LICEUM I TECHNIKUM. zakres rozszerzony. Matematyka poznać, zrozumieć. Podręcznik, klasa3

Transkrypt

1 LICEUM I TECHNIKUM zakres rozszerzoy Matematyka pozać, zrozumieć Podręczik, klasa3

2 Autorzy podręczika: Alia Przychoda, Moika Strawa, Zygmut Łaszczyk Podręczik dopuszczoy do użytku szkolego przez miistra właściwego do spraw oświaty i wychowaia i wpisay do wykazu podręczików przezaczoych do kształceia ogólego do auczaia matematyki, a podstawie opiii rzeczozawców: dr Marii Borowskiej, dr. hab. Edwarda Tutaja, dr. Tomasza Karpowicza. Zakres kształceia: rozszerzoy Etap edukacyjy: IV Typ szkoły: szkoły poadgimazjale Rok dopuszczeia: 2014 Numer ewidecyjy w wykazie: 582/3/2014 dla tradycyjej i elektroiczej formy podręczika) Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp. z o.o. Warszawa 2014 Wydaie I ISBN Opracowaie merytorycze i redakcyje: Agieszka Trzpil-Gajek redaktor koordyator, redaktor merytoryczy), Aeta Juchimiuk, Ewa Kowalik, Edyta Warzecha redaktor merytoryczy) Kosultacje aukowe: Leo Gulgowski Redakcja językowa: Milea Schefs Redakcja techicza: Jaia Soboń Projekt okładki: Paweł Rafa, Marta Jedlińska, Joaa Plakiewicz Projekt stro działowych: Joaa Plakiewicz Projekt graficzy: Katarzya Trzeszczkowska Opracowaie graficze: Ewa Pawińska Fotoedycja: Igacy Składowski Skład i łamaie, rysuki: MathMaster Studio Zalecae wymagaia systemowe i sprzętowe Podręczik elektroiczy w formacie PDF otwieray a komputerach PC i MAC wymaga zaistalowaia bezpłatego programu Adobe Reader adobe. com/reader/); otwieray a tabletach i telefoach z systemem Apple ios wymaga zaistalowaia bezpłatego programu ibooks do pobraia ze sklepu App Store); otwieray a tabletach i telefoach z systemem Adroid wymaga zaistalowaia bezpłatego programu Adobe Reader do pobraia z Google Play). Pomoc techicza: epomoc@wsip.com.pl Materiały, do których masz dostęp, ie mogą być rozpowszechiae publiczie, ie mogą być przedmiotem dalszego obrotu. Rozporządzaie ich opracowaiem wymaga uzyskaia zgody. Wydawictwa Szkole i Pedagogicze spółka z ograiczoą odpowiedzialością Warszawa, Al. Jerozolimskie 96 Tel.: Ifoliia: Publikacja, którą abyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępić ieodpłatie osobom bliskim lub osobiście zaym. Ale ie publikuj jej w iterecie. Jeśli cytujesz jej fragmety, ie zmieiaj ich treści i koieczie zazacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedyie a użytek osobisty. Szaujmy cudzą własość i prawo. Więcej a Polska Izba Książki

3 SPIS TREŚCI O podręcziku Graica i pochoda fukcji Graica fukcji w pukcie Ciągłość fukcji w pukcie Obliczaie graic fukcji w pukcie Graica iewłaściwa fukcji w pukcie Graica fukcji w ieskończoości Graice jedostroe fukcji w pukcie Asymptoty wykresu fukcji Ciągłość fukcji w przedziale liczbowym Pochoda fukcji w pukcie Iterpretacja geometrycza i fizycza pochodej Własości pochodej fukcji w zbiorze Pochoda fukcji a mootoiczość fukcji Ekstrema lokale fukcji Najmiejsza i ajwiększa wartość fukcji w przedziale liczbowym Zastosowaie pochodej fukcji do badaia własości fukcji Zastosowaie pochodej fukcji w zagadieiach optymalizacyjych A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu Stereometria Proste i płaszczyzy w przestrzei Graiastosłupy i ich rodzaje Krawędzie i przekąte w graiastosłupie Pole powierzchi całkowitej i objętość graiastosłupa Ostrosłupy i ich rodzaje Pole powierzchi całkowitej i objętość ostrosłupa Kąt dwuściey Pole powierzchi całkowitej i objętość walca Pole powierzchi całkowitej i objętość stożka Pole powierzchi i objętość kuli Bryły podobe Bryły wpisae i opisae A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu

4 SPIS TREŚCI 3. Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Prezetacja daych statystyczych Liczby charakteryzujące dae zebrae w badaiu statystyczym Aaliza rozproszeia wyików Częstość występowaia Doświadczeie losowe Działaia a zdarzeiach losowych Reguła możeia i reguła dodawaia Permutacje i wariacje Kombiacje Prawdopodobieństwo zdarzeia Róże metody obliczaia prawdopodobieństwa zdarzeń Prawdopodobieństwo warukowe i prawdopodobieństwo całkowite Własości prawdopodobieństwa A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu Powtórzeie Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości Fukcje Ciągi liczbowe Trygoometria Plaimetria Geometria aalitycza Stereometria Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Graica i pochoda fukcji A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu Bak zadań Wartości fukcji trygoometryczych Odpowiedzi Ideks

5 Kraj bez matematyki ie wytrzyma współzawodictwa z tymi, którzy matematykę uprawiają. Hugo Steihaus Podręczik zamyka cykl edukacyjy Matematyka. Pozać, zrozumieć dla ucziów, którzy w 2012 r. rozpoczęli aukę matematyki zgodie z ową podstawą programową dla zakresu rozszerzoego. Mamy adzieję, że ta publikacja pomoże każdemu z Was dostrzec pięko matematyki oraz ją zrozumieć. Staraliśmy się, aby asza książka w sposób przystępy wprowadziła Was w owe zagadieia, zachęciła do samodzielego uczeia się i utrwalaia pozaych wiadomości. W trzech pierwszych rozdziałach podręczika do klasy trzeciej zamykamy całość omawiaych treści zawartych w obowiązującej Podstawie programowej. Wzorem podręczików do klasy pierwszej i drugiej zajduje się tu wiele przykładów, ćwiczeń i zadań do samodzielego rozwiązaia. Do sprawdzeia stopia opaowaia wiedzy i umiejętości propoujemy zae już zestawy zadań: po każdym temacie A gdyby sprawdzia był teraz? oraz po każdym rozdziale A gdyby matura była teraz?. Dodatkowe zadaia zamieszczamy w Baku zadań pod koiec podręczika. Do większości zadań podajemy odpowiedzi. Egzami maturaly z matematyki wymaga solidego powtórzeia i utrwaleia wiadomości. W tym celu opracowaliśmy rozdział czwarty, w którym zamieszczamy: pogrupowae tematyczie zadaia powtórzeiowe, pozae wcześiej defiicje, twierdzeia oraz przykłady. Uzupełieiem tego podręczika jest Zbiór zadań dla klasy 3. Układ zadań w zbiorze jest skoreloway z układem treści w podręcziku. Autorzy

6 O podręcziku W podręcziku zajdują się trzy rozdziały tematycze i jede rozdział powtórzeiowy. Na końcu podręczika zamieszczoo odpowiedzi do większości zajdujących się w im zadań. BUDYNEK VELES E VENTS W WALENCJI, HISZPANIA 2 Stroa działowa z wymagaiami szczegółowymi z podstawy programowej dla zakresu rozszerzoego Odsyłacz do Baku zadań Stereometria Treści auczaia wymagaia szczegółowe: rozpozawaie w graiastosłupach i ostrosłupach kątów między odcikami p. krawędziami, krawędziami i przekątymi), obliczaie miar tych kątów rozpozawaie w graiastosłupach i ostrosłupach kątów między odcikami i płaszczyzami między krawędziami i ściaami, przekątymi i ściaami), i obliczaie miar tych kątów rozpozawaie w walcach i stożkach kątów między odcikami oraz kątów między odcikami i płaszczyzami p. kąta rozwarcia stożka, kąta między tworzącą a podstawą), obliczaie miar tych kątów rozpozawaie w graiastosłupach i ostrosłupach kątów między ściaami am i łościau płaszczyzą zą stosowaie trygoometrii do obliczeń długości odcików, miar kątów, pól powierzchi i objętości zczyzą określaie, jaką figurą jest day przekrój graiastosłupa słupa lub ostrosłupa płaszczyzą określaie, jaką figurą jest day przekrój prostopadłościau płaszczyzą określaie, jaką figurą jest day przekrój sfery płaszczyzą A gdyby sprawdzia był teraz? Zestawy zadań zamkiętych i otwartych, sprawdzających opaowaie wiadomości z daego tematu Projekt, czyli praca długotermiowa

7 Temat lekcji A gdyby matura była teraz? Zestawy zadań skostruowaych a wzór zadań maturalych, oparte a materiale daego działu A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ? ZESTAW II poziom rozszerzoy Zadaie 1. 4 p.) Podstawą prostopadłościau jest kwadrat. Długość krawędzi podstawy, wysokość i długość przekątej prostopadłościau tworzą ciąg arytmetyczy. Suma długości jedej krawędzi podstawy i wysokości jest rówa długości przekątej i wyosi 10 cm. Oblicz pole powierzchi całkowitej tego prostopadłościau. Zadaie 2. 4 p.) Przekąta sześciau jest o 4 dm dłuższa od krawędzi sześciau. Oblicz pole powierzchi całkowitej i objętość sześciau. Zadaie 3. 3 p.) Promień koła opisaego a podstawie graiastosłupa prawidłowego sześciokątego jest rówy 4 3 cm. Najdłuższa przekąta graiastosłupa jest achyloa do podstawy pod kątem o mierze 60. Oblicz pole powierzchi całkowitej graiastosłupa. Zadaie 4. 6 p.) W ostrosłupie prawidłowym trójkątym krawędź podstawy ma długość a i ściay bocze są trójkątami prostokątymi. a) Narysuj siatkę ostrosłupa. b) Oblicz pole powierzchi całkowitej ostrosłupa. c) Oblicz tę wysokość ostrosłupa, która jest poprowadzoa a ściaę będącą trójkątem rówoboczym. Zadaie 5. 5 p.) Cztery wierzchołki sześciau o krawędzi długości 9 są jedocześie wierzchołkami czwo- rościau foremego. a) Oblicz pole powierzchi całkowitej tego czworościau. b) O ile eo objętość ość czworościau jest miejsza od objętości sześciau? Zadaie p. p.) Pole powierzchi całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątego jest rówe ) cm 2, a stosuek długości krawędzi boczej do długości krawędzi podsta- wy wyosi 2:1.. Oblicz pole powierzchi boczej tego ostrosłupa. Zadaie 7. 6p p.) Przyprostokąta ta trójkąta prostokątego ma długość 6, a promień koła opisaego a tym trójkącie jest rówy 5. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta dookoła przeciwprostokątej. O ile procet ta objętość jest miejsza od objętości bryły powstałej z obrotu koła opromi promieiu iu 5 wokół jego średicy? Zdie Zadaie 8. 3 p.) Oblicz pole przekroju kuli o promieiu R =8cm, jeśli miara kąta wyzaczoego przez średicę kuli iś średicę przekroju jest rówa Defiicje, które trzeba zać Rozwiązae przykłady

8 W podręcziku wprowadzoo astępujące wyróżieia: Treści auczaia wymagaia szczegółowe przed każdym rozdziałem podręczika zamieszczamy wykaz umiejętości zgody z ową podstawą programową. Defiicja defiicje. Twierdzeie twierdzeia. waże iformacje do zapamiętaia. treści rozszerzające podstawę programową. O ich realizacji decyduje auczyciel. wskazae użycie kalkulatora. zadaie zamkięte, które ma więcej iż jedą poprawą odpowiedź. C IEKAWOSTKA iteresujące wiadomości. Z ADANIA A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ? zestaw zadań do każdego tematu. zestaw krótkich zadań sprawdzających opaowaie wiadomości z daego tematu. P ROJEKT BANK ZADAŃ z »»» A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ? BANK ZADAŃ praca długotermiowa. odsyłacz do Baku zadań. zadaia skostruowae a wzór zadań maturalych, oparte a materiale daego działu. zbiór dodatkowych zadań, umożliwiających utrwaleie zdobytych wiadomości i umiejętości. odesłaie do elektroiczego zeszytu ćwiczeń a wsipet.pl.

9 1 Graica i pochoda fukcji Treści auczaia wymagaia szczegółowe: obliczaie graic fukcji i graic jedostroych) z wykorzystaiem twierdzeń o działaiach a graicach i własości fukcji ciągłych obliczaie pochodych fukcji wymierych korzystaie z geometryczej i fizyczej iterpretacji pochodej korzystaie z własości pochodej do wyzaczaia przedziałów mootoiczości fukcji zajdowaie ekstremów fukcji wielomiaowych i wymierych stosowaie pochodych do rozwiązywaia zagadień optymalizacyjych

10 1. Graica i pochoda fukcji 1.1 Graica fukcji w pukcie Ciąg liczbowy a = 2 1 ma graicę rówą 2. Ozacza to, że wraz ze wzrostem wyrazy tego ciągu przybliżają się do liczby 2. Możemy zatem przypuszczać, że a zbar- dzo małym błędem bezwzględym. Rozważmy fukcję fx) = x2 1 x 1. Jej dziedzią jest zbiór R \ {1}. Zatem ie moża określić wartości tej fukcji dla argumetu x =1, ale moża to zrobić dla argumetów bliskich 1, p.: x = 0,98, x = 1,005, x = 3 0,99. Obliczeie dokładych wartości fukcji f dla podaych argumetów może być uciążliwe albo iewykoale. Możemy jedak pozać ich przybliżoą wartość, gdy obliczymy graicę fukcji f w pukcie x =1. PRZYKŁAD 1. Daa jest fukcja fx) = x2 1 x 1, gdzie x R \ {1}. Dla podaego ciągu x ) argumetów fukcji wyzaczmy ciąg fx ) ) wartości fukcji i obliczmy jego graicę. a) Ciąg x ) o wzorze ogólym x = + 1 b) Ciąg x ) o wzorze ogólym x = 1 c) Dowoly ciąg x ) zbieży do 1 oraz x = 1, N +. a) fx )=f + 1 ) lim fx ) = lim + + b) fx )=f 1 ) = f ) ) 2 1 = ) =2 zbieży do liczby 1 oraz x = 1, N +. zbieży do liczby 1 oraz x = 1, N = = f 1 1 ) 1 1 ) 2 1 = lim fx ) = lim 2 1 ) =2 + + c) fx )= x ) 2 1 x 1 lim + fx ) = lim + = x 1)x + 1) x 1 x + 1) = 2, gdyż lim = = x + 1, gdyż x = 1 + x =1 = = ) = ) 1 =2 1 10

11 1.1. Graica fukcji w pukcie Zauważmy, że lim fx )=2iezależie od wyboru ciągu x ) + zbieżego do 1. Powiemy, że fukcja fx) = x2 1 ma w pukcie x =1 graicę rówą 2, co zapisujemy symboliczie x 1 jako x lim 2 1 =2. Możemy to iterpretować astępująco: dla argu- x 1 x 1 metów bliskich liczbie 1 wartości fukcji fx) = x2 1 x 1 są bliskie liczbie 2. W szczególości f1,005) 2, f 0,98 ) 2,... ĆWICZENIE 1. Daa jest fukcja fx) = x2 2x 3 x + 1 fx ), gdy ciąg x ) argumetów fukcji: lim + a) jest określoy wzorem ogólym x = 1, N +, b) to dowoly ciąg zbieży do 1 i x = 1, N +. Czy wiadomo, jaka jest wartość wyrażeia lim x 1 określoa dla x = 1. Naszkicuj jej wykres i oblicz x 2 2x 3? Co zauważasz a wykresie? x + 1 Mówieie o graicy fukcji w daym pukcie x 0 ma ses, gdy fukcja jest określoa w sąsiedztwie tego puktu, czyli w zbiorze x 0 e; x 0 ) x 0 ; x 0 + e), gdzie e > 0. Pukt x 0 może, ale ie musi ależeć do dziedziy fukcji. Defiicja Daa jest fukcja f określoa w sąsiedztwie puktu x 0. Liczba g jest graicą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumetów x ), którego wyrazy spełiają waruki x = x 0 oraz lim x = x 0, + prawdziwa jest rówość lim fx )=g. + Symboliczie zapisujemy to jako lim fx) =g. x x 0 Zatem liczba g jest graicą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumetów x ) zbieżego do x 0, którego wyrazy spełiają waruek x = x 0, ciąg wartości fx ) ) jest zbieży do g. 11