Tablice trwania życia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Tablice trwania życia"

Transkrypt

1 ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy oznaczać przez T x Wartości T x są nieujemne, ale nie muszą być całkowite! Oczywiście T x dla danej osoby x żyjącej nie jest znane Zakładamy zatem, że T x jest zmienną losową i że dany jest jej rozkład dystrybuanta F x t = PT x t, t Inaczej, F x t jest prawdopodobieństwem, że x-latek umrze przed upływem czasu t, tzn przed chwilą x + t Będziemy zawsze zakładać, że F x ma gęstość f x, tzn że dla dowolnych a b Pa T x b = lub równoważnie b F xt = f x t dla prawie wszystkich t Przez s x oznaczymy funkcję przeżycia s x t = PT x > t = Będziemy używać następujących oznaczeń: a x f x tdt, f x tdt prawdopodobieństwo, że x umrze przed upływem czasu t tq x = F x t; prawdopodobieństwo, że x przeżyje jeszcze t lat tp x = 1 F x t = s x t; Oczywiście t q x + t q x = 1 prawdopodobieństwo, że x przeżyje jeszcze s lat, a następnie umrze w ciągu czasu t s tq x = Ps < T x s + t = F x s + t F x s = s+t q x s q x = s p x s+t p x ; 15

2 16 3 TABLICE TRWANIA życia prawdopodobieństwo, że x przeżyje kolejne t lat, pod warunkiem, że przeżyje najpierw co najmniej s lat oraz tp [x]+s = PT x > s + t T x > s = = 1 F xs + t 1 F x s przeciwne prawdopodobieństwo warunkowe = s+t p x sp x, tq [x]+s = PT x s + t T x > s = = F xs + t F x s 1 F x s = s t q x sp x Uwaga Jeżeli jakiś indeks jest równy 1, to można go pominąć, np 1p x = p x, t 1q x = t q x Przykład 8 Niech x = 5, t = 5 oraz s = 1 Wtedy: q x = q 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze w ciągu kolejnego roku; p x = p 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5-letnia przeżyje kolejny rok; t q x = 5 q 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze przed osiągnięciem 55 lat; t p x = 5 p 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia dożyje wieku 55 lat; s t q x = 1 5 q 5 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze pomiędzy 6 a 65 rokiem życia; t q [x]+s = 5 q [5]+1 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia umrze przed osiągnięciem 65 lat, pod warunkiem, że dożyła ona 6 lat t p [x]+s = 5 p [5]+1 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 5 letnia dożyje wieku 65 lat, pod warunkiem, że dożyła ona 6 roku życia; Uwaga t p x+s = 5 p 6 oznacza prawdopodobieństwo, że osoba 6 letnia dożyje 65 roku życia Jest to inne prawdopodobieństwo niż t p [x]+s = 5 p [5]+1, chociaż na pierwszy rzut oka mówią one o tym samym: w obydwu przypadkach chodzi o przeżycie od 6 do 65 roku życia Ale dotyczą one różnych populacji: 5 p 6 dotyczy 6-latków, a 5 p [5]+1 dotyczy 5-latków Zachodzą następujące równości s+tp x = s p x t p [x]+s s tq x = s p x t q [x]+s,

3 1 PRZYSZ Y CZAS życia 17 a więc k 1 kp x = p x i=1 p [x]+i Wartością oczekiwaną przyszłego czasu życia T x nazywamy e x = ET x = tf x tdt Zakładamy, że e x < dla każdego x Zauważmy, że a więc całkując przez części Ostatecznie f x t = d tp x, dt e x = [ t t p x ] e x = + tp x dt tp x dt Podobnie ETx 2 = t 2 f x tdt = 2 t t p x dt, a więc wariancję przyszłego czasu trwania życia można obliczyć ze wzoru Var T x = ET 2 x ET x 2 = 2 t t p x dt e x 2 Natężeniem śmiertelności x-latka w chwili t liczonego od chwili obecnej tzn w chwili x + t nazywamy wielkość µ [x]+t = f xt 1 F x t Rozważmy prawdopodobieństwo warunkowe śmierci x w krótkim przedziale czasu [t, t + h] pod warunkiem, że x przeżyje do czasu t hq [x]+t = PT x t + h T x > t = F xt + h F x t 1 F x t Na mocy twierdzenia o wartości średniej mamy dla pewnego θ [, 1], a więc F x t + h F x t = hf x t + θh, hq [x]+t h = f xt + θh 1 F x t Jeżeli gęstość jest ciągła w p-cie t, to dostajemy hq [x]+t lim = µ [x]+t h + h Zatem prawdopodobieństwo śmierci x-latka w krótkim przedziale czasu [t, t + h] jest proporcjonalne do długości tego przedziału ze współczynnikiem proporcjonalności µ [x]+t

4 18 3 TABLICE TRWANIA życia a więc oraz Dalej zauważmy, że µ [x]+t = 1 d t p x tp x dt = dlog tp x dt t 1 F x t = exp µ [x]+s ds t F x t = s p x µ [x]+s ds Inaczej mówiąc natężenie śmiertelności wyznacza rozkład przyszłego czasu życia Obciętym czasem życia nazywamy zmienną losową K x = T x, gdzie a oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej a, czyli największą liczbę całkowitą niewiększą niż a Inaczej a = k wtedy, i tylko wtedy, gdy k a < k + 1 Zatem K x oznacza liczbę ukończonych przyszłych lat życia x-latka Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej K x dana jest wzorem PK x = k = Pk T x < k + 1 = k 1 q x = k p x q [x]+k Zatem oczekiwany obcięty przyszły czas życia jest dany wzorem K x e x = kpk x = k = k k p x q [x]+k k=1 k=1 jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych, a więc jej wartość oczekiwaną można również obliczyć ze wzoru Wariancja K x wyraża się wzorem e x = PK k = kp x k=1 k=1 Var K x = EK 2 x EK x 2 lub Var K x = 2 k k p t e x 2 k= Rozważmy pewną populację grupę ludzi urodzonych w tym samym roku złożoną z l osób Zwykle l = 1 Typowa tablica trwania życia jest to zbiór par postaci x,, dla x =, 1,, 1, gdzie oznacza oczekiwaną liczbę osób z populacji, które żyją w chwili x Zauważmy, że dla całkowitych k l k l = PT k = PK k = k p,

5 2 HIPOTEZY AGREGACYJNE 19 a więc z tablic trwania życia można wyznaczyć bezpośrednio rozkład zmiennej losowej K, czyli rozkład obciętego przyszłego czasu trwania życia noworodka Rozważymy teraz problem jak przy znanych wartościach k p, k =, 1, 2, wyznaczyć t p x dla dowolnych wartości x i t W tym celu o badanej populacji musimy dokonać pewnych założeń zwanych hipotezami Zajmiemy się najpierw problemem wyznaczenia rozkładu K x gdy znany jest rozkład K lub ogólniej wyznaczenia rozkładu T x gdy znany jest rozkład T Problem ten sprowadza się do problemu wyznaczenia prawdopodobieństw t p x dla dowolnych x, gdy znane są t p Problemu tego dotyczą hipotezy agregacyjne: hipoteza jednorodnej populacji HJP hipoteza agregacyjna HA Następnie zajmiemy się problemem wyznaczenia wartości t p x, dla dowolnego t, gdy znane są tylko k p x dla k =, 1, 2 Problemu tego dotyczą hipotezy interpolacyjne: hipoteza jednostajności HU; hipoteza wykładnicza HCFM; hipoteza Balducciego HB Hipoteza jednorodnej populacji 2 Hipotezy agregacyjne Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób w chwili urodzin otrzymała losowy czas życia T o ustalonym, ale jednakowym rozkładzie opisanym funkcja przeżycia Jeżeli spełniony jest warunek st = PT > t PT x > t = PT > x + t T > x dla wszystkich x, t, to mówimy, że populacja ta spełnia hipotezę jednorodnej populacji HJP Warunek ten oznacza, że przyszły czas życia T x osoby, która dożyła wieku x jest taki sam jak rozkład T x przy warunku T > x Zauważmy jeszcze, że PT > x + t T > x = PT > x + t PT > x a więc HJP jest równoważna warunkowi tp x = x+t p xp = x+t p xp, dla wszystkich x, t Inaczej mówiąc, przy założeniu HJP, rozkład T x dla x, wyraża się przez rozkład T

6 2 3 TABLICE TRWANIA życia Niech µ t = s t, t, st będzie natężeniem zgonów związanym ze zmienną T Wiemy już, że t st = exp µ u du Twierdzenie 1 Hipoteza HJP jest równoważna następującym warunkom: tp [x]+u = t p x+u * lub µ [x]+t = µ x+t ** Dowód Jeśli zachodzi HJP, to W drugą stronę a więc jeśli t p [x]+u = t p x+u, to tp x+u = x+u+t p = x+u+tp / x p x+up x+up / x p tp [x]+u = t+u p x up x, = t+up x up x = t p [x]+u tp x+u = t+u p x up x Kładąc x = otrzymujemy HJP Zatem warunek jest równoważny HJP Dalej mamy a więc jeżeli zachodzi HJP, to µ [x]+t = x p d x+tp dt Z drugiej strony, jeżeli µ [x]+t = µ x+t, to tp x = exp µ [x]+t = 1 d t p x tp x dt x+tp = 1 d x+tp xp x+tp dt = exp = exp t t x+t Zatem jest również równoważny HJP x µ [x]+u du µ x+u du µ u du = x+t p xp = µ []+x+t = µ x+t oraz Wniosek 1 Jeżeli zachodzi HJP, to tp x = exp x+t x µ u du e x = 1 sydy sx x

7 2 HIPOTEZY AGREGACYJNE 21 Dowód Pierwszą równość wykazaliśmy w dowodzie Tw 1 Druga równość wynika z następujących przekształceń e x = tp x dt = Przykłady rozkładów zmiennej T sx + t dt = 1 sx + tdt sx sx Rozkład de Moivre a 1729, który postulował istnienie maksymalnego wieku jednostki ω = 1 lat Rozkład T miał być jednostajny na przedziale [, ω], a więc oraz st = 1 t, t ω, ω µ t = 1, t ω ω t Przy dodatkowym założeniu HJP rozkład T x jest rozkładem jednostajnym na [, ω x], a więc tp x = 1 t ω x Rozkład Gompertza 1824, który postulował, że natężenie zgonów jest wykładnicze postaci gdzie B > i c > 1 µ t = Bc t, t >, Rozkład Makehama 186, który zaproponował, że gdzie B > i c > 1 oraz A B µ t = A + Bc t, t >, Rozkład Weibulla 1939, który zakładał, że gdzie k >, n > Hipoteza agregacji µ t = kt n, t, Przypomnijmy, że jeżeli T x oznacza przyszły czas trwania życia x-latka, to K x = T x oznacza liczbę pełnych lat, które przeżyje jeszcze x-latek Zatem oczywiście dla k N PK x k = PT x k Powiemy, że dla danej populacji spełniona jest hipoteza agragacji HA, jeżeli dla dowolnych x, k N zachodzi zależność PK x k = PK x + k K x HA

8 22 3 TABLICE TRWANIA życia Korzystając z powyższej równości łatwo pokazać, że jeżeli dana populacja spełnia HJP, to spełnia również HA, chociaż na odwrót tak być nie musi Rownoważnie zamiast zależności HA można zakładać warunek PK x = k = PK = x + k K x HA Twierdzenie 2 Hipoteza HA jest równoważna każdemu z następujących warunków: a k p []+x = k p x ; b k q []+x = k q x ; c p [x]+k = p x+k ; d p [x]+k = p x+k Dowód Oczywiście HA a i HA b Ponadto a b i c d Wystarczy zatem udowodnić, że a c HA Załóżmy zatem, że zachodzi a Wtedy p [x]+k = k+1 p x kp x a więc a c = k+1p []+x = PK x + k + 1 K x kp []+x PK x + k K x = PK x + k + 1 PK x + k Jeżeli zachodzi c, to Zatem c HA k 1 PK x k = k p x = p x = p = PK x + k + 1 K x + k = p x+k, i=1 x+k 1 i=1 p []+i p x 1 i=1 p []+i k 1 p [x]+i = p []+x = PK x + k K x Przypomnijmy teraz, że dla dowolnych s, t, x mamy s+tp x = s p x t p [x]+s Wniosek 2 Jeżeli zachodzi HA, to dla k, n, x N k+np x = k p x np x+k = n p x kp x+n p []+x+i i=1 oraz kp x = p x p x+1 p x+k 1 Mamy PK x = k = k p x q [x]+k, a więc jeśli dana jest tablica liczb p x, x = 1, 2,, to przy założeniu HA możemy wyznaczyć rozkład K x dla każdego x = 1, 2, bo q [x]+k = q x+k = 1 p x+k

9 równe 3 HIPOTEZY INTERPOLACYJNE 23 Przykład 9 Prawdopodobieństwo, że obcięty czas życia 5-latka wynosi 6 jest PK 5 = 1 = 1 p 5 1 p 6 = p 5 p 51 p 59 1 p 6 Twierdzenie 3 Przy założeniu HA dla każdego x =, 1, 2, zachodzi wzór e x = 1 xp k=x+1 kp Dowód Mamy e x = kp x = = k=1 1 PK x PK x k k=1 k=1 PK x + k = 1 xp k=1 x+kp = 1 xp k=x+1 kp Hipotezy HJP i HA nie zawsze muszą być spełnione Jeśli bowiem zachodzi np HA, to na mocy powyższego twierdzenia mamy na przykład p [5]+1 = p 51, a więc PT 5 > 2 T 5 > 1 = PT 51 > 1 Na pierwszy rzut oka wydaje się, że równość taka powinna zachodzić w każdej populacji, gdyż w obydwu przypadkach chodzi o przeżycie od 51 do 52 roku życia Ale pierwsze z tych prawdopodobieństwo dotyczy populacji 5-latków, a drugie populacji 51-latków Mogło się tak zdarzyć, że strsze pokolenie 51-latków przeżyło w pierwszym roku życia jakiś kataklizm, który ominął 5-latków, ale zdarzenie to może mieć wpływ na rozkład przyszłego czasu życia 3 Hipotezy interpolacyjne Załóżmy, że dany jest rozkład zmiennej losowej K x dla każdego x =, 1, 2,, a w szczególności dane są prawdopodobieństwa n p x dla n, x =, 1, 2, Hipotezy interpolacyjne umożliwiają wyznaczenie wartości funkcji t p x dla t [n, n + 1, n =, 1, 2, Oznaczmy przez S x ułamkowy czas życia, tzn S x = T x K x Zauważmy, że jeśli n =, 1, 2, oraz u [, 1, to PT x n + u = PK x + S x n + u = PS x u K x = npk x = n a więc n+up x = PS x u K x = n n p x n+1 p x

10 24 3 TABLICE TRWANIA życia Zatem przyjęcie pewnej hipotezy interpolacyjnej jest równoważne określeniu warunkowego rozkładu S x przy warunku K x = n Definicja 1 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę jednostajności HU, jeżeli funkcja t p x zmiennej t jest ciągła i liniowa na przedziałach [n, n + 1 Zatem n+up x = 1 u n p x + u n+1 p x, u < 1, n =, 1, 2, Zauważmy, że interpolacja jest dokonywana zawsze między kolejnymi latami Zatem znajomość 3 p 3 i 5 p 3 nie wystarczy do wyznaczenia 45 p 3 Ale prawdopodobieństwo to można wyznaczyć znając 4 p 3 i 5 p 3, ze wzoru 45 p 3 = 5 4 p p 3 Podstawiając w powyższej definicji n = dostajemy up x = 1 u + u p x a więc przy założeniu HU dla u, 1 mamy up x = 1 uq x, uq x = uq x Twierdzenie 4 Niech będzie dany rozkład K x Wtedy HU jest równoważna warunkowi PS x u K x = n = u, dla u < 1 i n =, 1, 2, Dowód Jeżeli zachodzi HU, to PK x = n, S x u = Pn T x n + u = n p x n+u p x = n p x 1 u n p x u n+1 p x = u n p x n+1 p x = upk x = n Zatem co należało pokazać PS x u K x = n = PK x = n, S x u PK x = n = u, Powyższe twierdzenie mówi, że przy założeniu HU zmienne losowe K x i S x są niezależne i S x ma rozkład jednostajny na przedziale [, 1] stąd nazwa hipotezy W szczególności e x = e x oraz Var T x = Var K x

11 3 HIPOTEZY INTERPOLACYJNE 25 Definicja 2 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę przedziałami stałego natężenia zgonów HCFM, jeżeli µ [x]+t jest funkcją stałą zmiennej t w przedziałach n, n + 1, n =, 1, 2,, tzn Przy założeniu HCFM mamy µ [x]+n+u = µ [x]+n, u < 1 µ [x]+n+u = µ [x]+n = log p [x]+n, u < 1, n =, 1, 2, Istotnie, korzystając ze wzoru mamy Stąd co daje szukaną równość t tp x = exp µ [x]+s ds np x = exp p [x]+n = n+1 p x np x n 1 µ [x]+k k= = exp µ [x]+n, Twierdzenie 5 Niech będzie dany rozkład K x Wtedy HCFM jest równoważna każdemu z następujących warunków: a n+u p x = n p x p[x]+n u; b PS x u K x = n = 1 p [x]+n u q [x]+n Dowód Mamy n+up x = exp n = exp np x exp Zatem jeżeli zachodzi HCFM, to n n+u n µ [x]+t dt n+u n µ [x]+t dt exp µ [x]+t dt µ [x]+t dt n+u µ [x]+t dt n n+up x = n p x exp u log p [x]+n = n p x p[x]+n u Korzystając teraz z a otrzymujemy PS x u K x = n = n p x n+u p x np x n+1 p x u = n p x n p x p[x]+n np x n+1 p x Dzieląc licznik i mianownik przez n p x dostajemy warunek b Jeśli zachodzi b, to zachodzi HCFM

12 26 3 TABLICE TRWANIA życia W szczególności przy założeniu HCFM zmienne losowe K x i S x nie są niezależne Zauważmy jeszcze, że z warunku a z n = dostajemy dla u < 1 up x = p x u, uq x = 1 p x u Definicja 3 Powiemy, że rozkład T x spełnia hipotezę Balducciego, jeżeli 1 uq [x]+n+u = 1 uq [x]+n, u < 1, n =, 1, 2, Zatem HB mówi, że prawdopodobieństwo tego, że x-latek umrze przed końcem n- trgo roku pod warunkiem, że przeżyje do chwili n + u jest proporcjonalne do pozostałej części roku, tj 1 u Twierdzenie 6 Jeżeli dany jest rozkład K x, to HB jest równoważna warukowi p [x]+n n+up x = n p x u + 1 up [x]+n Dowód Mamy n+1p x = n+u p x 1 u p [x]+n+u, co implikuje równoważność HB i wzoru z tezy twierdzenia Można pokazać, że również w przypadku HB zmienne losowe S x i K x nie są niezależne W szczególności kładąc n = otrzymujemy, że przy założeniu HB p x uq x up x =, uq x = u + 1 up x u + 1 up x Przykład 1 Zakładając, że zachodzi HJP oraz mając dane p 7 = oraz p 71 = 9812, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że osoba 7-letnia przeżyje jeszcze 1 rok i 3 miesiące przy założeniu HU, HCFM i HB Rozwiązanie Mamy PT 7 > 125 = 125 p 7 = p 7 25 p 71 Przy założeniu HU mamy u p x = 1 uq x, a więc Zatem PT 7 > 125 = p 71 = 1 25 q 71 = p 71 = Przy założeniu HCFM mamy u p x = p x u, a więc oraz PT 7 > 125 = Przy założeniu HB mamy 25p 71 = p =, up x = p x u + 1 up x,

13 a więc 4 KONSTRUKCJA TABLIC TRWANIA życia 27 25p 71 = oraz PT 7 > 125 = p p 71 =, 99519, 4 Konstrukcja tablic trwania życia Niech K x = T x oznacza obcięty przyszły czas trwania życia Tablicą trwania życia dla zmiennej K x nazywamy zbiór par liczb k, l k, k =, 1, 2,, gdzie l k = l PK x k, k =, 1, 2,, oraz l oznacza początkową liczebność populacji x-latków Zatem z TTŻ dla K x można odczytać prawdopodobieństwa kp x = PK x k = l k l, x, k =, 1, 2, Oczywiście w powyższej równości l i l k zależą od x W praktyce podaje się tylko TTŻ dla K, a tablice dla pozostałych wartości x wyznacza się korzystając z hipotezy agregacji PK x k = PK x + k K x Twierdzenie 7 Załóżmy, że zachodzi hipoteza agregacji HA Niech k, l k, k =, 1, 2,, będzie TTŻ dla zmiennej K Wtedy k, +k, k =, 1, 2,, jest TTŻ dla zmiennej losowej K x, x =, 1, 2,, tzn o ile > Dowód Mamy na mocy HA kp x = +k, kp x = PK x + k PK x Ale a więc PK x + k = +k l, PK x = l, kp x = +k l l = +k

14 28 3 TABLICE TRWANIA życia W praktyce w TTŻ dla K oprócz liczb l k, k =, 1, 2,, ω 1, gdzie ω jest wiekeim granicznym w populacji, wypisuje się inne wielkości które można wyrazić za pomocą l k, np p k, q k, e k oraz d k = l k l k+1, czyli oczekiwaną liczbę osób z początkowej populacji, które umarły w wieku k lat Twierdzenie 8 Niech k, l k, k =, 1, 2,, będzie TTŻ dla zmiennej losowej K przy założeniu HA Wtedy q x = d x = +1 ; p x = +1 ; e x = = Dowód Wzór na p x wynika z poprzedniego twierdzenia z k = 1 Dalej Ponadto e x = 1 xp q x = 1 p x = 1 +1 = +1 k=x+1 kp = l k=x+1 = d x l k l = W Polsce tablice trwania życia publikuje corocznie Główny Urząd Statystyczny Z uwagi na znaczne różnice trwania życia mężczyzn i kobiet, podaje się TTŻ osobno dla każdej płci W tablicach tych ω = 1 oraz l = 1 i podane w nich są kolejno: x,, q x, d x, L x, T x oraz e x Wielkości, q x i d x oznaczają to samo co powyżej Wielkość L x zwana ludnością stacjonarną w wieku x obliczona jest ze wzoru Zauważmy, że L x = L x = p x + p x+1 l 2 a więc L x jest oczekiwaną liczbą członków populacji, którzy dożyli do chwili x + 5, przy założeniu HU Wielkość T x zwana skumulowaną ludnością stacjonarną w wieku x obliczona jest ze wzoru T x = y x L y = L x + L x+1 + L x+2 +

15 ru 4 KONSTRUKCJA TABLIC TRWANIA życia 29 Wielkość e x zwana przeciętnym dalszym trwaniem życia obliczona jest ze wzo- e x = T x Oznaczmy chwilowo przez ē x obcięty przyszły czas życia Wiemy, że a więc jak łatwo pokazać ē x = 1 k=x+1 l k, e x = ē x = e x Zatem przy założeniu HU welkość e x występująca w TTŻ GUS jest równa e x, czyli przyszłemu oczekiwanemu czasowi życia

16

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

1 Elementy teorii przeżywalności

1 Elementy teorii przeżywalności 1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

1 Elementy teorii przeżywalności

1 Elementy teorii przeżywalności 1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

3 Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie 3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia na życie

Ubezpieczenia na życie ROZDZIAŁ 4 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub w ratach), a w zamian za to ubezpieczyciel

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii przeżywalności

Elementy teorii przeżywalności Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.

Bardziej szczegółowo

Składki i rezerwy netto

Składki i rezerwy netto ROZDZIAŁ 6 Składki i rezerwy netto 1 Składki netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową Polisa taka zawiera szczegółowe warunki

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski

Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii przeżywalności

Elementy teorii przeżywalności Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Przyjmijmy, że funkcja przeżycia s(x) = ax + b dla 0 x ω. Znaleźć medianę zmiennej X, jeśli wiadomo, że wartość oczekiwana E(X) = 60. Zadanie 1.2 Mając funkcje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka Biomatematyka 80...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji kojarzącej się w sposób losowy, w loci o dwóch allelach A i a 36% osobników tej populacji ma genotyp aa. (a) Jaka cześć

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka Biomatematyka Niech a będzie recesywnym płciowo skojarzonym genem i załóżmy, że proces selekcji uniemożliwia kojarzenie się osobników płci męskiej o genotypie aa. Przyjmijmy, że genotypy AA, Aa i aa występują

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie

Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie Rafał Kucharski rafal.kucharski@ue.katowice.pl Literatura [1] B. Błaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war

Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r. 1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza

Bardziej szczegółowo

REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH

REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)

Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2) Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r. . W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja

Bardziej szczegółowo

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA

UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady

Zmienne losowe i ich rozkłady Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka Biomatematyka Badamy wpływ dwóch czynników mutagennych na DNA. W tym celu podczas każdej replikacji nić DNA poddawana jest na przemian działaniu pierwszego i drugiego czynnika wywołującego mutacje. Wiemy,

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów

Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka Biomatematyka Załóżmy, że częstości genotypów AA, Aa i aa w całej populacji wynoszą p 2, 2pq i q 2. Wiadomo, że czynnik selekcyjny sprawia, że osobniki o genotypie aa nie rozmnażają się. 1. Wyznacz częstości

Bardziej szczegółowo

UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA. Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski

UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA. Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski Wprowadzenie X = (X 1,..., X n ) próba z rozkładu wykładniczego Ex(θ). f (x; θ) = 1 θ e x/θ, x > 0, θ >

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach. Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo