uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

Transkrypt

1 " P r ze c ie k " w idm ow y "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że gdzie: T okres N liczba próbek T = t N oraz spełniającym kryterium Nyquista f 1 = 2 t s f N

2 " P r ze c ie k " w idm ow y Wyznaczmy transformatę Fouriera DFT ( FFT ) { x r} { X k} X k = X( k ) = X(k ); dziedzina określoności {X k } = 2π/T k = 0, 1,..., N/2-1 2π 4π π = 0; ; ;...; (4.80) T T t jeśli x(t) jest sygnałem okresowym to (zgodnie z twierdzeniem Fouriera) składa się z harmonicznych o częstotliwościach będących całkowitymi wielokrotnościami (dyskretne) dziedziny transformaty oraz sygnału są identyczne wyznaczone spektrum posiada poprawny rozkład, tzn. że możliwe jest wierne odtworzenie sygnału na jego podstawie

3 " P r ze c ie k " w idm ow y rzeczywiste sygnały z reguły zawierają harmoniczne o dowolnych częstotliwościach, tj. nie będących wielokrotnościami harmoniczne te są nieokresowe wewnątrz "okna" obserwacji T x(t) jest nieokresowym przebiegiem czasowym (T ) analiza widmowa powinna być prowadzona przy użyciu całkowej transformacji Fouriera a jej wynik byłby poprawny pod warunkiem nieskończonych granic całkowania DFT (zdefiniowana dla granic skończonych) zakłada jednakże okresowość i rozciąga analizowany sygnał do nieskończoności poprzez jego powielenie powielone fragmenty sygnału obszary nieciągłości pomiędzy powielanymi fragmentami sygnału pojawiają się nieciągłości prowadząc do zniekształcenia widma zwanego "PRZECIEKIEM"

4 " P r ze c ie k " w idm ow y Przykład przypadek A: Rozważmy monoharmoniczny sygnał o postaci x(t) = A sin(2πt/t s ) w celu lepszej ilustracji zjawiska w oknie obserwacji T uwzględniono więcej niż jeden okres T = k T s = 3 T s (k liczba całkowita) x(t) 3T s X s=2π/τ s=6π/τ A t T= t. N s s dziedzina DFT: 2π 4π 6π = 0,,, ( = s ),K T T T częstotliwość oscylacji sygnału s odpowiada dokładnie częstotliwości jednego ze współczynników Fouriera określonych przy użyciu DFT przeciek nie występuje

5 " P r ze c ie k " w idm ow y przypadek B: Rozważmy monoharmoniczny sygnał o postaci zakładając, że T k T s x(t) = A sin(2πt/t s ) (k liczba całkowita) tzn., że w oknie obserwacji jest niecałkowita liczba okresów sygnału x(t) T s T= t. N t 2T s < T < 3T s T/2 > T s > T/3 4π 6π < s < T T 2 < s < 3 częstotliwość oscylacji sygnału nie odpowiada żadnej z dyskretnych częstotliwości dziedziny DFT twierdzenie Parsevala dla DFT dziedzina czasu: dziedzina spektralna: t 2 2 [ x ( t ] E[ { x }] N = E ) = i = N 1 N = X ( ) i= 0 i r 2

6 " P r ze c ie k " w idm ow y równość mocy określonych w obydwu dziedzinach N t = N moc jest przesyłana z częstotliwości faktycznej s do innych dozwolonych częstotliwości (do dziedziny DFT) X A s s zniekształcenie widma występujące gdy DFT jest wyznaczane z: nieokresowego sygnału fragmentu sygnału o niecałkowitej liczbie okresów zwane jest przeciekiem ponieważ moc przesyłana jest z jej faktycznej "lokalizacji" do "sąsiedztwa" moc "przecieka" bezpośrednią przyczyną przecieku jest skończony czas obserwacji sygnału (tzw. okno) relacja pomiędzy i s wpływa jedynie na rozkład mocy w dziedzinie spektralnej (kształt widma), nie zaś na jej wartość (sumę prążków widmowych)

7 " P r ze c ie k " w idm ow y przykład obliczeniowy k = 6 s= k. 0.4 s=( k+0.4) s=( k+0.5). 0.6 s=( k+0.6) s=( k+1) 0 k k+1

8 O k n o p r os t ok ą t n e OKNO PROSTOKĄTNE W celu przeanalizowania zjawiska przecieku pomocnym będzie zastosowanie idei okna "prostokątnego". Zgodnie z tą ideą transformowany w dziedzinę częstotliwości sygnał x(t) można wyrazić jako iloczyn jego nieskończonej formy x (t) oraz tzw. okna czasowego w(t) (poprzez które sygnał jest "widziany") x(t) = w(t) x (t) x (t) 8. w(t) t okno window -T/2 T/2 t x(t) -T/2 okno definiowane jest następująco T/2 t 1 for t T / 2 w( t) = (4.81) 0 for t > T / 2

9 O k n o p r os t ok ą t n e Dla określenia "przeciekniętego" widma należy wyznaczyć transformatę Fouriera iloczynu 2 funkcji [ x( t) ] = F[ x ( t) w( )] X ( ) F t (4.82) = Aby kontynuować rozważania musimy wprowadzić pojęcie splotu funkcji. Matematycznie splot zdefiniowany jest jako g ( t) = z( τ ) h( t τ ) dτ (4.83) co symbolicznie zapisuje się gdzie " " jest operatorem splotu. g( t) = z( t) h( t) (4.84) Możliwe jest również wyznaczenie splotu 2 funkcji zespolonych, np. 2 widm G ( ) = Z( ) H ( ) Z( φ) H ( φ) dφ (4.85) Twierdzenie o splocie funkcji Transformacja Fouriera (prosta F czy też odwrotna F -1 ) przekształca splot funkcji w iloczyn i vice versa. jeśli G( ) = F Z( ) = F H ( ) = F [ g( t) ] [ z( t) ] [ h( t) ] (4.86) oraz wówczas g(t) = z(t) h(t) G() = Z() H()

10 O k n o p r os t ok ą t n e ga wersja jeśli (4.86) oraz g(t) = z(t) h(t) wówczas G() = Z() H() Rozważmy splot funkcji f(t) z funkcją delta h t) = δ ( t τ ) (4.87) ( 0 mającej duże praktyczne znaczenie. f(t) δ(t-τ 0 ) splot Jak można łatwo wydedukować z powyższego rysunku efekt zastosowania operacji splotu polega na opóźnieniu funkcji f(t) o wartość τ 0, przy pozostawieniu niezmienionymi jej wartości.

11 O k n o p r os t ok ą t n e Powróćmy do naszego zadania określonego zależnością (4.82). Jeśli znana byłaby transformata okna moglibyśmy analitycznie określić transformatę "obciętego" sinusa. Transformata Fouriera okna "prostokątnego" Stosujemy przekształcenie Fouriera 1 for t T / 2 w( t) = (4.81) 0 for t > T / 2 1 W ( ) = F[ w( t) ] = [ cos( t) isin( t) ] dt (4.88) 2π 1 T / 2 W ( ) = [ sin( t) + i cos( t) ] T / 2 = 2π T sin T T T = sin icos icos = 2π T sin 1 T T 2 = 2sin = 2π 2 2π T 2 uzyskując ostatecznie T T W ( ) = Sa (4.89) 2π 2 gdzie sin( x) Sa( x) = (4.90) x

12 O k n o p r os t ok ą t n e W( ) T/2π 2π/Τ 0 4π/Τ Poszczególne części rozkładu transformaty okna zwane są "listkami" i jak później zostanie to pokazane decydują o kształcie wynikowego spektrum, o zakresie i intensywności przecieku. W( ) T/2π listek główny major lobe listki boczne side lobes 0 2π/Τ

13 O k n o p r os t ok ą t n e Znając rozkład spektralny okna w(t) (i oczywiście sygnału x (t)) możemy zastosować twierdzenie o splocie funkcji do wyznaczenia spektrum "obciętego" sinusa T sin ( s ) T ± 2 X ( ) = (4.91) 2π T ( ± s ) 2 listek główny major lobe X( ) X( ) ( ) ( ) listek główny major lobe s s Wynikowy rozkład jest obwiednią współczynników spektralnych X( k ) określonych w dyskretnych częstotliwościach

14 O k n o p r os t ok ą t n e X k przypadek: s = k "zera" obwiedni okna dokładnie odpowiadają położeniom k współczynników DFT (z wyjątkiem s ) nie ma przecieku 0 2π 4π 6π s 10π T T T T X k przypadek: s k "zera" obwiedni okna "mijają się" z częstotliwościami k współczynników spektralnych przeciek 0 s Posiadając wiedzę o: sygnale (okresie oscylacji) procesie próbkowania (częstotliwość próbkowania, liczba próbek) można określić dokładne wartości "przeciekniętej" funkcji spektralnej