Nieliniowej

3 Plan wykładu 1 Dwa atomy w próżni Emisja spontaniczna Równanie master Stany kolektywne Ewolucja układu dwóch atomów Baza obliczeniowa Baza stanów kolektywnych Równania ruchu Rozwiązania analityczne Jak mierzyć splątanie Ujemność (ang. negativity)

4 3.2 Zgodność (ang. concurrence) Ewolucja splątania dwóch atomów Dwa atomy w stanie symetrycznym Dwa atomy w stanie antysymetrycznym Jeden atom wzbudzony Dwa atomy wzbudzone Nagła śmierć splątania Zaniki i odrodzenia Krótkie podsumowanie 116

5 Współpraca i wsparcie finansowe Współpraca: Dr Zbigniew Ficek The University of Queensland, Brisbane, Australia Wsparcie finansowe: Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego Grant 1 P03B The University of Queensland, Australia Travel grant, 2006

6 1 Dwa atomy w próżni 1.1 Emisja spontaniczna e 1 ω 0 g 1 Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce kwantowej.

7 1 Dwa atomy w próżni 1.1 Emisja spontaniczna e 1 ω 0 g 1 Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce kwantowej. Obecnie, w informatyce kwantowej, każdy układ dwustanowy to kubit (ang. qubit)! atom dwupoziomowy = kubit

8 e 1 g 1 Zwykle taki atom znajduje się w stanie podstawowym.

9 e 1 g 1 Jeśli jednak oświetlimy go światłem o częstości bliskiej częstości przejścia atomowego, to atom, absorbując foton, przechodzi do...

10 e 1 g 1... stanu wzbudzonego. Z tego stanu atom spontanicznie, a właściwie w wyniku oddziaływania z próżnią fotonową, przechodzi do...

11 e 1 g 1... stanu podstawowego emitując foton. Takie przejście to emisja spontaniczna.

12 e 1 g 1... stanu podstawowego emitując foton. Takie przejście to emisja spontaniczna. Szybkość z jaką atom traci energię charakteryzuje dane przejście atomowe; jest to współczynnik Einsteina A, tutaj zwany Γ.

13 e 1 g 1 Wypromieniowany w wyniku emisji spontanicznej foton o energii hω 0 rozpoczyna własne życie w przestrzeni stanów pola.

14 e 1 e 2 g 1 g 2 Jeśli foton trafi na drugi atom będący w stanie podstawowym...

15 e 1 e 2 g 1 g 2... to ten drugi atom może taki foton zaabsorbować...

16 e 1 e 2 g 1 g 2... i przejść do stanu wzbudzonego.

17 e 1 e 2 g 1 g 2 Wzbudzony atom w wyniku emisji spontanicznej emituje foton...

18 e 1 e 2 g 1 g 2... i przechodzi do stanu podstawowego.

19 e 1 e 2 g 1 g 2 Ale foton może być wyemitowany przez atom w dowolnym kierunku, a więc jest pewna szansa, że dotrze także do atomu pierwszego...

20 e 1 e 2 g 1 g 2... i wzbudzi atom pierwszy.

21 e 1 e 2 g 1 g 2... i wzbudzi atom pierwszy. W ten sposób powstaje pomiędzy atomami oddziaływanie. Atomy przestają być niezależne i zaczynają zachowywać się kolektywnie. Tak poglądowo, i nie całkiem poprawnie (chodzi raczej o fotony wirtualne), można objaśnić kolektywne zachowanie się atomów.

22 e 1 e 2 r 12 g 1 g 2 Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r 12 = const < λ).

23 e 1 e 2 r 12 g 1 g 2 Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r 12 = const < λ). Badamy kolektywną emisję spontaniczną, dla różnych warunków początkowych, np. jeden atom wzbudzony, jak tutaj...

24 e 1 e 2 r 12 g 1 g 2... lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj.

25 e 1 e 2 r 12 g 1 g 2... lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj. Interesuje nas kwantowe splątanie dwóch atomów.

26 e 1 e 2 r 12 g 1 g 2... lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj. Interesuje nas kwantowe splątanie dwóch atomów. Dwa atomy to przecież dwukubitowy rejestr, a splątanie kwantowe to główne paliwo z punktu widzenia informatyki kwantowej!

27 1.2 Równanie master Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie: ˆρ t = i i=1 2 i,j=1 ω i [S z i, ˆρ] i 2 i j Ω ij [ S + i S j, ˆρ ] Γ ij (ˆρS + i S j + S+ i S j ˆρ 2S j ˆρS+ i )

28 1.2 Równanie master Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie: ˆρ t = i i=1 2 i,j=1 ω i [S z i, ˆρ] i 2 i j Ω ij [ S + i S j, ˆρ ] Γ ij (ˆρS + i S j + S+ i S j ˆρ 2S j ˆρS+ i ) Parametry kolektywne: Ω 12 (r 12 ) = Ω 21 (r 12 ) Γ 12 (r 12 ) = Γ 21 (r 12 ) oddziaływanie dipol-dipol tłumienie kolektywne

29 1.5 Γ 12 Ω 12 1 Γ12/Γ Ω12/Γ r 12 /λ Zależność parametrów kolektywnych Γ 12 i Ω 12 od odległości r 12 pomiędzy atomami ( ˆµ ˆr 12 ).

30 1.3 Stany kolektywne e 1 e 2 ω 0 ω 0 g 1 g 2 Niezależne atomy baza obliczeniowa: { g 1 g 2, e 1 e 2, g 1 e 2, e 1 g 2 }

31 e 1 e 2 ω 0 Ω 12 ω 0 g 1 g 2 Włączenie oddziaływania dipol-dipol do hamiltonianu i jego rediagonalizacja prowadzi do nowych stanów stanów kolektywnych układu dwóch atomów.

32 e e 1 ω 0 e 2 s Ω 12 Ω 12 a g 1 ω 0 g 2 Stany kolektywne: g { g = g 1 g 2, e = e 1 e 2, s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ), a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) }

33 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym s = 1 ( e1 2 g 2 + g 1 e 2 ), to mamy dwa atomy w stanie maksymalnie splątanym!

34 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym s = 1 ( e1 2 g 2 + g 1 e 2 ), to mamy dwa atomy w stanie maksymalnie splątanym! Jest to jeden ze stanów Bella!

35 e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego s maleje w tempie Γ + Γ 12 (szybko).

36 e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego s maleje w tempie Γ + Γ 12 (szybko). W jakim tempie maleje stopień splątania?

37 e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego s maleje w tempie Γ + Γ 12 (szybko). W jakim tempie maleje stopień splątania? Jak mierzyć stopień splątania?

38 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym a = 1 ( e1 2 g 2 g 1 e 2 ) są maksymalnie splątane!

39 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym a = 1 ( e1 2 g 2 g 1 e 2 ) są maksymalnie splątane! Jest to kolejny stan Bella!

40 e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu antysymetrycznego a maleje w tempie Γ Γ 12 (wolno decoherence free ).

41 e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu antysymetrycznego a maleje w tempie Γ Γ 12 (wolno decoherence free ). W jakim tempie maleje stopień splątania?

42 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Jeśli obydwa atomy są wzbudzone, to układ znajduje się w stanie e = e 1 e 2, który jest stanem iloczynowym i nie ma splątania.

43 e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych s i a.

44 e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych s i a. Czy w trakcie ewolucji pojawi się splątanie?

45 2 Ewolucja układu dwóch atomów 2.1 Baza obliczeniowa 1 = g 1 g 2 2 = e 1 e 2 3 = g 1 e 2 4 = e 1 g 2 Jeśli w bazie obliczeniowej macierz gęstości ma... ρ 11 (0) ρ 12 (0) 0 0 ρ 21 (0) ρ 22 (0) 0 0 ρ(0) = 0 0 ρ 33 (0) ρ 34 (0) 0 0 ρ 43 (0) ρ 44 (0)... początkowo postać blokową...

46 1 = g 1 g 2 2 = e 1 e 2 3 = g 1 e 2 4 = e 1 g 2... to dla dowolnego czasu t ewolucja... ρ(t) = ρ 11 (t) ρ 12 (t) 0 0 ρ 21 (t) ρ 22 (t) ρ 33 (t) ρ 34 (t) 0 0 ρ 43 (t) ρ 44 (t)... zachowuje blokową postać macierzy gęstości.

47 2.2 Baza stanów kolektywnych g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) W bazie stanów kolektywnych macierz gęstości... ρ gg (0) ρ ge (0) 0 0 ρ eg (0) ρ ee (0) 0 0 ρ(0) = 0 0 ρ ss (0) ρ sa (0) 0 0 ρ as (0) ρ aa (0)... ma także postać blokową.

48 g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) Podobnie jak w bazie obliczeniowej, ewolucja zachowuje... ρ(t) = ρ gg (t) ρ ge (t) 0 0 ρ eg (t) ρ ee (t) ρ ss (t) ρ sa (t) 0 0 ρ as (t) ρ aa (t)... blokową postać macierzy gęstości w stanach kolektywnych.

49 2.3 Równania ruchu ρ ee = 2Γρ ee ρ eg = (Γ + 2iω 0 ) ρ eg ρ ss = (Γ + Γ 12 ) (ρ ss ρ ee ) ρ aa = (Γ Γ 12 ) (ρ aa ρ ee ) ρ as = (Γ + i2ω 12 ) ρ as W przypadku dwóch identycznych atomów w próżni ewolucja w bazie stanów kolektywnych opisywana jest bardzo prostym układem równań, który łatwo rozwiązać.

50 2.4 Rozwiązania analityczne ρ ss (t) = ρ ss (0) e (Γ+Γ12)t + ρ ee (0) Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 ρ aa (t) = ρ aa (0) e (Γ Γ12)t + ρ ee (0) Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) Γ + Γ 12 ρ as (t) = ρ as (0) e (Γ+i2Ω 12)t ρ ee (t) = ρ ee (0) e 2Γt ρ eg (t) = ρ eg (0) e (Γ+2iω 0)t ρ gg (t) = 1 ρ ee (t) ρ ss (t) ρ aa (t)

51 2.4 Rozwiązania analityczne ρ ss (t) = ρ ss (0) e (Γ+Γ12)t + ρ ee (0) Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 ρ aa (t) = ρ aa (0) e (Γ Γ12)t + ρ ee (0) Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) Γ + Γ 12 ρ as (t) = ρ as (0) e (Γ+i2Ω 12)t ρ ee (t) = ρ ee (0) e 2Γt ρ eg (t) = ρ eg (0) e (Γ+2iω 0)t ρ gg (t) = 1 ρ ee (t) ρ ss (t) ρ aa (t) ρ ij (t ) 0 (ρ ij ρ gg )

52 3 Jak mierzyć splątanie 3.1 Ujemność (ang. negativity) A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996) M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

53 3 Jak mierzyć splątanie 3.1 Ujemność (ang. negativity) A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996) M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996) N = max 0, 2 i ν i {ν i } ujemne wartości częściowo transponowanej macierzy gęstości ρ T 1

54 3 Jak mierzyć splątanie 3.1 Ujemność (ang. negativity) A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996) M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996) N = max 0, 2 i ν i {ν i } ujemne wartości częściowo transponowanej macierzy gęstości ρ T 1 0 N 1 N = 0 N = 1 nie ma splątania maksymalne splątanie

55 Dla układu dwóch atomów, przy warunkach początkowych ograniczających ewolucję do dwóch bloków macierzy gęstości, ujemność (ang. negativity) dana jest wyrażeniem: N (t) = max { 0, N 1 (t), N 2 (t) } N 1 (t)= 2 ρ ge(t) 2 + [ Rρ sa(t) ] 2 [ ρss(t) + ρ aa(t) ] N 2 (t)= [ρss(t) ρ aa(t) ] 2 + [ 2Iρsa(t) ] 2 + [ ρgg(t) + ρ ee(t) ] 2 [ ρ gg (t) + ρ ee (t) ]

56 3.2 Zgodność (ang. concurrence) W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

57 3.2 Zgodność (ang. concurrence) W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998) C = max (0, λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 ) {λ i } wartości własne macierzy R R = ρ ( σ y σ y ρ σ y σ y )

58 3.2 Zgodność (ang. concurrence) W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998) C = max (0, λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 ) {λ i } wartości własne macierzy R R = ρ ( σ y σ y ρ σ y σ y ) 0 C 1 C = 0 C = 1 nie ma splątania maksymalne splątanie

59 Dla układu dwóch atomów, przy warunkach początkowych ograniczających ewolucję do dwóch bloków macierzy gęstości, zgodność (ang. concurrence) dana jest wyrażeniem: C(t) = max { 0, C 1 (t), C 2 (t) } C 1 (t)= 2 ρ ge (t) [ρss(t) + ρ aa(t) ] 2 [ 2Rρsa(t) ] 2 C 2 (t)= [ρss (t) ρ aa (t) ] 2 + [ 2Iρsa (t) ] 2 2 ρee (t)ρ gg (t)

60 4 Ewolucja splątania dwóch atomów 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g

61 4 Ewolucja splątania dwóch atomów 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g N (t) = 1 2ρ ss (t) [ 1 ρ ss (t) ] [ 1 ρ ss (t) ]

62 4 Ewolucja splątania dwóch atomów 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g N (t) = 1 2ρ ss (t) [ 1 ρ ss (t) ] [ 1 ρ ss (t) ] C(t) = ρ ss (t) = e (Γ+Γ 12)t

63 C(t), N(t) C(t) N(t) Γt Ewolucja C(t) oraz N (t) dla symetrycznego stanu początkowego dla r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ)

64 4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g

65 4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g N (t) = 1 2ρ aa (t) [ 1 ρ aa (t) ] [ 1 ρ aa (t) ] C(t) = ρ aa (t) = e (Γ Γ 12)t

66 C(t), N(t) C(t) N(t) Γt Ewolucja C(t) oraz N (t) dla antysymetrycznego stanu początkowego dla r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ)

67 4.3 Jeden atom wzbudzony e 1 e 2 g 1 g 2 Stan początkowy: Ψ(0) = e 1 g 2 Stan iloczynowy.

68 4.3 Jeden atom wzbudzony e 1 e 2 g 1 g 2 Stan początkowy: Ψ(0) = e 1 g 2 Stan iloczynowy. Nie ma splątania!

69 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g W bazie stanów kolektywnych: Ψ(0) = 1 2 ( s + a )

70 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g W bazie stanów kolektywnych: Ψ(0) = 1 2 ( s + a ) Niezerowe elementy: ρ ss (0) = ρ aa (0) = 1 2 ρ as (0) = ρ sa (0) = 1 2 obsadzenia koherencje

71 e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g

72 e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Zgodność ma wtedy postać: C(t) = 1 [e (Γ+Γ 12)t e ] (Γ Γ 2 [ 12)t + 2e Γt sin(2ω 12 t) ] 2 2

73 1 0.8 C(t) ρ aa (t) + ρ ss (t) ρ aa (t) ρ ss (t) 0.6 C(t) Γt Ewolucja C(t); jeden atom wzbudzony ( Ψ(0) = e 1 g 2 ) przy ˆµ ˆr 12 oraz r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ, 2Ω 12 = 9.30 Γ)

74 4.4 Dwa atomy wzbudzone e 1 e 2 g 1 g 2 Stan początkowy: Ψ(0) = e 1 e 2 Nie ma splątania!

75 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g W bazie stanów kolektywnych odpowiada to: ρ ee (0) = 1

76 e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna przebiega dwoma kanałami.

77 Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max { 0, C 2 (t) } C 2 (t) = Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 Γ Γ 12 Γ + Γ 12 ( e (Γ Γ 12)t e 2Γt) 2e Γt ρgg

78 Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max { 0, C 2 (t) } C 2 (t) = Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) 2e Γt ρgg Γ + Γ 12 ρ gg (t) = 1 [ Γ + Γ12 ( e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 + Γ Γ 12 Γ + Γ 12 ( e (Γ Γ 12)t e 2Γt) + e 2Γt ]

79 Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max { 0, C 2 (t) } C 2 (t) = Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) 2e Γt ρgg Γ + Γ 12 ρ gg (t) = 1 [ Γ + Γ12 ( e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 + Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) ] + e 2Γt Γ + Γ 12 Wynik nie zależy od Ω 12.

80 C(t) N(t) ρ aa (t) C(t) N(t) Γt Zgodność C(t) ujemność N (t); dwa atomy wzbudzone ρ ee (0) = 1 przy r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ)

81 4.5 Nagła śmierć splątania T. Yu, J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, (2004) e 1 e 2 g 1 g 2 W tym modelu dwa atomy umieszczone są w odległych od siebie wnękach. Zostały przygotowane w stanie splątanym i potem nie mają możliwości bezpośredniego oddziaływania. Dla pewnych warunków początkowych splątanie zanika w skończonym czasie. Następuje nagła śmierć splątania (C(t > t d ) = 0).

82 4.5 Nagła śmierć splątania T. Yu, J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, (2004) e 1 e 2 g 1 g 2 W tym modelu dwa atomy umieszczone są w odległych od siebie wnękach. Zostały przygotowane w stanie splątanym i potem nie mają możliwości bezpośredniego oddziaływania. Dla pewnych warunków początkowych splątanie zanika w skończonym czasie. Następuje nagła śmierć splątania (C(t > t d ) = 0). A co będzie jeśli atomy są we wspólnej próżni?

83 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g ρ ss (0) = 2 3, ρ gg(0) = 1 (1 α), 3 ρ ee(0) = 1 3 α

84 e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g ρ ss (0) = 2 3, ρ gg(0) = 1 (1 α), 3 ρ ee(0) = 1 3 α C(0) = 2 3 ( 1 ) α(1 α)

85 e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t) ρ ee (t)

86 g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) ρ(0) = 1 3 (1 α) α

87 g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) ρ(t) = ρ gg (t) 0 0 ρ ee (t) ρ ss (t) 0 0 ρ aa (t)

88 ρ gg (t) = 1 [ρ ee (t) + ρ ss (t) + ρ aa (t)] ρ ee (t) = α 3 e 2Γt ρ ss (t) = 2 3 e (Γ+Γ 12)t + α Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] 3 Γ Γ 12 ρ aa (t) = α Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] 3 Γ + Γ 12

89 ρ gg (t) = 1 [ρ ee (t) + ρ ss (t) + ρ aa (t)] ρ ee (t) = α 3 e 2Γt ρ ss (t) = 2 3 e (Γ+Γ 12)t + α Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] 3 Γ Γ 12 ρ aa (t) = α Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] 3 Γ + Γ 12 C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

90 1 0.8 Nagła śmierć splątania r 12 /λ = C(t) Γt

91 1 0.8 Nagła śmierć splątania r 12 /λ = 10 C(t) ρ ss (t) Γt

92 Dla α = 1 splątanie zanika w czasie ( t d = 1 Γ ln 2 + ) 2 2, który jest skończony pomimo faktu, że poszczególne elementy macierzowe zanikają jedynie asymtotycznie przy t. Czas nagłej śmierci t d ma skończoną wartość dla 1 3 dla α < 1 zanik jest asymtotyczny. 3 < α 1, zaś

93 Dla α = 1 splątanie zanika w czasie ( t d = 1 Γ ln 2 + ) 2 2, który jest skończony pomimo faktu, że poszczególne elementy macierzowe zanikają jedynie asymtotycznie przy t. Czas nagłej śmierci t d ma skończoną wartość dla 1 3 dla α < 1 zanik jest asymtotyczny. 3 < α 1, zaś A jak wygląda nagła śmierć dla oddziałujących atomów?

94 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 = td α

95 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1 Γ 12 = td α

96 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1/3 Γ 12 = td α

97 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1/4 Γ 12 = td α

98 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1/6 Γ 12 = td α

99 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1/8 Γ 12 = td α

100 10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1/12 Γ 12 = td α

101 Czy splątanie może się odrodzić? ρ gg (t) = 1 [ρ ee (t) + ρ ss (t) + ρ aa (t)] ρ ee (t) = α 3 e 2Γt ρ ss (t) = 2 3 e (Γ+Γ 12)t + α Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] 3 Γ Γ 12 ρ aa (t) = α Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] 3 Γ + Γ 12 C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

102 10 Nagła śmierć 8 r 12 /λ=10 Γ 12 = td α

103 10 Nagła śmierć 8 r 12 /λ=1 Γ 12 = td α

104 10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/3 Γ 12 =0.31 td tr α

105 10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/4 Γ 12 =0.57 td tr α

106 10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/6 Γ 12 =0.79 td tr α

107 10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/8 Γ 12 =0.88 td tr α

108 10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/12 Γ 12 =0.95 td tr α

109 10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/12 Γ 12 =0.95 td tr α

110 Nagła śmierć i odrodzenie splątania r 12 /λ = C(t) Γt

111 Po nagłej śmierci...

112 Po nagłej śmierci... splątanie się odradza...

113 Po nagłej śmierci... splątanie się odradza... jeżeli dwa atomy zachowują się kolektywnie!

114 4.6 Zaniki i odrodzenia Z. Ficek, R. Tanaś, Phys. Rev. A, 74, (2006) e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Ψ 0 = p e + 1 p g C(0) = 2 p(1 p)

115 e e 1 Γ + Γ 12 e 2 s Γ Γ 12 a g 1 Γ + Γ 12 g 2 Γ Γ 12 g C 1 (t) = 2 ρ ge (t) [ ρ ss (t) + ρ aa (t) ] C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

116 ρ(t) = ρ gg (t) ρ ge (t) ρ eg (t) ρ ee (t) ρ ss (t) 0 0 ρ aa (t)

117 ρ(t) = ρ gg (t) ρ ge (t) ρ eg (t) ρ ee (t) ρ ss (t) 0 0 ρ aa (t) ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ 12 Γ + Γ 12 [ e (Γ Γ 12)t e 2Γt]

118 Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = ρ aa (t) = p [e Γt e 2Γt]

119 Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = ρ aa (t) = p [e Γt e 2Γt] C 1 (t) = 2 p(1 p) e Γt 2p [e Γt e 2Γt] C 2 (t) = 2 ρ gg (t)ρ ee (t) < 0

120 Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = ρ aa (t) = p [e Γt e 2Γt] C 1 (t) = 2 p(1 p) e Γt 2p [e Γt e 2Γt] C 2 (t) = 2 ρ gg (t)ρ ee (t) < 0 Czy C 1 (t) > 0?

121 Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ( C 1 (t) > 0 dla t < t d = 1 Γ ln p + ) p(1 p) 2p 1

122 Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ( C 1 (t) > 0 dla t < t d = 1 Γ ln p + ) p(1 p) 2p 1 Czas zaniku splątania t d ma skończoną wartość dla p > 0.5 tzn. przy inwersji obsadzeń: ρ ee (0) > 0.5

123 Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ( C 1 (t) > 0 dla t < t d = 1 Γ ln p + ) p(1 p) 2p 1 Czas zaniku splątania t d ma skończoną wartość dla p > 0.5 tzn. przy inwersji obsadzeń: ρ ee (0) > 0.5 Nagła śmierć splątania

124 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 = td p

125 Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 C 1 (t) = 2 ρ ge (t) [ ρ ss (t) + ρ aa (t) ]

126 Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 C 1 (t) = 2 ρ ge (t) [ ρ ss (t) + ρ aa (t) ] A co z t d?

127 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 = td p

128 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1 Γ 12 = td p

129 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/2 Γ 12 = td p

130 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/3 Γ 12 = td p

131 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/4 Γ 12 = td p

132 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/5 Γ 12 = td p

133 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/6 Γ 12 = td p

134 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/8 Γ 12 = td p

135 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/12 Γ 12 = td p

136 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/16 Γ 12 = td p

137 10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/20 Γ 12 = td p

138 Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 ρ ss ρ aa C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

139 Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 ρ ss ρ aa C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t) Czy C 2 (t) może być dodatnie dla pewnego t r > t d?

140 Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 ρ ss ρ aa C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t) Czy C 2 (t) może być dodatnie dla pewnego t r > t d? Czy może nastąpić odrodzenie splątania?

141 10 Zaniki splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 = td p

142 10 Zaniki splątania 8 r 12 /λ=1 Γ 12 = td p

143 10 Zaniki splątania 8 r 12 /λ=1/2 Γ 12 = td p

144 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/3 Γ 12 =0.31 td tr p

145 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/4 Γ 12 =0.57 td tr p

146 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/5 Γ 12 =0.71 td tr p

147 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/6 Γ 12 =0.79 td tr p

148 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/8 Γ 12 =0.88 td tr p

149 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/12 Γ 12 =0.95 td tr p

150 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/16 Γ 12 =0.97 td tr p

151 10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/20 Γ 12 =0.98 td tr p

152 10 Przykład: p = r 12 /λ=1/20 Γ 12 =0.98 td tr p

153 0.1 Przykład: p = p = C(t) Γt

154 10 Przykład: p = r 12 /λ=1/20 Γ 12 =0.98 td tr p

155 0.1 Przykład: p = p = C(t) Γt

156 Po nagłej śmierci...

157 Po nagłej śmierci... splątanie się odradza...

158 Po nagłej śmierci... splątanie się odradza... jeżeli dwa atomy zachowują się kolektywnie!

159 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

160 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

161 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

162 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

163 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

164 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

165 5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

166 Nasze prace Z. Ficek, R. Tanaś Correlated superposition states in two-atom systems in Modern Nonlinear Optics, Part I, ed. M. Evans (Wiley, New York, 2001) vol 119 of Advances in Chemical Physics, pp Z. Ficek, R. Tanaś Entangled states and collective nonclassical effects in two-atom systems Physics Reports 372, 369 (2002) Z. Ficek, R. Tanaś Entanglement induced by spontaneous emission in spatially extended two-atom systems J. Mod. Opt. 50, 2765 (2003) R. Tanaś, Z. Ficek Entanglement of two atoms Fortschr. Phys. 51, 230 (2003)

167 R. Tanaś, Z. Ficek Entangling two atoms via spontaneous emission J. Opt. B 6, S90 (2004) R. Tanaś, Z. Ficek Stationary two-atom entanglement induced by nonclassical two-photon correlations J. Opt. B 6, S610 (2004) Z. Ficek, R. Tanaś Dark periods and revivals of entanglement in a two qubit system Phys. Rev. A, 74, (2006) (quant-ph/ ) R. Tanaś Kwantowe splątanie dwóch atomów Postępy Fizyki, 57, 104 (2006) Dostępne na: http: //zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas/spis_pub/spis_pub.html

168 Dziękuję!