Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Transkrypt

1 Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra

2 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0 Tr i e β(ε i µ)ˆn i (1) gdzie ε i jest energia, a ˆn i operatorem liczby obsadzeń i-tego poziomu. Rozpatrjemy gaz doskonały, którego poziomy energetyczne kwantujemy tak samo, jak dla bozonów. Różnica bierze się stad, że liczby obsadzeń Copyright c P. F. Góra 11 2

3 moga przyjmować tylko wartości 0 lub 1. Ξ = 1 i=0 n=0 Ω = k B T N = ( e β(µ ε i ) ) n = i=0 i=0 n 0 i = i=0 ln ( 1 + e β(µ ε i) ) i=0 ( 1 + e β(µ ε i ) ) (2a) 1 e β(µ εi) + 1 (2b) (2c) Copyright c P. F. Góra 11 3

4 Równanie stanu Postępujac tak, jak dla bozonów i przyjmujac nierelatywistyczne widmo energii, znajdujemy, że dla fermionów pv = 2 3 E = 2 3 gv 4π 2 N V = g 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 ( ) 2m 3/2 2 0 dε 0 dε ε 3/2 e β(ε µ) + 1 ε 1/2 e β(ε µ) + 1 (3a) (3b) Copyright c P. F. Góra 11 4

5 Średnia liczba obsadzeń Poziom o energii ε i (ε i 0) jest średnio obsadzany przez n 0 i = ( e β(ε i µ) + 1 ) 1 (4) czastek. Widzimy, że n 0 i 1, natomiast w granicy wysokich temperatur, T, natychmiast otrzymujemy rozkład Boltzmanna n 0 i = eβ(µ εi). W T = 0 rozkład Fermiego redukuje się do funkcji schodkowej: 1 e (ε µ)/k BT + 1 = 1 ε < µ 0 ε > µ Stan układu o najniższej energii otrzymuje się obsadzajac jednoczastkowe poziomy energetyczne aż do µ = ε F w T = 0. Potencjał chemiczny doskonałego gazu Fermiego w T = 0 jest skończona liczba dodatnia, równa energii Fermiego. Copyright c P. F. Góra 11 5 (5)

6 Własności doskonałego gazu Fermiego w T = 0 W T = 0 mamy po uwzględnieniu (5) N V = g 4π 2 ( ) 2m 3/2 µ 2 dε ε 1/2 = 0 g 4π 2 ( ) 2m 3/ µ3/2 (6) Stad możemy wyliczyć energię Fermiego i wektor falowy Fermiego jako funkcję gęstości czastek: ε F = 2 k 2 F 2m = µ(t = 0) = ( 6π 2 ) 2/3 2 g 2m ( ) N 2/3 (7) V Copyright c P. F. Góra 11 6

7 Podobnie E V = g ( ) 2m 3/2 2 4π µ5/2 (8) p = 2 ( ) 5 g 2m 3/2 4π 2 2 µ 5/2 (9) W temperaturze T = 0 gaz Fermiego wywiera skończone ciśnienie, gdyż na skutek zakazu Pauliego, obsadzane sa wszystkie stany pędowe, aż do pędu Fermiego. Fermiony w tych wyższych stanach pędowych wywieraja ciśnienie na ścianki zbiornika. Copyright c P. F. Góra 11 7

8 W niskich temperaturach potencjał chemiczny gazu Fermiego jest dodatni i większy niż dla gazu klasycznego. Dodanie nowej czasteczki zwiększa energię, ale ponieważ z dużym prawdopodobieństwem nowa czasteczka zajmuje stan o najniższej dopuszczalnej energii, jest to proces dość przewidywalny i zwiazany z nim spadek entropii nie jest znaczny. W granicy wysokich temperatur T potencjał chemiczny gazu Fermiego staje się praktycznie równy potencjałowi chemicznemu gazu klasycznego. Rozkład Fermiego w różnych temperaturach Copyright c P. F. Góra 11 8

9 Gaz Fermiego w skończonych temperaturach Dla T > 0, ale niewiele większych od zera, równanie stanu przybiera postać pv = 2 3 gv 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 (k B T ) 5/2 µ/kbt dx (x + µ/k BT ) 3/2 e x + 1 (10) Pomijajac szczegóły matematyczne i korzystajac z faktu, że µ = (pv )/ N T,V, można znaleźć wyrażenie wyrażenie na potencjał chemiczny: ( ) 2 µ = ε F 1 π2 kb T +... (11) 12 Podobnie ε F S = π2 2 Nk k B T B (12) ε F Copyright c P. F. Góra 11 9

10 Wynika stad, że w granicy niskich temperatur C V = T S T = π2 V,N 2 Nk B k B T ε F (13) Pojemność cieplna zmienia się liniowo z temperatura. Z drugiej strony w granicy wysokich temperatur pojemność cieplna daży do wartości stałej C V 3 2 Nk B. Funkcje termodynamiczne doskonałego gazu Fermiego nie wykazuja żadnych nieciagłości w funkcji temperatury. Copyright c P. F. Góra 11 10

11 Parametr zwyrodnienia To, czy w układzie dominować będa efekty kwantowe, czy też można stosować statystykę Boltzmanna, zależy od stosunku objętości właściwej (gęstości czastek) do objętości zajmowanej przez czastkę klasyczna o danej energii cieplnej. ξ = N ( 2 ) 3/2 (14) gv 2πmk B T Jeśli ξ 1, efekty kwantowe nie sa istotne. Efektów kwantowych należy szukać więc przy bardzo dużych gęstościach lub niskich temperaturach. Ale jak dużych gęstościach i jak niskich temperaturach? Dla helu w warunkach normalnych ξ , a więc gaz zachowuje się zupełnie klasycznie. Z drugiej strony dla gazu elektronów przewodnictwa w metalu ξ Gaz elektronów przewodnictwa we wszystkich metalach, aż do temperatury topnienia, zachowuje się jak silnie zwyrodniały gaz Fermiego. Copyright c P. F. Góra 11 11

12 Teoria białych karłów Biały karzeł to słabo świecaca gwiazda, która wypaliła już swoje paliwo i teraz powoli stygnie. Białe karły sa zbudowane głównie z helu. maja one gęstość ϱ 10 7 g/cm ϱ, masę M g M, temperaturę T 10 7 K T. Gwiazda zbudowana jest z całkowicie zjonizowanych jader helu i gazu elektronów swobodnych. Gęstość elektronów wynosi na cm 3, co odpowiada energii i temperaturze Fermiego 2 ε F 20 MeV, T F = ε F /k B K. (15) 2m e Temperatura Fermiego jest o wiele wyższa od faktycznej temperatury gwiazdy, więc gaz elektronów można traktować jak doskonały gaz Fermiego, zachowujacy się jak gaz w temperaturze zera bezwzględnego. W tym uproszczonym modelu pomijamy efekty takie, jak możliwość kreacji par elektron-pozyton oraz kreacji neutrin w zderzeniach. Copyright c P. F. Góra 11 12

13 Biały karzeł jest stabilny, gdyż energii grawitacyjnej przeciwstawia się ciśnienie gazu Fermiego. Obliczmy to ciśnienie. Energie poziomów nie zależa od spinu i sa dane przez ε ps = (pc) 2 + (m e c 2 ) 2. (16) Wobec tego energia stanu podstawowego jest dana całka z tego wyrażenia aż do pędu Fermiego p F = (3π 2 /v) 1/3 : Wówczas E 0 = 2V 2 p F 0 dp 4πp 2 (pc) 2 + (m e c 2 ) 2 (17) E 0 N = m4 e c5 π 2 3 v f(x F ), (18) Copyright c P. F. Góra 11 13

14 gdzie x F = p F /m e c oraz = 1 f(x F ) = x F 0 dx x x x 3 F ( x2 F +... ) x F 1 (nierelatywistyczny) 4 x4 F (1 + 1 x 2 F +... ) x F 1 (ultrarelatywistyczny) (19) Masa gwiazdy wynosi M (m e + 2m p )N 2m p N (N jest liczba elektronów w gwieździe), a jej promień R = (3V/4π) 1/3. X F można teraz wyrazić przez masę gwiazdy i jej promień: x F = m e c 1 R ( 9π 8 M m p ) 1/3 = M 1/3 R (20) gdzie M = (9π/8) (M/m p ), R = R/( /m e c) sa masa zredukowana i promieniem zredukowanym gwiazdy. Copyright c P. F. Góra 11 14

15 Ciśnienie wyznaczamy z warunku p o = E 0 / V, co w przypadku ultrarelatywistycznym daje p 0 = K ( M 4/3 M 2/3 R 4 R 2 ), K = m ec 2 12π 2 ( me c ) 3. (21) Copyright c P. F. Góra 11 15

16 Granica Chandrasekhara Aby gwiazda mogła pozostawać w równowadze, praca potrzebna do sprężenia gazu od stanu nieskończonego rozrzedzenia do kuli o zadanym promieniu i ciśnieniu p 0 musi być równa energii grawitacyjnej gwiazdy: R dr p 0 4πr 2 = GM 2 R. (22) Różniczkujac to wyrażenie po R otrzymamy następujacy warunek równowagi: p 0 = 1 ( ) 8mp 2 ( ) me 4π G c 4 M 2 9π R 4 (23) Aby gwiazda była w równowadze, ciśnienie grawitacyjne (23) musi być co do wartości równe ciśnieniu gazu Fermiego (21). W przypadku ultrare- Copyright c P. F. Góra 11 16

17 latywistycznym otrzymujemy stad następujacy warunek na promień zredukowany. ( ) R = M 2/3 2/3 M 1 (24) M 0 Z równania (24) widać, że istnieje maksymalna masa M = M 0, powyżej której biały karzeł traci stabilność. Masa graniczna nosi nazwę granicy Chandrasekhara. M M. Copyright c P. F. Góra 11 17

18 Subrahmanyan Chandrasekhar, Nagroda Nobla 1983 Copyright c P. F. Góra 11 18