Rys.. Cash flow wypływów. Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół) i wpływów (strzałki skierowane w górę).
|
|
- Dagmara Rybak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3 WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ziea watość pieiądza w czasie to ieodłączy atybut pieiądza właściwy ie tylko aszy czaso W teoii fiasów, okesowe płatości azywa się stuieie pieiędzy, pzepływe pieiędzy lub z agielskiego cash flow Ciąg wydatków dokoywaych w ówych odcikach czasu azywa się cash flow wypływów (ag cash outflow), a ciąg wpływów pieięŝych azwa się cash flow wpływów (ag cash iflow) oś czasu Rys Cash flow wypływów oś czasu Rys Cash flow: wypływów (stzałki skieowae w dół) i wpływów (stzałki skieowae w góę) Lub po odjęciu wpłat i wypłat w 7 i 0 okesie - ys oś czasu Rys Cash flow w 7 i 0 okesie został skopesoway dodatie i ujee pzepływy w ty say czasie edukują się
2 Ozaczeia: i - bieŝąca chwila czasu, i,,,,, - liczba lat lub ogóliej liczba okesów (poŝyczaia od kogoś lub iwestowaia), - opocetowaie, stopa pocetowa stała w czasie, i, i,,, i,,,, - opocetowaie, stopa pocetowa ziea w czasie, watość stopy pocetowej w i-ty okesie kapitalizacji wyosi i, - obeca (bieŝąca) watość kapitału (ag Peset value), 0,,, - watość kapitału bieŝąca dla chwili 0,,,, FV - pzyszła watość kapitału (ag futue value), FV FV,, FV, FV - watość pzyszła kapitału w chwili, (-),,, 0-0 Oczywiście FV 0, a w ozaczeiu FV często opuszczay ideks ; FV FV Pocete posty azywa się odsetki płacoe lub zaabiae wyłączie od podstawowej kwoty kapitału (ag siple iteest) Watość pzyszłą FV kwoty 0 opocetowaej pocete posty o stopie po okesach (latach) oŝa obliczyć ze wzou: FV + ** Wzó jest słuszy ówieŝ, gdy - jest iecałkowitą liczbą lat, - okes, po któy aliczae są odsetki ie jest okie, ale iy okese, jak a pzykład dzień, iesiąc, kwatał, półocze; wówczas ozacza stopę pocetową w ty okesie FV + * i i gdzie,,, - stopa opocetowaia w poszczególych okesach Pzykład 4 Jeśli pa Ada złoŝył do baku 0XXX oku 000zł a waukach opocetowaia postego, 0% oczie, to po oku jego koto wzośie o kwotę 0%*000zł 0*000zł 00zł Po kolejy oku jego koto wzośie o astępe 00zł i będzie posiadał a kocie juŝ zł Poces dopisywaia odsetek do kwoty kapitału azywa się kapitalizacją - odsetki są kuulowae z kwotą kapitału (ag copoudig) Okes, po któy dopisywae są odsetki do kwoty kapitału, azywa się okese kapitalizacji (ag copoudig peiod) Pocete składay (ag copoud iteest) azywa się odsetki płacoe lub zaabiae ie tylko od podstawowej kwoty kapitału ale i od zapłacoych lub zaobioych odsetek we wcześiejszy okesie ich aliczaia; o ile te odsetki ie zostały juŝ pzez poŝyczającego lub iwestującego wycofae (podjęte) Watość pzyszłą FV kwoty 0 z kuulacją odsetek o stopie pocetowaej po okesach (latach) oŝa obliczyć ze wzou: FV + ) *( + ) **( + ) ( + i ) i (, lub FV ( + ), dla Albo
3 FV * MWP, gdzie MWP - MoŜik Watości Pzyszłej po okesach i stopie pocetowej, MWP MWP(,) ( + ), któy oŝa odczytać w tablicach fiasowych Pzykład 4 (cd) Gdyby pa Ada złoŝył swoje pieiądze a pocet składay, 0% oczie z kapitalizacją oczą, to po oku bak dopisałby u, podobie jak w popzedi pzykładzie 0%*000 00zł Miałby więc a kocie 00zł Pocet składay ty óŝi się od pocetu postego, Ŝe w kolejy oku bak opocetowałby stopą 0% ie tylko kwotę kapitału piewotie złoŝoą w baku, a więc 000zł, ale kwotę kapitału powiększoą o dopisae a koiec popzediego oku odsetki Tak więc a koiec dugiego oku bak dopisałby kwotę 00zł*0% 40zł, czyli pa Ada posiadałby juŝ a kocie kwotę: 000zł + 00zł + 40zł 440zł, a więc o 40zł więcej iŝ w pzypadku opocetowaia kota pocete posty W kolejy oku bak aliczyłby pau Adaowi odsetki od kwoty 440zł, a ie jak w pzypadku pocetu postego od kwoty 000zł Poces obliczaia watości pzyszłej, z kuulacją odsetek, pzedstawia ysuek FV (+) 0 FV (+) FV 3 (+) FV (+) FV (+) 4 FV (+) oś czasu Rys Poces obliczaia watości pzyszłej Obliczeie watości pzyszłej (FV ) odpowiada a pytaie: jaka będzie watość pzyszła pewej kwoty () zaiwestowaej lub otzyaej dziś w okeśloych waukach ykowych? Często jedak tzeba odpowiedzieć a ie pytaie: ile jest wata w tej chwili kwota FV, któą otzya się w pzyszłości w okeśloych waukach ykowych? Odpowiedź a postawioe pytaie oŝa zaleźć obliczając watość obecą ( FV FV ( + i )) ( + ) *( + ) **( + ) i Dla stałej (takiej saej w kaŝdy okesie kapitalizacji) stopy pocetowej wzó pzybiea postać: FV FV *( + ( + ) ), dla Lub 3
4 FV * MWO, gdzie MWO - - oŝik watości obecej MWO MWO MWO(,) ( + ) Poces obliczaia watości obecej pzedstawia ysuek 30 40% 35% 30% 5% 0% 5% 5 0 0% Lokesów Rys Watość pzyszła zł dla óŝych stóp pocetowych i óŝej liczby okesów kapitalizacji 5% % 4
5 STOPA NOMINALNA Utało się, iŝ stopy pocetowe podaje się w watościach oialych, w doyśle oczych (ag Aual Pecetage Rate APR) Stopa oiala No jest to No FV-, gdzie watość kapitału a początku oku, FV watość kapitału a końcu oku, oaz okes kapitalizacji jest ówy ok Jest pzyjęte, Ŝe opocetowaie za jede okes kapitalizacji t kap ustala się ze wzou: No tkap t, gdzie ok t kap czas okesu kapitalizacji t ok czas jedego oku Stąd jeŝeli liczba okesów kapitalizacji w ciągu oku jest liczbą całkowitą, to t t co po podstawieiu do wzou daje (3 ok kap No ) MoŜa wypowadzić wzó a watość pzyszłą FV dla lat i okesów kapitalizacji Liczba okesów kapitalizacji w ciągu lat będzie ówa *, co po podstawieiu do wzou5 daje FV No ( + ), a poiewaŝ, więc wzó ostateczie pzyjie postać FV No +, gdzie () liczba kapitalizacji w ciągu oku, 5
6 liczba lat, a ie jak we wzoze5 liczba okesów No opocetowaie oiale W zakesie ustaleia długości oku a świecie stosuje się óŝe ustaleia W iektóych kajach istieje dowolość i uowa defiiuje długość oku, baki ustalają tę długość a 360 di lub 365 di lub zeczywistą długość oku kaledazowego W Polsce, po okesie paowaia dowolości w ty zakesie, został ustaloy dla depozytów bakowych ok zeczywisty, dla kedytów bakowych zgodie z uową kedytową, dla obligacji ok zeczywisty, 3 dla boów skabowych ok 360 diowy Stopą efektywą azywa się wielkość STOPA EFEKTYWNA FV- Stopa efektywa, gdzie watość kapitału a początku okesu, dla któego jest liczoa stopa efektywa, FV watość kapitału a końcu okesu, dla któego jest liczoa stopa efektywa, oaz okes kapitalizacji jest dowoly, czy óŝi się ta defiicja od defiicji stopy oialej Stopy efektywej uŝywa się aczej zadko, poiewaŝ pzy poówywaiu stóp pocetowych aleŝy poówywać opocetowaia za te sa okes 6
7 Z tego powodu wpowadzoo często uŝywae pojęcie oczej stopy efektywej (ag Effective Aual Rate EFF) FV- ef, gdzie watość kapitału a początku oku, FV watość kapitału a końcu oku, oaz okes kapitalizacji jest dowoly Efektywą oczą stopą pocetową pzy kapitalizacjach w ciągu oku azywa się taką stopę, któa dawałaby to sao opocetowaie pzy jedokotej, oczej kapitalizacji (ag effective aual ate - EFF) JeŜeli liczba kapitalizacji w ciągu oku jest ówa, to ze wzou dla czasu jedego oku ówego okeso kapitalizacji i ef ef FV- No ay + No + No, czyli + No Zawsze zachodzi ieówość (3) ef > No, poiewaŝ (4) No > No, + No + > + No + No > + No co jest oczywiste jeśli tylko No > 0 7
8 Wyika z tego, Ŝe kapitalizacja częstsza iŝ ok zwiększa efektywość opocetowaia i to ty badziej i większe jest : + No > + No, jeśli > oaz No > 0 Zaiast więc stosowaia kapitalizacji częstszej iŝ ocza oŝa uŝywać stopy efektywej i kapitalizacji oczej W pzypadku gdy stopy opocetowaia w poszczególych okesach kapitalizacji są óŝe, to oczywiście ef FV- (+ )(+ )**(+ ) czyli FV- (+ )(+ )**(+ ) ef Pojęcie opocetowaia oialego i efektywego oŝa stosować do okesu iego iŝ ok i do liczby kapitalizacji w ty właśie okesie Jeśli okese taki będzie, a pzykład iesiąc, będzie się ówić o iesięczy opocetowaiu oialy i iesięczy opocetowaiu efektywy Kapitalizacja oŝe być takŝe, a pzykład, tygodiowa, dziea itd MoŜa wpowadzić wykozystywae w teoii fiasów pojęcie kapitalizacji ciągłej: ef,c li ( + o ) e o gdzie e 78 jest podstawą logaytów atualych 8
9 Wioski Wiosek A Z ozwaŝań pzepowadzoych dotąd w iiejszy ozdziale wyika eotechicza zasada pozwalająca często upościć obliczeia Dowoly pojedyczy pzepływ pieiądza oŝa dowolie pzesuąć w czasie, czyli zastąpić go iy wpływe lub wypływe w iy czasie o ile wielkość tego sztuczie powstałego pzepływu zostaie ustaloa zgodie z teoią watości pieiądza w czasie A więc jeśli pzepływ zostaie pzesuięty do tyłu (w kieuku zea osi czasu), aleŝy zastąpić go jego watością obecą Jeśli pzepływ zostaie pzesuięty w czasie do pzodu, aleŝy go zastąpić jego watością pzyszłą Oś watości (CF) pzepływów CF FV(CF) oś czasu Rys Dowoly pzepływ CF oŝa pzesuąć w czasie zastępując go jego watością obecą lub pzyszłą odpowiedio Wiosek B Jeśli watość A jest X azy większa od watości B to pzy ty say opocetowaiu i tej saej liczbie okesów watość pzyszła FV(A) jest X azy większa od watości pzyszłej FV(B): FV(A) A*( + ) X*B*( + ) X*[B*( + ) ] X*FV(B) (5B) Wiosek C Aalogiczie oŝa pokazać, Ŝe jeśli watość A jest X azy większa od watości B to pzy ty say opocetowaiu i tej saej liczbie okesów watość obeca (A) jest X azy większa od watości obecej (B): A X B B ( A) X X * ( B) ( + ) ( + ) ( + ) (9C) 9
10 Reala stopa zwotu Pzykład M Kowalsky powadzi fię w Staach Zjedoczoych Pzyosi u oa 5% zwotu z wiesioego do fiy kapitału PoiewaŜ dowiedział się, Ŝe Polsce oŝa osiągąć duŝy zwot z zaiwestowaego kapitału, a posiada jeszcze spoo wolej gotówki postaowił zaiwestować w Polsce W ty celu załoŝył w Polsce fię Kowalsky & So, 7 aja X wyieił l dolaów a złotówki po kusie 3,889zł/USD a uzyskae złotówki zaiwestował w podukcję PoiewaŜ powadzeie dwu fi, jedej w Staach Zjedoczoych, dugiej w Polsce okazało się zbyt tude, po oku zezygował z działalości w Polsce i 07 aja Y spzedał fię Uzyskał zwot z iwestycji 45%, a fię udało u się spzedać za ówowatość iwestycji, to zaczy za 3,889 l zł Uzyskae złotówki wyieił a dolay po aktualy kusie Okazało się, Ŝe w ciągu oku iflacja złotówki do dolaa wyiosła 0% Ile wyiosła watość pzyszła kapitału l USD po oku iwestycji w Polsce oaz jaki to staowi zwot z iwestycji? Dla uposzczeia, w pzykładzie pzyjęto kusy śedie zaiast osobych kusów spzedaŝy i kupa USD Ozaczy pzez: zł 45% - stopa zwotu z iwestycji w Polsce, $ - poszukiwaa stopa zwotu w USD z iwestycji w Polsce, $ USD - wielkość iwestycji, zł - watość iwestycji w złotych, FV zł - kwota w złotych uzyskaa z iwestycji (łączie z wycofay kapitałe), FV $ kwota w USD uzyskaa z iwestycji (łączie z wycofay kapitałe), if zł/$ 0% - iflacja USD do złotego, k - kus złotego do USD 7 aja X, k - kus złotego do USD 7 aja Y Po oku pa Kowalsky uzyskał kapitał z wyiay kapitału w złotych a kapitał w USD: 0
11 FVzł FV$ k Ale kapitał w złotych uzyskał ze zwotu z iwestycji, któy wyiósł zł 45%: FV zł zł ( + z ł ), atoiast kus wyiay k uzyskay ze stopy iflacji złotówki do USD: k k ( + if zl / $ 3,889 zl/usd, i otzyay FV $ zł ( + k ( + ) 3,889 zl / USD ( + 0%) if zł zł / $ ) ) 4,6668 zl/usd Natoiast kapitał początkowy w złotych zł uzyskał z kapitału początkowego w dolaach $ po kusie wyiay k : FV zł $ $ k, czyli k $ k ( + ( + if zł / $ zł ) ) $ ( + ( + zł if zł ) / $ ) Ze wzou widać, Ŝe wpływ czyika iekozystego (iflacji złotówki do dolaa) wpływa popzez czyik ( +stopa pocetowa pzeciwdziałająca wzostowi kapitału) ale w iaowiku PoiewaŜ FV $ $ ( + $ ) więc FV$ $ i wstawiając za FV $ pawą stoę popzediego wzou $ i skacając pzez $ ay wzó a stopę zwotu w USD: ( + zł $ ( + if zł / $ ) )
12 Pzykład Gdyby kwotę została ulokowaa w baku pzy stopie pocetowej z zaiae utzyaia lokaty pzez okesów kapitalizacji, to watość kapitału po okesach wyiosłaby FV (+ ) Ale gdyby depozytaiusz zdecydował się ją z jakiś powodów wycofać o jede okes wcześiej, to otzyałby kwotę ( + ) FV ( + ) A więc i w ty pzypadku wpływ czyika iekozystego (skóceie okesu depozytu) wpływa popzez podzieleie pzez czyik ( +stopa pocetowa pzeciwdziałająca wzostowi kapitału) Oba pzykłady powadzą do wiosku, któy oŝa wyazić wzoe: ( + )( + )** ( + ) FV ( + q )( + q )** ( + q ), gdzie,, 3,, są stopai opocetowaia za koleje okesy, któych jest, q, q, q3,, q są stopai pocetowyi czyików wpływających egatywie a wzost kapitału W szczególości q, q, q3,, q ogą być stopai iflacji Wówczas powio się uwzględić ich tyle ile okesów kapitalizacji oaz oŝa je ozaczyć wspólą liteą, FV ( + )( + )**( + ) ( + q )( + q )**( + q ) (6a)
13 Stopę zwotu z kapitału, uwzględiającą wpływ iflacji azywa się stopą ealą Stopę ealą defiiuje się podobie do stopy efektywej, z ty Ŝe uwzględia oa dodatkowo wpływ iflacji: FV- ea l a Stąd oŝa wypowadzić wzó a stopę ealą dla okesów, w kaŝdy okesie opocetowaie wyosi i, stopa iflacji q i : ( + )( + )**( + ) FV- ( + q )( + q )**( + q ) ea l a, czyli ( + )( + )**( + ) l ea a ( + q )( + q )**( + q ) (0b) Jeśli stopa eala a być oczą stopą ealą, oczywiście wszystkie okesy kapitalizacji uszą łączie staowić dokładie jede ok Pzykład3 Jeśli oiala stopa opocetowaia kedytu wyosi No, 4%, iflacja ocza wyosi q %, to pzy spłacie kedytu jede az w oku ealy koszt kedytu wyosi (+ ) (+ 4%),4 kosztea l y oczy 0,07 0,7% (+ q) (+ %), Gdyby spłaty astępowały iesięczie, a iflacja kaŝdego iesiąca wyosiła q' %, to koszt ea + No (+ %),0 l y oczy,0099 0,55,55% ( + q' ) (+ %),0 3
14 Reta W Polsce zaczeie ety jest ozuiae a wiele sposobów W potoczy ozuieiu jest to okesowe lub doŝywotie świadczeie pieięŝe, p z tytułu ubezpieczeń społeczych, zapewiające osobie upawioej śodki utzyaia w okeśloych sytuacjach Ŝyciowych (po pzekoczeiu ustaloego wieku pacowika, w wypadku iwalidztwa itp) * Osoby upawioe do kozystaia z takiego świadczeia azywa się RENCISTAMI, a watość saego okesowego świadczeia etą Te sa słowik podaje takŝe ekooicze zaczeie ety egulaie otzyyway dochód z kapitału, ajątku (p papieów watościowych, z wydzieŝawioej ziei) ie wyagający wkładu pacy właściciela * Osoby kozystające z takich dochodów azywa się (jak w powieściach Balzaka) RENTIERAMI W fiasach etą azywa się poces dokoywaia seii wpłat lub wypłat co pewie stały, okeśloy odciek czasu Watość wpłat lub wypłat azywa się wielkością stuieia pieięŝego lub płatością, ozaczaą PMT (skót od ag Payet) Model ety pzedstawia ysuek oś czasu Rys Reta W ecie zwykłej płatej z dołu ( ag odiay auity) płatości występują a koiec kaŝdego odcika czasu (ys 47) W ecie płatej z góy ( ag auity due) płatości występują a początku kaŝdego odcika czasu Watością pzyszłą ety FVA Futue Value of Auity (ety z góy FVA D ) jest taka kwota a końcu ostatiego odcika czasu, Ŝe jest oa ówowaŝa seii płatości pzy day opocetowaiu oaz daej liczbie okesów FVA ie jest watością świadczeia, któe iwesto będzie ógł pobieać w pzyszłości, ale watością kapitału skuulowaego a końcu okesów płatości Watością obecą ety A (ety z góy AD) jest taka wielkość kapitału w chwili t 0, Ŝe jest oa ówowaŝa seii płatości pzy day opocetowaiu i daej liczbie okesów Okesy czasu poiędzy płatościai ogą, ale wcale ie uszą być okesai oczyi Jaka będzie watość ety watość uskładaego kapitału - po okesach, jeśli okesowe wpłaty wyoszą PMT (ag payet - płatość), a opocetowaie? Poces obliczeia watości FVA pzedstawia gaficzie ysuek * Słowik języka polskiego, PWN, Waszawa 98 4
15 FVA, FV PMT (+) - FV + FV PMT (+) - FV 3 PMT 3 (+) -3 FV - PMT - (+) FV PMT FV + FV 3 + FV - + FV PMT PMT PMT 3 PMT - PMT Rys Poces obliczaia watości pzyszłej kapitału goadzoego pzez okesów Poces obliczaia ety, pzy załoŝeiu, Ŝe PMT PMT PMT PMT, pzedstawia ys Reta ("zwykła" albo iaczej "płata z dołu") FVA F + F + F + F + K + F + F 3 F F F F F F -ta chwila czasu Rys Poces obliczaia watości pzyszłej goadzoego kapitału watości pzyszłej ety Na wielkość pzyszłej watości ety składa się iezaleŝych składików: F, F,, F 3, F, F, F KaŜdy z ich jest watością pzyszłą odpowiediej wpłaty F PMT F PMT*(+) Podobie oblicza się: F PMT*(+), F F ( ) PMT*(+) -, (-) od końca wpłata dokoaa w oecie pocetowała pzez (-) okesy i w końcu 5
16 F F ( ) PMT*(+) -, -ta od końca wpłata dokoaa w oecie pocetowała pzez (-) okesów Dalej więc ay FVA F + F + F + F 3 + K+ F + F PMT + PMT ( + ) + PMT ( + ) + PMT ( + ) + PMT ( + ) Obliczając suę szeegu, otzyuje się ( + ) FVA PMT, lub FVA PMT MWPR, gdzie : + PMT ( + ) ( + ) MWPR jest MoŜikie Watości Pzyszłej Rety publikoway w tablicach fiasowych Płatości PMT w odelu ety płatej z góy są o cały okes wcześiejsze KaŜda płatość będzie więc pocetowała o okes dłuŝej W ecie (zwykłej) ostatia płatość ie pocetuje, w ecie płatej z góy ostatia płatość pocetuje pzez jede okes Zate, watość pzyszła ety z góy: FVAD FVA*(+) Watość obecą ety A (ag Peset Vvalue of Auity) obliczyć oŝa w astępujący sposób A i PMT ( + ) i, lub dokoując postego pzekształceia FVA (+ ) (+ ) A PMT PMT PMT ( ) (+ ) (+ ) ( + ) Tabele MoŜika Watości Obecej Rety MWOR są ówieŝ publikowae: A PMT * MWOR, gdzie MWOR ( + ) Aalogiczie dla obliczeia watości pzyszłej ety płatej z góy: AD A*(+) Reta wiecza Reta wiecza to eta (zwykła) o płatościach, któe się igdy ie kończą, a więc o ieskończeie wielu płatościach (ag pepetuities) Wzó a watość obecą ety wieczej łatwo wypowadzić ze wzou a watość ety zwykłej pzechodząc z liczbą płatości do ieskończoości: li PMT( ) li PMT li etywieczej PMT (+ ) (+ ) Zate ety wieczej etywiecz ej PMT PMT li PMT 0 (+ ) PMT 6
17 Pzykład4 Ile powiie wpłacić Pa Ada do baku dziś, aby w astępych kolejych latach otzyywać wypłaty w wysokości 000zł oczie pzez ieogaiczoy okes czasu, jeśli zakłada się, ze stopa pocetowa będzie stała 5%? Albo, iaczej ówiąc, jaka kwota wpłacoa dziś, zówowaŝy koieczość dokoywaia wpłat pzez ieogaiczoy okes czasu w wysokości 000 zł? Rozwiązaie spowadza się do obliczeia watości obecej ety wieczej, ys PMT PMT A t ( + t ) zl 05 PMT [zł] A A % 5% 5% 5% 5% 3330 zł watość płatości PMT 000zł (PMT) 000,5 t, i lata Rys Poces obliczaia A (000zł) dla ety wieczej Pzykład3 Ile powiie wpłacić Pa Ada do baku dziś, aby w astępych kolejych latach otzyywać wypłaty osące o % oczie w stosuku do obecej watości 000zł pzez ieogaiczoy okes czasu, jeśli zakłada się, ze stopa pocetowa będzie stała 5%? Iaczej ówiąc, jaka kwota wpłacoa dziś, zówowaŝy koieczość dokoywaia osących o % oczie wpłat pzez ieogaiczoy okes czasu, pzy obecej watości wpłaty ówej 000zł? Rozwiązaie spowadza się do obliczeia watości obecej ety wieczej, ys + PMT ( g) PMT A zl, t t ( + ) g 003 gdzie g stopa wzostu płatości (%) 7
18 PMT PMT PMT 3 PMT 4 PMT 5 5% 950 5% % 800 5% 5% 750 5% A Σ 74670zł watość płatości PMT PMT i 000(+0) i Spłata poŝyczek t ( D t ) $ ( (PMT ) i ) 000 ()i (5) i t ( 5 ) t Rys Poces obliczaia watości obecej ety wieczej pzy wzastających płatościach lata odsetki aty pobaie kedytu Spłata kedytu ówyi atai kapitałowyi Rys Spłata kedytu - 0% w okesie, kwota kedytu 000, at 8
19 Spłata kedytu stałą kwotą suy aty i odsetek 50 odsetki aty pobaie kedytu Spłata kedytu stałą kwotą suy aty i odsetek Rys Spłata kedytu - 0% w okesie, kwota kedytu 000, at Pzykład 5 Pa Ada osiągie wiek eeytaly za lat Postaowił pzez te lata wpłacać a swoje koto osobiste kwoty w wysokości PMT, PMT,, PMT oczie, aby pzez astępe lat óc otzyywać eeytuę oczą w kwocie EMT, EMT,, EMT W jakiej sytuacji pa Ada oŝe się spodziewać, Ŝe jego oczekiwaia zostaą zealizowae? Pa Ada zakłada, Ŝe w cały ozwaŝay okesie,, + lat stopa pocetowa będzie taka saa RozwaŜaą sytuację pzedstawia ysuek ** Wyika z iej, Ŝe watość pzyszła kapitału a koiec oku -tego FVA powia być ówa watości obecej kapitału wypłacoego w latach + do +, czyli A, FVA, FV PMT (+) - FVA, A, EMT + (+) FV PMT (+) - FV + FV 3 PMT 3 (+) - 3 EMT 3 (+) -3 FV + + FV - PMT - EMT (+) - FV PM FV PMT PMT PMT 3 PMT - PMT EMT EMT EMT Rys Poces obliczaia ówowagi iędzy oczyi składkai a oczyi wypłatai 9
ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie
ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość
Bardziej szczegółowo500 1,1. b) jeŝeli w kolejnych latach stopy procentowe wynoszą odpowiednio 10%, 9% i 8%, wówczas wartość obecna jest równa: - 1 -
Zdyskotowae pzepływy pieięŝe - Pzepływy pieięŝe płatości ozłoŝoe w czasie - Pzepływy występujące w kilku óŝych okesach ie są poówywale z uwagi a zmiaę watość pieiądza w czasie - śeby poówywać pzepływy
Bardziej szczegółowoWartość pieniądza w czasie (Value of money in time)
WRTOŚĆ PIENIĄDZ W CZSIE FINNSE I ROBERT ŚLEPCZUK Watość pieiądza w czasie (Value of oey i tie - futue value - watość pzyszła, PV - peset value - watość bieżąca, - stopa pocetowa, - ilość kapitalizacji
Bardziej szczegółowoWartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości
Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA. Zadanie 1 Od jakiej kwoty otrzymano 15 zł odsetek za okres 2 miesięcy przy stopie procentowej 18% w skali roku.
MATEMATYA FIASWA Rachuek osetek postych Wykozystyway w okesie kótki o 1 oku Wzó oóly * * t Wzó pzy uwzlęieiu oiesieia czasoweo t * * t * T p. w pzypaku okesu zieeo t * * 360 Zaaie 1 jakiej kwoty otzyao
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. PODSTAWOWE POJĘCIA Pieiądz, podobie jak ie doba (toway i usługi)) zieia swoją watość w czasie, co jest astępstwe zachodzących w sposób ciągły pocesów gospodaczych. Ziaie oże
Bardziej szczegółowoMETODY ILOŚCIOWE Matematyka finansowa wykłady 1-2-3
Dwusemestale studium podyplomowe ANALITYK FINANSOWY METODY ILOŚCIOWE Matematyka fiasowa wykłady --3 d Kzysztof Piotek Kateda Iwestycji Fiasowych i Zaządzaia Ryzykiem Uiwesytet Ekoomiczy we Wocławiu Metody
Bardziej szczegółowoco wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P
WIADOMOŚCI WSTĘPNE Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teaźiejszej K kwoty początkowej K 0, zate Z = K K 0. Z ekooiczego puktu widzeia właściciel kapitału K 0 otzyuje odsetki jako zapłatę od baku
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoSpłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem
płata długów Rozliczeia związae z zadłużeiem Źódła fiasowaia Źódła fiasowaia Kapitał własy wkład właściciela, wpłaty udziałowców, opłaty za akcje, wkład zeczowy, apot. Kapitał obcy kedyty, pożyczki, ie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowoCo wpływa na zmianę wartości pieniądza? WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. dr Adam Nosowski
Fiase osobiste, ed. E. BogackaKisiel, PWN 202 ANALITYKA GOSPODARCZA d Ada Nosowski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE z wykozystaie ateiałów autostwa: pof. d hab. Kzysztofa Jajugi, d Doiika Bacha PIENIĄDZ postzegaie
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoŹródła finansowania i ich koszt
Źódła fiasowaia i ich koszt Kapitalizacja i dyskoto: k K K0 (1 ) ; 1 ; k 0 k log k0 log 1 efektywa stopa pocetowa; 1 1 Stałe płatości (ety): ef m m ; K o K 1 (1 ) (pzy płatościach częstszych iż ocze) 1
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoZmiana wartości pieniądza
Ziaa watości piiądza w czasi topa dyskotowa Wydatki i fkty astępują w óży czasi, tzba więc uwzględić fakt, ż watość piiądza ziia się w czasi, więc taka saa sua piiędzy będzi iała ią watość w óży czasi.
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj
Bardziej szczegółowoPodstawowe zasady udzielania i spłaty kredytów
Podstawowe zasady udzielaia i spłaty kedytów Klasyfikacja kedytów. Wg czasu: kótkoteiowe (do oku), śedioteiowe ( do 5 lat), długoteiowe (powyżej 5 lat).. Wg pzediotu kedytowaia: iwestycyje, obotowe. 3.
Bardziej szczegółowoStrategie finansowe przedsiębiorstwa
Strategie fiasowe przedsiębiorstwa Grzegorz Michalski 2 Różice między fiasami a rachukowością Rachukowość to opowiadaie [sprawozdaie] JAK BYŁO i JAK JEST Fiase zajmują się Obecą oceą tego co BĘDZIE w PRZYSZŁOŚCI
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA - PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SKŁADANY
2. PROCENT SŁADANY Zasada procetu składaego polega a tym, iż liczymy odsetki za day okres i doliczamy do kapitału podstawowego. Odsetki za astępy okres liczymy od powiększoej w te sposób podstawy. Czyli
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca
Bardziej szczegółowoDefinicje i charakteryzacja mierników efektywności finansowych:
Defiicje i chaakteyzacja mieików efektywości fiasowych: Iwestycja fiasowa akład dający iwestoowi możliwości uzyskaia w pzyszłości dodatich pzepływów fiasowych Mieiki efektywości iwestycji fiasowych:. Stopą
Bardziej szczegółowokartki od 27 do 32 włącznie kap. - kapitalizacja, zał. - założenie, załóżmy, zakładając, st. proc. - stopa procentowa, (...
katki od 7 do 3 włączie kap. - kapitalizacja, zał. - założeie, załóży, zakładając, st. poc. - stopa pocetowa, (...) - uciętę watość pzez okesów st. poc. zgodie z odele kap. złożoej z dołu zgodej. Zał.
Bardziej szczegółowoProcent składany wiadomości podstawowe
Procet składay wiadomości podstawowe Barbara Domysławska I Liceum Ogólokształcące w Olecku Procet prosty to rodzaj oprocetowaia polegający a tym, że odsetki doliczae do złożoego wkładu ie podlegają dalszemu
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)
Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
Elmty matmatyki fiasowj RZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Elmty matmatyki fiasowj Wykład: Elmty Matmatyki Fiasowj la Wykładu Tmat: Elmty matmatyki fiasowj Zaczi czasu w oci fktywości iwstycji
Bardziej szczegółowoAKADEMIA INWESTORA INDYWIDUALNEGO CZĘŚĆ II. AKCJE.
uma Pzedsiębiocy /6 Lipiec 205. AKAEMIA INWESTORA INYWIUALNEGO CZĘŚĆ II. AKCJE. WYCENA AKCJI Wycena akcji jest elementem analizy fundamentalnej akcji. Następuje po analizie egionu, gospodaki i banży, w
Bardziej szczegółowoEFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA Nekedy zachodz koneczność zany okesu kapt. z ównoczesny zachowane efektów opocentowane. Dzeje sę tak w nektóych zagadnenach ateatyk fnansowej np.
Bardziej szczegółowoUniwersytet Technologiczno- Humanistyczny w Radomiu Radom 2013
Uiwesytet Techologiczo- Huistyczy w Rdoiu Rdo 3 Podstwy tetyki fisowej D Zbigiew Śleszyński ted Bizesu i Fisów Międzyodowych Wydził kooiczy tudi podyploowe OWOCZ UŁUGI BIZOW Teść wykłdu: Powtók z tetyki
Bardziej szczegółowoWykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja
Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Bardziej szczegółowoco wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P
Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XXXVI Egzami dla Aktuariuszy z 0 paździerika 2005 r. Część I Matematyka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Niech dur() ozacza duratio
Bardziej szczegółowoNOMINALNA STOPA PROCENTOWA stopa oprocentowania przyjęta w okresie bazowym; nie uwzględnia skutków kapitalizacji odsetek
Symbole: nominalna stopa pocentowa ( od stu ) n ilość okesów (lat, miesięcy, kwatałów etc.) m ilość podokesów (np. stopa pocentowa podana jest w skali oku; kapitalizacja miesięczna m=12) d stopa dyskontowa
Bardziej szczegółowoTradycyjne mierniki ryzyka
Tadycyjne mieniki yzyka Pzykład 1. Ryzyko w pzypadku potfela inwestycyjnego Dwie inwestycje mają następujące stopy zwotu, zależne od sytuacji gospodaczej: Sytuacja Pawdopodobieństwo R R Recesja 0, 9,0%
Bardziej szczegółowoRozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą.
Renty wieczyste Rozważyy nieskończony stuień płatności i obliczyy jego watość teaźniejszą Najpiew ozważy entę wieczystą polegającą na wypłacie jp co ok Jeśli piewsza płatność jest w chwili, to ówiy o encie
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoPROJEKT: GNIAZDO POTOKOWE
POLITEHNIK POZNŃSK WYZIŁ UOWY MSZYN I ZZĄZNI ZZĄZNIE POUKJĄ GUP ZIM-Z3 POJEKT: GNIZO POTOKOWE WYKONWY: 1. TOMSZ PZYMUSIK 2. TOMSZ UTOWSKI POWZĄY: Mg iż. Maiola Ozechowska SPIS TEŚI OZZIŁ 1. Wpowadzeie.
Bardziej szczegółowoFinanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania
Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowoModel klasyczny gospodarki otwartej
Model klasyczny gospodaki otwatej Do tej poy ozpatywaliśmy model sztucznie zakładający, iż gospodaka danego kaju jest gospodaką zamkniętą. A zatem bak było międzynaodowych pzepływów dób i kapitału. Jeżeli
Bardziej szczegółowoBusiness Process Automation. Opłacalność inwestycji => <= Jak bank widzi kredytobiorcę
Busiess Process Automatio Opłacalość iwestycji =>
Bardziej szczegółowoANALIZA BRYTYJSKIEGO RYNKU RENT HIPOTECZNYCH EQUITY RELEASE ORAZ KALKULACJA ŚWIADCZEŃ DLA POLSKICH ROZWIĄZAŃ Z WYKORZYSTANIEM RACHUNKU RENT ŻYCIOWYCH
Batosz Lawędziak Uiwesytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Ekoomii Kateda Metod Statystyczo-Matematyczych w Ekoomii batoszlaw@ue.katowice.pl ANALIZA BRYTYJSKIEGO RYNKU RENT HIPOTECZNYCH EQUITY RELEASE ORAZ
Bardziej szczegółowowww.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera
www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoRodzajowy rachunek kosztów Wycena zuŝycia materiałów
Rodzajowy achunek kosztów (wycena zuŝycia mateiałów) Wycena zuŝycia mateiałów ZuŜycie mateiałów moŝe być miezone, wyceniane, dokumentowane i ewidencjonowane w óŝny sposób. Stosowane metody wywieają jednak
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoZajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania
Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas
Bardziej szczegółowoZarządzanie finansami
STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ W POZNANIU Zarządzaie fiasami DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Pieiądze posiadają określoą wartość. Wartość w diu dzisiejszym omialej
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoArytmetyka finansowa Wykład 1 Dr Wioletta Nowak
Aytmetyka fiasowa Wykład D Wioletta Nowak Sylabus Watość ieiądza jako fukcja czasu. Oocetowaie lokaty. aitalizacja osta, złożoa z dołu i z góy, ciągła. aitalizacja zgoda i iezgoda. Rówoważość oocetowaia.
Bardziej szczegółowoPORADNIK DLA PRZEDSIĘBIORCÓW PROMUJ SWÓJ EKSPORT
PORADNIK DLA PRZEDSIĘBIORCÓW PROMUJ SWÓJ EKSPORT URZĄD KOMITETU INTEGRACJI EUROPEJSKIEJ Wydawca URZĄD KOMITETU INTEGRACJI EUROPEJSKIEJ Al. Ujazdowskie 9, 00-918 Warszawa http://www.ukie.gov.pl e-mail:
Bardziej szczegółowoProjekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..
Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200
Bardziej szczegółowoZałącznik 5. do Umowy nr EPS/[ ]/2016 sprzedaży energii elektrycznej na pokrywanie strat powstałych w sieci przesyłowej. zawartej pomiędzy [ ]
Załączik 5 do Umowy r EPS/[ ]/ sprzedaży eergii elektryczej a pokrywaie strat powstałych w sieci przesyłowej zawartej pomiędzy Polskie Sieci Elektroeergetycze Spółka Akcyja [ ] a WARUNKI ZABEZPIECZENIA
Bardziej szczegółowo1% wartości transakcji + 60 zł
Procet.. Wysokość prowizji, którą kliet płaci w pewym biurze maklerskim przy każdej zawieraej trasakcji kupa lub sprzedaży akcji jest uzależioa od wartości trasakcji: Wartość trasakcji do 500 zł od 500.0
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoII.6. Wahadło proste.
II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN
Bardziej szczegółowoMakroekonomia 1 Wykład 8: Wprowadzenie do modelu ISLM: krzywa LM oraz krzywa IS
Makoekonomia 1 Wykład 8: Wpowadzenie do modelu ISLM: kzywa LM oaz kzywa IS Gabiela Gotkowska Kateda Makoekonomii i Teoii Handlu Zaganicznego Plan wykładu Deteminanty popytu na pieniądz Równowaga na ynku
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoAnaliza możliwości wykorzystania wybranych modeli wygładzania wykładniczego do prognozowania wartości WIG-u
Zbigiew Taapaa Aaliza możliwości wykozysaia wybaych modeli wygładzaia wykładiczego do pogozowaia waości WIG-u Wydział Cybeeyki Wojskowej Akademii Techiczej w Waszawie Seszczeie W aykule pzedsawioo aalizę
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez
MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów 2 4 6 8 Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów,
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoPaulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
Bardziej szczegółowoSkładka ubezpieczeniowa
Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia
Bardziej szczegółowo30 Matematyka finansowa i bankowa
30 Matematyka fiasowa i bakowa koszty admiistrowaia, koszty koserwacji, koszty utrzymaia techiczego budyku, koszty utrzymaia pomieszczeń wspólych op laty za utrzymaie czystości, eergiȩ elektrycz a i ciepl
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoMatematyka Finansowa. Wykład. Maciej Wolny
Matematyka Fasowa Wykład Macej Woly macej.woly@polsl.pl Ageda Ogazacja zajęć, wpowadzee, podstawowe pojęca. Teoa fukcj peądza w czase. Rozlczea zwązae ze spłatą długów. Ocea opłacalośc westycj. Lteatua.
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowon liczba lat m liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku ile razy doliczane są odsetki do kwoty kapitału
pst valu watość biŝąca watość jdostki piięŝj lub pzpływów fiasowych (wpływów lub wydatków, któ zostaą zalizowa/otzya w pzyszłych oksach wyaŝoa w dzisijszj sil abywczj jdostk piięŝych. Watość ta jst ijsza
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoZatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi
Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowo1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych
Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowoPieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska:
Prawie wszyscy wiedzą, że pewna suma pieniędzy ma dziś większą wartość niż ta sama suma w przyszłości. Mówi się, że pieniądz traci na wartości. Używając bardziej precyzyjnej terminologii trzeba powiedzieć
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 2(300), 2014. Tomasz Zapart *
A C T A N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 2(300), 2014 Toasz Zapart * CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA WSKAŹNIK SZKODOWOŚCI ZE SZCZEGÓLNYM WZGLĘDNIENIEM BEZPIECZENIA FLOTY POJAZDÓW 1.
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowo4.5. PODSTAWOWE OBLICZENIA HAŁASOWE 4.5.1. WPROWADZENIE
4.5. PODTAWOWE OBCZENA HAŁAOWE 4.5.. WPROWADZENE Z dotychczasowych ozważań wiemy już dużo w zakesie oisu, watościowaia i omiau hałasu w zemyśle. Wato więc tę wiedzę odsumować w jedym zwatym ukcie, co umożliwi
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowo