21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji

Transkrypt

1 21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie lub obrót układu współrzędnych. Warto od razu zauważyć, że tego typu transformację możemy zinterpretować jako przesunięcie lub obrót samego układu fizycznego. Stąd bierna i aktywna interpretacja takiej transformacji. Druga uwaga dotyczy matematycznych własności wspomnianych transformacji: otóż zarówno translacje jak i obroty są grupami symetrii. Dysponujemy zatem silnym aparatem matematycznym, który można zastosować w mechanice kwantowej. Przypomnijmy pokrótce definicję grupy. Zbiór obiektów a, b, c... tworzy grupę G, jeżeli można zdefiniować działanie o następujących własnościach: 1. dla każdych a, b G wynik a b G, 2. istnieje element e G, taki że a e = e a = a zwany elementem jednostkowym), 3. do każdego elementu a istnieje element odwrotny a 1, taki że a a 1 = a 1 a = e, 4. działanie jest łączne: a b) c = a b c). Dodatkowo jeśli działanie jest przemienne, to mówimy, że grupa G jest abelowa przemienna). Np. Liczby całkowite 0, ±1, ±2,... tworzą grupę względem dodawania, a elementem jednostkowym jest tutaj 0. Jest to oczywiście grupa przemienna. Grupy mogą składać się ze skończonej liczby elementów, z przeliczalnej liczby elementów, lub z nieprzeliczalnej liczby elementów. W tym ostatnim przypadku elementy grupy wygodnie jest oznaczyć jako funkcje jednego lub kilku ciągłych parametrów. Łatwo przekonać się, że translacje czy obroty są grupami ciągłymi zależnymi od trzech ciągłych parametrów. W przypadku translacji są to trzy składowe wektora przesunięcia, a w przypadku obrotów trzy kąty. W fizyce często wprowadzamy inną, nieco bardziej formalną grupę, mianowicie grupę translacji czasowych. Na koniec tego krótkiego wstępu warto zaznaczyć, że w fizyce odgrywają rolę nie tylko grupy związane z transformacjami czasu i przestrzeni, ale również grupy transformacji w pewnych abstrakcyjnych przetrzeniach. Wrócimy jeszcze do tego problemu w dalszych rozdziałach Grupa translacji Mówiąc o translacji układu fizycznego mamy na myśli transformację r r = r + a, 21.1) 117

2 gdzie a jest wektorem translacji. Powstaje pytanie, jak zmienia się funkcja falowa układu fizycznego pod wpływem takiego przesunięcia. Jeżeli w przestrzeni nie ma żadnych pól np. elektomagnetycznych lub grawitacyjnych, które byłyby na sztywno związane z jakimś wyróżnionym układem odniesienia) to stan układu kwantowego zasadniczo nie powinien ulec zmianie. Oczywiście pakiet falowy o maksimum w punkcie r 0 zamieni się w pakiet falowy o maksimum w punkcie r 0 + a, ale np. kształt pakietu nie ulegnie zmianie. Czyli jeśli przed przesunięciem układ opisuje funkcja falowa ψ α r), to po przesunięciu opisywany jest on funkcją falową ψ β r + a). Postulat współzmienniczości względem tanslacji sprowadza się do równania ψ β r + a) = ψ α r) lub ψ β r) = ψ α r a) 21.2) Aby odpowiedzieć na pytanie, jak ze stanu kwantowego α otrzymać matematycznie stan β, zdefiniujmy operator U a), taki że Û a) ψ α r) = ψ β r). 21.3) Zauważmy, że równanie??) podaje przepis, jak przejść od jednego stanu do drugiego dla układu w tym samym punkcie. Od razu z zachowania normy dostajemy warunek Û a)û a) = 1, 21.4) czyli że operator U jest unitarny. Aby znalezć jawną postać operatora U musimy skorzystać z równania??) Û a) ψ α r) = ψ α r a). 21.5) Warto w tym miejscu zauważyć, że równanie??) stosuje się w zasadzie dla dowolnej transformacji przestrzennej R: r r = R r, 21.6) wówczas Û R ψ α r) = ψ α R 1 r). 21.7) Dalej wystarczy założyć, że translacja??) jest infinitenzymalna, tzn. że a jest małe i ψ α r a) = ψ α r) a ψ α r) a ) 2 ψα r) +..., 21.8) a stąd Û a) = 1 a a ) +... = e a. 21.9) Na koniec warto przepisać??) przy pomocy operatora pędu Û a) = e i a p/ h = e iax ˆpx+ay ˆpy+az ˆpz)/ h ) 118

3 Widzimy, że operatory Û a) tworzą grupę abelową w sensie definicji podanej na początku rozdziału, a poszczególne elementy tej grupy numerowane są trzema ciągłymi parametrami a x, a y i a z. Elementem jednostkowym jest a elementem odwrotnym Û0) = 1, Û 1 a) = Û a) = ei a p/ h. Operator Û przyjmuje postać??) niezależnie od reprezentacji jaką wybierzemy dla operatora p. Operator pędu nazywamy w tym kontekście generatorem grupy Równanie ruchu Czy z faktu, że ψ α t, r) spełnia zależne od czasu równanie Schrödingera i h d dt ψ α t, r) = Ĥ ψ α t, r) 21.11) wynika, że ψ β t, r) jest także rozwiązaniem zależnego od czasu równania Schrödingera? Sprawdźmy i h d dt ψ β t, r) = i h d ) ÛR ψ dt α t, r) i h d ) dt ψ α t, r) = ÛR = ÛRĤ ψ α t, r) = ÛRĤ Û R ψ β t, r), 21.12) gdzie w ostatnim kroku skorzystaliśmy z unitarności operatora ÛR i równania??). Równanie to przyjmuje oryginalną postać gdy ] Û R Ĥ Û R [ÛR = Ĥ, czyli, Ĥ = ) Stosując równanie??) do transformacji symetrii, otrzymujemy, że musi zachodzić [ ] ˆp, Ĥ = ) Aby wykazać??) wystarczy rozwinąć Û według??). A zatem, aby układ fizyczny po przesunięciu nadal pozostawał tym samym układem fizycznym czyli spełniał równanie Schrödingera), operator pędu czyli generator symetrii) i hamiltonian układu muszą komutować czyli posiadać wspólny układ funkcji własnych). O takim układzie mówimy, że jest niezmienniczy względem translacji. 119

4 Elementy macierzowe stanów przesuniętych Dotychczas nasze wywody prowadziliśmy w oparciu o funkcje falowe w przedstawieniu położeniowym. Jednakże równanie??) można z łatwością przepisać w notacji bra i ket Diraka: β = ÛR α ) Podobnie dla stanu sprzężonego β = α Û R ) Wykorzystując równania??) i??) zapiszmy element macierzowy dowolnego operatora dynamicznego Ô w układzie przetransformowanym: β Ô R β = α Û RÔRÛR α = α Ô α ) Widzimy zatem, że operator w układzie wyjściowym wyraża się przez operator w układzie przetransformowanym Ô = Û RÔRÛR ) Wróćmy do translacji. Intuicyjnie, współrzędna r k w układzie przesuniętym o a, z punktu widzenia układu wyjściwego ma wrtość r k + a k. Sprawdźmy, jak wygląda to w naszym formaliźmie. Przyjmując, że ÔR = ˆr k, mamy Ô = 1 + ī ) a h iˆp i +... ˆr k 1 ī ) a h iˆp i +... = ˆr k + ī h a i [ˆp i, ˆr k ] = r k + ī h a i i hδ ik ) = r k + a k ) Zatem elementy macierzowe operatora położenia w stanach przesuniętych β są równe odpowiednim elementom macierzowym operatora r + a w stanach wyjściowych α. Z kolei, jeśli Ô R = ˆp, to operator Ô = ˆp. Podobnie jest dla każdego operatora, który jest funkcją ˆp Translacje w czasie Rozpatrzmy teraz analogicznie transformację polegającą na translacji czasowej. Wówczas Korzystajc z analogonu wzoru??) ψ β t + τ, r) = ψ α r) lub ψ β t, r) = ψ α t τ, r) ) Û T τ) ψ α t, r) = ψ α t τ, r) 21.21) i stosując rozwinięcie Taylora ψ α t τ, r) = 1 τ ddt + τ ) 2 d 2 2! dt +... ψ 2 α t, r) = e τ d dt ψα t, r) ) 120

5 Stąd Û T τ) = e iτĥ/ h 21.23) pod warunkiem, że Ĥ nie zależy od czasu. Tylko wtedy wyższe pochodne dn /dt n dają się zastąpić przez Ĥn. Oczywiście ÛT komutuje z Ĥ i układ posiada symetrię niezmienniczości translacyjnej w czasie Grupa obrotów Generatory grupy obrotów Aby znaleźć formę operatora ÛR dla obrotów musimy najpierw skonstruować przekształcenie przestrzenne odpowiadające obrotowi wektora r. Każdy obrót R można przedstawić jako złożenie trzech obrotów kolejno wokó osi z, x i y 1 : R = R y φ y )R x φ x )R z φ z ), 21.24) gdzie φ x,y,z są kątami obrotu wokó odpowiednich osi. Warto zaznaczyć, że istotną rolę odgrywa tu kolejność obrotów, gdyż nie są to operacje przemienne. Za dodatni kierunek obrotu przyjmijmy kierunek przeciwny ruchowi wskazówek zegara, wówczas obrót o kąt φ z daje się zapisać za pomocą przekształcenia macierzowego x y z = cos φ z sin φ z 0 sin φ z cos φ z x y z ) Rzeczywicie dla wektora r = x, 0, 0) leżącego na osi x po obrocie r = x cos φ z, x sin φ z, 0), a więc współrzędna x zmalała a y wzrosła. Obrót wokó osi x o kąt φ x przyjmuje postać x y z = cos φ x sin φ x 0 sin φ x cos φ x natomiast obrót wokó osi y o kąt φ y daje się zapisać jako: x y z cos φ y 0 sin φ y = sin φ y cos φ y x y z x y z 21.26) ) Zwróćmy uwagę, że znak dla obrotu wokó osi y pojawia się w dolnym rogu macierzy R y, a nie jak w przypadku obrotów wokó osi z i x ponad diagonalną ze względu na to, że przyjęliśmy, że obroty wykonywane są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. 1 Nie jest to jedyna możliwość, wrócimy do tego problemu w rozdziale??. 121

6 Ponieważ, aby wyliczyć postać operatora ÛR będziemy korzystali z rozwinięcia Taylora, wystarczy rozważyć obroty infinitenzymalne: 0 φ z 0 R z = 1 + φ z , R x = φ x +..., 0 φ x φ y R y = ) φ y 0 0 Pełna macierz R jest iloczynem macierzy??). W przypadku obrotów infinitenzymalnych nie gra roli kolejność, gdyż różnica między dwoma obrotami wykonanymi w różnej kolejności jest wyższego rzędu w kątach φ. Zatem R = φ z φ y φ z 0 φ x φ y φ x ) Stąd r = R r = r + φ y z φ z y φ z x φ x z φ x y φ y x +... = r + φ r +..., 21.30) gdzie wektor φ jest zdefiniowany jako: Skorzystamy teraz z równania??): φ = φ x φ y φ z Û R φ)ψ α r) = ψ α R 1 r), ) gdzie R 1 otrzymuje się z R przez zamianę φ φ we wzorze??): Û R φ)ψ α r) = ψ α r ) φ r) = ψ α r) φ r ψ α r) { = 1 φ r )} ψ α r) { = 1 ī } h φ r p) ψ α r) { = 1 ī } h φ L ψ α r) ) 122

7 Po eksponencjacji otrzymujemy jawną postać operatora ÛR: Û R φ ) = e ī h φ L ) Widzimy zatem, że trzy składowe operatora momentu pędu stanowią generatory transformacji obrotu. Jak wiemy spełniają one relację komutacji [ˆLi, ˆL k ] = i h ɛ ijk ˆLk. Warto spróbować relację??) definiującą obrót w przestrzeni położeń przepisać w postaci analogicznej do??,??). W tym celu przepiszmy ją dla składowej k wektora r ) r k = r k + φ k r = r k + ɛ klm φ l r m = δ km φ l ɛ lkm ) r m ) Zdefiniujmy teraz trzy macierze l = 1, 2, 3 ) o wymiarach 3 3: które przyjmują jawną postać s 1 = 0 0 1, s 2 = s l km = ɛ lkm, 21.35) , s 3 = Przy pomocy tych macierzy możemy zapisać macierz R jako ) R = 1 + φ 1 s 1 + φ 2 s 2 + φ 3 s 3 = 1 + φ s ) Nawiasem mówiąc, ten związek możny już było odczytać ze wzoru??).definiując nowe macierze S l : S l = i hs l 21.38) możemy przepisać R w postaci analogicznej do ÛR: Widzimy zatem, że macierze R = 1 ī h φ S ) S l ) km = i h ɛ lkm 21.40) są generatorami obrotów w przestrzeni położeń. Spróbujmy podsumować dotychczasowe wyniki. Po pierwsze pokazaliśmy, że generatorami grupy obrotów są składowe operatora momentu pędu. Za ich pomocą można zapisać operator obrotu ÛR działający w przestrzeni funkcji falowych. Z poprzednich rozważań wiemy, że przestrzeń, w której działają te operatory daje się scharakteryzować dwoma liczbami kwantowymi l i m. Dla wybranego, ustalonego l operatory te możemy zastąpić przez macierze o wymiarach 2l + 1) 2l + 1). Po drugie, okazało się, że zwykłą 123

8 transformację obrotu w przestrzeni położeń możemy zapisać przy pomocy generatorów S l, które są macierzami 3 3. Stąd wniosek, że dla tej reprezentacji grupy obrotów l = 1. Warto się przekonać, że S l ) 2 = 2 h ) l= Ponieważ wartość własna operatora ˆL 2 wynosi ll + 1), we wzorze??) l = 1. Dotychczas zakładaliśmy milcząco, że funkcje falowe ψ α są skalarami względem transformacji obrotu. Ale można sobie łatwo wyobrazić funkcję falową, która sama jest trójwymiarowym wektorem ψ 1 α r) ψ α r) = ψ 2 α r) ) ψ 2 α r) Wówczas prawo transformacji przybiera postać ψ β R r) = R ψ α r) ) Macierz R działa tylko na wskaźniki wektorowe funkcji falowej, a nie na indeksy α, β. Stąd operator ÛR spełnia równanie Û R ψα r) = ψ β r) = R ψ α R 1 r) ) Dla obrotów infinitenzymalnych Û R ψα r) = = = 1 ī ) h φ S ψ α r φ r) 1 ī ) h φ S 1 ī ) h φ L ψ α r) 1 ī h φ S ī ) h φ L ψ α r) ) Pamiętajmy, że S działają na indeksy wektorowe funkcji ψ α r), a L są operatorami różniczkowymi. Zatem ) Û R φ = 1 ī h ) φ S + ˆL ) czyli że generatory obrotów są sumą generatora L i generatora S. 124