Pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru.

Transkrypt

1 Dywergenja i rotaja pola magnetyznego Linie wektora B nie mają pozątku, ani końa. tąd wynika twierdzenie Gaussa dla wektora B : Φ = B d = B trumień wektora indukji magnetyznej przez dowolną powierzhnię zamkniętą jest równy zeru. B = V B = Tw. Ostrogradskiego-Gaussa a d = a dv V Pole magnetyzne ma tę własność, że jego dywergenja jest wszędzie równa zeru. Pole magnetyzne w próżni 12

2 Dywergenja i rotaja pola magnetyznego, d. Oblizmy yrkulaję B dl wektora B wzdłuż zamkniętego konturu znajdująego się w płaszzyźnie prostopadłej do prądu prostego. µ I µ I 2πb 2π B dl = B dlb = bdα = d α B dl µ I = 2π dα a) gdy prąd nie jest objęty konturem: dα = B dl = André-Marie Ampère ( ) b) dla konturu obejmująego prąd: dα = 2π B dl = µ I Prawo Ampère'a Pole magnetyzne w próżni 13

3 Dywergenja i rotaja pola magnetyznego, d. W wyrażeniu B dl = µ I prąd I uważa się za dodatni, gdy jego kierunek związany jest z kierunkiem obejśia wzdłuż konturu regułą śruby prawoskrętnej; prąd o przeiwnym kierunku przepływu jest prądem ujemnym. Wyrażenie B dl = µ I jest poprawne również wtedy, gdy kontur obejmująy prąd nie jest płaski, oraz gdy kształt obwodu, w którym płynie prąd, jest dowolny. W przypadku konturu obejmująego kilka przewodników z prądem: B dl = B dl = B dl = µ I k k k k k k Cyrkulaja wektora B wzdłuż dowolnego konturu zamkniętego jest równa algebraiznej sumie prądów przepływająyh przez dowolną powierzhnię rozpiętą na tym konturze, pomnożonej przez µ. Pole magnetyzne w próżni 14

4 Dywergenja i rotaja pola magnetyznego, d. Jeśli prądy płyną w ałej przestrzeni, w której umieszzony jest kontur: I = j d B dl = µ j d k k B d =µ j d B=µ j Twierdzenie tokesa a dl = a d Dla pól elektryznyh i magnetyznyh niezmieniająyh się w zasie otrzymaliśmy: 1 E = ρ ε E = B = Dywergenja E jest równa gęstośi ładunku ρ podzielonej przez ε. Rotaja E jest równa zeru. Dywergenja B jest równa zeru. B=µ j Rotaja B jest równa gęstośi prądu j pomnożonej przez µ Pole magnetyzne w próżni 15

5 Dywergenja i rotaja pola magnetyznego, d. Ponieważ rotaja wektora E w przypadku pola elektrostatyznego jest równa zeru, polu elektrostatyznemu można przypisać potenjał skalarny ϕ (określony równaniem E = ϕ ). Ponieważ rotaja wektora B nie jest w ogólnośi równa zeru, stałemu polu magnetyznemu nie można w ogólnośi przypisać potenjału skalarnego. Uogólnione prawo Ampère'a Prawo Ampère'a B dl = µ I może być zapisane w postai B dl = µ j d gdzie ałkowanie w prawej ałe dotyzy dowolnej powierzhni rozpiętej na konturze. Rozważmy zęść obwodu z prądem, składająą się z przewodnika i kondensatora płaskiego o powierzhni okładek A. W takim układzie prąd I płynie tylko wtedy, jeśli zmienia się ładunek na okładkah kondensatora, zyli gdy pole E między okładkami kondensatora jest zmienne. Pole magnetyzne w próżni 16

6 Uogólnione prawo Ampère'a, d. Dla oblizenia indukji B w punkie P, kontur i powierzhnię można np. wybrać tak, jak na rys. (a). Otrzymujemy wtedy µ I B dl = µ j d B2π r = µ I B = 2π r Prawo Ampère'a powinno być spełnione również dla powierzhni ' na rys. (b). Jednakże w tym przypadku mamy j d = To przezy poprzedniemu wynikowi B= µ I / (2 π r). Pole magnetyzne w próżni 17

7 Uogólnione prawo Ampère'a, d. Maxwell doszedł do wniosku, że wyrażenie na prawo Ampère'a zapisane w postai B dl = µ j d jest niesłuszne w przypadku zmiennego pola elektryznego. Niepoprawność zapisu można usunąć dodają do prawej strony tego równania dodatkowe wyrażenie 1 E B dl = µ j d + d 2 gdzie jest prędkośią światła. Pokażemy, że równanie to prowadzi do jednoznaznej wartośi B w punkie P niezależnie od postai powierzhni ałkowania lub '. Przyjmują, że odległość okładek jest mała, pole elektryzne wewnątrz kondensatora można uznać za jednorodne i opisane wyrażeniami E = σ Q ε = ε A E 1 Q 1 = = ε A ε A I Pole magnetyzne w próżni 18

8 Uogólnione prawo Ampère'a, d. Całkowanie po powierzhni ' (zauważmy, że wszędzie wektor d jest E 1 = ε A I równoległy do E ) daje E E 1 1 I d = d = I d = I d = ε A ε A ε A A A o prowadzi do związku 1 E 1 B dl = µ j d + d B2π r = 2 2 I ε 2 Ponieważ 1/ = ε µ, wię teraz też otrzymujemy poprawne wyrażenie na B µ I B = 2π r Pole magnetyzne w próżni 19

9 Uogólnione prawo Ampère'a, d. 1 E 1 E B dl = µ j d + d 2 B dl j d ε d µ = + Pierwszy składnik po prawej stronie ostatniego wzoru przedstawia realny prąd płynąy przez powierzhnię rozpiętą na zamkniętym konturze. Drugi składnik można interpretować jako prąd związany ze zmianą natężenia pola elektryznego. Maxwell nazwał go prądem przesunięia. Prąd ten jest przedłużeniem prądu przewodzenia wpływająego do kondensatora i jest mu równy. Prąd przesunięia zapewnia wię iągłość obwodów zawierająyh kondensatory. Jeśli rozważania nie dotyzą próżni, a pewnego ośrodka o względnej przenikalnośi elektryznej ε r i względnej przenikalnośi magnetyznej µ r, wtedy = ε ε µ µ, a prawo 2 1/ r r Ampère'a w nieobenośi zmiennyh pól elektryznyh zapisuje się w postai H dl = j d H - wektor natężenia pola magnetyznego. B= µ µ r H Pole magnetyzne w próżni 2

10 Uogólnione prawo Ampère'a, d. W konsekwenji w obenośi zmiennyh pól elektryznyh prawo Ampère'a przyjmuje postać. D H dl = j + d Uogólnione prawo Ampère'a D - wektor indukji elektryznej (wektor przesunięia) D= ε εr E Korzystają ze wzoru tokesa ( a dl = a d ) uogólnione prawo Ampère'a można zapisać w postai różnizkowej D Prąd elektryzny lub zmienne pole elektryzne wytwarzają wirowe pole H = j + t magnetyzne. Pole magnetyzne w próżni 21