Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra"

Transkrypt

1 Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra

2 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku kwantowym pojęcie gęstości stanów zastępujemy pojęciem operatora gęstości. Przypuśćmy, że układ jest opisywany przez poprawnie znormalizowana funkcję falowa ψ. Stwórzmy operator Posiada on następujace własności: 1. Jest hermitowski. ˆϱ = ψ ψ. (1) 2. Jest dodatnio określony: Dla dowolnego stanu φ φ ˆϱ φ = φ ψ ψ φ = ψ φ 2 0. Copyright c P. F. Góra 10 2

3 3. Tr ˆϱ = 1. Istotnie, niech { f i } tworza unormowana bazę w przestrzeni Hilberta. Wówczas ψ = i f i f i ψ i dalej = i Tr ˆϱ = i f i ˆϱ f i = i i f i ψ ψ f i ψ f i f i ψ = ψ f i f i ψ = ψ ψ = 1. Copyright c P. F. Góra 10 3

4 Uogólniajac powyższe własności 1,2,3, każdy operator ˆϱ hermitowski, dodatnio określony i o śladzie równym 1 (Tr ˆϱ = 1) nazywam operatorem gęstości lub krótko stanem. Skoro operator gęstości jest hermitowski (własność 1), jego wektory własne tworza bazę ortonormalna. W tej bazie operator gęstości jest diagonalny, a jego wartości własne, które sa nieujemne (własność 2) i sumuja się do jedności (własność 3), można traktować jako pewien rozkład prawodpodobieństwa: Sa to mianowicie prawdopodobieństwa tego, że układ jest w odpowiednim stanie bazowym operatora gęstości. Copyright c P. F. Góra 10 4

5 Wartość oczekiwana Niech Ô będzie pewnym operatorem hermitowskim. Wartość oczekiwana tego operatora w stanie ψ liczymy jako Ô = ψ Ô ψ = ψ Ô f i f i ψ i f i ψ ψ Ô f i = Tr ( ψ ψ Ô ) = i Kontytuujac zaproponowane uogólnienie, jeśli ˆϱ jest dowolnym operatorem gęstości, wartość oczekiwana operatora Ô w stanie ˆϱ przyjmujemy jako Ô = Tr (ˆϱ Ô ). (2) Copyright c P. F. Góra 10 5

6 Równanie Liouville a Jak opisać ewulucję czasowa operatora ψ ψ? Korzystamy z równania Schrödingera i t ψ = Ĥ ψ (3) gdzie Ĥ jest hamiltonianem, a wobec tego ( ) t ( ψ ψ ) = t ψ ψ + ψ ( ) t ψ = i Ĥ ψ ψ + i ψ ψ Ĥ (4) gdzie skorzystaliśmy z hermitowskości hamiltonianu. Ostatecznie i t ( ψ ψ ) = Ĥ ψ ψ ψ ψ Ĥ = [ Ĥ, ψ ψ ]. (5) Copyright c P. F. Góra 10 6

7 Jak poprzednio, uogólniamy to równanie i powiadamy, że ewolucja czasowa operatora gęstości dana jest równaniem i ˆϱ t = [ Ĥ, ˆϱ ]. (6) Równanie (6) jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego równania Liouville a ϱ = {ϱ, H}, (7) t gdzie ϱ jest gęstościa stanów w przestrzeni fazowej, a {,} jest nawiasem Poissona. Copyright c P. F. Góra 10 7

8 Przypadek klasyczny Na poprzednim wykładzie widzieliśmy, że suma statystyczna i wielka suma statystyczna w przypadku klasycznym wyrażaja się wzorami Z N = Z N (V, T ) = Ξ = Ξ(V, T, µ) = d 3N p d 3N q N! h 3N e βh(p,q), (8a) N=0 e Nβµ Z N (V, T ). Termodynamikę uzyskujemy, odpowiednio, ze wzorów (8b) F = k B T ln Z N (V, T ) (9a) F = Nµ k B T ln Ξ(V, T, µ) (9b) Copyright c P. F. Góra 10 8

9 Przypadek kwantowy Przez analogię z przypadkiem klasycznym, w przypadku kwantowego zespołu kanonicznego powiadamy, że operatorem gęstości jest ˆϱ = e βĥ (10a) Ĥ jest (kwantowym) hamiltonianem układu. Dla wielkiego zespołu kanonicznego bierzemy ˆϱ = e β(ĥ µ ˆN) (10b) gdzie ˆN jest operatorem liczby czastek. Można pokazać, że operatory (10) sa poprawnie zdefiniowanymi operatorami gęstości: sa hermitowskie, dodatnio określone, a ich ślady sa równe jeden. Copyright c P. F. Góra 10 9

10 Termodynamikę w każdym wypadku uzyskujemy wyliczajac ślad operatora gęstości Z N = Tr e βĥ lub Ξ = Tr e β(ĥ µ ˆN) (11) Copyright c P. F. Góra 10 10

11 Stany czyste i mieszane Operator (1) ma jeszcze jedna własność: Otóż dla tego operatora ˆϱ 2 = ˆϱ. (12a) Tej własności nie żadamy. Dopuszczamy, aby w ogólności ˆϱ 2 ˆϱ. (12b) Dlaczego nie żadamy tej własności? Wyobraźmy sobie, że pewien układ i jego otoczenie sa opisywane przez pewna funkcję falowa, a więc odpowiadajacy jej operator gęstości ˆϱ tot ma własność (12a). Jeśli jednak utworzymy zredukowany operator gęstości, eliminujac stopnie swobody otoczenia ˆϱ red = Tr ot ˆϱ tot (13) Copyright c P. F. Góra 10 11

12 będzie on operatorem gęstości (posiada własności 1,2,3), ale nie ma gwarancji, że posiada własność (12a): w ogólności zachodzi własność (12b). Stany, które spełniaja (12a), nazywamy stanami czystymi. Stany, które spełniaja (12b), nazywamy stanami mieszanymi. Stany mieszane sa bardziej ogólne, niż stany czyste. Copyright c P. F. Góra 10 12

13 Gaz doskonały Dla kwantowego gazu doskonałego, a więc nieoddziałujacego, wielka suma statystyczna rozpada się na iloczyn jednoczastkowych wielkich sum statystycznych, czyli Ξ = i=0 Tr i e β(ε i µ)ˆn i (14) gdzie ε i jest energia, a ˆn i operatorem liczby obsadzeń i-tego poziomu. Różnice pomiędzy bozonami a fermionami wynikaja z różnych możliwości obsadzania poszczególnych stanów. Copyright c P. F. Góra 10 13

14 Satyendra Nath Bose, Copyright c P. F. Góra 10 14

15 Gaz Bosego Dla bozonów liczby obsadzeń nie sa niczym ograniczone, a zatem (14) przechodzi w Ξ = i=0 n=0 ( e β(ε i µ) ) n = i=0 ( 1 e β(ε i µ) ) 1 (15) Stad otrzymujemy wielki potencjał termodynamiczny i średnia liczbę cza- stek w doskonałym gazie Bosego: Ω = k B T ln N = i=0 i=0 ( 1 e β(ε i µ) ) 1 1 e β(ε i µ) 1 (16a) (16b) Copyright c P. F. Góra 10 15

16 Widmo energii dane jest przez ε p = p2 2m = 2 k 2 (17) 2m Jak poprzednio, gaz zamykamy w bardzo dużym pudle o objętości V i zastępujemy sumowanie po stanach całkowaniem po wektorach falowych: i gv (2π) 3 d 3 k (18) gdzie g oznacza degenerację stanu. Całkę po katach wykonujemy trywialnie, wektory falowe wyrażamy poprzez energię i ostatecznie dostajemy Ω k B T = pv k B T = gv 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 0 dε ε 1/2 ln ( 1 e β(ε µ)) (19) Copyright c P. F. Góra 10 16

17 i dalej, całkujac przez części, Z drugiej strony pv = 2 3 gv 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 0 ε 3/2 dε e β(ε µ) 1 (20) E = i n i ε i gv 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 0 ε 3/2 dε e β(ε µ) 1 a zatem otrzymujemy równanie stanu doskonałego gazu Bosego: (21) pv = 2 3 E (22) Copyright c P. F. Góra 10 17

18 Potencjał chemiczny gazu Bosego Postępujac analogicznie, dostajemy wyrażenie na gęstość czastek N V = g 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 0 ε 1/2 dε e β(ε µ) 1 (23) Wyrażenie (23) ma sens tylko jeśli ε µ: Potencjał chemiczny musi być mniejszy od najmniejszej możliwej energii. Ponieważ najniższa energia jest równa zeru, potencjał chemiczny gazu Bosego musi spełniać µ 0 (24) Z drugiej strony w granicy wysokich temperatur wielki potencjał termodynamiczny i gęstość czastek przyjmuja postać klasyczna, skad możemy wy- Copyright c P. F. Góra 10 18

19 liczyć potencjał chemiczny µ C k B T = ln N gv ( 2π 2 mk B T ) 3/2. (25) (25), jako funkcja temperatury, jest monotoniczny: daży do przy T 0 + i i do przy T. Wnioskujemy stad, że potencjał chemiczny gazu Bosego musi leżeć poniżej wartości klasycznej. Łatwo wyliczyć temperaturę, dla której potencjał chemiczny osiaga zero. W (23) podstawiamy µ = 0 i dostajemy N V = g 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 0 = g 4π 2 ε 1/2 dε e ε/k BT 0 1 = ( ) 2mkB T 3/2 0 2 ζ g 4π 2 ( ) 3 2 ( ) 2mkB T 3/2 0 2 Γ ( ) x dx e x 1 (26) Copyright c P. F. Góra 10 19

20 Stad można wyliczyć T 0 = 2 2mk B 4π 2 gζ ( ) ( ) 3 2 Γ 32 2/3 ( N V ) 2/3 (27) Poniżej T 0, potencjał chemiczny gasu Bosego musi być infinitezymalnie mały i ujemny: µ = 0 dla T T 0. Copyright c P. F. Góra 10 20

21 Copyright c P. F. Góra 10 21

22 Kondensacja Bosego-Einsteina Dla T < T 0 µ = 0 i całka we wzorze (23) jest mniejsza od N/V, gdyż wartość mianownika rośnie w porównaniu do wartości w T 0. Skad się to bierze? Otóż zastępujac w (18) sumę po stanach całka po pędach (efektywnie po energiach), zgubiliśmy pierwszy wyraz: gęstość stanów jest proporcjonalna do ε 1/2, więc ten stan znika, podczas gdy w rzeczywistości może wnieść znaczny wkład do całej sumy: Dla T < T 0 stan o naniższej energii jest makroskopowo obsadzany. Zjawisko to nosi nazwę kondensacji Bosego-Einsteina. Całka (23) daje wówczas tylko gęstość stanów o energiach większych od zera; pozostałe czastki znajduja się w stanie o energii zerowej (najniższej): Copyright c P. F. Góra 10 22

23 N ε>0 V = g 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 N ε=0 V = N V 0 1 x dx e x 1 = N V ( T T 0 ) 3/2 ( T T 0 ) 3/2 (28a) (28b) Podobnie możemy wyliczyć energię i pojemność cieplna dla T T 0 ) Γ ( 52 ) E = ζ ( 5 2 ζ ( ) ( 3 2 Γ 32 )Nk B T ) Γ ( 52 ) C V = 5 2 ζ ( 5 2 ζ ( ) ( 3 2 Γ 32 )Nk B ( T T 0 ( T ) 3/2 (29a) T 0 ) 3/2 (29b) Copyright c P. F. Góra 10 23

24 Gaz Bosego dla T > T 0 Wyliczmy różnicę pomiędzy prawdziwa liczba czastek a hipotetyczna liczba czastek dla przypadku µ = 0 i T > T 0. N N 0 (T ) = gv 4π 2 ( ) 2m 3/2 2 0 [ dε ε 1/2 1 e (ε µ)/kbt 1 1 e ε/kbt 1 gv ( ) 2m 3/2 4π 2 2 πk B T 0 µ 1/2 (30) gdzie ostatnia równość otrzymaliśmy rozwijajac funkcję podcałkowa dla 0 < T T 0 T 0, gdyż wówczas wkład wnosza tylko małe wartości ε. Stad wyliczamy potencjał chemiczny µ ζ ( ) ( ) 3 2 Γ 32 π 2 k B T 0 ( ) 3/2 2 T 1 T 0 (31) Copyright c P. F. Góra ]

25 Potencjał chemiczny doskonałego gazu Bosego ma nieciagł a druga pochodna w T = T 0. Postępujac analogicznie, widzimy, że pojemność cieplna ma wówczas ostrze. Doskonały gas Bosego wykazuje przejście fazowe drugiego rodzaju w T = T 0. Copyright c P. F. Góra 10 25

26 Komentarz: Znaczenie potencjału chemicznego Formalnie potencjał chemiczny jest wielkościa, która jest równa dla dwóch układów, które pozostaja w równowadze ze względu na wymianę czastek podobnie jak temperatura jest wielkościa, która jest równa dla dwóch układów, które pozostaja w równowadze ze względu na przekaz ciepła. Potencjał chemiczny w ogólności zależy od parametrów układu, takich jak temperatura, objętość, liczba czasteczek itp. Aby zrozumieć tę zależność, należy zadać pytanie: w jaki sposób zwiększyć całkowita entropię układu (i otoczenia), w jaki sposób dodawanie częsteczek do układu może zwiększyć tę entropię? Copyright c P. F. Góra 10 26

27 Pamiętajmy, że df = S dt p dv + µ dn µ = F N T,V (32a) (32b) Dla układu w stałej temperaturze i objętości, potencjał chemiczny jest zmiana energii swobodnej Helmholtza wynikajac a z dodania nowej czasteczki do układu. Copyright c P. F. Góra 10 27

28 Wysokie temperatury Dla układów (dla gazów) w wysokich temperaturach dodanie czasteczki na ogół (poza przypadkami jakichś bardzo szczególnych oddziaływań) zwiększa energię układu. W warunkach stałej temperatury i objętości układ stara się minimalizować swoja energię swobodna Helmholtza. F = U T S. Jeśli więc energia wewnętrzna rośnie, ale energia swobodna Helmholtza spada, oznacza to, że z jednej strony potencjał chemiczny jest ujemny (spadek energii swobodnej!), z drugiej, że wzrost energii wewnętrznej jest (z naddatkiem) rekompensowany przez wzrost entropii: Dodanie cza- steczki do układu powoduje wzrost energii, ale zarazem sprawia, że energia ta może zostać rozdystrybuowana na więcej sposobów, a więc rośnie liczba stanów dostępnych układowi. Copyright c P. F. Góra 10 28

29 Gaz klasyczny w niskich temperaturach W niskich temperaturach (lub przy dużej gęstości) w gazie klasycznym wzrost energii wewnętrznej zwiazany z dodaniem czasteczki do układu nie jest dostatecznie kompensowany przez wzrost entropii, a dodatkowo moga pojawiać się efekty wykluczonej objętości. Potencjał chemiczny gazu staje się dodatni. (Należy jednak pamiętać, że klasyczny gaz w bardzo niskich temperaturach nie ma wielkiego sensu.) Copyright c P. F. Góra 10 29

30 Bozony w niskich temperaturach Poniżej temperatury krytycznej, potencjał chemiczny gazu Bosego staje się infinitezymalnie mały i ujemny: układ może przyjmować dowolnie dużo czasteczek. Pojawia się uporzadkowanie w przestrzeni pędów. Część bozonów wciaż ma niezerowe energie i pędy, ale w miarę spadku temperatury od T 0 do zera, coraz więcej bozonów obsadza stan o zerowej energii. Kondensacja Bosego-Einsteina jest wynikiem zmiany analitycznych własności potencjału chemicznego w temperaturze kondensacji. Aby uzyskać pewien poglad na skalę temperaturowa, jeśli wziać parametry dla atomów 4 He, otrzymamy T K. Ciekły hel przechodzi do stanu nadciekłego w temperaturze 2.2 K, ale kondensacja Bosego-Einsteina jest tylko przybliżonym wyjaśnieniem zjawiska nadciekłości, z uwagi na silne oddziaływania w cieczy kwantowej. Copyright c P. F. Góra 10 30

31 Czysty kondensat Bosego-Einsteina uzyskano w 1995 (Nagroda Nobla 2001), kondensujac gaz atomów rubidu w 170 nk. Obrazek przedstawia rozkład predkos ci atomów gazu tuz przed kondensacja, w temperaturze kondensacji i w temperaturze poniz ej temperatury kondensacji. Copyright c P. F. Góra 10 31

32 Fotony Fotony sa bozonami. Czy wobec tego moga podlegać zjawisku kondensacji? Odpowiedź jest negatywna: Fotony nie podlegaja kondensacji Bosego- Einsteina. Dlaczego? Jak widzieliśmy, z formalnego punktu widzenia kondensacja Bosego-Einstaina oznacza zmianę w analitycznym charakterze potencjału chemicznego, tymczasem potencjał chemiczny fotonów stale równy jest zero, a wieć zjawisko kondensacji nie ma gdzie zachodzić. Patrzac na to inaczej, kondensacja oznacza makroskopowe obsadzenie stanu o najniższej energii; dla gazu doskonałego jest to stan o energii zerowej. Jest to możliwe dla czastek masywnych, ale nie dla bezmasowych, Copyright c P. F. Góra 10 32

33 które musza poruszać się z prędkościa c 0. Formalnym przejawem tego jest fakt, że doskonały gaz fotonów nie spełnia równania stanu (22). Komentarz: W silnie nieliniowej optyce obserwuje się zjawisko zatrzymania światła fotony nie sa jednak wówczas swobodne, ale sa pochłaniane i reemitowane przez specjalnie przygotowany ośrodek. Zatrzymanie światła można interpretować jako powstanie bardzo złożonego stanu kwantowego, w którym potencjał chemiczny fotonów staje się dodatni. Podobnie można powiedzieć, że do chwili, w której młody Wszechświat stał się przezroczysty (czyli do oderwania się promieniowania zwanego dziś reliktowym od materii), potencjał chemiczny fotonów był dodatni. Copyright c P. F. Góra 10 33

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Przejście fazowe transformacja układu termodynamicznego z jednej fazy (stanu materii) do innej, dokonywane

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Rzadkie gazy bozonów

Rzadkie gazy bozonów Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

Zadania z Fizyki Statystycznej

Zadania z Fizyki Statystycznej Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Parametr porzadku W niskich temperaturach układy występuja w fazach, które łamia symetrię

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Związek pomiędzy równaniem

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

Krótki przegląd termodynamiki

Krótki przegląd termodynamiki Wykład I Przejścia fazowe 1 Krótki przegląd termodynamiki Termodynamika fenomenologiczna oferuje makroskopowy opis układów statystycznych w stanie równowagi termodynamicznej bądź w stanach jemu bliskich.

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Nasze wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczyły układów w równowadze termodynamicznej lub

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6

Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki

Bardziej szczegółowo

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5. Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego

Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5. Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego Szkła specjalne Przejście szkliste i jego termodynamika Wykład 5 Ryszard J. Barczyński, 2017 Materiały edukacyjne do użytku wewnętrznego Czy przejście szkliste jest termodynamicznym przejściem fazowym?

Bardziej szczegółowo

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 ) Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Stara i nowa teoria kwantowa

Stara i nowa teoria kwantowa Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż

Bardziej szczegółowo

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa Schrödingera

Mechanika kwantowa Schrödingera Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny

Bardziej szczegółowo

Wstęp do astrofizyki I

Wstęp do astrofizyki I Wstęp do astrofizyki I Wykład 13 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, OA UAM Wstęp do astrofizyki I, Wykład

Bardziej szczegółowo

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a 3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej 3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne

Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Postulat Nernsta (1906):

Bardziej szczegółowo

Czym jest prąd elektryczny

Czym jest prąd elektryczny Prąd elektryczny Ruch elektronów w przewodniku Wektor gęstości prądu Przewodność elektryczna Prawo Ohma Klasyczny model przewodnictwa w metalach Zależność przewodności/oporności od temperatury dla metali,

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki

Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Energia wewnętrzna jako funkcja jednorodna

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na

Bardziej szczegółowo

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zerowa Zasada Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Stan układu Fizyka statystyczna (i termodynamika) zajmuje się przede wszystkim układami dużymi, liczacymi

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych

Wykład 6. Klasyfikacja przemian fazowych Wykład 6 Klasyfikacja przemian fazowych JS Klasyfikacja Ehrenfesta Ehrenfest klasyfikuje przemiany fazowe w oparciu o potencjał chemiczny. nieciągłość Przemiany fazowe pierwszego rodzaju pochodne potencjału

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 12 Procesy transportu Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Zjawiska transportu Zjawiska transportu są typowymi procesami nieodwracalnymi zachodzącymi w przyrodzie. Zjawiska te polegają

Bardziej szczegółowo

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia

Bardziej szczegółowo

Fizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika

Fizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika Fizyka 3 Konsultacje: p. 39, Mechatronika marzan@mech.pw.edu.pl Zaliczenie: 1 sprawdzian 30 pkt 15.1 18 3.0 18.1 1 3.5 1.1 4 4.0 4.1 7 4.5 7.1 30 5.0 http:\\adam.mech.pw.edu.pl\~marzan Program: - elementy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. 1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wykład III Mechanika statystyczna Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wstępne uwagi Materia nas otaczająca, w szczególności gazy będące centralnym obiektem naszego zainteresowania, zbudowane są z

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika

Bardziej szczegółowo

Ogólny schemat postępowania

Ogólny schemat postępowania Ogólny schemat postępowania 1. Należy zdecydować, który rozkład prawdopodobieństwa chcemy badać. Rozkład oznaczamy przez P; zależy od zespołu statystycznego. 2. Narzucamy warunek równowagi szczegółowej,

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka, cz. 1

Elektrostatyka, cz. 1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin

Bardziej szczegółowo

Kondensacja Bosego-Einsteina

Kondensacja Bosego-Einsteina Kondensacja Bosego-Einsteina W opisie kwantowo-mechanicznym stan konkretnego uk ladu fizycznego jest określony poprzez funkcje falowa ψ r, r 2,...), gdzie r i oznaczaja po lożenia poszczególnych cza stek.

Bardziej szczegółowo

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem: WYKŁAD 13 DYNAMIKA MAŁYCH (AKUSTYCZNYCH) ZABURZEŃ W GAZIE Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

Bardziej szczegółowo

Elementy termodynamiki

Elementy termodynamiki Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach)

Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach) Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach) Rozpraszanie na nieruchomej sieci krystalicznej (elektronów, neutronów, fotonów) zwykłe odbicie Bragga (płaszczyzny krystaliczne odgrywają rolę rys siatki

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Bardziej szczegółowo

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny.

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny. Wykład 14: Fizyka statystyczna Zajmuje sie układami makroskopowymi (typowy układ makroskopowy składa się z ok. 10 25 atomów), czyli ok 10 25 równań Newtona? Musimy dopasować inne pojęcia do opisu takich

Bardziej szczegółowo

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A / B 2 1 hν exp( ) 1 kt (24)

n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A / B 2 1 hν exp( ) 1 kt (24) n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A 1 2 / B hν exp( ) 1 kt (24) Powyższe równanie określające gęstość widmową energii promieniowania

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamiki Temperatura i ciepło Praca jaką wykonuje gaz I zasada termodynamiki Przemiany gazowe izotermiczna izobaryczna izochoryczna adiabatyczna Co to jest temperatura? 40 39 38 Temperatura

Bardziej szczegółowo

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów opis makroskopowy równowaga termodynamiczna temperatura opis mikroskopowy średnia energia kinetyczna molekuł Równowaga termodynamiczna A B A

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29 Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...

Bardziej szczegółowo

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe Plan Zajęć 1. Termodynamika, 2. Grawitacja, Kolokwium I 3. Elektrostatyka + prąd 4. Pole Elektro-Magnetyczne Kolokwium II 5. Zjawiska falowe 6. Fizyka Jądrowa + niepewność pomiaru Kolokwium III Egzamin

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Przekazywanie energii elementy termodynamiki

Wykład 7: Przekazywanie energii elementy termodynamiki Wykład 7: Przekazywanie energii elementy termodynamiki dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ emperatura Fenomenologicznie wielkość informująca o tym jak ciepłe/zimne

Bardziej szczegółowo