O RELACJACH KOMUTACJI I NIEOZNACZONOŚCI W TEORII KWANTOWEJ

Transkrypt

1 O RELACJACH KOMUTACJI I NIEOZNACZONOŚCI W TEORII KWANTOWEJ Andrzej Herdegen Instytut Fizyki UJ 3 grudnia 2015

2 Przypomnę matematyczne i fizyczne tło tytułowych zagadnień. Pokażę dlaczego spacer przez algebrę musi przemienić się we wspinaczkę na górę analizy funkcjonalnej, i jakie sa tego konsekwencje. Przedstawię oryginaln a propozycję uogólnienia relacji nieoznaczoności.

3 Obserwable w przestrzeni Hilberta H: dim H < rozkład jedynki: {E Ω }: Ω M = {a 1,..., a s } R (i) E 2 Ω = E Ω = E Ω dla każdego Ω (ii) E = 0, E M = 1 N (iii) Ω = Ω i, Ω i Ω j = E Ω = i=1 N i=1 E Ωi (iv) E Ω1 E Ω2 = E Ω1 Ω 2 Dla każdego unormowanego ψ H odwzorowanie M Ω µ ψ (Ω) (ψ, E Ω ψ) jest miara prawdopodobieństwa na M. Jeśli liczby a M zinterpretować jak wartości zmiennej losowej (obserwabli), która oznaczamy A, to ta miara daje jej rozkład w stanie ψ. Ta zmienna przyjmuje wartość a na podprzestrzeni E {a} H.

4 wartość oczekiwana dla funkcji f tej zmiennej losowej: f (A) = a f (a)µ ψ ({a}) = a f (a) ( ψ, E {a} ψ ) = ( ψ, a ) f (a)e {a} ψ operator samosprzężony A = a a E {a} zawiera cała informację o tej obserwabli: f (A) = (ψ, f (A)ψ) Tw spektralne Każdy samosprzężony operator A wyznacza rozkład jedynki E Ω na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych σ(a) spektrum taki, że A = a σ(a) a E {a}

5 Obserwable współmierzalne; dim H < B = b σ(b) bp {b} inny operator samosprzężony A przyjmuje wartość a na E {a} H, B przyjmuje wartość b na P {b} H Możemy zatem przyjać, że na E {a} H P {b} H zachodza równocześnie oba stwierdzenia. Jednak aby to prowadziło do łacznego rozkładu probabilistycznego A i B w dowolnym stanie, te ortogonalne podprzestrzenie musza się składać na cała przestrzeń Hilberta: E {a} H P {b} H = H a,b

6 Ale stad dla każdego ψ H: ψ = a,b ψ ab gdzie ψ ab = E {a} ψ ab = P {b} ψ ab P {b} E {a} ψ = P {b} ψ ab = ψ ab = E {a} ψ a b = E {a} P {b} ψ b zatem [E Ω, P Σ ] = 0 dla każdych Ω σ(a), Σ σ(b) TW: To zachodzi wtedy, i tylko wtedy, gdy [A, B] = 0 w tym przypadku: (i) R Ω Σ = E Ω P Σ jest rozkładem jedności na σ(a) σ(b), (ii) dla każdego stanu ψ odwzorowanie Ω Σ (ψ, R Ω Σ ψ) określa miarę łacznego rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych A i B a

7 Obserwable w p. Hilberta H; dim H dowolny rozkład jedynki: {E Ω }: Ω R zbiory borelowskie (i) E 2 Ω = E Ω = E Ω dla każdego Ω (ii) E = 0, E M = 1 (iii) N Ω = Ω i, Ω i Ω j = E Ω = s lim N i=1 (iv) E Ω1 E Ω2 = E Ω1 Ω 2 i=1 E Ωi Dla każdego ψ H odwzorowanie Ω µ ψ (Ω) (ψ, E Ω ψ) jest miar a prawdopodobieństwa na R. Interpretacja: rozkład pewnej obserwabli A w stanie ψ σ(a) dopełnienie maksymalnego otwartego zbioru Ω, dla którego E Ω = 0.

8 Twierdzenie spektralne Rozkład jedności {E Ω } określa jednoznacznie operator samosprzężony A z dziedzina D(A) w następujacy sposób: ψ D(A) a 2 dµ ψ (a) <, (ψ, Aψ) = a dµ ψ (a) σ(a) σ(a) symbolicznie A = a de a σ(a) Odwrotnie, każdy operator samosprzężony z dziedzin a D(A) ma takie przedstawienie.

9 Obserwable współmierzalne w przestrzeni Hilberta Obserwable A = a de a i B = b dp b sa współmierzalne wtedy, i tylko wtedy gdy [E Ω, P Σ ] = 0 dla każdych borelowskich Ω i Σ. Wtedy R Ω Σ = E Ω P Σ jest rozkładem identyczności, na R Ω Σ H wartość A jest w Ω, i równocześnie wartość B jest w Σ, które to zbiory moga być dowolnie małe. To jest właściwy sens określenia komutujace obserwable. równoważny warunek: [e ita, e isb ] = 0 Niech D D(AB) D(BA) gęsta w H. Załóżmy, że na niej [A, B] = 0. Czy stad wynika, że A i B komutuja jak wyżej? Nie! Tak nie jest nawet wtedy, gdy dodatkowo założyć, że zawężenia A i B do D całkowicie wyznaczaja A i B.

10 Przykład Nelsona M powierzchnia Riemanna funkcji x + iy, H = L 2 (M, dx dy) U(t) przesunięcie funkcji o t wzdłuż kierunku x, V (s) przesunięcie funkcji o s wzdłuż kierunku y unitarne ciagłe grupy jednoparametrowe, więc U(t) = e itp, V (s) = e isq, P, Q samosprzężone D podprzestrzeń gładkich funkcji w H o nośnikach nie dotykajacych punktu (0, 0) na żadnym płacie; na D: P = i / x, Q = i / y, P : D D, Q : D D, [P, Q] = 0 D jest gęsta oraz P i Q s a całkowicie wyznaczone swoimi zawężeniami do D Niech ψ skupiona w małym otoczeniu punktu ( 1, 1) na jednym z płatów. Wtedy U(2)V (2)ψ V (2)U(2)ψ, bo każda ze stron skupiona wokół punktu (+1, +1) na różnych płatach.

11 Relacje komutacji Zatem znikanie komutatora [A, B] na gęstej dziedzinie nie gwarantuje, że A, B sa współmierzalne. Natomiast jeśli komutator nie znika, to A i B nie sa współmierzalne. Niech A, B samosprzężone. Wtedy komutator jest określony na dziedzinie D(C) = D(AB) D(BA) i określa na tej dziedzinie symetryczny operator C: dla ψ D(C) [A, B]ψ = icψ Jeśli C 0, to A i B nie sa współmierzalne. Zatem nie istnieje rozkład jedynki R Ω Σ, a więc nie istnieje łaczny rozkład prawdopodobieństwa obserwabli A i B.

12 Czy wynika stad, że nie istnieja stany, w których A i B przyjmuja równocześnie dowolnie dokładnie określone wartości? Nie! Niech A 1 i B 1 na H 1 będa niewspółmierzalne, A 2 i B 2 na H 2 współmierzalne. Wtedy A = A 1 A 2 i B = B 1 B 2 na H 1 H 2 nie sa współmierzalne, ale dla stanów 0 ψ nie ma ograniczeń równoczesnej szerokości rozkładów A i B.

13 Relacje nieoznaczoności Relacje nieoznaczoności zmierzaja do uzyskania ograniczeń na równoczesna szerokość rozkładu A i szerokość rozkładu B w możliwie wielu stanach. Niech ψ D(C) unormowany; ozn. Â = A A ψ, ˆB = B B ψ. Dla dowolnego λ R: Stad 0 (ˆB iλâ)ψ 2 = 2 ψ (B)λ2 + C ψ λ + 2 ψ (A) ψ (A) ψ (B) 1 2 C ψ, ψ D(AB) D(BA) Równość zachodzi wtedy, i tylko wtedy, gdy dla pewnego λ 0 : (ˆB iλ 0 Â)ψ = 0. Zakładamy, że D(C) gęsta w H.

14 Otwarte pytania (i) Jeśli ψ / D(A), to ψ (A) =. Relacja nie mówi nic o ψ (B) w tym przypadku. (ii) Jeśli ψ D(A) D(B), to iloczyn szerokości jest skończony. Może zdarzyć się, że również C rozszerza się do tej większej dziedziny, ale relacja nieoznaczoności nie musi tam obowiazywać. (iii) Zawężenia A i B do D(C) nie musza określać A i B jednoznacznie. (iv) Jeśli C nie jest dodatni, to w ogólności prawa strona może być dowolnie mała lub 0 (np. relacje komutacji dla krętu).

15 Przykład (ii): para kat - kręt Samosprzężone Φ, L na H = L 2 ( 0, 2π ): D(Φ) = H, D(L) = {ψ H ψ H, ψ(0) = ψ(2π)} (Φψ)(ϕ) = ϕψ(ϕ), (Lψ)(ϕ) = iψ (ϕ), D(C) = {ψ H ψ H, ψ(0) = ψ(2π) = 0}, ψ (Φ) ψ (L) 1 2, ψ D(C) Cψ = ψ Obie strony skończone na D(Φ) D(L) = D(L), ale relacja nie rozszerza się do tej dziedziny; np dla Lψ = mψ: 0 1. Wyjaśnienie: dla tego ψ nie istnieje ciag ψ n D(C) taki, że równocześnie ψ n ψ i Lψ n Lψ

16 Operatory normalne A jest normalny gdy AA = A A. Dla takich operatorów: D(A ) = D(A) i A ψ = Aψ dla każdego ψ D(A) zachodzi twierdzenie spektralne A = z dez A, gdzie spektrum σ(a) C. σ(a) Ω (ψ, EΩ A ψ) miara prawdopodobieństwa na σ(a), z wartościa średnia A ψ = (ψ, Aψ) C i odchyleniem ψ (A) = (A A ψ )ψ Funkcje operatorów samosprzężonych s a operatorami normalnymi

17 Uogólnione relacje nieoznaczoności Dla normalnych A, B i ϕ, χ D(A) D(B) definiujemy q A,B (ϕ, χ) = (A ϕ, Bχ) (B ϕ, Aχ) i oznaczamy A a = A a1, B b = B b1, a, b C. Uogólnione Relacje Nieoznaczoności q A,B (ϕ, χ) inf = inf λ 1,λ 2 0,1 λ 1 +λ 2 =1 + a,b C ( ) (A a ϕ B b χ + B b ϕ A a χ { 2 ϕ(a) + δ A 2 λ ϕ(b) + δ B 2 λ χ(b) + δ B 2 λ 2 2 } 2 χ(a) + δ A 2 λ 2 2, gdzie δ A = A ϕ A χ, δ B = B ϕ B χ

18 Zastosowania dla A = A, B = B, ϕ = χ D(AB) D(BA): (χ, [A, B]χ) 2 (A A χ )χ (B B χ )χ standardowa relacja. Będę rozważać operatory samosprzężone i unitarne. Ogólna idea: dobrać odpowiednio operatory M i N i położyć ϕ = Mψ, χ = Nψ

19 Dla unitarnego V : 2 ψ (V ) = 1 V ψ 2 ; oznaczam δ ψ (V ) [ ψ (V ) 1 V [ 1 2 ψ (V ) ] 1/2 = ψ 2] 1/2. V ψ rosnaca funkcja rozmycia, daży do dla ψ (U) 1. Dla V (s) = e isx : 2 ψ (V (s)) = 2 dla ψ D(X): σ(x) σ(x) sin 2 [ 1 2 s(x x ) ] dµ ψ (x)dµ ψ (x ). lim s 0 s 2 2 ψ (V (s)) = lim s 0 s 2 δ 2 (V (s)) = 2 ψ (X)

20 Pary Weyla Dla W, U unitarnych, WU = ωuw, ω = 1: 1 2 ω 1 δ ψ(w ) δ ψ (U). para kanoniczna W (α) = e iαx, U(β) = e iβp : sin ( 1 2 αβ) αβ δ ψ(w (α)) δ ψ (U(β)). α β dla ψ D(X): 1 2 ψ(x) δ ψ(u(β)), β dla ψ D(X) D(P): 1 2 ψ(x) ψ (P)

21 kat kręt W (n) = exp[ inφ], n Z, U(β) = exp[ iβl], β R/ mod 2π: ( sin 1 2 nβ) δ ψ (W (n)) δ ψ(u(β)) β β dla ψ D(L): 1 2 n δ ψ(w (n)) ψ (L)..

22 Unitarna transformacja U unitarny, A samosprzężony, A U = U A U. Wtedy dla χ D(A) D(A U ) = D(A) U D(A): A U χ A χ δ χ (U) [ χ (A U ) + χ (A) ].

23 Ewolucja czasowa W obrazie Heisenberga: U(t) = e ith, A t = U( t)au(t); dla χ D(A t2 ) D(A t1 ): A t2 χ A t1 χ δ χ (U(t 2 t 1 )) [ χ (A t2 ) + χ (A t1 ) ]. dla χ τ (t ε,t+ε) D(A τ ) D(H) i takiego, że A t χ ciagły: 1 2 d A t χ χ (H) χ (A t ). dt Pełna formuła mocniejsza: niech A t χ t; aby to była dobra miara czasu, warunek: χ (A t ) pozostaje ograniczona przez stała. To możliwe tylko jeśli U(t) χ = (χ, χ t ) spada co najmniej jak 1/t z czasem.

24 Kręt J i operatory krętu na H; ozn. H m = Ker(J 3 m1), P operator rzutowania na: H 1/2 + H 1/2 fermiony, H 0 + H 1 lub H 1 + H 0 bozony. Wtedy (ψ, J 3 ψ) 2 ψ (J 1 ) ψ (J 2 ) + [ J δ] 1/2 ) Pψ ( ψ (J 1 ) + ψ (J 2 ), gdzie δ = 1 fermiony, δ = 0 bozony.

25 Podsumowanie Klasyczne obserwable maja zawsze łaczne rozkłady prawdopodobieństwa. Kwantowe obserwable maja łaczne rozkłady prawdopodobieństwa w każdym stanie wtw gdy ich operatory rzutowe komutuja. Znikanie komutatora na gęstej dziedzinie nie jest wystarczajace. Dla niewspółmierzalnych obserwabli moga istnieć stany o dowolnie małym rozmyciu w każdej z obserwabli. Poważne traktowanie dziedzin operatorów nieograniczonych ma zasadnicze matematyczne i fizyczne znaczenie. Pokazałem nietrywialne rozszerzenie relacji komutacji, o interesujacych implikacjach fizycznych.

26 A. Herdegen, P. Ziobro, Generalized uncertainty relations, Lett. Math. Phys. 107 (2017)