co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

Transkrypt

1 Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za udzieleie mu prawa do dyspoowaia kwotą K w określoym czasie. Wysokość odsetek zależy od kwoty jaką wpłacamy do baku oraz od okresu a jaki wpłacamy wspomiaą kwotę, dlatego też posługujemy się wskaźikiem azywaym stopą procetową r. Stopą procetową azywamy stosuek odsetek Z do wartości początkowej K kwoty czyli () r. Z () wyika, że (2) Z r, (tz. odsetki Z dają się wyrazić K Z przez stopę procetową r oraz wartość początkową K ), a także (3) K ( r), (tz. przyszłą wartość kapitału daje się wyrazić przez stopę proc. r i wart. początkową K ). Oprocetowaiem azywamy wyzaczaie odsetek. Wyzaczoe odsetki będące zapłatą za wypożyczeie kapitału mogą być wypłacoe a końcu okresu wypożyczeia i mówimy wtedy o oprocetowaiu z dołu lub też a początku tego okresu oprocetowaie z góry. Kapitalizacją odsetek azywamy ich dopisywaie do kapitału. Czas, w którym odsetki są dopisywae azywamy okresem kapitału bądź okresem kowersji. Jeśli odsetki dopisywae są a końcu kapitalizacji, mówimy o kapitalizacji z dołu w przeciwym razie kapitalizacji z góry. Kapitalizacja zgoda ma miejsce gdy okres stopy procetowej pokrywa się z okresem kapitalizacji gdy jest iaczej mamy do czyieia z kapitalizacją iezgodą. W zależości od sposobu ustalaia odsetek wyróżiamy kapitalizację prostą (gdy oprocetowaiu podlega wyłączie kwota początkowa) oraz złożoą (oprocetowaiu podlega zarówo kapitał początkowy i agromadzoe odsetki). Dyskotowaie to operacja odwrota do kapitalizacji i jest to wyzaczaie wcześiejszych wartości kapitału a podstawie zajomości wartości późiejszych. Stopa procetowa wykorzystywaa przy dyskotowaiu azywaa jest stopą dyskotową, przy czym, w przeciwieństwie do st. proc., mierzy oa tempo pomiejszaia kapitału w czasie. Kapitalizacja zgoda prosta. Ozaczmy przez przyszłą wartość kapitału K po okresach kapitalizacji, gdzie liczba aturala, przy czym odsetki są dopisywae z dołu. Obliczaie przyszłej wartości + a koiec (+) go okresu kapitalizacji przebiega astępująco: do wartości z końca tego okresu kap. dopisujemy odsetki Z + przypadające z (+) szy okres. Taki więc ciąg ( ) przyszłych wartości kapitału K spełia rówaie rekurecyje: (4) Z,,,...,. oieważ mamy do czyieia z kap. prostą to oprocetowaiu podlega jedyie kapitał początkowy. Ciąg odsetek (Z ) jest zatem ciągiem stałym i a mocy wzoru (2) mamy: (5) K r,,2,.... odstawiając Z (5) do (4) otrzymujemy: (6) r,,,... co wskazuje, że ciąg ( ) jest ciągiem arytmetyczym o różicy K r. ierwszy wyraz tego ciągu a więc z uwagi a wzór (3) ma postać K ( r). Zatem -ty wyraz tego ciągu ma postać (z def. ciągu arytmetyczego) ( ) K r K ( r) ( K r, skąd otrzymujemy (7) ) ( r). Liczbę (+ r) azywamy współczyikiem akumulacji lub czyikiem wartości przyszłej w kapitalizacji prostej. Traktując (7) jako tożsamość widzimy, że zajomość trzech spośród czterech wielkości, K,, r pozwala wyzaczyć czwartą. W szczególości mamy (7 ) K. Oczywiście suma odsetek wytworzoych przez kapitał ( r) K w ciągu okresów kap. jest rówa różicy wartości przyszłej i wartości teraźiejszej K, a więc: (8) i Z i ) K ( r K K r. Zając wartość moża ją aktualizować/dyskotować a k okresów otrzymując +k / -k dodając/odejmując odsetki proste za K k r okresów. Tak więc aktualizacja (9)

2 k K k r ( k r r k r k r ( ),,,..., k, r. k r k r ),,,,... oraz dyskotowaie () k K,..., Kapitalizacja złożoa z dołu zgoda rzypomiamy, ze w kapitalizacji złożoej oprocetowaiu podlega zarówo kapitał początkowy Ko jak i zgromadzoe do tej pory odsetki. oadto odsetki dopisywae są do kapitału a koiec okresu kapitalizacji i okres stopy procetowej pokrywa się z okresem kapitalizacji. rzyszła wartość kapitału Ko po okresach kapitalizacji ozaczamy symbolem K. Ciąg przyszłych wartości, tj ciąg {k} kapitału Ko spełia rówaie rekurecyje: () K + =K+Z +, =,,,,, gdzie Z + są odsetkami przypadającymi za + szy okres przy czym odsetki Z + wyzacza się w oparciu o cały agromadzoy przez okresów kapitał czyli (2) Z + =Kr, =,,2. o podstawieiu (2) w () otrzymujemy, że (3) K + =K+Kr=K(+r) =,2, Z (3) wyika, że ciąg {K} jest ciągiem geometryczym o pierwszym wyrazie k=k(+r) i ilorazie (+r). Zatem -ty wyraz ciągu {K} wyraża się wzorem. (4) K=K(+r) - = Ko(+r), =,,.. Liczbę (+r) azywamy Współczyikiem akumulacji lub czyikiem wartości przyszłej w modelu kapitalizacji złożoej z dołu. Zależość (4) ustala zależość pomiędzy 4 wielokrotości K,ko, r, zajomość trzech pozwala wyzaczyć czwartą. W szczególości wart. teraźiejszą kapitału K jest : (5) Ko= K / ( (+r) ) =,, Zauważmy, że w ciągu okresów kapitalizacji wart. agromadzoych odsetek jest rówa różicy między wart. koń. K o wart. pocz Ko, a więc wobec wzoru 4 mamy (6) Σ (i= do ) Zi=K-Ko=Ko[(+r) -] =,2 Kapitalizacja złożoa z góry zgoda W modelu kapitalizacji złożoej, w którym odsetki rówież podlegają oprocetowaiu. Odsetki mogą być dopisywae do kapitału początku okresu kapitalizacji będzie to więc model kapitalizacji złożoej z góry. Dodatkowo zakładamy, że okres stopy procetowej pokrywa się z okresem kapitalizacji. A więc kapitalizacja jest zgoda. rzyszłą wartość kapitału ko a początku -tego okresu kapitalizacji będziemy ozaczać W. Główym celem dalszych rozważań będzie wyzaczeie ciągu {W} Wpłacamy kwotę Ko. Kwota Ko podlega oprocetowaiu z góry, a więc do Ko dopisaa jest kwota Kor jako oprocetowaie. Lecz ta kwota zajdująca się akocie rówież podlega oprocetowaiu z góry i to oprocetowaie wyosi Kor r itd. Zatem W=Ko+Kor+Kor = Ko(+r+ )= Ko(/(-r))=Ko(-r) - o ile <r<. Aalogiczie postępując otrzymujemy, że W2=W+Wr+Wr 2 +..=W(-r) - i ogólie (9) W + =W+Wr+Wr 2 +..=W(-r) - Wzór 9 wskazuje, że ciąg {W} jest geom. o ilorazie (-r) - zatem (2) W=W[(-r) - ] - =Ko(-r) -, =,2 Liczbę (-r) - z. Współczyikiem akumulacji lub czyikiem wart. przyszłej w modelu. Zależość (2) traktujemy jako tożsamość wiążącą ze sobą 4 wielkości W,Ko,r i. Zając 3 z ich. ozwala wyzaczyć 4-tą, a w szczególości (2) Ko=W(-r) Wartość kapitalizowaych odsetek przez okresów jest rówa

3 (22) Σ (i= do ) Zi=W-Ko=Ko[(-r) - +] =,2 Kapitalizacja iezgoda Jeśli okres stopy procetowej ie pokrywa się z okresem kapitalizacji to kapitalizacje azywamy iezgodą. Jeśli okres stopy procet jest całkowitą wielokrotością okr. Kapitalizacji to mówimy o kapitalizacji w podokresach. Jeśli ok. kapitalizacji jest całkowitą wielokrotością ok. stopy procetowej to mówimy o kapitalizacji w adokresach. Jeśli m ozacza stosuek okr. Stopy % (roczej lub iej) do okresu. Kapit a więc m=okres stopy procetowej/okresu stopy kapitalizacji. To z powyższego wyika, że w przyp. Kapiatl w podokresach m ależy do N. atomiast atomiast przypadku kapitalizacji w adokresach m jest ułamkiem o miaowiku będącym wielokrotością liczika. Jeśli r jest roczą stopą procetową wówczas w zależości od wartości parametru m kapitalizacja azywa się: rocza m=, miesięcza m=2, czteroletia m=,25. Jeśli r jest roczą lub ią stopą procetową, to w przypadku kapitalizacji iezgodej odsetki przypadające a okres kapitalizacji wyzacza się a podstawie względej stopy procetowej(dostosowaej) r --, którą okresla się r -- =r/m. I w tym przypadku r jest stopa omiala. Stopa omiala jest zasadiczym ośikiem if. O ofercie bakowej przy czym osetki w daym baku mogą być wyzaczoe wg iej stopy p. względej. Należy zauważyć, ze rachuek procetowy rachuek przyp. Kapitalizacji iezgodej jest aalog. rocetowego dla kapitalizacji zgodej opisaej wcześiej z ta różicą, ze zamiast om. Stopy % r ależy zastosować r oraz zamiast l okresów stopy procetowej r ależy uwzględić l okresów kapitalizacji. 2 lata r -- =2r k=6. Tak więc przyszła wartość kapitału Ko w kapitalizacji iezgodej po k okresach kapitalizacji wyosi: dla kapitalizacji prostej: (25) k/m =Ko(+k(r/m)), dla złożoej z dołu: (26) K k/m =Ko(+r/m)) k dla złożoej z góry: (27) W k/m = Ko(-r/m)) -k Model kapitalizacji prostej stosuje się ajczęściej przy oprocetowaiu kot z często zmieiającym się saldem p. kwot a rachukach bakowych. Jedą z możliwych do zastosowaia techik wyzaczaia stau kota jest metoda liczb procetowych: Metoda liczb procetowych. Niech r oz. Roczą stopę % zgodie ze wzorem 25, przyszla wartość ko po t diach w oprocetowaiu prostym jest rówa kt=ko(+t(r/36)) atomiast odsetki proste za te okres wyoszą Zt=kt-k=Kot(r/36). Czyik Kot azywa się liczbą procetową atomiast 36/r dzielikiem procetowym Zauważmy, że liczba procetowa jest f-cja czasu atomiast dzielik procetowy jest wielkością stałą iezależa od czasu. rzyjmijmy teraz, żę a rachuku bakowym dokoao N operacji bakowych wpł at i wypłat przy czym wysokość kwoty w i-tej operacji oz. rzez Si wpłaty poprzedzoe są zakiem + a wypłaty -, Niech ti ozacza liczbę di, które upłyęły między diem dokoaia i-tej operacji a diem rozrachuku t. rzy powyższych oz. Wart. kota bakowego w diu t jest rówa. Kt=S(+t(r/36))+ S2(+t2(r/36))+ + S(+(r/36))= Σ (i= do )Si+(r/36) Σ (i= do )Si ti Sumę L= Σ (i= do )Si Ti azywamy sumaryczą liczbą procetową. Sta kota w diu t moża zapisać w postaci (28)Kt= Σ (i= do )Si +(r/36)l

4 W powyższych rozważaiach zostały zastosowae stadardowe liczby di. Stosując podobie wyliczeia moża uwzględić rzeczywiste liczby di. Należy zwrócić uwagę a fakt, ze baki liczą czas oprocetowaia wpłaty od dia astępującego po jej dokoaiu, atomiast oprocetowaie wypłaty (kredytu) liczy się od dia jej dokoaia. Jak zauważyliśmy wcześiej rachuek procetowy w przypadku kapitalizacji iezgodej opisują wzory (25),(26),(27). Naszym ajbliższym celem jest zbadaie zachowaia się fukcji k/m i Kk/m i Wk/m,będących przyszłą wartością kapitału Ko w zależości od okresu kapitalizacji, czyli od częstości dopisywaia odsetek. Dokładie czy przyszła wartośc kapitału Ko przy jedokrotym dopisywaiu odsetek w ciagu wg stopy procetowej r jest taka sama jak przyszła wartość tego kapitału przy dwukrotym dopisywaiu odsetek wg stopy procetowej r/2 i taka sama jak prz 3-krotym dopisywaiu odsetek wg stopy procetowej r/3 itd. Na początek zbadamy zachowaie się k/m określoej wzorem (25).Wykażemy astępujące tw..twierdzeie o okresach stopy procetowej r przyszła wartość kapitału Ko w modelu kapitalizacji prostej zgodej N (wzór(7)), jest taka sama jak w modelu kapitalizacji prostej iezgodej (wzór(25)), tj ie zależy od okresu kapitalizacji.dowód Istotie, przypuśćmy że mamy do czyieia z wyzaczeiem przyszłej wartości Ko po okresach stopy procetowej przy m-krotym dopisywaiu odsetek w ciągu -go okresu stopy procetowej. Zatem k=*m i wzór(25) przyjmie postać m/m=ko(+m*r/m)=ko(+r)=/. Wzór powyższy wskazuje, że wartość ta jest taka sama jak przy jedokrotym dopisywaiu odsetek w ciagu okresu stopy procetowej (tj m=). Co wiecej jeżeli porówamy wzór (7) to widzimy, ze jest oa taka sama jak w modelu kapitalizacji prostej zgodej. rzechodzimy teraz do aalizy wzorów (26), (27) wyrażających wartość przyszłą kapitału odpowiedio przy kapitalizacji złożoej z dołu i złożoej z góry pod kątem ich zachowaia względem częstości kapitalizacji zachodzi: Twierdzeie 2 Dla każdej ustaloej wielokrotości () okresu stopy procetowej przyszła wartość kapitału w modelu kapitalizacji złożoej z dołu jest rosącą f-cją częstości kapitalizacji odsetek (m) Dowód: Wykażemy, że dla każdej ustaloej l aturalej f-cja: Km/m=Ko(+r/m)=Ko(+r/m) m jest rosaca względem m. Zauważmy a początek, że dla kapitalizacji w podokresach jak i w adokresach wyrażeie p = m jest l aturala. Gdy m (częstość kapitalizacji) rośie (m->ieskończoość) wtedy rówież p rósie.wystarczy wykazac ze ciag{ap} ap=(+r/p) p p=,2, jest ciagiem rosącym. Udowodimy korzystając z ierówości,ze ciag {ap} jest rosący ap>ap- p>=2 Istotie mamy (ap+)/(ap)=p(+r/p)[-r/(p+)(p+r)] p+ Jeśli zastosujemy ierówość Beroulliego (3) dla x = -r/(p+)(p+r) wtedy otrzymamy : (ap+)=(+r/p)*p/(p+r)=. Wykazaliśmy, że p jest liczba aturala to

5 ap+>ap, a więc ciąg {ap} jest rosący. Zauważmy teraz, że Km/m=Ko*am. Zatem Km/m jest f-cja rosącą zmieej m co kończy dowód Uwaga Jeśli,m są liczbami aturalymi wtedy (3) Km/m=Ko(+r/m) m >=Ko(+r/) * =K/=Ko(+r) =K gdzie K określoe jest wzorem (4). Na koiec omówimy wzór (27) pod względem częstości kapitalizacji zachodzi: Twierdzeie 3 Dla każdej ustaloej wielokrotości () okresu stopy procetowej przyszła wartość kapitału w modelu kapitalizacji złozoej z góry jest f-cja malejąca częstości kapitalizacji (m).dowód oieważ k=m, więc wzór (27) przyjmie postać Wm/m=Ko(-r/m) -m =Ko(-r/m) -m. Wyrażeie p=m jest liczbą aturalą, zatem wystarczy wykazać ze {bp} określamy wzorrem b=(-r/p) p jest ciagiem rosącym. Istotie, stosując podobe rozumowaie jak w dow.tw2 otrzymujemy,ze (bp+)/(bp)=(-r/p)*(/(-r/p)). Tak więc bp+>bp, p ależy do N jest to rówoważe temu, że f-cja określoe wzorem (32) przy ustaloym jako f-cja zmieej m jest malejąca. Uwaga Jeżeli,m są dowolymi liczbami aturalymi, to: (33) Wm/m=Ko(- r/m) -m <=Ko(-r/) - =W/=Ko(-r) - =W, gdzie W określoe jest wzorem (2)Uwaga Jeśli,m są dowlym liczbami aturalymi, to : (34) K<=km/m<=Wm/m<=W lub rówowazie (35) Ko(+r)<=Ko(+r/m) m <=Ko(-r/m) -m <=Ko(-r) - Dowód Wystraczy wykazac ze Km/m<=Wm/m,,m aleza do N i zasotsowac (3) i (33),w tym celu zauważmy, że -(r/m) 2 <, a wiec (-r/m) - =/(-r/m)>+r/m i w kosekwecji (-r/m) -m >(+r/m) m, a więc Km/m=Ko(+r/m) m <=Ko(-r/m) - m =Wm/m, Zatem ierówości (34) zostały wykazae Nierówości (34), a wiec (35) oraz (3),(33) ozaczaja, że przy ustaloej oraz od częstości dopisywaie odsetek. ierówości (34), (35) porządkują w pewym sesie modelu kapitalizacja złożoej.