3 Ubezpieczenia na życie

Transkrypt

1 3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP Zadania z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej Mając dane s(x) = 100 x 10, dla x [0, 100], oblicz: 17 p 19, µ 36, q 36, e Oblicz µ 45 wiedząc, że: tp x = 100 x t, 0 x 100, 0 t 100 x. 100 x 3.4. Oblicz E[T x ] mając dane: tp x = 1 (t/100) 3/2, x = 60, 0 < t < Oblicz 20 p x mając dane: µ x+t = 1 85 t + 3, 0 t t 3.6. Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 45-letnią co najmniej 5 lat, jeżeli analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 20-letniej wynosi 0.64 oraz natężenie zgonów opisuje funkcja µ x = k x dla x 20, gdzie k jest dodatnią stałą Zakładając stałe natężenie zgonów µ t = µ wyznacz: s t q x, s q x oraz e x Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 40 oraz e 40 = 50, oblicz p 75. ( 1+x 3.9. Oblicz E(T 41 ) jeśli wiadomo, że t p x = 1+x+t) Wyprowadź tożsamość (bez korzystania z HJP): s+t p [x]+u = t p [x]+u+s sp [x]+u Zakładając HJP wyprowadź wzory: a) e x = p x (1 + e x+1 ), b) t p x = c) e x = 1 s(x) x s(y) dy, d) d( tp x ) dx s(x + t) s(x) ( = exp = t p x (µ x µ x+t ) W oparciu o wartości l x z tablic TTŻ-15m oblicz: p 80, 3 q 65, 4 2 p 60, 10 p Wyznacz l x, jeśli l 0 = oraz µ t = t, t > 0. Oblicz l 30 i l 60. x+t x ) µ s ds, Oblicz p x+ 1, gdzie x N, wiedząc, że p x = 3 5 4, p x+1 = 2 3, stosując wszystkie 3 hipotezy interpolacyjne Oblicz p x+ 1 5, x N, stosując HU, HCFM i HB, jeśli e x = , e x+1 = 39, e x+2 = (Hint: = 2 5 ) Na podstawie TTŻ-15m oblicz: 0.8 p 80.3, 3.5 p 65.8, 4 2 q 60.5, 10 p 70.7, zakładając: 1) HU, 2) HCFM, 3) HB Na podstawie TTŻ-15k oblicz: µ 21.4, zakładając: 1) HU, 2) HCFM, 3) HB Rodzice (25) i (30) wykupili dziecku (0) polisę posagową, dającą dziecku wypłatę w wieku 20 lat tylko wtedy, gdy będzie ono sierotą zupełną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dojdzie do wypłaty posagu, jeżeli natężenie zgonów w tej populacji jest stałe i wynosi µ > 0 oraz zakładając, że czasy trwania życia rodziców są niezależne [EdA ] W danej populacji intensywność śmiertelności mężczyzn jest dla każdego wieku o połowę wyższa niż w przypadku kobiet. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mężczyzna w wieku x będzie żył co najmniej tak długo, jak losowo wybrana kobieta w wieku x Oblicz wartość ubezpieczenia na całe życie z wypłatą świadczenia 1 zł w momencie śmierci dla stałych intensywności śmiertelności i oprocentowania: µ t = µ, δ t = δ Zakładając stałą intensywność µ x+t = µ, t 0, oprocentowanie δ = 0.05 oraz Āx = 0.25, oblicz e x Mając dane l x = 100 x dla x = 0, 1,..., 100 oraz i = 0.05, oblicz A 40: Oblicz jednorazową składkę netto ubezpieczenia dyskretnego na całe życie o sumie ubezpieczenia dla 40 letniego mężczyzny, mając dane: l x = 1000(1 x 120 ), i = Znajdź cenę polisy ubezpieczenia dyskretnego na całe życie o sumie ubezpieczenia dla osoby w wieku 40 lat, mając dane p x = 0.96, dla każdego x, oraz i = 0.09.

2 3.25. Obliczyć A1 40:3 na podstawie TTŻ-15k przy i = 4% oraz i = 12% Korzystając z TTŻ-15k oraz wiedząc, że A 40:4 1 = 0.8, oblicz obowiązującą stopę procentową Przy założeniu stałych natężeń zgonów i oprocentowania wiadomo, że E[v 2T ] = Oblicz Āx Oblicz składkę jednorazową netto dla ubezpieczenia na całe życie dla osoby w wieku 50 lat wybranej z populacji de Moivre a, ω = 100, jeśli i = 0, a ubezpieczenie wypłaca kwotę t 2, jeśli śmierć nastąpiła w chwili t Wykaż zależność: A x = A1 x:n + A x:n 1 A x+n Przyjmując HA, udowodnij: 2 A x = v 2 q x + v 2 p x 2 A x Przyjmując HA, udowodnij: (IA) x = vq x + vp x (A x+1 + (IA) x+1 ) Udowodnij, że: 1 (1 + i)a x 1 A x+1 = p x Oblicz wariancję 3-letniego ubezpieczenia terminowego wystawionego 40-latkowi na sumę ubezpieczenia , na podstawie TTŻ-15k oraz i = 4% Oblicz wariancję i jednorazową składkę netto dla ubezpieczenia 10-letniego płatnego w momencie śmierci dla osoby w wieku 30 lat mając dane: funkcja przeżycia według de Moivre a, ω = 100, techniczna stopa procentowa i = Składka jednorazowa netto dla ubezpieczenia na całe życie płacąca 1 zł w momencie śmierci, przy założeniu stałych intensywności śmiertelności i oprocentowania, wynosi Oblicz wariancję tego ubezpieczenia Oblicz wariancję zmiennej Z, która jest obecną wartością n-letniego ubezpieczenia płatnego w momencie śmierci, jeśli wiadomo, że i = 0% Wiadomo, że Z jest wartością zmiennej losowej dla dyskretnego jednorocznego ubezpieczenia o składce 1000 dla osoby w wieku x. Mając dane E[Z] = 19 i Var[Z] = , oblicz v Zmienna losowa Z opisuje wypłatę z dwuletniej okresowej polisy wydanej osobie w wieku x płacącej świadczenie w wysokości 1 zł na koniec roku śmierci. Mając dane: q x = 0.5, i = 0, Var(Z) = , oblicz q x Mając dane Ā1 x:n = , δ = 0.055, µ x+t = 0.045, t 0, oblicz Āx:n Mając dane A 60 = 0.34, A 61 = 0.35, q 60 = 0.014, oblicz techniczną stopę procentową i Mając dane A 60 = 0.589, A 61 = , A 60:1 1 = , oblicz q Mając dane A x A x+1 = 0.015, i = 0.06, q x = 0.05, oblicz A x + A x Mając dane A x:n = u, A1 x:n = y, A x+n = z, oblicz A x Dla funkcji śmiertelności Gompertza mamy: µ x = BC x, B > 0, C 1. Pokaż, że gdy i = C 1, to: Ā1 x:n = µ x ( e x n p x e x+n ) Obliczyć JSN renty dla 30-latka przewidującej wypłatę 1000, 3000 i 6000, jeśli żyje on pod koniec odpowiednio pierwszego, drugiego i trzeciego roku. Dane: i = 4%, l 30 = 96621, l 31 = 96443, l 32 = 96255, l 33 = Wskazówka: potraktuj rentę jako portfel ubezpieczeń Rozważamy dwie populacje z wykładniczym rozkładem trwania życia oraz bezterminowe ubezpieczenie na życie wypłacające 1000 zł w momencie śmierci. Dla populacji A jednorazowa składka netto za takie ubezpieczenie wynosi 429 zł. Podaj składkę dla populacji B z dwukrotnie wyższą intensywnością śmiertelności oraz o połowę niższą intensywnością oprocentowania [EdA ] W celu zabezpieczenia 10-letniego kredytu zawarto 10-letnie ubezpieczenie na życie. Wyznaczyć JSN, jeśli: 1) świadczenie płatne jest w chwili śmierci, 2) suma ubezpieczenia maleje jednostajnie wraz z upływem czasu od 1000 do zera, 3) natężenie oprocentowania δ = 0.04, 4) natężenie zgonów opisuje funkcja µ x+t = 1 50.

3 3.48. Oblicz składkę jednorazową netto ubezpieczenia wystawionego na życie 22-latka, które wypłaca: 0, gdy śmierć nastąpi przed upływem 5 lat, 1 na koniec roku śmierci, gdy ta nastąpi po upływie 5 lat, ale przed upływem 10 lat, 2, jeśli ubezpieczony przeżyje 10 lat, mając dane: A1 22:10 = 0.41, A1 22:5 = 0.24, 10 p 22 = 0.8, v 10 = [EdA ] Wyznaczyć JSN w bezterminowym ubezpieczeniu na życie 25-latka z sumą ubezpieczenia , płatną na koniec roku, w którym nastąpiła śmierć, jeśli wiadomo, że: v = 0.9, q 24 = , q 25 = , (IA) 24 = , (IA) 25 = [EdA ] Zakład ubezpieczeń traktuje klientów indywidualnie, zmieniając tablice życia według formuły: P ( ) (K(x) = k) = P (K(x) = k) + dla 0 k 19. Jeśli wiadomo, że dla = mamy A (0.004) x:20 = A x: , oblicz A (0.006) x:20 (czyli dla = 0.006) Dla (x) wystawiono polisę płacącą za 20 lat, jeśli (x) dożyje, lub zwracającą składkę Π na koniec roku śmierci (x), jeśli ta nastąpi wcześniej. Wyprowadź wzór na Π Osoba w wieku 25 lat wykupiła ubezpieczenie na całe życie płacące na koniec roku śmierci zł w przypadku, gdy ta nastąpi przed osiągnięciem wieku 65 lat, lub w przeciwnym wypadku zwrot składki w chwili osiągnięcia 65 lat i zł płatne na koniec roku śmierci. Mając dane A 25 = 0.1, A 65 = 0.2, 40 p 25 = 0.8, v 40 = 0.2 oblicz jednorazową składkę netto Wyprowadź wzory na Ā1 x:n, Ā x:n 1, Ā x, Ā x:n dla populacji podlegającej prawu de Moivre a Produkt sprzedawany jest z 5-letnią gwarancją zwrotu (100 20x)% ceny produktu, jeśli ulegnie uszkodzeniu w czasie x lat. Z doświadczenia wiadomo, że produkt psuje się z prawdopodobieństwem 0.2 w pierwszym i piątym roku, oraz z prawdopodobieństwem 0.1 w drugim, trzecim i czwartym roku. Zakładamy jednostajny rozkład uszkodzeń w ciągu roku. Oblicz jaką część ceny produktu stanowi cena gwarancji, która jest obliczana według reguł JSN. Przyjmij i = 4% Wyznacz ā x dla populacji o stałym natężeniu śmiertelności µ oraz stałej intensywności oprocentowania δ Mając dane: l x = 100 x dla 0 x 100 oraz δ = 0.05, oblicz ā 40: Oblicz jednorazową składkę netto renty życiowej płatnej z góry dla osoby w wieku 40 lat wiedząc, że p x = 0.96 dla każdego x oraz i = Zakładając prawo de Moivre a z ω = 4, oblicz JSN następującego ubezpieczenia życiowo-rentowego: jeśli ubezpieczony 0-latek umrze przed upływem 2 lat, to wypłata 10 jednostek płatna jest na koniec roku śmierci, po upływie 2 lat jest wypłacana renta w wysokości 1 na początku każdego roku życia. Przeprowadź obliczenia dla δ = Oblicz wartość renty życiowej dla osoby w wieku 50 lat wybranej z populacji de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 100, wypłacającej strumień t w chwili t, jeśli i = Udowodnij wzór: ä x = 1 + vp x ä x Udowodnij i zinterpretuj wzór: vä x = a x + A x Udowodnij następujące związki: a x:n = ä x:n 1 + A x:n 1, a x:n = vä x:n A1 x:n, ä x:n = 1 + a x:n 1, ä x:n 1 = vä x:n A x:n Oblicz p 73, jeśli dane są następujące wartości dla i = 0.03: x ä x

4 3.64. Oblicz ä x dla x = 21, 22, 23, jako funkcje parametru v, mając dany wycinek tablic trwania życia (studentów analityki gospodarczej): x l x Wiedząc, że okresowe ubezpieczenie na życie i dożycie ma jednorazową składkę netto Āx:n = 0.35, a stopa procentowa i = exp(0.05) 1, oblicz obecną wartość n-letniej renty życiowej ciągłej dla osoby w wieku x lat Ile wyniesie jednorazowa składka netto dla ciągłego ubezpieczenia na życie i dożycie zawartego na 15 lat dla osoby w wieku 40 lat, jeżeli jednorazowa składka netto dla ubezpieczenia na całe życie płatnego w momencie śmierci dla tej osoby wynosi 0.32, a obecna wartość renty życiowej ciągłej odroczonej o 15 lat dla tej osoby wynosi 12, przy założeniu, że δ = Mając dane a x a x+1 = 0.2, i = 0.1, q x = 0.1, oblicz a x + a x Mając dane a 60 = 26, a 61 = 32, q 60 = 0.2, oblicz 22 A 60 oraz A 60: Wykaż wzór: a x:1 = (Iä) x ä x:1 (Iä) x+1 + ä x Wiedząc, że l x = 10 6 (100 x), 0 x 100 oraz i = 0, oblicz (Iā) Pokaż (zakładając HJP), że: ā x:n x ā x:n n = (µ x + δ)ā x:n Mając dane: q x = 0.5, q x+1 = 0, 5, q x+2 = 1, ä x i = ( 3.5) 2 E x, oblicz i latkowi wystawiono polisę na rentę dożywotnią, odroczoną o 20 lat, płatną w wysokości z góry. Wyznacz JSN tej polisy, jeśli wiadomo, że A 40 = 0.112, s 40:20 = 77.7, 20 p 40 = 0.78, i = Niech Y będzie OWA renty dożywotniej dla 70-latka, dającej mu wypłatę na początku każdego roku. Oblicz składkę W = E(Y ) + SD(Y ) dla tej polisy, jeśli dane są: A 70 = , 2 A 70 = , v = Oblicz Āx jeśli wiadomo, że ā x = 10, Var(ā Tx ) = 50 oraz 2 ā x := ā 2 = Uwaga 2 ā x E(ā 2 T x ) Osoba w wieku x płaci składkę 750 zł za polisę n-letnią płacącą 1000 zł w wypadku przeżycia n lat i 1750 zł na koniec roku śmierci w okresie n lat. Alternatywnie może zapłacić 800 zł za polisę n-letnią płacącą 2000 za przeżycie n lat i 1800 zł na koniec roku śmierci w okresie n lat. Oblicz jednorazową składkę netto dla n-letniej polisy na życie i dożycie płacącej 1700 zł [EdA ] W pewnej populacji śmiertelnością rządzi prawo Weibulla z intensywnością wymierania µ x = x 400, a intensywność oprocentowania δ = Wyznacz ā 20 (korzystając z tablic rozkładu normalnego).

5 Odpowiedzi p 19 = 8 9, 15 13q 36 = 1 8, e 0 = , µ 36 = µ 45 = E[T 60 ] = p x p 45 = p 75 = e E[T (41)] = l 30 = 9940, l 60 = HU = , HCFM = , HB = HU = , HCFM = , HB = e x = A 40: JSN JSN JSN v = Āx:n = A x + A x+1 = Π = ā 40: ä 40 = JSN JSN p ā x:n = Ā40:15 = a x + a x+1 = A 60 = (Iā) 95 = i = ä 40 = W = Āx = A x:n = ā