Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1"

Transkrypt

1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ (r) = k ψ σ(r) = k â kσ e ik r (22.1) â kσ e ik r (22.2) â kσ, â k σ operatory anihilacji i kreacji jednocząstkowych stanów fermionowych k wektor falowy elektronu σ rzut spinu na oś z Spełniają one relacje antykomutacji Operator gęstości fermionów [ ψ σ (r), ψ σ (r )] + = [ ψ σ(r), ψ σ (r )] + = 0 (22.3) n(r) df = σ ψ σ(r) ψ N σ (r) = δ(r r i ) (22.4) i=1 N wartość własna operatora N (całowita liczba fermionów w układzie) Operator całkowitej liczby fermionów N = df d 3 r n(r) (22.5)

2 2 Rozdział 22. Metoda funkcjonałów gęstości Hamiltonian gazu elektronowego znajdującego się w polu zewnętrznym o potencjale v(r) Ĥ = T + V + Û (22.6) Operator energii kinetycznej T = h2 2m d 3 r ψ (r) 2 ψ(r) (22.7) Operator energii potencjalnej elektronów w polu zewnętrznym V = d 3 r v(r) ψ (r) ψ(r) = d 3 rv(r) n(r) (22.8) operator energii potencjalnej oddziaływań elektronów z sobą Û = κe2 2 d 3 rd 3 r n(r) n(r ) r r (22.9) κ = 1/4πε Gęstość jako zmienna podstawowa Gaz elektronowy w stanie podstawowym Ψ (nie zdegenerowany). Gęstość elektronów n(r) = df Ψ n(r) Ψ = d 3N rψ (r) n(r)ψ(r) (22.10) E energia całkowita układu N elektronów Ψ(r) = r Ψ N-elektronowa funkcja falowa r = (r 1,r 2,...,r N ) Ψ stan własny operatora Hamiltona układu N elektronów (Ĥ E) Ψ = 0 (22.11) Ψ(r) jest wyznaczona za pomocą równania własnego (22.11), zapisanego w reprezentacji położeniowej, w którym hamiltonian H jest określony przez podanie potencjału zewnętrznego v(r). Twierdzenie (I) Gęstość elektronów n(r) jest jednoznacznym funkcjonałem potencjału zewnętrznego v(r).

3 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 3 Twierdzenie (II) Potencjał zewnętrzny v(r) jest jednoznacznym funkcjonałem gęstości n(r) (z dokładnością do stałej addytywnej). Wniosek (A) Energia całkowita układu N elektronów E = Ψ Ĥ Ψ = Ψ T + Û + V Ψ jest jednoznacznym funkcjonałem gęstości elektronowej n(r). Twierdzenie (II) wraz z wnioskiem (A) stanowi podstawę formalizmu funkcjonałów gęstości Zasada wariacyjna dla funkcjonału E Energia stanu podstawowego E jest najmniejszą wartością funkcjonału E[n] otrzymaną z minimalizacji E[n ] względem dowolnych gęstości n (r) odpowiadających tej samej wartości N całkowitej liczby elektronów. Warunek minimum funkcjonału E[n] dla n(r) możemy wyrazić jako δe[n] = 0 (22.12) przy czym d 3 rn(r) = N (22.13) N = całkowita liczba elektronów 22.4 Równanie Poissona Energia potencjalna oddziaływań pomiędzy elektronami U[n] = E H [n] + E x [n] + E c [n]. (22.14) Interpretacja poszczególnych wyrazów we wzorze (22.14) (1) E H [n] = klasyczna energia kulombowska oddziaływań elektronów z sobą (tzw. energia Hartree) E H [n] = e d 3 rv H (r)n(r), (22.15) 2 gdzie v H jest potencjałem Hartree.

4 4 Rozdział 22. Metoda funkcjonałów gęstości (2) E x [n] = energia wymienna (3) E c [n] = energia korelacji Potencjał elektrostatyczny ϕ(r) df = v(r) + v H (r) (22.16) v(r) = potencjał zewnętrzny (pochodzi na ogół od ładunku dodatniego). Potencjał elektrostatyczny ϕ(r) znajdujemy z równania Poissona 2 ϕ(r) = e ε 0 [n(r) n + (r)]. (22.17) 22.5 Potencjał chemiczny Dla prawidłowej gęstości n(r) δe[n] δn(r) = µ (22.18) µ = mnożnik Lagrange a o wymiarze energii Dla dużych N czynnik Lagrange a µ jest równy potencjałowi chemicznemu układu N elektronów E N N v(r) = µ (22.19) Potencjał chemiczny interpretujemy jako energię potrzebną do zwiększenia liczby elektronów w układzie o jeden Jednocząstkowa postać problemu wielu cząstek Rozważmy fikcyjny układ N fermionów o masach m (równych masie elektronu), poruszających się w zewnętrznym polu statycznym o potencjale v s (r) oraz nie oddziaływujących pomiędzy sobą Zakładamy, że gęstość fermionów w fikcyjnym układzie n(r) jest taka sama jak w rzeczywistym układzie N elektronów, który jest pod działaniem zewnętrznego potencjału v(r). Pełny hamiltonian Ĥs tego fikcyjnego układu jest sumą hamiltonianów jednocząstkowych ĥ = h2 2m 2 + v s (r). (22.20)

5 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 5 Wielocząstkowa funkcja falowa jest wyznacznikiem Slatera zbudowanym z jednocząstkowych funkcji falowych ψ i (r), które spełniają jednocząstkowe równania Schrödingera ] [ h2 2m 2 + v s (r) ψ i (r) = ε i ψ i (r) (22.21) Gęstość fermionów N n(r) = ψ i (r) 2 (22.22) i=1 ψ i (r) ortonormalne funkcje własne równania (22.21), które odpowiadają N najniższym poziomom energetycznym ε i (i = 1,...,N) Jest to sposób na znajdowanie gęstości rzeczywistego układu N fermionów, która odpowiada najniższej energii tego układu. Metoda ta może być stosowana do opisu stanu podstawowego układu oddziaływujących fermionów Opis rzeczywistego gazu elektronowego: przybliżenie lokalne (LDA) Zakładamy, że w stanie podstawowym: n(r) = n s (r). Energia wymienno-korelacyjna E xc [n] df = G[n] T s [n] (22.23) T s energia kinetyczna układu fermionów nieoddziałujących z sobą, ale poddanych działaniu statycznego pola zewnętrznego o potencjale v s (r) g(r) ma wymiar gęstości energii G[n] = d 3 rg(r) (22.24) Przybliżenie lokalne (Local-Density Approximation = LDA): wyrażamy wszystkie funkcjonały występujące w teorii układu N elektronów w postaci podobnej do (22.24). Jeżeli n(r) zmienia się wtedy wystarczająco powoli, to stosowalny jest wzór na gęstość energii jednorodnego gazu elektronowego g(n(r)) = n(r)[t(n(r)) + ε x (n(r)) + ε c (n(r))] (22.25)

6 6 Rozdział 22. Metoda funkcjonałów gęstości t średnia energia kinetyczna pojedynczego elektronu ε x średnia energia wymienna pojedynczego elektronu (obliczoną w przybliżeniu Hartree-Focka) ε c średnia energia korelacji pojedynczego elektronu E xc [n] = d 3 rε xc (n(r))n(r) (22.26) ε xc (n) = ε x (n)+ε c (n) = średnia energia wymienno-korelacyjna pojedynczego elektronu w jednorodnym gazie elektronowym o gęstości n. Warunek istnienia minimum funkcjonału energii v eff [n;r] + δt s[n] δn(r) = µ (22.27) Potencjał efektywny v eff [n;r] df = ϕ(r) + δe xc[n] δn(r) (22.28) odgrywa rolę potencjału jednocząstkowego v s (r). Równanie (22.27) zastępujemy układem równań } { h2 2m 2 + v eff [n;r] ψ i (r) = ε i ψ i (r) (22.29) o gęstości n(r) = N ψ i (r) 2 (22.30) i=1 Układ równań (22.29) i (22.30) możemy rozwiązać metodą iteracyjną, np. startując z próbnego v eff. Otrzymamy w ten sposób rozwiązania samouzgodnione.

7 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 7 Rys Schemat blokowy procedury iteracyjnej. Wymienno-korelacyjna część potencjału chemicznego jednorodnego gazu elektronowego o gęstości n µ xc (n) df = δe xc[n] δn(r) = d dn (nε xc(n)) (22.31) Przybliżenie LDA dla energii wymienno-korelacyjnej Naturalna jednostka długości dla gazu elektronowego a B atomowy promieniem Bohra r średnia odległość elektron-elektron ( 1 n = 4 3a πr3) r s = r a B (22.32)

8 8 Rozdział 22. Metoda funkcjonałów gęstości Dla r s < 1: przybliżenie Gell-Manna Bruecknera ε xc (r s ) = r s ln r s [Ry] (22.33) Dla 2 r s 5 przybliżenie Wignera ε xc (r s ) = r s 0.88 r s [Ry] (22.34) Dla dowolnej gęstości elektronów: przybliżona formuła, zaproponowana przez Hedina i Lundqvista ε c (x) = Ce2 2 x = r s /A, C = i A = 21 Gęstość energii wymienno-korelacyjnej [ (1 + x 3 ) ln(1 + 1 x ) + x 2 x2 1 ] 3 (22.35) ε xc = ε x + ε c = r s + ε c (22.36) 22.8 Energia całkowita układu N elektronów w stanie podstawowym E[n] = + N i=1 ε i κe2 2 d 3 rd 3 r n(r)n(r ) r r d 3 rn(r)[ε xc (n(r)) µ xc (n(r))] (22.37)

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu

Bardziej szczegółowo

13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)

13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp dr inż. Paweł Scharoch, dr Jerzy Peisert Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 03.02.2005r. Streszczenie: wyjaśnienie pojęcia

Bardziej szczegółowo

Teoria funkcjonału gęstości

Teoria funkcjonału gęstości Teoria funkcjonału gęstości Łukasz Rajchel Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytet Warszawski lrajchel1981@gmail.com Wykład dostępny w sieci: http://tiger.chem.uw.edu.pl/staff/lrajchel/

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości

Bardziej szczegółowo

Teoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT)

Teoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT) Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory (DFT) Cz eść slajdów tego wyk ladu pochodzi z wyk ladu wyg loszonego przez dra Lukasza Rajchela w Interdyscyplinarnym Centrum Modelowania Matematycznego

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Rzadkie gazy bozonów

Rzadkie gazy bozonów Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Widmo sodu, serie. p główna s- ostra d rozmyta f -podstawowa

Widmo sodu, serie. p główna s- ostra d rozmyta f -podstawowa Widmo sodu, serie p główna s- ostra d rozmyta f -podstawowa Przejścia dozwolone w Na Reguły wyboru: l =± 1 Diagram Grotriana dla sodu, z lewej strony poziomy energetyczne wodoru; należy zwrócić uwagę,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Bardziej szczegółowo

Stara i nowa teoria kwantowa

Stara i nowa teoria kwantowa Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy

Bardziej szczegółowo

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych: do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera

Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera Numeryczne rozwiązanie równania Schrodingera Równanie ruchu dla cząstki o masie m (elektron- cząstka elementarna o masie ~9.1 10-31 kg) Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa 1. Druga zasada dynamiki

Bardziej szczegółowo

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski Fizyka 2 wykład 14 Janusz Andrzejewski Atom wodoru Wczesne modele atomu -W czasach Newtona atom uważany była za małą twardą kulkę co dość dobrze sprawdzało się w rozważaniach dotyczących kinetycznej teorii

Bardziej szczegółowo

Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków

Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, drugi Sylabus modułu: Chemia teoretyczna (023) 1. Informacje ogólne koordynator modułu dr hab. Monika Musiał, prof. UŚ rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Zadania treningowe na kolokwium

Zadania treningowe na kolokwium Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Metody rozwiązania równania Schrödingera Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania

Bardziej szczegółowo

(U.13) Atom wodoropodobny

(U.13) Atom wodoropodobny 3.10.200 3. U.13 Atom wodoropodobny 122 Rozdział 3 U.13 Atom wodoropodobny 3.1 Model Bohra przypomnienie Zaznaczmy na wstępie o czym już wspominaliśmy w kontekście zasady nieoznaczoności, że model Bohra

Bardziej szczegółowo

wartość oczekiwana choinki

wartość oczekiwana choinki wartość oczekiwana choinki Plan seminarium cośo równaniu Schrödingera analityczne metody rozwiązywania algorytm & obliczenia Schrödinger w studni koniec choinka ortogonalna Coś o równaniu Schrödingera

Bardziej szczegółowo

TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH

TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH Skolektywizowane elektrony w metalu Weźmy pod uwagę pewną ilość atomów jakiegoś metalu, np. sodu. Pojedynczy atom sodu zawiera 11 elektronów o konfiguracji 1s 2 2s 2 2p 6 3s

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania/problemy egzaminacyjne. Wszystkie bezwymiarowe wartości liczbowe występujące w treści zadań podane są w jednostkach SI.

Przykładowe zadania/problemy egzaminacyjne. Wszystkie bezwymiarowe wartości liczbowe występujące w treści zadań podane są w jednostkach SI. Przykładowe zadania/problemy egzaminacyjne. Wszystkie bezwymiarowe wartości liczbowe występujące w treści zadań podane są w jednostkach SI. 1. Ładunki q 1 =3,2 10 17 i q 2 =1,6 10 18 znajdują się w próżni

Bardziej szczegółowo

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Seminarium CFT p. 1/24 Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Tomasz Sowiński 1 paździenika 2008 Seminarium CFT p. 2/24 Atom dwupoziomowy Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + ĤI Ĥ 0 = mσ z + 0 dk k a (k)a(k), Ĥ I

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace

Bardziej szczegółowo

c) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe

c) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe TEST 1. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f 1 i f są funkcjami własnymi operatora, przy czym: f 1 =1.05 f 1 i f =.41 f. Stan pewnej cząstki opisuje znormalizowana funkcja 1 3 falowa = f1 f. Jakie jest

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:

Bardziej szczegółowo

Zadania z mechaniki kwantowej

Zadania z mechaniki kwantowej Zadania z mechaniki kwantowej Gabriel Wlazłowski 13 maja 2016 Rachunek zaburzeń bez czasu 1. Metodą rachunku zaburzeń obliczyć pierwszą i drugą poprawkę dla poziomów energetycznych oscylatora harmonicznego

Bardziej szczegółowo

Badania ab initio własności strukturalnych nanoukładów atomowych

Badania ab initio własności strukturalnych nanoukładów atomowych Badania ab initio własności strukturalnych nanoukładów atomowych Paweł Scharoch (dokument w opracowaniu) 1 Wstęp. Określenie nanoukłady atomowe jest bardzo szerokie i ogranicza klasę układów będących przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.

Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. VII. SPIN 1 Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. 1 Wstęp Spin jest wielkością fizyczną charakteryzującą cząstki

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

że w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?

że w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41? TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz

Bardziej szczegółowo

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej

Bardziej szczegółowo

obrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a

obrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a Wykład II.1 25 Obroty układu kwantowego Interpretacja aktywna i pasywna. Macierz obrotu w trzech wymiarach a operator obrotu w przestrzeni stanów. Reprezentacja obrotu w przestrzeni funkcji falowych. Transformacje

Bardziej szczegółowo

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru w mechanice kwantowej. Równanie Schrödingera

Atom wodoru w mechanice kwantowej. Równanie Schrödingera Fizyka atomowa Atom wodoru w mechanice kwantowej Moment pędu Funkcje falowe atomu wodoru Spin Liczby kwantowe Poprawki do równania Schrödingera: struktura subtelna i nadsubtelna; przesunięcie Lamba Zakaz

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru i jony wodoropodobne

Atom wodoru i jony wodoropodobne Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek

Bardziej szczegółowo

Wykład Budowa atomu 3

Wykład Budowa atomu 3 Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n

Bardziej szczegółowo

Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym

Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 3.10.2004 16. Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 180 Rozdział 16 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 16.1 Przypomnienie fizyki klasycznej 16.1.1 Równania Lagrange a Równania Lagrange a drugiego

Bardziej szczegółowo

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni

Bardziej szczegółowo

Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).

Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka ŁADUNEK. Ładunek elektryczny. Dr PPotera wyklady fizyka dosw st podypl. n p. Cząstka α

Elektrostatyka ŁADUNEK. Ładunek elektryczny. Dr PPotera wyklady fizyka dosw st podypl. n p. Cząstka α Elektrostatyka ŁADUNEK elektron: -e = -1.610-19 C proton: e = 1.610-19 C neutron: 0 C n p p n Cząstka α Ładunek elektryczny Ładunek jest skwantowany: Jednostką ładunku elektrycznego w układzie SI jest

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

S T R U K T U R Y J E D N O W Y M I A R O W E. W Ł A S N O Ś C I. P R Z Y K Ł A D Y. JOANNA MIECZKOWSKA FIZYKA STOSOWANA

S T R U K T U R Y J E D N O W Y M I A R O W E. W Ł A S N O Ś C I. P R Z Y K Ł A D Y. JOANNA MIECZKOWSKA FIZYKA STOSOWANA S T R U K T U R Y J E D N O W Y M I A R O W E. W Ł A S N O Ś C I. P R Z Y K Ł A D Y. JOANNA MIECZKOWSKA FIZYKA STOSOWANA Własności fizyczne niskowymiarowych układów molekularnych są opisywane, w pierwszym

Bardziej szczegółowo

Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)

Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane

Bardziej szczegółowo

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III Cząstki elementarne i ich oddziaływania III 1. Przekrój czynny. 2. Strumień cząstek. 3. Prawdopodobieństwo procesu. 4. Szybkość reakcji. 5. Złota Reguła Fermiego 1 Oddziaływania w eksperymencie Oddziaływania

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12

Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: CHEMIA TEORETYCZNA 2. Kod przedmiotu: - 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:

Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie

Bardziej szczegółowo

Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru

Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru Efekt Zeemana Atom wodoru wg mechaniki kwantowej ms = magnetyczna liczba spinowa ms = -1/2, do pełnego opisu stanu elektronu potrzebna jest ta liczba własność

Bardziej szczegółowo

Modele kp wprowadzenie

Modele kp wprowadzenie Modele kp wprowadzenie Komórka elementarna i komórka sieci odwrotnej Funkcje falowe elektronu w krysztale Struktura pasmowa Przybliżenie masy efektywnej Naprężenia: potencjał deformacyjny, prawo Hooka

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,

Bardziej szczegółowo

Teoria funkcjona lu g

Teoria funkcjona lu g Notatki do wyk ladu XI Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość funkcji falowej jest niezb edna? Ψ(1,, 3,..., N) dla uk ladu N-elektronowego zależy od 4N zmiennych (dla

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne. q = ne. Zasada zachowania ładunku. Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz materii. Ładunki jednoimienne odpychają się

Ładunki elektryczne. q = ne. Zasada zachowania ładunku. Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz materii. Ładunki jednoimienne odpychają się Ładunki elektryczne Ładunki jednoimienne odpychają się Ładunki różnoimienne przyciągają się q = ne n - liczba naturalna e = 1,60 10-19 C ładunek elementarny Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11 Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy poziom Sylabus modułu: Chemia kwantowa 021 Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne koordynator modułu

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metody LDA do obliczeń stanów elektronowych wybranych układów nanoskopowych

Zastosowanie metody LDA do obliczeń stanów elektronowych wybranych układów nanoskopowych Uniwersytet Jagielloński Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Zakład Teorii Materii Skondensowanej i Nanofizyki Magdalena Birowska Karolina Milowska

Bardziej szczegółowo

Zadania z Fizyki Statystycznej

Zadania z Fizyki Statystycznej Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie

Bardziej szczegółowo

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa Schrödingera

Mechanika kwantowa Schrödingera Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny

Bardziej szczegółowo

Układy wieloelektronowe

Układy wieloelektronowe Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii powierzchni metali

Elementy teorii powierzchni metali prof. dr hab. Adam Kiejna Elementy teorii powierzchni metali Wykład 4 v.16 Wiązanie metaliczne Wiązanie metaliczne Zajmujemy się tylko metalami dlatego w zasadzie interesuje nas tylko wiązanie metaliczne.

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Pasma energetyczne. Pasma energetyczne

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Pasma energetyczne. Pasma energetyczne Pasma energetyczne Niedostatki modelu gazu Fermiego elektronów swobodnych Pomimo wielu sukcesów model nie jest w stanie wyjaśnić następujących zagadnień: 1. różnica między metalami, półmetalami, półprzewodnikami

Bardziej szczegółowo

Zaburzenia periodyczności sieci krystalicznej

Zaburzenia periodyczności sieci krystalicznej Zaburzenia periodyczności sieci krystalicznej Defekty liniowe dyslokacja krawędziowa dyslokacja śrubowa dyslokacja mieszana Defekty punktowe obcy atom w węźle luka w sieci (defekt Schottky ego) obcy atom

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B

Bardziej szczegółowo

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy

Bardziej szczegółowo

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do ekscytonów

Wprowadzenie do ekscytonów Proces absorpcji można traktować jako tworzenie się, pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego, pary elektron-dziura, które mogą być opisane w przybliżeniu jednoelektronowym. Dokładniejszym podejściem

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

17 Naturalne jednostki w fizyce atomowej

17 Naturalne jednostki w fizyce atomowej 7 Naturalne jednostki w fizyce atomowej W systemie CGS wszystkie wielkości fizyczne wyrażane są jako potęgi trzech fundamentalnych jednostek:. długości (l) cm,. masy (m) g, 3. czasu (t) s. Wymiary innych

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Gazy kwantowe. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Gazy kwantowe. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Cele Cele Wyznaczenie średniego obsadzenia średniej energii równania stanu dla nieodziałujących gazów kwantowych fermionowego (gaz elektronowy w ciele stałym) bozonowego (kondensaty)

Bardziej szczegółowo

Modele kp Studnia kwantowa

Modele kp Studnia kwantowa Modele kp Studnia kwantowa Przegląd modeli pozwalających obliczyć strukturę pasmową materiałów półprzewodnikowych. Metoda Fal płaskich Transformata Fouriera Przykładowe wyniki Model Kaine Hamiltonian z

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062)

Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062) 1. Informacje ogólne koordynator modułu dr

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZABURZEŃ. Monika Musiał

RACHUNEK ZABURZEŃ. Monika Musiał RACHUNEK ZABURZEŃ Monika Musiał Rachunek zaburzeń jest podstawową obok metody wariacyjnej techniką obliczeniową stosowaną do rozwiązywania równania Schrödingera. Idea metody zaburzeniowej sprowadza się

Bardziej szczegółowo