Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki"

Transkrypt

1 Instytut Fizyki 2015

2 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym

3 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie

4 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom,

5 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii,

6 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii, liczba wszystkich możliwych stanów mikroskopowych, które realizują daną konfigurację n (n 1,..., n r) (stan makroskopowy) wynosi W (n) = N! gn gnr r n 1!... n. r!

7 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii, liczba wszystkich możliwych stanów mikroskopowych, które realizują daną konfigurację n (n 1,..., n r) (stan makroskopowy) wynosi W (n) = N! gn gnr r n 1!... n. r! Stan makroskopowy jest realizowany na ogół przez wiele stanów mikroskopowych!

8 Różne statystyki

9 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n

10 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r!

11 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! i

12 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) g i! W FD = (g i n. i)!n i! i i

13 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) g i! W FD = (g i n. i)!n i! i i Gdy g i n i, to ln W BE = ln W FD = n i[ln(g i/n i) + 1] = ln W MB ln N! i

14 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n)

15 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E i i

16 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β).

17 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de

18 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i Gęstość stanów klasycznych wynosi i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de g(e) = 2π(2m) 3/2 E 1/2

19 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i Gęstość stanów klasycznych wynosi i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de g(e) = 2π(2m) 3/2 E 1/2 Suma statystyczna wynosi Z(β) = ( ) 2mπ 3/2 β

20 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n)

21 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Statystyka Bose-Einsteina oraz n i = N = E = z = e βµ, µ potencjał chemiczny g i z 1 e βe i 1 i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1

22 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Statystyka Bose-Einsteina oraz n i = N = E = z = e βµ, µ potencjał chemiczny Statystyka Fermiego-Diraca g i z 1 e βe i 1 i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1 oraz n i = N = E = g i z 1 e βe i + 1 i i g i z 1 e βe i + 1 g ie i z 1 e βe i + 1

23 Przestrzeń fazowa

24 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)}

25 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu

26 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n.

27 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n. H(q, p) jest funkcją Hamiltona,

28 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n. H(q, p) jest funkcją Hamiltona, Rozwiązaniem układu Hamiltona spełniającym warunek początkowy (q(0), p(0)) = (q 0, p 0 ) jest trajektoria układu.

29

30 Definicja Stanem mieszanym (statystycznym) układu nazywamy dowolny (ciągły) rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni fazowej.

31 Definicja Stanem mieszanym (statystycznym) układu nazywamy dowolny (ciągły) rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni fazowej. Twierdzenie Stan mieszany zmienia się w czasie zgodnie z równaniem Liouville a gdzie {f, g} = ρ t(q, p) = {H, ρ t}(q, p), t n ( f g f ) g nazywa się nawiasem Poissona q i p i p i q i i=1

32 Układy zamknięte i izolowane

33 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii

34 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ?

35 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ? ergodyczność ewolucji

36 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ? ergodyczność ewolucji Definicja Ewolucję hamiltonowską na hiperpowierzchni Σ E nazywamy ergodyczną, jeśli trajektoria dla prawie każdego punktu tej hiperpowierzchni przecina dowolnie małe otoczenie dowolnego punktu hiperpowierzchni Σ E.

37 Twierdzenie ergodyczne

38 Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt

39 Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt średnia przestrzenna funkcji f ΣE = 1 Σ E Σ E f(x) dσe H E,

40 Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt średnia przestrzenna funkcji Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa f ΣE = 1 Σ E Σ E f(x) dσe H E, Jeśli dla wszystkich funkcji całkowalnych f : Γ R istnieje średnia czasowa oraz równa się ona średniej przestrzennej, to ewolucja jest ergodyczna.

41 Rozkład mikrokanoniczny

42 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach

43 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E.

44 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej

45 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej Nie ma jednak gwarancji, że układ statystyczny będzie dążył do osiągnięcia stanu równowagi!

46 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej Nie ma jednak gwarancji, że układ statystyczny będzie dążył do osiągnięcia stanu równowagi! Potrzebne są dodatkowe warunki: mieszanie, detailed balance (równowaga szczegółowa)!

47 Układy otwarte ewolucja bez pamięci

48 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ

49 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0,

50 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0, Gdy L nie zależy od czasu otrzymamy ρ t = exp[(t t 0)L]ρ 0 W przypadku hamiltonowskim L[ρ t] = {H, ρ t}

51 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0, Gdy L nie zależy od czasu otrzymamy ρ t = exp[(t t 0)L]ρ 0 W przypadku hamiltonowskim L[ρ t] = {H, ρ t} W przypadku niehamiltonowskim ewolucję określa półgrupa dynamiczna {Λ t} t 0

52 Układy otwarte ewolucja z pamięcią

53 Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t K(t τ) jest jądrem pamięci = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ

54 Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ K(t τ) jest jądrem pamięci Równanie jest nielokalne w tym sensie, że do znalezienia stanu układu w chwili t potrzebna jest wiedza o całej ewolucji stanu do chwili t

55 Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ K(t τ) jest jądrem pamięci Równanie jest nielokalne w tym sensie, że do znalezienia stanu układu w chwili t potrzebna jest wiedza o całej ewolucji stanu do chwili t Przykład: Hamiltonowska swobodna ewolucja układu N oscylatorów harmonicznych H(q, p) = N i=1 [ p 2 i 2m + 1 ] 2 mω2 i q i 2

56 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego?

57 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne

58 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ

59 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r

60 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r

61 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r

62 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r Uwaga: Wyznaczony makrostan powinien być niezmienniczy ze względu na ewolucję w czasie układu fizycznego, tak będzie gdy obserwable będą całkami ruchu!

63 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r Uwaga: Wyznaczony makrostan powinien być niezmienniczy ze względu na ewolucję w czasie układu fizycznego, tak będzie gdy obserwable będą całkami ruchu! d) Zasada maksimum entropii: Za stan równowagowy układu przyjmujemy rozkład reprezentatywny makrostanu K f 1,...,f r

64 Gęstość rozkładu równowagi

65 Gęstość rozkładu równowagi Gęstość rozkładu równowagi ρ (q, p) makrostanu K f 1,...,f r [ ρ (q, p) = Z 1 (λ 1,..., λ r) exp r j=1 gdzie suma statystyczna ma postać [ r ] Z(λ 1,..., λ r) = exp λ jf j (q, p) dqdp Γ j=1 q = (q 1,..., q n), p = (p 1,..., p n) oraz ma postać: ] λ jf j (q, p), gdzie m j = ln Z(λ1,..., λr) = m j, j = 1,..., r. λ j f j (q, p)ρ(q, p)dqdp. Γ

66 Entropia stanu równowagi

67 Entropia stanu równowagi Entropia stanu równowagi wynosi r S(ρ ) = k ln Z + k λ im r i=1

68 Formalizmy termodynamiczne

69 Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ

70 Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ 2 Formalizm wielki kanoniczny stosowany do układów otwartych, w których nie jest stała ani energia, ani liczba cząstek. Ustalone są wartości średnie tych wielkości, a stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii i liczby cząstek (makrostan ze względu na dwie zmienne losowe).

71 Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ 2 Formalizm wielki kanoniczny stosowany do układów otwartych, w których nie jest stała ani energia, ani liczba cząstek. Ustalone są wartości średnie tych wielkości, a stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii i liczby cząstek (makrostan ze względu na dwie zmienne losowe). 3 Formalizm mikrokanoniczny stosowany do opisu układów izolowanych i zamkniętych, w których hamiltonian H(q, p) jest stałą ruchu. Energia układu jest wówczas zachowana, a ewolucja odbywa się po hiperpowierzchni Σ E stałej energii.

72 Rozkład kanoniczny

73 Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β

74 Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β Entropię można policzyć z relacji S = k ln Z + kβu

75 Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β Entropię można policzyć z relacji S = k ln Z + kβu Jaki jest fizyczny sens mnożnika Lagrange a β?

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne

Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne WYKŁAD 23 1 Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne (Birkhoff, Ter Haar) Hipoteza semi-ergodyczna

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze

Bardziej szczegółowo

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron

Bardziej szczegółowo

Co to jest model Isinga?

Co to jest model Isinga? Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego.

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na

Bardziej szczegółowo

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wykład III Mechanika statystyczna Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wstępne uwagi Materia nas otaczająca, w szczególności gazy będące centralnym obiektem naszego zainteresowania, zbudowane są z

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony

Bardziej szczegółowo

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Rzadkie gazy bozonów

Rzadkie gazy bozonów Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie

Bardziej szczegółowo

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi

Bardziej szczegółowo

Zadania z Fizyki Statystycznej

Zadania z Fizyki Statystycznej Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29 Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...

Bardziej szczegółowo

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny.

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny. Wykład 14: Fizyka statystyczna Zajmuje sie układami makroskopowymi (typowy układ makroskopowy składa się z ok. 10 25 atomów), czyli ok 10 25 równań Newtona? Musimy dopasować inne pojęcia do opisu takich

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

Elementy termodynamiki

Elementy termodynamiki Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

8 Rozkład mikrokanoniczny

8 Rozkład mikrokanoniczny 8 Rozkład mikrokanoniczny 8.1 Funkcja rozkładu Literatura: D. Morse, Thermal Physics, rozdz. III Statistical Mechanics. Rozpatrujemy klasyczny układ mechaniczny (zbiór cząstek) q oznacza w skrócie wszystkie

Bardziej szczegółowo

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak

Bardziej szczegółowo

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej http://www.if.pwr.wroc.pl/~katarzynaweron/ Mój plan zajęć Strona kursu Kim jestem? Prof. dr hab. Katarzyna

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Nasze wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły układów w równowadze termodynamicznej lub

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczna gazów

Teoria kinetyczna gazów Teoria kinetyczna gazów Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy ciepło właściwe przy

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych 9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III Cząstki elementarne i ich oddziaływania III 1. Przekrój czynny. 2. Strumień cząstek. 3. Prawdopodobieństwo procesu. 4. Szybkość reakcji. 5. Złota Reguła Fermiego 1 Oddziaływania w eksperymencie Oddziaływania

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym

Bardziej szczegółowo

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27 SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;

Bardziej szczegółowo

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Elementy termodynamiki

Elementy termodynamiki Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 marca 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 marca 2019 1 / 37 Dwa poziomy

Bardziej szczegółowo

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek,

Bardziej szczegółowo

Tematy prac magisterskich i doktorskich

Tematy prac magisterskich i doktorskich Tematy prac magisterskich i doktorskich Stochastyczna dynamika z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014

Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.

Bardziej szczegółowo

Komputerowe modelowanie zjawisk fizycznych

Komputerowe modelowanie zjawisk fizycznych Komputerowe modelowanie zjawisk fizycznych Ryszard Kutner Zakład Dydaktyki Fizyki Instytut Fizyki Doświadczalnej, Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski IX FESTIWAL NAUKI WARSZAWA 2005 BRAK INWESTYCJI W

Bardziej szczegółowo

Superdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska

Superdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

Model Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron

Model Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron Model Isinga Katarzyna Sznajd-Weron Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć? Model

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład XIV, 24.01.2017 ŁAŃCUCHYMARKOWA CD. KRÓTKIE INFO O RÓŻNYCH WAŻNYCH ROZKŁADACH Plan na dzisiaj Łańcuchy Markowa cd. Różne ważne rozkłady prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika. Część 9. Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie. Ryszard Tanaś

Elektrodynamika. Część 9. Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie. Ryszard Tanaś Elektrodynamika Część 9 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14-15.50 można się umówić wysyłając e-maila

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna (Zadaniem Fizyki Statystycznej jest zrozumienie własności (równowagowych i nierównowagowych materii w oparciu o oddziaływania międzymolekularne)

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem

Bardziej szczegółowo

Zasady termodynamiki

Zasady termodynamiki Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna

Bardziej szczegółowo

Wykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego

Wykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego Wykład 7 8.9 Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.0 Gęstość energii pola elektrycznego 9. Prąd elektryczny 9. Natężenie prądu, wektor gęstości prądu 9. Prawo zachowania ładunku 9.3 Model przewodnictwa

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka. P. F. Góra Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Mamy równanie master dla ciagłych rozkładów prawdopodobieństwa: P (y, t) t = (W (y y )P (y, t) W (y y)p

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane

Bardziej szczegółowo

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 7.04.09 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 08/09 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna Metoda

Bardziej szczegółowo

Fizyka Statystyczna 1

Fizyka Statystyczna 1 Uniwersytet Wrocławski Instytut Fizyki Teoretycznej Katarzyna Weron Fizyka Statystyczna 1 Skrypt dla studentów Wrocław, maj 2010 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna A. 2 Tydzień I, 1-7/10/ Warunki zaliczenia. 3 Tydzień II, 8-14/10/ Wykład. 2.2 Zadania na ćwiczenia

Fizyka statystyczna A. 2 Tydzień I, 1-7/10/ Warunki zaliczenia. 3 Tydzień II, 8-14/10/ Wykład. 2.2 Zadania na ćwiczenia Fizyka statystyczna A sem. zimowy 2015-16 Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydział Fizyki, UW byczuk@fuw.edu.pl www.fuw.edu.pl/byczuk 11-01-2015 1 Warunki zaliczenia Część praktyczna: 1.

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczno cząsteczkowa

Teoria kinetyczno cząsteczkowa Teoria kinetyczno cząsteczkowa Założenie Gaz składa się z wielkiej liczby cząstek znajdujących się w ciągłym, chaotycznym ruchu i doznających zderzeń (dwucząstkowych) Cel: Wyprowadzić obserwowane (makroskopowe)

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku

Bardziej szczegółowo

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Lecha Jakóbczyka

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo