Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Transkrypt

1 Wykłady z Mechaniki Kwantowej

2

3 Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (017) Wykład 6 Długoletnie błądzenie w ciemnościach w poszukiwaniu prawdy odczuwanej, lecz nieuchwytnej, głębokie pragnienie oraz przeplatające się ze sobą okresy wiary i zwątpienia, które poprzedzają jasne i pełne zrozumienie, znane są wyłącznie tym, którzy sami ich doświadczyli Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 017

4

5

6 Ewolucja w czasie układów kwantowego (postulat VI) Układy oddziaływujące z otoczeniem: ρ(t) =f( ρ(t 0 ), τ = t-t 0, t 0 ) Układy izolowane: ρ(t) =f(ρ(t 0 ), τ = t-t 0 ) Układy nieoddziaływujące z otoczeniem Układy izolowane, Układy zachowawcze, Układy odwracalne. Warunki wstępne: Mając ρ(t 0 ), chcemy aby ρ(t) było określone Czas jest ciągłym rzeczywistym parametrem nie jest obserwablą kwantową

7 Intuicyjne rozumienie ewolucji czasowej wymaga aby: ρ(t 0 ) ρ(t) 1) Odwzorowanie jest liniowe i ciągłe: Końcowy operator statystyczny nie zależy od tego czy najpierw fragmenty układy poddamy ewolucji czasowej: ρ 1 (t 0 ) ρ 1 (t) ρ (t 0 ) ρ (t) a potem dokonamy wymieszania: α ρ 1 (t) + β ρ (t) czy też najpierw wymieszamy: α ρ 1 (t 0 ) + β ρ (t 0 ) i całość będzie ewoluować z czasem: α ρ 1 (t 0 ) + β ρ (t 0 ) α ρ 1 (t) + β ρ (t)

8 ) Ewolucja czasowa tworzyła czasową półgrupę : Operator statystyczny układu nie zależy od tego czy najpierw odczekamy chwilę τ 1 : a później chwilę τ : ρ(t 0 ) ρ(t 1 = t 0 + τ 1 ) ρ(t 1 ) ρ(t = t 1 + τ ) czy też zaraz odczekamy chwilę τ = τ 1 + τ. ρ(t 0 ) ρ(t = t 0 + τ 1 + τ ) Warunki 1) oraz ) są ogólne zawsze spełnione, także dla układów nieizolowanych

9 Dla układów izolowanych istnieje operator ewolucji czasowej ) Dla układu izolowanego wymagamy dodatkowo aby ewolucja czasowa była zadana przez unitarny operator U(t) spełniający warunki: ρ(t ) ρ(t ) = U( τ ) ρ(t )U ( τ ); τ = t t ; U()=U(); τ τ U(0)= I; -1 U ( τ)=u( τ); U( τ + τ )=U( τ )U( τ ); 1 1 U(τ) jest ciągłym operatorem parametru τ.

10 Ciągłość operatora (zależy od topologii): A(t) jest ciągłe w t = t 0 gdy dla t t 0 : względem topologii τ, czyli gdy t t 0. A(t) φ A(t ) 0 0 φ (A(t) A(t )) φ 0 τ Określamy generator ewolucji czasowej: du( τ ) A = d τ τ = 0

11 Weźmy: U(τ 1 + τ ) = U(τ 1 )U(τ ) Zróżniczkujmy obydwie strony po τ 1 du(τ + τ 1 ) = du(τ + τ ) 1 d(τ + τ 1 ) = du(τ ) 1 U(τ ) dτ 1 d(τ + τ 1 ) dτ 1 dτ 1 Obliczamy granicę: lim... τ 1 0 du(τ ) dτ = AU(τ ) d U(τ ) dτ = d dτ (AU(τ )) = A d dτ U(τ ) = A U(τ ) Czyli: d n U(τ ) dτ n = A n U(τ )

12 Rozwinięcie U(τ) w szereg Taylora: n U( τ)=i+ τ τ τ Czyli: Zróżniczkujmy równość: n du( τ) d U( τ) d U( τ) n dτ τ = 0!dτ n!dτ τ= 0 τ= U( τ)=i+a τ + A τ A τ =! n! e τ n n A U + (τ ) = e τ A+ + U ( τ) U( τ)=i; + du ( τ) + du( τ) dτ U( τ)+u ( τ) ; dτ w granicy τ = 0 otrzymamy A więc generator A jest antyhermitowski: + A = A [τ A] = 1 [A] = [τ 1 ] = sek 1 = energia Możemy więc parametryzować: A = -i H + A + A = 0 τ + U()= = e τ A +

13 Postulat VI można więc podać w postaci (w obrazie Schrödingera) Generatorem ewolucji w czasie zachowawczego układu fizycznego jest operator A = -i H gdzie H jest operatorem energii układu, czyli Obraz Schrödingera Obserwabla (aparatura i sposób wykonania pomiaru) nie zmienia się w czasie. W czasie zmienia się układ fizyczny, który mierzymy Dwie interpretacje wartości średniej: + A = Tr(A ρ(t)) = Tr(AU( τ) ρ(t () 0)U ( τ)) = ρ t + Tr(U ( τ)au( τ) ρ(t 0)) =Tr(A(t) ρ(t 0)); gdzie + A(t) = U ( τ)au( τ) Zmienia się przepis na sposób wykonania pomiaru a więc obserwabla. Stan układu fizycznego nie ulega zmianie Obraz Heisenberga

14 Ewolucja operatora statystycznego (obraz Schrödingera) ρ(t) = e iht iht ρ(t = 0) e Ewolucja obserwabli (Obraz Heisenberga) A(t) = e iht A(t = 0) e iht

15 W obrazie Heisenberga---- równanie Heisengerga: da(t) ih dt = [ A(t),H] W obrazie Schrödingera natomiast równanie Liouville a: d ρ(t) ih dt = [ H, ρ(t) ] Albo dla stanu czystego równanie Schrödingera: ih d ψ dt (t) = H ψ (t) Stała ruchu Wielkość fizyczna jest stała ruchu, gdy nie zależy od czasu da(t) = 0 [ A,H] = 0, A(t) = 0 dt t

16 Stan stacjonarny Stan nazywamy stanem stacjonarnym, gdy nie zmienia się w czasie, mamy więc: ρ(t) = U( τ) ρ(t )U ( τ) = ρ(t ) u Wartość średnia w stanie stacjonarnym nie zależy od czasu: A t = Tr(AU(t)ρ 0 U + (t)) = Tr(Aρ 0 ) = A t=0 u Stany stacjonarne są zawsze mieszanką stanów własnych operatora energii U(t)ρ 0 U + (t) = ρ 0 U(t)ρ 0 = ρ 0 U(t) [H, ρ 0 ] = 0 [U(t), ρ 0 ] = 0 ρ 0 = Dla stanu czystego a n E n E n H E n = E n E n ψ = e iδ E n n

17 Ewolucja czasowa jest transformacją symetrii układu [Q(t 0 ), P(t 0 )] = i I [Q(t), P(t)] = i I Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje komutacji. Obraz oddziaływania obraz Diraca: H=H + V; 0 iht U(t) = e ; ; h U (t) = e ; h U(t) = e iht ih0t 0 U (t)=u(t)u (t) U 0 (t) = e ih 0t U(t)=U (t)u (t) + I 0 I 0 A (t) = I I U(t)A + I 0 U(t); 0 I ρ ( t) = U(t) ρ( t) U(t); + 0 Definicja A = Tr( A U(t) ρ(t)u (t))= Tr( A U (t)u (t) ρ(t)u (t)u (t))= (t) + I 0 I I 0 0 I Tr( U (t)a U (t) U (t) ρ(t)u (t))=tr(a (t) ρ (t)) I I

18 Jeśli [ H 0,V] = 0; Układy niezachowawcze (nieodwracalne, nieizolowane) v Dynamika zależy od czasu v Operator energii zależy od czasu U(t) = e iht! = e i(h 0 +V)! = e ih 0t! e ivt! = U 0 (t)u I (t) = U I (t)u 0 (t) Ewolucja w czasie niezachowawczego układu fizycznego jest dana przez równanie Schrödingera i! d ψ (t) = h(t) ψ (t) ψ (t) = U(t,t dt 0 ) ψ (t 0 ) Gdzie h(t) nazywa się operatorem Hamiltona nie musi być operatorem energii U(t,t 0 ) = I - i! Rozwinięcie perturbacyjne; t 0 h(t')u(t',t 0 )dt' n t t t' 1 1 U(t,t 0)=I+ h(t')dt'+ dt' dt'' h(t')h(t'')+... i 0 h i 0 0 h 1 ih t t t 1 n-1 + dt dt... dt h(t )h(t )...h(t ) n 1 n

19 gdy [ h(t'),h(t'') ] = 0 dla dowolnych chwil t oraz t, wtedy (t 0 = 0): i h dt'h(t') 0 U(t)= e ; t gdy natomiast: [ h(t'),h(t'') ] 0; to otrzymamy: i h dt'h(t') 0 U(t)= Te ; t Iloczyn chronologiczny T jest zdefiniowany w sposób: T(h(t 1)h(t )h(t ))=h(t )h(t 1)h(t ); gdy t t 1 t Przykłady: Mechanika nierelatywistyczna, Teoria pola

20

21 Cząstki identyczne, postulat (VII) 1 Przestrzeń stanów: Η=Η1 H H... H N W MK cząstki identyczne są nierozróżnialne --- co to oznacza matematycznie? Weźmy wektor bazowy w H: ξ i i ξ, ξ, ξ,..., ξ = ξ ξ ξ... ξ 1 N 1 1 N N Ale te N elementów możemy ułożyć w innej kolejności: η, η, η,..., η = ξ ξ ξ... ξ 1 N 1 η η η N η 1 N Identyczność cząstek à stany pierwszy i drugi są fizycznie nierozróżnialne à wszelkie pomiary wykonane w tych stanach muszą dać ten sam rezultat stan P ξ, ξ, ξ,..., ξ = η, η, η,..., η 1 N 1 N Numer cząstki

22 Grupa permutacji = Grupa symetryczna {P} Jest skończenie wymiarowa ma N! elementów, Ma skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje unitarne, Istnieją dwie reprezentacje jednowymiarowe. Permutacje można złożyć z transpozycji, Permutacja może mieć parzystą lub nieparzystą liczbę transpozycji, Permutację można złożyć z dowolnej liczby transpozycji, ale zawsze jest ona parzysta lub nieparzysta. W przestrzeni stanów H działa reprezentacja unitarna ---- każdej permutacji N elementów odpowiada unitarny operator P działający na stany fizyczne. P ξ = η Nie wszystkie wektory z przestrzeni stanów są dobrymi stanami opisującymi cząstki identyczne. Czysty stan fizyczny będzie opisany wektorem ψ, który da identyczne wyniki każdego pomiaru niezależnie od tego jakiej permutacji dokonaliśmy na cząstkach. Taki wektor P ψ może różnić się od wektora ψ najwyżej fazą: δ P ψ = e i ψ Działając dowolnym operatorem permutacji na stan N cząstek identycznych otrzymujemy ten sam stan z dokładnością do fazy.

23 Permutacje nie komutują 1,,,1, P 1 P 1 1,, = P 1,1, =,1, P 1 P 1 1,, = P 1,,1 =,,1 n = P P 1 P P 1 1,, = P P 1 P,1, = P P 1,,1 = P,,1 =,1, n = 4 Permutacja elementów grupa S (składa się z 6 składników) (,1,), (1,,), (,,1) n = 1 (,,1), (,1,), (1,,) n =

24 Rząd grupy skończonej, r = ilość elementów grupy r(s ) = 6 E = 1 1 A = 1 1 B = 1 1 C = 1 1 D = 1 1 F = 1 1 AB = = 1 1 = D Mnożenie elementów: E A B C D F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B D D C A B F E F F B C A E D Przykład: AB = = 1 1 = D

25 Reprezentacja grupy, zbiór macierzy A M (A); B M (B);... Które spełniają mnożenie grupowe: A B = D M (A) M (B) = M (D) Wymiar macierzy M = Wymiar reprezentacji Reprezentacja nieredukowalna nie można macierzy reprezentacji zapisać w postaci: A M 1(A) 0 0 M (A) Twierdzenie (bez dowodu): Wszystkie reprezentacje nieredukowalne o wymiarach spełniają relacje: l 1,l,... (l i ) = h (rząd grupy) i

26 l = 1, l =, l =, l = 4, l = 5,... S, h=6 l 1 = 1; l = 1; l = S 4, h = 4 l 1 = 1; l = 1; l = ; l = ; l = ; S 5, h=10 x1 + x4 + 1x9 + 0 x16 + 1x5 + x6=10 S 6, h=70 x1 + x4 + 1x9 + x5 + x6 + x49 + x64 + x 81

27 Diagramy YOUNGA Diagramy i tablice Younga wywodzą się z grupy permutacji ale ich stosowanie jest znacznie szersze. Ponownie określimy operatory symetryzacji i antysymetryzacji Dla dwóch cząstek: S i k = (1+ P i k ) A i k = (1 P i k ) 1, +,1 1,,1 Dla trzech czastek: S 1 = 1+ P 1 + P 1 + P + P 1 P 1 + P 1 P 1 A 1 = 1 P 1 P 1 P + P 1 P 1 + P 1 P 1 Dla trzech cząstek mamy sześć różnych stanów: Φ 1 = S 1 1 Φ = A 1 1 Φ = A 1 S 1 1 = (1 P 1 )(1+ P 1 ) 1 = (1 P 1 + P 1 P 1 P 1 ) 1 = Φ 4 = A 1 S 1 1 = (1 P 1 + P 1 P 1 P 1 ) 1 = Φ 5 = A S 1 1 = (1 P + P 1 P P 1 ) 1 = Φ 6 = A S 1 1 = (1 P + P 1 P P 1 ) 1 =

28 W rzeczywistości istnieją tylko 4 niezależne stany; 1) Całkowicie symetryczny: ) Całkowicie antysymetryczny: Φ 1 Φ Φ ) I dwa z symetrią mieszaną, n.p. oraz Φ 4 Φ 5 Φ 4 Stany, są związane transformacją podobieństwa z czterema wymienionymi Odpowiada to trzem różnym diagramom Younga: całkowicie symetryczny całkowicie antysymetryczny symetria mieszana

29 ' α α 1 α 1 S A A S A S Φ 1 = S 1 1 Φ = A 1 1 A 1 S 1 1 A 1 S 1 1 Ogólna definicja dla grupy S n Wprowadzamy n liczb całkowitych: n λ i Takich, że, oraz kolumny A λ i = 1 (λ 1,λ,λ,...,λ n ) = n λ 1 λ λ... λ n. λ λ λ 4 λ1 wiersze S λ

30 Konstrukcja reprezentacji nieredukowalnych, ich wymiar oraz baza 1) Każdy możliwy kształt diagramu odpowiada różnym nieredukowalnym reprezentacją, np. dla S 4 : = 4 ) Wszystkie n liczb pojawia się w kwadratach, ulokowanych tak, że w każdym wierszu liczby rosną od lewej do prawej, w każdej kolumnie liczby rosną z góry do dołu, liczba różnych możliwych ustawień dla danego diagramu Younga daje wymiar reprezentacji { } ( ) dim =

31 Stany fizyczne tworzą jednowymiarowe podprzestrzenie w przestrzeni stanów --- jednowymiarowe podprzestrzenie reprezentacji grupy symetrycznej. Wiemy, że grupa ta ma dwie nierównoważne reprezentacje jednowymiarowe: P ψ = ψ ; p P ψ = ( 1) ψ ; Reprezentacja symetryczna Reprezentacja antysymetryczna Istnieją więc dwie jednowymiarowe podprzestrzenie grupy symetrycznej: H = { ψ H; P ψ = ψ } N + Liczba inwersji w permutacji P Podprzestrzeń symetryczna N - H = { ψ H; P ψ = ( 1) ψ } p Podprzestrzeń antysymetryczna Stany cząstek identycznych mogą należeć albo do podprzestrzeni symetrycznej albo podprzestrzeni antysymetrycznej

32 Postulat (VII) 1 Każdy stan fizycznych układu N identycznych cząstek tworzy podprzestrzeń jednowymiarową grupy permutacji S N symetryczną dla cząstek o spinie całkowitym (BOZONY), a antysymetryczną dla cząstek o spinie połówkowym (FERMIONY). Zasada Pauliego dla fermionów wynika z tego postulatu. Unormowane stany N cząstek identycznych: Dla bozonów: Dla fermionów: ξ = 1 P ξ ξ ξ + 1,,... N N! ξ = 1 (- 1) p P ξ ξ ξ 1,,... N N! P P

33 S 1 = 1+ P 1 + P 1 + P + P 1 P 1 + P 1 P 1 A 1 = 1 P 1 P 1 P + P 1 P 1 + P 1 P 1 A 1 S 1 = 1 P 1 + P 1 P 1 P 1 A 1 S 1 = 1 P 1 + P 1 P 1 P 1 A S 1 = 1 P + P 1 P P 1 A S 1 = 1 P + P 1 P P 1

34 Dziękuję za uwagę 4

35 Wybrane informacje o reprezentacjach grup

36 Zbiór elementów a,b,c,.. Tworzy grupę G, jeżeli 1. Jest zdefiniowany iloczyn dowolnych dwóch elementów grupy G, który także należy do G: a G, b G ab = c G.. Iloczyn elementów spełnia warunek łączności: (ab)c = a(bc).. W grupie G istnieje element jednostkowy e, taki, że dla dowolnego a G: ae = ea =a 4.Dla dowolnego elementu a G istnieje element odwrotny a -1, taki, że, aa 1 = a 1 a = e.

37 Reprezentacja grup 1. Definicja Reprezentacji grupy,. Definicja Reprezentacji Równoważnych,. Definicja Charakteru Grupy, 4. Definicja Reprezentacji Unitarnych, 5. Definicja Reprezentacji Redukowalnych i Nieredukowalnych 6. Definicja Sumy prostej macierzy, 7. Definicja Nieredukowalnej, Niezmienniczej Podprzestrzeni, 8. Definicja iloczynu prostego (iloczynu Kroneckera) macierzy

38 1. Definicja Reprezentacji grup Jeżeli każdemu elementowi g z grupy G g G można przypisać operator (macierz po wybraniu bazy) g A(g) A(G) i ta odpowiedniość jest homomorficzna (lub izomorficzna), wtedy mówimy, że zbiór operatorów A(G) tworzy reprezentację grupy G Przypomnieć Operatory w liniowej przestrzeni Baza wektorów Macierzowa reprezentacja operatorów Zmiana bazy dla operatorów

39 Dwa układy wektorów bazy: m = p U m, m m=1 m Macierzowa reprezentacja operatora A w bazie : m A m A m ' = A m, m ' Macierzowa reprezentacja operatora A w bazie m : Aby zachować ortonormalność wektorów bazy macierze transformacji muszą być unitarne: U + = U -1 A m A m ' = A m, m ' Jaka jest relacja pomiędzy macierzami w dwóch bazach? A m, m ' A m, m ' p p m=1 m ' =1 * A m, m ' = U m, m m A m ' U m', m = '

40 Czyli: p p m=1 m ' =1 + ( ) m, m ' = U m, m A m, m 'U m', m = ' U+ AU A = U + A U Macierze w naszych dwóch reprezentacjach są połączone unitarną transformacją podobieństwa ) Definicja reprezentacji równoważnych Dwie macierzowa reprezentacje są równoważne, {A} {A} jeżeli dla każdego elementy grupy transformacją podobieństwa: A(g) = U + A(g) U g G są połączone

41 ) Definicja charakteru grupy Komentarz Charakter każdego elementy grupy jest określony jako ślad macierzy A(g): Charakter = Tr(A(g)) Charakter elementu grupy g nie zmienia się przy zmianie bazy reprezentacji, a więc charakteryzuje sam element g grupy: Tr( A(g) )= Tr U + A(g) U ( ) = Tr A(g) ( ) Równoważne reprezentacje mają ten sam zbiór charakterów. 4) Definicja reprezentacji unitarnej Reprezentacja, w której wszystkie macierze A(g) są unitarne nazywa się reprezentacją unitarną

42 Można udowodnić, że dla grup skończonych oraz dla ciągłych zwartych grup Liego, jakakolwiek reprezentacja grupy może, odpowiednią transformacją podobieństwa, być przetransformowana w reprezentację unitarną. Istnieje więc taka macierz C, że dla każdego elementu grupy g G, jest unitarne. Dla nieskończenie wymiarowych grup oraz grup niezwartych, reprezentacje nie są unitarne. 5) Definicja reprezentacji nieredukowalnej Załóżmy, że mamy n wymiarową reprezentację A(g). Jeśli dla wszystkich elementów grupy istnieje taka jedna macierz C, że g G C 1 A(g)C C 1 A(g)C = D (1) (g) 0 0 D () (g) Gdzie D (1) (g) oraz D () (g) są macierzami kwadratowymi D (1) (g) = (n 1 n 1 ) oraz takimi, że, wtedy mówimy, że reprezentacja A(g) D () (g) = (n n ) n = n 1 + n jest redukowalna. Jeżeli taki rozkład nie jest możliwy to reprezentację nazywamy nieredukowalną.

43 6) Definicja sumy prostej macierzy A B A 0 0 B (n 1 n 1 ) (n n ) = (n 1 + n ) (n 1 + n ) Można łatwo udowodnić, że (A 1 B 1 ) (A B ) = A 1 A B 1 B Twierdzenie Jeżeli D (1) (g) oraz D () (g) są dwiema reprezentacjami grupy G wtedy D (1) (g) 0 D(g) = 0 D () (g) jest także reprezentacją. Oraz odwrotnie, jeżeli D(g) jest reprezentacją, to także macierze D (1) (g) oraz D () (g) tworzą reprezentację. Dowód: D(g 1 ) D(g ) = D (1) (g 1 ) 0 D (1) (g ) 0 0 D () (g 1 ) 0 D () (g ) = = D (1) (g 1 )D (1) (g ) 0 0 D () (g 1 )D () (g ) = D (1) (g 1 g ) 0 0 D () (g 1 g ) = D(g g ) 1

44 Komentarze Proces D(g) = D (1) (g) D () (g) D (k) (g) jest nazywany dodawaniem reprezentacji. D (i) (g) Jeżeli są reprezentacjami nieredukowalnymi, powyższa procedura nosi nazwą rozkładu reprezentacji redukowalnej na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych. Jeżeli w sumie D(g) = D(1) (g) D () (g) D (k ) (g), wszystkie reprezentacje D (i) (g) są różne, wtedy mówimy, że reprezentacja D(g) 7) Definicja nieredukowalnych podprzestrzeni niezmienniczych jest prosto redukowalna. Jeżeli, działając elementami grupy G na dowolne wektory w podprzestrzeni M liniowej przestrzeni L, otrzymujemy wektory nalężące do M, to mówimy że podprzestrzeń M jest niezmiennicza względem grupy G. Jeżeli poza tym w M nie ma mniejszej niezmienniczej podprzestrzeni, to M jest nieredukowalną podprzestrzenią niezmienniczą

45 8) Definicja iloczynu prostego (Kroneckera) macierzy A B = C C i k, j l = A i j B k l Przykład Elementy o tym samym (i,j) oznaczają wiersze, o tym samym (k,l) kolumny, obowiązuje porządek leksykograficzny. a A = 11 a 1 b B = 11 b Jeżeli oraz 1 wtedy: a 1 a b 1 b A B = a 11 B a 1 B a 1 B a B = a 11 b 11 a 11 b 1 a 1 b 11 a 1 b 1 a 11 b 1 a 11 b a 1 b 1 a 1 b a 1 b 11 a 1 b 1 a b 11 a b 1 a 1 b 1 a 1 b a b 1 a b

46 Dowód: Twierdzenie Dla iloczynu prostego mamy: (A 1 B 1 ) (A B ) = (A 1 A B 1 B ) ((A 1 B 1 ) (A B )) i k, m n = = (A 1 ) i j (A ) j m Iloczyn prosty macierzy tworzy reprezentacji grupy G tworzy inną reprezentację tej samej grupy: Dowód: j l (C 1 ) i k, j l (C ) j l, m n = {(A 1 ) i j (B 1 ) }{ k l (A ) j m (B ) } l n = j, l (B 1 ) k l (B ) l n = (A A ) (B B ) = (A A B B ) 1 i m 1 k n 1 1 i k,m n D (1) (g) D () (g) = D(g) D (1) () (g) D(g 1 ) D(g ) = (D (1) (g 1 ) D () (g 1 )) (D (1) (g ) D () (g )) = = (D (1) (g 1 ) D (1) (g )) (D () (g 1 ) D () (g )) = (D (1) (g 1 g ) D () (g 1 g )) = D(g 1 g ) j, l

47 Twierdzenie (bez dowodu) Dla grupy skończonej lub prostej i zwartej jakakolwiek reprezentacja może być rozłożona na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych, D (1) () (k ) (g) = D (χ ) (g) i a i i a i = 0,1,,.., oznaczają jak wiele razy reprezentacja nieredukowalna pojawia się w sumie. Jeżeli a i = 0 lub 1 dla wszystkich i, reprezentacja jest prosto redukowalna Taki rozkład nazywa się szeregiem Clebscha Gordana Twierdzenie Charakter iloczynu prostego dwóch reprezentacji jest równy iloczynowi charakterów każdej reprezentacji. D i (χ ) Dowód: ( ) i k, i k χ (1) () (g)= D (1) (g) D () (g) = i,k = D (1) (g) i ( ) i, i k ( D () (g)) k, k = χ (1) (g) χ () (g)