Całkowanie metodą Monte Carlo

Transkrypt

1 Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu:. Podstwow metod Monte Crlo. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki

2 Przypomnienie widomości ze sttystyki: i) funkcj gęstości prwodpodobieństw ii) wrtość oczekiwn iii) wrincj (odchylenie stndrdowe) Przykłd. Rozkłd normlny (Guss) fgp: µ ( ¹) f () p ep ¾ ¾ ¼ Funkcj gęstości prwdopodobieństw (fgp) t m nstępujące włsności ^ [;b] b f () f ()d Przy jej pomocy możn określić prwdopodobieństwo zdrzeni że zmienn przyjmie wrtość pomiędzy +d: P f i + dg f ()d Dl dnej funkcji gęstości prwdopodobieństw możn określić dystrybuntę rozkłdu F () f ( )d któr jest funkcją prwostronnie ciągłą i niemlejącą. b P f g f ()d F ( ) F ( ) dystrybunt: F () µ + erf µ ¹ p ¾

3 - wrtość oczekiwn zmiennej losowej hi E() ¹() b f ()d - wrincj zmiennej losowej ¾ () h[ hi] i b [ hi] f ()d b + hi + hi f ()d hi hi b zg(z)dz b g(z)dz f ()d f ()d f ()d ¾ () h i hi p ¾() h i hi zwyczj g(z) jest nieznn. Możn jendk skorzystć z prw przenoszeni prwdopodobieństw f ()d - odchylenie stndrdowe zwyczj chcemy określić wrtość oczekiwną zmiennej losowej z będącej funkcją np. innej zmiennej losowej, czyli zz(): hzi ¹(z) b Wrtość oczekiwn µ orz odchylenie stndrdowe σ są prmetrmi funkcji gęstości prwdopodobieństw f(). i powyższą cłkę przeksztłcić do postci hzi ¹(z) zg(z)dz A wrincję b ¾ (z) hz i hzi i odchylenie stndrdowe p ¾(z) hz i hzi liczymy w znny już sposób. z()f ()d

4 Jeśli ciąg liczb fi g fi jn ; ; : : : ; g stnowią zmienne losowe o funkcji gęstości prwdopodobieństw f() to estymtorem wrtości oczekiwnej µ(z) zmiennej losowej z(i) jest średni z próbki z¹ z(i ) i ¾ (z) (zi z¹) i µ µ zi zi i i Mirą rozrzutu zmiennych losowych zi wokół wrtości średniej jest odchylenie stndrdowe p ¾ ¾ (z) ¹ też jest zmienną losową, poniewż konstruujemy ją Ale z ze zmiennych zi (kżd z nich m identyczną wrincję). z wrincją ¾ (z) [z(i ) z¹] i Uwg: (-) w minowniku wynik z fktu że średnią wyliczmy z wrtości z(i) znjąc jej wrtość możemy wyliczyć dowolną z(i) dysponując - pozostłymi wrtościmi. Liczb stopni swobody zmniejsz się o. W prktyce, dl dużych jedynkę możn pominąć. Jkie jest odchylenie stndrdowe średniej? ¾ (¹ z) ¾ Ã i zi! ¾ (z) ¾ (z) i Do jego estymcji możemy użyć (z) ¾(z) ¾(¹ z) p

5 Podstwow metod Monte Crlo Interesuje ns wyznczenie ( rczej estymcj) wrtości oczekiwnej zmiennej losowej ) z z( Przy tkich złożenich, zgodnie z CTG 8 < j¹ z hzij lim P :! któr jest funkcją wektor zmiennych (losowych): [ ; ; : : : ; m ] Rozkłd prwdopodobieństw zmiennej losowej z opisuje funkcj gęstości g(z) ))dz g(z( )d f ( metodę Monte Crlo szcowni wrtości cłek w wersji podstwowej definiują wzory: ) wrtość cłki I rozkłd prwdopodobieństw wektor opisuje funkcj gęstości f() ¾(z) p 9 u p e du ; ¼ )f ( )d ¼ ) z( z( i Uwg: jest wektorem, którego skłdowe są niezleżnymi zmiennymi losowymi o określonych funkcjch gęstości prwdopodobieństw hzi zg(z)dz b) błąd oszcowni )f ( )d z( ¾(I) ¼ s ¾(z) p )d (z hzi) f ( 5

6 zwyczj obszrem cłkowni jest określony podzbiór przestrzeni RM. W tkim przypdku obliczną cłkę trzeb zpisć w nieco zmienionej postci: I )f ( )d z( gdzie: Przykłd Wyznczyć pole powierzchni obiektu o nieregulrnym ksztłcie. )z( )f ( )d ( ) ( jest funkcją przynleżności do zbioru ( ) ½ ½ dl dl Kwdrtur Monte Crlo (metod orzeł-reszk) I )d )z( )d ¼ )z( ) z( ( ( i Uwgi: ) w powyższym przypdku zkłdmy, że funkcj gęstości prwdopodobieństw jest stł w obszrze Ω b) wydjność metody zleży od stosunku wielkości obszru i obszru Ω. S dr dr n S i 6

7 Przykłd I leży obliczyć numerycznie wrtość cłki d d d3 d4 ) metod trpezów d5 g( ; ; 3 ; 4 ; 5 ) g " f (y ) + f (yn ) f (y)dy h + Itrp h5 n wi i h n n j wj n wk k wi;j;k;l;m ½ n f (yi ) i n l # wl n m p y yn wm g(i ; j ; k ; l ; m ) i; j; k; l; m ; n i; j; k; l; m ; ; : : : ; n b) kwdrtur Monte Crlo IM C gdzie: 5 ) g( i - objętość obszru obliczeniowego [ ; ; 3 ; 4 ; 5 ] jest wektorem, którego skłdowe są zmiennymi losowymi 7

8 Rys. Wykres błędu oszcowni wrtości cłki w zleżności od liczby węzłów (trpezy)/losowń (MC). C wrtość dokłdn cłki I wrtość cłki wyznczon numerycznie 8

9 Tłumienie jest relizcją zmiennej losowej: Przykłd Dzielnik npięci powinien zpewnić tłumienie o wrtości.5 z dokłdnością %. Opory r i r mją rozrzuty produkcyjne które możn reprezentowć z pomocą niezleżnych zmiennych r r o funkcjch gęstości prwdopodobieństw fr (r ) fr (r ) Wyznczyć estymtę uzysku produkcyjnego, czyli średniego odsetk ukłdów sprwnych. Rozkłd tej zmiennej opisuje fgp: zleżn od fr (r ) r r + r fk (k) fr (r ) Wrunkiem sprwności ukłdu (jednej z wielu relizownych możliwości) jest : k [:49; :5] Tłumienie npięciowe dzielnik: k r r + r k Wykorzystujemy metodę MC do estymcji wrtości oczekiwnej: (k)fk (k)dk k jest funkcją wektor losowego: r [r ; r ]T 9

10 dltego uzysk produkcyjny możn wyrzić wzorem n średnią wrtość funkcji przynleżności: (k(rr ))fr (rr )dr R Algorytm wyznczeni uzysku: ) Wylosuj prę liczb: r i r, zwiększ o ) Jeśli obliczone k mieści się w obszrze wówczs zwiększ s o 3) Uzysk oblicz jko wrtość ułmk gdzie: fr fr (r )fr (r ) s Przykłd. jest iloczynem ze względu n niezleżność zmiennych losowych r i r. Estymtę uzysku możn obliczć jko średnią rytmetyczną ^ (k(rr n )) n gdzie: r ; r r 3 ; : : : są niezleżnymi relizcjimi wektor losowego r Wyznczyć minimlną liczbę próbek wystrczjącą do wyznczeni estymty uzysku z trzysigmowym błędem względnym: ± 3¾ ^ ^ Dl ±.%,%,%. Obliczmy wrincję estymtor: µ ¾ ^ (k(rr n )) ( ) n µ (k(rr n )) n ^( ^)

11 Błąd względny: s ±3 Metody zwiększni efektywności metody Monte Crlo ^ ( )^ Przeksztłcjąc go możn otrzymć wyrżenie n minimlną liczbę próbek potrzebną do uzyskni wymgnej dokłdności: µ ^ 3 ^ ± I )f ( )d G( )G( )f ( )d ( RM Dokłdność wyznczeni cłki metodą MC zleży od liczeby próbek orz wrincji zmiennej losowej: )G( ) z ( Wydjność metody możn zwiększyć ustljąc i dokonując tkiej trnsformcji funkcji podcłkowej by now zmienn losow (funkcj) mił mniejszą wrincję. Rys. leżność minimlnej liczby próbek od złożnego uzysku

12 ) Metod losowni wżonego kłdmy że dl ) g ( jest fgp dodtnio określoną ¾ ½ ) f ( ) )d I E(z) G( g ( g ( ) )f g y G( Cłkę estymujemy: n ) I y( n jmniejszą wrtość wrincj osiąg dl: ) R g ( jg( )jf ( ) jg( )jf ( )d Jeżeli G() jest funkcją nieujemną, wówczs minimln wrincj estymtor wżonego jest równ. leżłoby jednk w tkim przypdku znć wrtość cłki w minowniku. zwyczj nie jest to możliwe, dltego funkcję G() zstępuje się inną G(), której cłk może być łtwo obliczon. Minimlizcj wrincji w tkim przypdku zleży od jkości zstosownego przybliżeni. mienn losow z m tką smą wrtość oczekiwną jk zmienn losow y orz wrincję zleżną od fgp: ) g ( Wrincję etsymtor cłki możn zmniejszyć odpowiednio dobierjąc fgp.

13 b) Metod zmiennej kontrolnej. Ik Metod poleg n dekompozycji cłki: I Gdzie: h i ^ ^ )f d + ) G( ) f d G( G( )f ( )d G( k )f ¹(k )d ¹(k ) G( k ^ ) G( ¹(k ) )d f ( k jest proksymcją funkcji G() umożliwijącą łtwe obliczenie pierwszego wyrzu po prwej stronie (nlitycznie lub numerycznie). Wrincj zmiennej losowej ^ ) ) G( y G( gdzie: k,,3,...,k Cłki Ik możn obliczć z pomocą podstwowej wersji metody MC m zncznie mniejszą wrincję niż G(). k ¹( ) k (k) (k) I^k k ( n )G( n ) k n c) Losownie wrstwowe W metodzie tej obszr cłkowni dzieli się n K rozłącznych podobszrów: ; ; : : : ; k Cłkę I oblicz się jko sumę cłek w podobszrch. Próbki (k) f n jn ; ; : : : ; k g są relizcjmi wektor losowego o fgp ) f ;k ( ) k f ( ¹(k ) 3

14 d) Metod obniżni krotności cłki Obniżeni krotności cłki możn dokonć gdy jest możliw dekompozycj wektor oryginlnych zmiennych losowych: ut v T ] T [u orz obszru u v że zchodzi u u v v I u ½ v ¾ (u u; v ))fv (vv )dvv fu (u u)du u G( mienn losow z Metod MC wymg zstosowni genertor liczb pseudolosowych o zdnym rozkłdzie gęstości prwdopodobieństw. Genertory ( rczej ciągi generownych liczb) muszą spełnić określone wrunki (korelcj, okres, fgp itp.). stosowni metody Monte Crlo ) fu (u u )fv (vv ) f ( m zzwyczj mniejszą wrincję niż G() co pozwl dość łtwo obliczyć cłkę zewnętrzną. Metod jest skuteczn jeśli potrfimy dość dokłdnie i szybko obliczyć cłkę wewnętrzną (nlitycznie lub numerycznie). (u u; v ))fv (vv )dvv G( v ) sumulcj komputerow probbilistycznego modelu mtemtycznego/fizycznego (kwntow dyfuzyjn metod MC). b) Oblicznie wrtości cłek wielokrotnych (oblicznie objętości, momentów bezwłdności itp. obiektów o nieregulrnym ksztłcie) c) Optymlizcj (minimlizcj czsu oczekiwni pcjent w kolejce do lekrz) d) Rozwiązywnie równń różniczkowych (rów. Poisson metodą błądzeni przypdkowego ze stłym lub zmiennym krokiem) 4

15 Przykłd. Wrunek początkowy ( ; ); t> u(; t ) u () Jeśli jko wrunek początkowy zdmy deltę Dirc u (; t ) ±( ) to dlszą ewolucję u(,t) opisuje formuł µ ( ) u(; t) p ep 4Dt 4¼Dt łóżmy terz że u(,t) m opisywć zbiór cząstek, które dl t były skupione w niewielkim obszrze, dl t> dyfundują w prwo i w lewo. Rozkłd gęstości w chwili t t µ u( ; t) p ep ; 4Dt 4¼Dt możn wygenerowć stochstycznie przesuwjąc kżdą cząstkę o, przy czym otrzymujemy z rozkłdu normlnego (np. genertor Bo-Muller): p (; ) D t W kolejnych chwilch czsowych t i i t opercję powtrzmy dl kżdej cząstki. 5

16 Rozkłd wędrowców (dyfuzj skłdnik) w wybrnych chwilch czsowych 6

17 Przykłd. Oblicznie momentu bezwłdności kuli Obszr kuli: def. momentu bezwłdności: ( ) + (y y ) + (z z ) R I ½ dm M I Wrincj: (~ ½ ½ ~ ) d s I (~ ½i ½ ~ ) µ i i " ¾I s (~ ½i ½ ~ ) µi i Ã! 3 s (~ ½i ½ ~ ) µi 5 i 7