Indukcyjność żłobka maszyny prądu stałego Analiza rozproszenia żłobkowego - model analityczny i numeryczny uzwojenia w maszynie

Transkrypt

1 zstaw 5) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 6) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,6 m, h = m, I = 9 A zstaw 7) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,7 m, h = m, I = 9 A zstaw 8) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,8 m, h = m, I = 9 A zstaw 9) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,9 m, h = m, I = 9 A zstaw 0) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g =,0 m, h = m, I = 9 A zstaw ) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h = 0,6 m, I = 9 A zstaw ) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h = 0,7 m, I = 9 A zstaw 3) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h = 0,8 m, I = 9 A zstaw 4) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h = 0,9 m, I = 9 A zstaw 5) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 6) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h =, m, I = 9 A zstaw 7) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h =, m, I = 9 A zstaw 8) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h =,3 m, I = 9 A Indukjność żłobka maszn prądu stałgo Analiza rozprosznia żłobkowgo - modl analitzn i numrzn uzwojnia w maszni I Mtoda analitzna Na Rs. przdstawiono przkrój poprzzn żłobka maszn prądu stałgo, wpłniongo zęśiowo uzwojnim. Wznazm indukjność rozprosznia takigo żłobka. Zadani rozwiążm mtodą rozdzilnia zminnh, a następni przdstawim rozwiązani mtodą lmntów skońzonh prz ałkowm sformułowaniu problmu. Dla uproszznia analiz przjmujm następują założnia:. Żłobk jst dostatzni długi ab zagadnini traktować jako dwuwmiarow.. Prznikalność magntzna frromagntka otazajągo żłobk jst niskońzni wilka. 3. Indukja w szzlini międz główkami zębów jst wilkośią stałą. 4. Gęstość prądu jst stała w przkroju poprzznm uzwojnia. g III II I µ 0 µ 0 J µ= -a 0 a x Rs. Przkrój poprzzn żłobka maszn prądu stałgo I powitrz, II uzwojni, III - powitrz b h zstaw 9) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,5 m, h =,4 m, I = 9 A Prz powższh założniah wgodni jst prowadzić analizę rozkładu pola magntzngo wkorzstują wktorow potnjał pola magntzngo A (B = rot A). Ma on bowim w tm układzi tlko jdną składową prostopadłą do płaszzzn

2 przkroju poprzzngo żłobka. Pol magntzn w obszarah bzprądowh I i III opiswan jst równanim Lapla a, a w obszarz uzwojnia II równanim Poissona (por. Rs.): gdzi: A I = 0, A II = µ 0 J A III = 0, () I J = - gęstość prądu. ag A A A = + x Z założnia drugigo wnika zrowani się składowj stznj natężnia pola magntzngo na powirzhni frromagntka. Składow wktora indukji magntznj wznaza się z wzorów: () A A Bx =, B =. (3) x Otrzmujm zatm następują warunki brzgow dla potnjału wktorowgo A: A = 0 x dla x = a A = 0 dla = b, < x < a (4) A = 0 Z założnia trzigo i z prawa przpłwu wnika : A µ = 0 I = b dla = 0. dla x <. Rozwiązują równania dla potnjału wktorowgo mtodą rozdzilnia zminnh, rozwiązania w poszzgólnh obszarah przwidujm w postai: nπ nπ nπx AI = Anh + Bnsh os A0 B0 a a + + a nπ nπ nπx AII = Cnh + Dnsh os C0 D0 µ 0J a a + + a (5) nπ nπ nπx AIII = Enh + Fn sh os E0 F0 a a + + a. Na grani obszarów powinin bć spłnion warunk iągłośi potnjału wktorowgo oraz składowj stznj wktora natężnia pola magntzngo. Dan do zadań (oznaznia jak na Rs., str. ) zstaw ) a = m, b = 3,5 m, = 0, m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw ) a = m, b = 3,5 m, = 0, m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 3) a = m, b = 3,5 m, = 0,3 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 4) a = m, b = 3,5 m, = 0,4 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 5) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 6) a = m, b = 3,5 m, = 0,6 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 7) a = m, b = 3,5 m, = 0,7 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 8) a = m, b = 3,5 m, = 0,8 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 9) a = m, b = 3,5 m, = 0,9 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw 0) a = m, b = 3,5 m, =,0 m, g =,5 m, h = m, I = 9 A zstaw ) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0, m, h = m, I = 9 A zstaw ) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0, m, h = m, I = 9 A zstaw 3) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,3 m, h = m, I = 9 A zstaw 4) a = m, b = 3,5 m, = 0,5 m, g = 0,4 m, h = m, I = 9 A

3 Możm tż uzskać inn wilkośi, np. przz ałkowani. Z mnu Postprossing wbiram Subdomain intgration ałkowani w wbranm obszarz. Możm w tn sposób oblizć nrgię zgromadzoną w polu magntznm żłobka (ałkują gęstość nrgii: Magnti nrg dnsit w obszarz żłobka: 3, 4, 5) Rs. 7, oraz indukjność rozproszniową z równania (3), na podstawi polizonj nrgii. Opisuj to układ równań: A I = A II, AI A = II, dla = h - g/ (6) A II = A III, AII A = III, dla = h + g/. (7) Wkorzstują warunki brzgow i warunki iągłośi do wznaznia niznanh stałh, otrzmuj się ostatzni następująą postać potnjału wktorowgo w poszzgólnh obszarah: A = + A I 0 (8) A II = µ 0J ( ) + A0 Rs. 7 Subdomain Intgration gdzi: A = µ gj ( h) + A, III 0 0 nπ 3 sin µ 0a Jg nπ nπx = a h os π nπb a a n sh a. (9) Wartość oblizonj ałki jst wświtlana na pasku u dołu kranu (Rs. 8) i jst poprzdzona komunikatm: Valu of intgral:. Rs. 8 Wświtlni wartośi ałki (ks) Enrgię zgromadzoną w polu magntznm żłobka wznaza się z wzoru: Korzstają z wzoru Grna: otrzmujm: A A W = B dv = + dv = grad AdV µ 0 µ 0 x µ 0 v V V. (0) A grad AdV + A AdV = A ds n V V S () W = Jl A dxd A dx gdzi l jst zastępzą długośią żłobka. a h+ g / ag II III = b, () 0 h g / 0 Indukjność rozproszniową żłobka oblizam z zalżnośi: 0 W L =. (3) I 3

4 Po podstawiniu i sałkowaniu otrzmujm: nπ sin 6( b h) g a a nπb L = µ 0l + th a 3 3. π n a (4) Powższ wzór można zapisać następująo: L 6( b h) g H = µ 0 + G ( β, γ) l a m (5) gdzi : 7 sin( nπ γ) G ( β, γ) = 4 0 th( nπ β) n nπγ (6) b β =, γ = a a Wartośi pomonizj funkji G (β,γ) dla wbranh paramtrów β i γ: prznikalność i gęstość prądu. Z mnu Phsis wbiram Subdomain Sttings i pozostawiam w większośi ni zminion wartośi paramtrów. Konizn jst jdni okrślni: ) gęstośi prądu w uzwojniu (J z obszar 4): oblizam ją na podstawi wartośi prądu i pola przkroju poprzzngo uzwojnia, ) przwodnośi uzwojnia (σ obszar 4): możm przjąć przwodność midzi σ = 60 MS/m, 3) prznikalnośi magntznj względnj frromagntka (µ r obszar ): możm przjąć wartość 4. 5 Tworzni siatki Msh Mod Utwórzm bardzo gęstą siatkę wbirają z mnu Msh opję Fr Msh paramtrs i ustalają wilkość Prdfind Msh Sizs na Extrml fin. Wgnrowani siatki nastąpi, gd wbirzm przisk Rmsh. β γ 0,5,0,0 3,0 4,0 6,0 0,0 0, 8, , , , , , , , 5, , , , , , , ,3 3, , , , , , , ,4, ,50 0-7, , ,49 0-7,49 0-7, ,5,85 0-7,7 0-7, , , , , ,6,00 0-7, 0-7,08 0-7,08 0-7,08 0-7,07 0-7, ,7 7, , , , , , , ,8 3, , , , , , , ,9, , , , , , , ,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6 Rozwiązani i przntaja wników Solv, Postprossing Mod Wbrani polnia Solv Problm z mnu Solv uruhamia obliznia. Po ih zakońzniu program przhodzi do trbu przntaji wników. Możm wbrać wilkość przntowaną na krani zminiają ustawinia w okni Plot paramtrs, w mnu Postprossing. Domślni przjętm sposobm przntaji jst wświtlani przjętj wartośi w ałm analizowanm obszarz (zakładka Surfa ). Domślni wartośią pokazwaną na krani jst indukja magntzna (Magnti flux dnsit). Możm sprawdzić jak wglądają jj składow (x, omponnt) i jaki wartośi przjmuj wktorow potnjał magntzn A, a dokładni jgo składowa A z (magnti potntial, z omponnt). Inn dostępn bzpośrdnio wilkośi to międz innmi: gęstość prądu (urrnt dnsit), gęstość nrgii pola magntzngo (magnti nrg dnsit), wdzilan ipło (rsistiv hating), natężni pola magntzngo (magnti fild). 4 9

5 Wbirają polni Draw, Spif Objts i Lin rsujm poziomą linię oddzilająą frromagntk od powitrza (współrzędn x pozątku i końa linii: , współrzędn wpisujm taki, ab linia znalazła się na Rs. 4 Lin wsokośi na którj końz się szzlina w frromagntku). 3 Okrślani warunków brzgowh Boundar Mod Możm sprawdzić ( Phsis, Boundar Sttings ), ż domślni przjęt warunki brzgow są ustawion prawidłowo. Nizgo w th ustawiniah ni zminiam. 4 Okrślani paramtrów matriałowh Subdomain Mod II Mtoda lmntów skońzonh Przdstawim traz sposób wznaznia rozkładu pola magntzngo wwnątrz żłobka mtodą lmntów skońzonh prz ałkowm sformułowaniu problmu. Zadani rozwiązania równań dla potnjału wktorowgo z odpowidnimi warunkami brzgowmi jst równoważn znalziniu takij funkji A(x,), która zapwnia minimum funkjonału F(A) o postai []: a b A A µ 0 I F( A) = + Aµ 0J dxd + A dx x a 0 (7) Minimalizaję funkjonału F(A) przprowadzim mtodą lmntów skońzonh. W tm lu obszar wwnętrzn żłobka dzilim na lmnt trójkątn tak, ab grani międz różnmi obszarami i brzgi żłobka pokrwał się z bokami znajdująh się w ih sąsidztwi trójkątów (w ogólnm przpadku lmnt ni muszą bć trójkątami). Tpow lmnt o węzłah i,j,k przdstawiono na Rs. k k A k i Ai i j Aj j x x x x i k j Rs. Elmnt skońzon o węzłah i,j,k Rs. 6 Subdomain Sttings Po utworzniu gomtrii zadania musim zdfiniować o oznazają poszzgóln obszar. Robim to okrślają paramtr matriałow taki jak przwodność, Zakłada się, ż A(x,) wwnątrz lmntu jst liniową funkją współrzędnh x i : A ( x, ) = a + a x + a (8) 3 W lu wznaznia współznników a, a, a 3, przjmuj się, ż wartośi funkji A(x,) w węzłah lmntu są dan i równ A i, A j, A k. Po przprowadzniu prosth oblizń otrzmujm następująą postać funkji A (x,): 5 { } A ( x, ) = Ni, N j, Nk Ai, Aj, Ak = N A gdzi : N ( ) = a + b m x + m, m = i, j, k (0) - pol lmntu; T (9)

6 ai = x j k xk j bi = j k () i = xk x j Pozostał współznniki otrzmuj się przz klizn przstawini i, j, k. W każdm lmni szukana funkja jst zatm przdstawiona w postai wilomianu liniowgo o znanj mairz [N] i niznanj mairz {A } wartośi funkji A w węzłah lmntu. Problm wznaznia rozkładu funkji A(x,) sprowadzon został do znalzinia mairz kolumnowj {A} zawirająj wartośi funkji A w wszstkih węzłah o wmiarah NP (NP ałkowita lizba węzłów utworzonh prz podzial rozważango obszaru na lmnt). Rozwiązani uzskuj się drogą minimalizaji funkjonału F względm A m, m =,, 3,... NP. Warunk konizn minimum ma postać: T F F F F =,,..., = 0 { A} A A ANP Poniważ ałkowit funkjonał jst sumą składników pohodząh od poszzgólnh lmntów, tj.: { } () F = F (3) Tpow równani powższgo układu przbira wię postać: ( ) F F 0 (4) F = = = A A A m m m gdzi sumowani nalż roziągnąć na wszstki lmnt. W tn sposób otrzmuj się rgułę budowania ałgo minimalizujągo układu równań []. Litratura. R. Sikora: Toria pola lktromagntzngo, WNT Warszawa 985 III Zadania. Dla podanh paramtrów żłobka i przwodu oblizć nrgię zgromadzoną w polu magntznm żłobka oraz indukjność rozproszniową żłobka wdług wprowadzonh analitzni zalżnośi (funkja w programi MATLAB).. Zamodlować układ w programi COMSOL Multiphsis i oblizć nrgię zgromadzoną w polu magntznm żłobka oraz indukjność rozproszniową. 3. Porównać i skomntować otrzman wniki. Dla wników uzskanh prz różnh danh wkrślić zalżność indukjnośi i nrgii od zminiango paramtru. IV Żłobk maszn prądu stałgo w programi COMSOL Multiphsis 3.5a Uruhomini programu i wbór modułu W okni Modl Navigator wbiram układ współrzędnh dla wbrango zagadninia (dwuwmiarow) i moduł wkorzstwan do oblizń. () Na zakład Nw powinin bć wbran układ D: Spa dimnsion: D, () w okinku wbiram z list koljno: AC/DC Modul \ Statis, Magnti \ Prpndiular Indution Currnts \ Total potntial W dolnj zęśi okna możm sprawdzić, ż tak jak w oblizniah analitznh, obliznia mtodą lmntów skońzonh będą wkonwan dla wktorowgo potnjału magntzngo A, któr ma w tm przpadku tlko jdną składową: Dpndnt variabls: Az. Tworzni gomtrii układu Draw Mod Z mnu programu wbiram polnia Draw, Spif Objts i Rtangl (Rs. 3). W lwj górnj zęśi okinka okrślam rozmiar ( Siz ) prostokąta. W polu Width wpisujm szrokość, a w polu Hight wsokość obiktu. Położni obiktu ( Position ) okrślam w lwj dolnj zęśi okna, za pomoą współrzędnh jgo środka (jśli w polu Bas wbirzm Cntr ), lub okrślają współrzędn lwgo dolngo rogu (jśli w polu Bas wbirzm Cornr ). W tn sposób tworzm koljno ztr prostokąt: ) środowisko otazają żłobk (szrokość: 0, m, wsokość: 0, m, środk w punki 0,0), Rs. 3 Okinko Rtangl ) żłobk o wmiarah a b (szrokość wsokość), umiszzon tak, żb jgo lw doln róg znajdował się w punki ( a, 0), 3) szzlinę międz główkami zębów, o wmiarah 0,5 m (umiszzam ją nad żłobkim, tak jak na Rs.), 4) uzwojni o wmiarah a g umiszzam j wwnątrz żłobka tak, ab środk znajdował się w punki (0, h). 6 7