Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Transkrypt

1

2 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd sił przyłożonych do idelnie sztywnej kostki pokznej n rysunku 1.1. Jko punkt redukcji przyjąć początek ukłdu współrzędnych. Złożyć, że: mod P 1 = P, mod P 2 = 2P, mod P 3 = 2P, mod M = 17 P 1). Rozwiąznie Rys. 1.1 N kostkę dziłją trzy siły skupione P 1, P 2, P 3 orz moment M. Zredukownie tego ukłdu do punktu ozncz, że nleży znleźć njprostszy ukłd zstępczy, przyłożony w punkcie, który będzie powodowł tki sm ruch kostki, jk przyłożony do niej ukłd złożony {P 1, P 2, P 3, M}. Poprzenośmy ztem, zgodnie z zsdmi redukcji, poszczególne siły do punktu. Przenosząc siłę P 1 otrzymmy siłę P 1 = i 1 P przyłożoną do punktu orz moment wynikjący z jej przeniesieni X 1. Wektor przeniesieni siły P 1 oznczymy przez r 1. M on początek w punkcie redukcji, koniec w dowolnym punkcie położonym n kierunku dziłni siły P 1. Obliczeni momentu X 1 będą njprostsze, gdy złożymy r 1 = i 3 2, to znczy tk, jk pokzno n rysunku 1.1. Moment ten będzie równy: 1) Anlogiczne oznczeni wektorów i ich modułów są stosowne w cłej książce. Dltego, gdy wielkość wektoqqrow jest przedstwin czcionką niewytłuszczoną, to mmy n myśli jej moduł.

3 6 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne () X 1 = r 1 P 1 = i P i2 1 i3 2 = i 1 + i 2 P 2 + i 3 = i 2 2P. Postępując podobnie z pozostłymi siłmi, w punkcie otrzymmy: siłę P 2 = i 2 2P orz moment od jej przeniesieni X 2 = i 3 2P ; siłę P 3 = i 3 2P orz moment od jej przeniesieni X 3 = i 1 8P ; moment M = i 1 P i 2 4P od równoległego przeniesieni momentu skupionego M. Wobec powyższego, sił ogóln ukłdu P o wyniesie: P o = ΣP i = P 1 + P 2 + P 3 = i 1 P + i 2 2P + i 3 2P, ntomist moment ogólny M o jest równy: M o = Σ r i P i + M = X 1 + X 2 + X 3 + M = i 1 7P i 2 2P + i 3 2P. Otrzymny ukłd {P o, M o }, przyłożony do punktu (rys. 1.1b), zstępuje ukłd złożony {P 1, P 2, P 3, M}. Sprwdźmy jeszcze, czy moment M o jest prostopdły do siły P o. Gdyby tk było, to ukłd sił dziłjących n kostkę możn by zstąpić tylko jedną siłą siłą wypdkową. W tym celu obliczymy iloczyn sklrowy wektorów P o i M o : P o M o = P 7P + 2P ( 2P ) + 2P 2P = 7P 2. A ztem ukłdu tego nie możn zredukowć do wypdkowej, lecz co njwyżej do skrętnik, to znczy do siły ogólnej i momentu ogólnego w jej kierunku. Zdnie 2 Zredukowć do punktu A ukłd sił dziłjących n sztywną kostkę pokzną n rysunku 1.2. Przyjąć: mod P 1 = 5 P, mod P 2 = P, mod P 3 = P, mod M = P. Rys. 1.2 Rozwiąznie Nie będziemy już terz przedstwili szczegółowego rozumowni tłumczącego sens redukcji, lecz skupimy uwgę n prktycznym obliczeniu P o i M o.

4 Rozdził 1 7 Wyznczymy njpierw siłę ogólną P o. W tym celu przedstwimy poszczególne siły dziłjące n kostkę poprzez współrzędne i wektory bzy: 1 2 P 1 = i 2 5 P + i3 5 P = i2 P + i 3 2P, 5 5 P 2 = i 2 P, P 3 = i 3 P. Siły te przenosimy do punktu A i obliczmy siłę ogólną, któr zgodnie z definicją jest sumą wszystkich sił dziłjących n ukłd. Sił ogóln P o wynosi: P o = Σ P i = i 2 2P + i 3 P. Obliczmy terz moment ogólny M o, będący sumą poszczególnych momentów dziłjących n kostkę orz momentów od przeniesieni sił do punktu redukcji A. Możn to zrobić tk smo, jk w przypdku zdni poprzedniego, to znczy dobierjąc promienie przeniesieni r 1, r 2 (tu r 3 = ) i ukłdjąc zleżności nlogiczne do oznczonej tm przez (), lbo też obliczć skłdowe bezpośrednio wykorzystując fkt, że moment względem punktu (tu punktu redukcji) jest równy sumie momentów wokół przecinjących w nim osi ukłdu współrzędnych. Znk skłdowej momentu określ wówczs tzw. reguł śruby prwoskrętnej. W rozwżnym zdniu otrzymmy: M = i 2 P, X 1 = i 2 4P + i 3 2P, X 2 = i 1 2P + i 3 2P, X 3 =. Moment ogólny będzie więc równy: M o = Σ X i + M = i 1 2P i 2 5P + i 3 4P. Sprwdźmy jeszcze, czy wyznczony moment ogólny jest prostopdły do siły ogólnej. W tym celu obliczymy iloczyn sklrowy wektorów P o i M o : P o M o = 2P + 2P ( 5P ) + P 4P = 6P 2. Wobec tkiego wyniku możn stwierdzić, że ukłd sił przyłożony do kostki z rysunku 1.2 redukuje się do skrętnik. Moment ogólny M o i siłę ogólną P o przedstwiono n rysunku 1.2b. Zdnie 3 Zredukowć do punktu A płski ukłd sił dziłjący n sztywną kostkę z rysunku 1.3 orz znleźć wypdkową tego ukłdu, jeśli on istnieje. Przyjąć: mod M = 3P, mod P 1 = P 2, mod P 2 = 2P, mod P 3 = P. Rozwiąznie Zredukujmy njpierw podny ukłd sił do punktu A. Otrzymmy tm siłę ogólną: P o = P 1 + P 2 + P 3 = i 1 P i 2 P i 2 2P i 1 P = i 2 3P.

5 8 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne Moment ogólny M o, który musi być przyłożony w punkcie A rzem z siłą P o, jest sumą momentów skupionych przyłożonych do kostki orz momentów wynikjących z przeniesieni sił. Przeniesieni te są dokonywne w płszczyźnie {x 1, x 2 }, więc momenty od przeniesień sił będą prostopdłe do tej płszczyzny. Moduł momentu ogólnego wyniesie: M o = M + P P 2 = 3P + 2P = 5P. Moment M o jest prostopdły do siły P o, więc otrzymny w punkcie A ukłd {P o, M o } możn redukowć dlej i poszukiwć jego wypdkowej. Aby znleźć prostą, n której sił P o stnie się wypdkową W (rys. 1.3b), przesuwmy siłę P o równolegle o pewien odcinek x w płszczyźnie {x 1, x 2 }. Rys. 1.3 Przesunięci możemy tu dokonć 'w lewo' lub 'w prwo' od punktu A. Akurt w tym przypdku odcinek x odmierzymy 'w prwo', poniewż moment od przeniesieni siły P o będzie mił wówczs zwrot przeciwny do momentu M o. Dje to sznsę zredukowni obydwu tych momentów. Nstąpi to wówczs, gdy: P o x = M o, skąd: x = M o = Po 3P 5P = 5. 3 Tk więc rozwżny ukłd sił redukuje się do wypdkowej W, której moduł wynosi 3P i któr dził n prostej przesuniętej 'w prwo' od punktu A o odległość x = 3 5. Zdnie 4 Idelnie sztywn belk o wymirch b h (rys. 1.4) jest obciążon n górnej powierzchni ciśnieniem p(p x, p y, p z ), którego rozkłd opisują funkcje: p x =, p y =, p z = p o (1 x ). Zredukowć ten ukłd obciążeni, przyjmując punkt redukcji w początku ukłdu współrzędnych {x, y, z}. Złożyć, że oś x łączy środki ciężkości przekrojów belki. Rozwiąznie Zstosujmy njpierw pewien prosty zbieg, który pozwoli n 'sprowdzenie' rozwżnego zdni do jednowymirowego. Widoczne jest, że skłdow p z (rys. 1.4) nie zleży od

6 Rozdził 1 9 współrzędnej y. Podczs dlszych nliz wrto ztem posługiwć się nie ciśnieniem p z o wymirze N/mm 2, lecz wielkością q = p z b, któr m wymir N/mm i jest nzywn obciążeniem ciągłym o intensywności q lub, krótko, wydtkiem obciążeni. Wydtek q nleży, co oczywiste, przykłdć do belki w płszczyźnie {x, z}, poniewż jest on płszczyzną symetrii rozkłdu ciśnieni p z (x, y). Rys. 1.4 W rezultcie w miejsce wyjściowego, przestrzennego ukłdu obciążeni możn rozwżć zdnie redukcji dl zstępczego ukłdu płskiego, pokznego n rysunku 1.4b. Obciążenie belki stnowi terz ukłd liniowo zmienijących się wydtków: q(x) = p o b (1 x ) = q o (1 x ), które nleży zredukowć do punktu. Aby to uczynić, nleży kżdą z elementrnych sił dp (dp = q(x) dx) przenieść do punktu. Jest to przeniesienie równoległe, więc w punkcie przykłd się siłę dp orz moment dm od jej przeniesieni (rys. 1.4b), równy: i prostopdły do {x, z}. dm = = x dp = x q(x) dx Podobnie postępuje się ze wszystkimi siłmi elementrnymi dp. Otrzymmy ztem: orz: P o = M o = q(x) dx = q o (1 x ) dx = 1 qo 2 x q(x) dx = x q o (1 x ) dx = 1 qo 2. 6

7 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne Moment M o jest prostopdły do siły P o, co pozwl n dlszą redukcję ukłdu i poszukiwnie jego wypdkowej. W tym celu dokonjmy równoległego przeniesieni P o i M o 'w prwo' o odległość x 1 (rys. 1.4c) do pewnego punktu A. Otrzymmy wtedy siłę ogólną P o orz moment, którego moduł wyniesie: M A o = M o P o x 1. W celu wyznczeni położeni wypdkowej wystrczy jeszcze zżądć, by moduł M A o był równy zero, skąd otrzymmy: x 1 = 1 q 2 M o o = 6 P 1 o q o = Tk więc punkt, przez który przechodzi wypdkow rozwżnego obciążeni ciągłego, leży w odległości 1 3 od punktu. Wrto zwrócić uwgę, że jest to współrzędn środk ciężkości pol zwrtego pod funkcją q(x) (rys. 1.4b). Włściwość t uogólni się n dowolne ciągłe w przedziłch rozkłdy wydtków q(x). Nturlnie, operownie w tym zdniu inżynierskim opisem ukłdu współrzędnych {x, y, z} nie m większego znczeni. Równie dobrze możn było używć oznczeń {x 1, x 2, x 3 }, jk w zdnich poprzednich. Zdnie 5 Zredukowć do punktu A ukłd obciążeń ciągłych, dziłjący n belkę pokzną n rysunku 1.5,. Rozwiąznie Rys. 1.5 Dziłnie obciążeni ciągłego w przedzile [, ] możn zstąpić jego wypdkową Q 1 (Q 1 = 2 1 q o ), przyłożoną w punkcie x 1 = 3 2 (rys. 1.5b), ntomist rozkłd q(x) w przedzile [, 2] jego wypdkową Q 2 (Q 2 = q o ), przyłożoną w punkcie x 2 = 2 3. Redukując

8 Rozdził 1 11 otrzymny w ten sposób ukłd sił Q 1, Q 2 do punktu A (rys. 1.5c) wyznczymy wrtości modułów ukłdu {P o, M o }: P o = Q 1 + Q 2 = 2 3 qo, M o = Q Q1 3 1 = 2 1 qo qo 2 = 3 1 qo 2. Moment M o jest prostopdły do P o, więc rozwżny ukłd m wypdkową. Siły Q 1, Q 2 zostły tu przedstwione przy pomocy strzłek zbudownych z okręgów i niewypełnionych grotów. Tkie oznczeni wypdkowych obciążeń ciągłych są przyjmowne w cłym podręczniku. Zdnie 6 Zredukowć ukłdy sił przyłożone do idelnie sztywnych kostek, pokznych n rysunkch 1.6 i 1.7. W obu przypdkch jko punkt redukcji przyjąć początek ukłdu współrzędnych. Rys. 1.6 Rys. 1.7 Zdnie 7 Zredukowć płskie ukłdy sił, przyłożone do sztywnych elementów trczowych, pokznych n rysunkch 1.8 i 1.9. Znleźć wypdkowe tych ukłdów, jeśli one istnieją. Rys. 1.8 Rys. 1.9