Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
|
|
- Józef Dariusz Milewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Instytut Fizyki 2015
2 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym
3 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie
4 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom,
5 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii,
6 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii, liczba wszystkich możliwych stanów mikroskopowych, które realizują daną konfigurację n (n 1,..., n r) (stan makroskopowy) wynosi W (n) = N! gn gnr r n 1!... n. r!
7 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii, liczba wszystkich możliwych stanów mikroskopowych, które realizują daną konfigurację n (n 1,..., n r) (stan makroskopowy) wynosi W (n) = N! gn gnr r n 1!... n. r! Stan makroskopowy jest realizowany na ogół przez wiele stanów mikroskopowych!
8 Różne statystyki
9 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n
10 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r!
11 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! i
12 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) g i! W FD = (g i n. i)!n i! i i
13 Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) g i! W FD = (g i n. i)!n i! i i Gdy g i n i, to ln W BE = ln W FD = n i[ln(g i/n i) + 1] = ln W MB ln N! i
14 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n)
15 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E i i
16 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β).
17 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de
18 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i Gęstość stanów klasycznych wynosi i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de g(e) = 2π(2m) 3/2 E 1/2
19 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i Gęstość stanów klasycznych wynosi i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de g(e) = 2π(2m) 3/2 E 1/2 Suma statystyczna wynosi Z(β) = ( ) 2mπ 3/2 β
20 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n)
21 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Statystyka Bose-Einsteina oraz n i = N = E = z = e βµ, µ potencjał chemiczny g i z 1 e βe i 1 i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1
22 Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Statystyka Bose-Einsteina oraz n i = N = E = z = e βµ, µ potencjał chemiczny Statystyka Fermiego-Diraca g i z 1 e βe i 1 i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1 oraz n i = N = E = g i z 1 e βe i + 1 i i g i z 1 e βe i + 1 g ie i z 1 e βe i + 1
23 Przestrzeń fazowa
24 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)}
25 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu
26 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n.
27 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n. H(q, p) jest funkcją Hamiltona,
28 Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n. H(q, p) jest funkcją Hamiltona, Rozwiązaniem układu Hamiltona spełniającym warunek początkowy (q(0), p(0)) = (q 0, p 0 ) jest trajektoria układu.
29
30 Definicja Stanem mieszanym (statystycznym) układu nazywamy dowolny (ciągły) rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni fazowej.
31 Definicja Stanem mieszanym (statystycznym) układu nazywamy dowolny (ciągły) rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni fazowej. Twierdzenie Stan mieszany zmienia się w czasie zgodnie z równaniem Liouville a gdzie {f, g} = ρ t(q, p) = {H, ρ t}(q, p), t n ( f g f ) g nazywa się nawiasem Poissona q i p i p i q i i=1
32 Układy zamknięte i izolowane
33 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii
34 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ?
35 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ? ergodyczność ewolucji
36 Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ? ergodyczność ewolucji Definicja Ewolucję hamiltonowską na hiperpowierzchni Σ E nazywamy ergodyczną, jeśli trajektoria dla prawie każdego punktu tej hiperpowierzchni przecina dowolnie małe otoczenie dowolnego punktu hiperpowierzchni Σ E.
37 Twierdzenie ergodyczne
38 Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt
39 Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt średnia przestrzenna funkcji f ΣE = 1 Σ E Σ E f(x) dσe H E,
40 Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt średnia przestrzenna funkcji Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa f ΣE = 1 Σ E Σ E f(x) dσe H E, Jeśli dla wszystkich funkcji całkowalnych f : Γ R istnieje średnia czasowa oraz równa się ona średniej przestrzennej, to ewolucja jest ergodyczna.
41 Rozkład mikrokanoniczny
42 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach
43 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E.
44 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej
45 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej Nie ma jednak gwarancji, że układ statystyczny będzie dążył do osiągnięcia stanu równowagi!
46 Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej Nie ma jednak gwarancji, że układ statystyczny będzie dążył do osiągnięcia stanu równowagi! Potrzebne są dodatkowe warunki: mieszanie, detailed balance (równowaga szczegółowa)!
47 Układy otwarte ewolucja bez pamięci
48 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ
49 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0,
50 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0, Gdy L nie zależy od czasu otrzymamy ρ t = exp[(t t 0)L]ρ 0 W przypadku hamiltonowskim L[ρ t] = {H, ρ t}
51 Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0, Gdy L nie zależy od czasu otrzymamy ρ t = exp[(t t 0)L]ρ 0 W przypadku hamiltonowskim L[ρ t] = {H, ρ t} W przypadku niehamiltonowskim ewolucję określa półgrupa dynamiczna {Λ t} t 0
52 Układy otwarte ewolucja z pamięcią
53 Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t K(t τ) jest jądrem pamięci = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ
54 Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ K(t τ) jest jądrem pamięci Równanie jest nielokalne w tym sensie, że do znalezienia stanu układu w chwili t potrzebna jest wiedza o całej ewolucji stanu do chwili t
55 Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ K(t τ) jest jądrem pamięci Równanie jest nielokalne w tym sensie, że do znalezienia stanu układu w chwili t potrzebna jest wiedza o całej ewolucji stanu do chwili t Przykład: Hamiltonowska swobodna ewolucja układu N oscylatorów harmonicznych H(q, p) = N i=1 [ p 2 i 2m + 1 ] 2 mω2 i q i 2
56 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego?
57 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne
58 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ
59 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r
60 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r
61 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r
62 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r Uwaga: Wyznaczony makrostan powinien być niezmienniczy ze względu na ewolucję w czasie układu fizycznego, tak będzie gdy obserwable będą całkami ruchu!
63 Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r Uwaga: Wyznaczony makrostan powinien być niezmienniczy ze względu na ewolucję w czasie układu fizycznego, tak będzie gdy obserwable będą całkami ruchu! d) Zasada maksimum entropii: Za stan równowagowy układu przyjmujemy rozkład reprezentatywny makrostanu K f 1,...,f r
64 Gęstość rozkładu równowagi
65 Gęstość rozkładu równowagi Gęstość rozkładu równowagi ρ (q, p) makrostanu K f 1,...,f r [ ρ (q, p) = Z 1 (λ 1,..., λ r) exp r j=1 gdzie suma statystyczna ma postać [ r ] Z(λ 1,..., λ r) = exp λ jf j (q, p) dqdp Γ j=1 q = (q 1,..., q n), p = (p 1,..., p n) oraz ma postać: ] λ jf j (q, p), gdzie m j = ln Z(λ1,..., λr) = m j, j = 1,..., r. λ j f j (q, p)ρ(q, p)dqdp. Γ
66 Entropia stanu równowagi
67 Entropia stanu równowagi Entropia stanu równowagi wynosi r S(ρ ) = k ln Z + k λ im r i=1
68 Formalizmy termodynamiczne
69 Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ
70 Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ 2 Formalizm wielki kanoniczny stosowany do układów otwartych, w których nie jest stała ani energia, ani liczba cząstek. Ustalone są wartości średnie tych wielkości, a stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii i liczby cząstek (makrostan ze względu na dwie zmienne losowe).
71 Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ 2 Formalizm wielki kanoniczny stosowany do układów otwartych, w których nie jest stała ani energia, ani liczba cząstek. Ustalone są wartości średnie tych wielkości, a stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii i liczby cząstek (makrostan ze względu na dwie zmienne losowe). 3 Formalizm mikrokanoniczny stosowany do opisu układów izolowanych i zamkniętych, w których hamiltonian H(q, p) jest stałą ruchu. Energia układu jest wówczas zachowana, a ewolucja odbywa się po hiperpowierzchni Σ E stałej energii.
72 Rozkład kanoniczny
73 Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β
74 Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β Entropię można policzyć z relacji S = k ln Z + kβu
75 Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β Entropię można policzyć z relacji S = k ln Z + kβu Jaki jest fizyczny sens mnożnika Lagrange a β?
Wielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoTeoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne
WYKŁAD 23 1 Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne (Birkhoff, Ter Haar) Hipoteza semi-ergodyczna
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej
Bardziej szczegółowoTermodynamiczny opis układu
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny
Bardziej szczegółowoStatystyki kwantowe. P. F. Góra
Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoWstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron
Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron
Bardziej szczegółowoCo to jest model Isinga?
Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego.
Bardziej szczegółowoElementy fizyki statystycznej
5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną
Bardziej szczegółowoELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ
ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoKlasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I
Wykład III Mechanika statystyczna Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wstępne uwagi Materia nas otaczająca, w szczególności gazy będące centralnym obiektem naszego zainteresowania, zbudowane są z
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
Bardziej szczegółowoRównowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using
http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie
Bardziej szczegółowor. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC
VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi
Bardziej szczegółowoZadania z Fizyki Statystycznej
Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29
Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...
Bardziej szczegółowoWystępują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny.
Wykład 14: Fizyka statystyczna Zajmuje sie układami makroskopowymi (typowy układ makroskopowy składa się z ok. 10 25 atomów), czyli ok 10 25 równań Newtona? Musimy dopasować inne pojęcia do opisu takich
Bardziej szczegółowoWykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne
Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0
Bardziej szczegółowo= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A
Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoRozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowo8 Rozkład mikrokanoniczny
8 Rozkład mikrokanoniczny 8.1 Funkcja rozkładu Literatura: D. Morse, Thermal Physics, rozdz. III Statistical Mechanics. Rozpatrujemy klasyczny układ mechaniczny (zbiór cząstek) q oznacza w skrócie wszystkie
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoAgata Fronczak Elementy fizyki statystycznej
Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej
Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej http://www.if.pwr.wroc.pl/~katarzynaweron/ Mój plan zajęć Strona kursu Kim jestem? Prof. dr hab. Katarzyna
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Nasze wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły układów w równowadze termodynamicznej lub
Bardziej szczegółowoTeoria kinetyczna gazów
Teoria kinetyczna gazów Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy ciepło właściwe przy
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych
9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoCząstki elementarne i ich oddziaływania III
Cząstki elementarne i ich oddziaływania III 1. Przekrój czynny. 2. Strumień cząstek. 3. Prawdopodobieństwo procesu. 4. Szybkość reakcji. 5. Złota Reguła Fermiego 1 Oddziaływania w eksperymencie Oddziaływania
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych
FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoKatedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 marca 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 marca 2019 1 / 37 Dwa poziomy
Bardziej szczegółowoCząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)
TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek,
Bardziej szczegółowoTematy prac magisterskich i doktorskich
Tematy prac magisterskich i doktorskich Stochastyczna dynamika z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów Jacek Miękisz Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoKomputerowe modelowanie zjawisk fizycznych
Komputerowe modelowanie zjawisk fizycznych Ryszard Kutner Zakład Dydaktyki Fizyki Instytut Fizyki Doświadczalnej, Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski IX FESTIWAL NAUKI WARSZAWA 2005 BRAK INWESTYCJI W
Bardziej szczegółowoSuperdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoModel Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron
Model Isinga Katarzyna Sznajd-Weron Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć? Model
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoRozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab
Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład XIV, 24.01.2017 ŁAŃCUCHYMARKOWA CD. KRÓTKIE INFO O RÓŻNYCH WAŻNYCH ROZKŁADACH Plan na dzisiaj Łańcuchy Markowa cd. Różne ważne rozkłady prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 9. Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie. Ryszard Tanaś
Elektrodynamika Część 9 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14-15.50 można się umówić wysyłając e-maila
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna
WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna (Zadaniem Fizyki Statystycznej jest zrozumienie własności (równowagowych i nierównowagowych materii w oparciu o oddziaływania międzymolekularne)
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 3
Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego
Bardziej szczegółowoTermodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny
Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem
Bardziej szczegółowoZasady termodynamiki
Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
Bardziej szczegółowoWykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego
Wykład 7 8.9 Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.0 Gęstość energii pola elektrycznego 9. Prąd elektryczny 9. Natężenie prądu, wektor gęstości prądu 9. Prawo zachowania ładunku 9.3 Model przewodnictwa
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Mamy równanie master dla ciagłych rozkładów prawdopodobieństwa: P (y, t) t = (W (y y )P (y, t) W (y y)p
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 7.04.09 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 08/09 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna Metoda
Bardziej szczegółowoFizyka Statystyczna 1
Uniwersytet Wrocławski Instytut Fizyki Teoretycznej Katarzyna Weron Fizyka Statystyczna 1 Skrypt dla studentów Wrocław, maj 2010 2 Spis treści 1 Elementy termodynamiki 1 1.1 Wielkości termodynamiczne..........................
Bardziej szczegółowoRozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny
Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA
TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna A. 2 Tydzień I, 1-7/10/ Warunki zaliczenia. 3 Tydzień II, 8-14/10/ Wykład. 2.2 Zadania na ćwiczenia
Fizyka statystyczna A sem. zimowy 2015-16 Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydział Fizyki, UW byczuk@fuw.edu.pl www.fuw.edu.pl/byczuk 11-01-2015 1 Warunki zaliczenia Część praktyczna: 1.
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoTeoria kinetyczno cząsteczkowa
Teoria kinetyczno cząsteczkowa Założenie Gaz składa się z wielkiej liczby cząstek znajdujących się w ciągłym, chaotycznym ruchu i doznających zderzeń (dwucząstkowych) Cel: Wyprowadzić obserwowane (makroskopowe)
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku
Bardziej szczegółowoUNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH
UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Lecha Jakóbczyka
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowo