Elementy metod numerycznych DEMN LMO Materiały na ćwiczenia dla grupy 1CB

Transkrypt

1 Elementy metod numerycznych DEMN LMO Mteriły n ćwiczeni dl grupy CB Prowdzący: Łuksz Smg 0 pździernik 0 Spis treści Błąd reprezentcji i rytmetyk zmiennoprzecinkow Uwrunkownie zdni, wskźnik uwrunkowni zdni Algorytm Horner 4 Interpolcj 4 5 Rozkłd LU i elimincj Guss 7 6 Rozwiązywnie równń nieliniowych - metody itercyjne 8 7 Liczb i loklizcj pierwistków wielominu 8 Cłkownie numeryczne Błąd reprezentcji i rytmetyk zmiennoprzecinkow Rodzje błędów. Błędy dnych wejściowych pojwiją się, gdy dne są wynikiem pomirów wielkości fizycznych mierzonych z pewnymi błędmi pomiru. Wstępne zokrąglnie występuje zwsze dl liczb niewymiernych jk np. π, e,.. Błąd reprezentcji spowodowny jest skończoną długością słow mszynowego. Powoduje ono wstępne zokrąglnie dnych np. dl liczb posidjących nieskończone rozwiniecie dwójkowe (w komputerze dwójkowym) jk chociżby 0 posid rozwinięcie = ( ). Błąd metody (obcięci) pojwi się przy zmniejszniu liczby dziłń, np. oblicznie sum nieskończonych, oblicznie wielkości będących grnicmi. 4. Błędy dziłń spowodowne są rytmetyką liczb zmiennopozycyjnych. Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby rzeczywiste pmiętne są w konwencji zmiennoprzecinkowej (zmiennopozycyjnej). Postć zmiennoprzecinkow liczby rzeczywistej jest nstępując: x = s m B c, gdzie s = lub s = jest znkiem, m mntysą, c cechą liczby, ntomist B to podstw systemu. Liczbę zmiennoprzecinkową nzywmy znormlizowną, o ile mntys m [ B, ) (wówczs pierwsz cyfr po przecinku musi być różn od 0). Poniewż długość słow mszynowego jest ogrniczon, więc ogrniczon jest również liczb bitów przeznczonych n zpmiętnie mntysy i cechy liczby. Liczb zmiennoprzecinkow pojedynczej precyzji pmiętn jest n bitch, z czego pierwszy bit (njstrszy) sygnlizuje znk liczby, 8 nstępnych przeznczonych jest n cechę. N pozostłych bitch pmiętn jest część ułmkow mntysy. Nie kżd liczb rzeczywist x jest liczbą mszynową, nleży ztem zstąpić ją jkąś liczbą mszynową. Poniewż mntysy liczb mszynowych mją t cyfr, więc przybliżenie liczby x możn uzyskć poprzez odrzucenie cyfr począwszy od pozycji t + po kropce, jest to przybliżenie przez obcięcie, lub poprzez zokrąglenie w górę do t miejsc po kropce.

2 Błąd reprezentcji i rytmetyk zmiennoprzecinkow Błąd bezwzględny i względny reprezentcji Błędem bezwzględnym reprezentcji liczby x = s m B c nzywmy liczbę { rd(x) x Bc t przy zokrągleniu tr(x) x B c t, przy obcięciu gdzie t liczb bitów przeznczonych n mntysę. Zdnie.. Wyzncz przybliżenie liczby x = stosując metodę obcięci i zokrągleni w rytmetyce, w której t = 6. Wyzncz błąd bezwzględny tych przybliżeń, by sprwdzić, które z nich jest bliższe wrtości dokłdnej x. Błędem względnym reprezentcji liczby x = s m B c nzywmy liczbę rd(x) x x B t przy zokrągleniu B t przy obcięciu tr(x) x x gdzie t liczb bitów przeznczonych n mntysę. Zdnie.. Dne są dwie liczby przybliżone: A = 509, 4 z błędem (bezwzględnym) 0, i B = 0, 0 z błędem 0, 000. Któr z liczb jest podn z większą dokłdnością? Powyższe zdnie pokzuje, że dopiero odniesienie wielkości błędu do rzędu wielkości smej liczby dje prwidłową odpowiedź n pytnie o dokłdność. Informcj o błędzie bezwzględnym jest rzdko użyteczn, gdy nie znny jest rząd wielkości liczby. Ztem w prktyce częściej posługujmy się pojęciem błędu względnego. { Dokłdnością mszynową nzywmy liczbę ɛ = B t dl zokrągleni B t. dl obcięci Cyfry ułmkowe to wszystkie cyfry po kropce ułmkowej. Cyfry istotne to cyfry, jkie pozostją po pominięciu zer n początku ułmk. Cyfry poprwne - jeśli A 0 t (- liczb przybliżon, A liczb dokłdn) to m t cyfr poprwnych. Cyfry znczące to cyfry istotne występujące w do pozycji t-tej po kropce. Liczb cyfr poprwnych dje pojęcie o błędzie bezwzględnym, ntomist liczb cyfr znczących dje pojęcie o błędzie względnym. Zdnie.. Ile cyfr ułmkowych, istotnych, poprwnych, znczących m liczb 0, 004 ± 0, ? Zmiennoprzecinkowe dziłni rytmetyczne Arytmetyk zmiennoprzecinkow to mtemtyczny model rytmetyki mszyny cyfrowej. Relizcję dziłń w rytmetyce zmiennopozycyjnej będziemy oznczć symbolem f l fl(x y) = (x y)( + ɛ), ɛ t, {+,,, :}. Zdnie.4. Oblicz fl(( + b) c) orz fl( c + b c) dl liczb mszynowych, b, c. Uwg... Zmiennopozycyjne dziłni rytmetyczne nie są łączne ni przemienne.. Mtemtycznie równowżne wzory nie muszą być równowżne obliczeniowo.. Przy większej różnicy dodwnych wielkości jeden ze skłdników może zostć niezuwżony (ptrz przykłd poniżej). Przykłd... Niech mntys m 4 cyfry. Wtedy fl 4 (0, , ) = fl 4 (0, , ) = 0, 4 0 5, poniewż: i po zokrągleniu otrzymujemy 0, , , , Zdnie.5. Oblicz dl liczb mszynowych, b, c, x, y, z, t: ) fl( b + c ) b) fl( + b + c) c) fl((x + y) z) d) fl(xy + zt),

3 Uwrunkownie zdni, wskźnik uwrunkowni zdni Błąd funkcji wielu zmiennych Zdnie poleg n wyznczeniu błędu dnej funkcji n zmiennych, gdy znne są błędy wszystkich jej rgumentów. Złóżmy, że dn jest funkcj różniczkowln y = f(x, x,..., x n ). Chcemy obliczyć błąd względny i bezwzględny obliczonej wrtości y = f(x, x,..., x n ), gdzie x i = x i (+ɛ i ), i = x i x i, δ i = i x i są młymi zburzenimi, odpowiednio bezwzględnym i względnym rgumentów funkcji. Mmy nstępujące oszcowni błędu funkcji y = f(x, x,..., x n ): y = f(x +, x +,..., x n + n ) f(x, x,..., x n ) f x i= i i () δ y = y n y f x i= i x i δ i n y = f x i x i= i y δ i () dl funkcji jednej zmiennej wzory (), () przyjmują postć y = f (x) x, δ y = x f (x) y δ x () Zdnie.6. Zbdć i opisć przenoszenie się (propgcję) błędów dl funkcji: ) (x) = x b) b(x, y) = xy c) f(x, y) = x y. Uwrunkownie zdni, wskźnik uwrunkowni zdni Definicj... Jeżeli niewielkie względne zminy dnych wejściowych powodują duże względne zminy rozwiązni zdni, to zdnie tkie nzywmy źle uwrunkownym. Wielkości chrkteryzujące wpływ zburzeń dnych n zburzeni rozwiązni nzywmy wskźnikmi uwrunkowni zdni. N podstwie wzorów (), () mmy, że wielkość f x i jest współczynnikiem proporcjonlności mierzącym wrżliwość funkcji n bezwzględną zminę i wrtości x i wielkość xi y f x i określ jk brdzo błąd względny wrtości xi wpływ n błąd względny funkcji. Ztem wielkość xi y f x i możn przyjąć jko wskźnik uwrunkowni zdni condxi dl funkcji f. Zdnie.. Znjdź wskźnik uwrunkowni dl funkcji f(x) = rcsin(x). Zdnie.. Znjdź wskźnik uwrunkowni zdni obliczni iloczynu sklrnego wektorów x = [x, x,..., x n ], y = [y, y,..., y n ]. Zdnie.. Dl wektor x = [,, ] dobrć wektor y = [y, y, y ] tki, by wskźnik uwrunkowni zdni obliczni iloczynu sklrnego wektorów x i y był równy co njmniej. Zdnie.4. Oblicz wskźnik uwrunkowni zdni wyznczni mcierzy odwrotnej dl mcierzy [ ] A =. 4 Zdnie.5. Wyzncz wskźnik uwrunkowni zdni: ) obliczni iloczynu sklrnego wektorów x = [,, ] [, y = ][4, 5, 6], b) wyznczni mcierzy odwrotnej dl mcierzy A =. 6 Algorytm Horner Oblicznie wrtości wielominu - lgorytm Horner Wielomin w postci nturlnej w(x) = n i x i możn zpisć w nstępującej postci w(x) = (...(( n x + n )x + n )x )x + 0. Z podnego wzoru wynik lgorytm Horner obliczni wrtości wielominu w w punkcie x postci: w n = n, w i = w i+ x + i, i = n, n,..., 0 w(x) = w 0. Powyższy lgorytm Horner minimlizuje liczbę dodwń i mnożeń przy obliczniu wrtości wielominu.

4 4 Interpolcj Zdnie.. Stosując lgorytm Horner wyznczyć wrtość wielominu w(x) w punkcie x 0. ) w(x) = x 4 + x x + 5, x 0 = b) w(x) = x + 5x, x 0 = 5 c) w(x) = x 4 x + x +, x 0 = d) w(x) = x 4 + x x +, x 0 =. Zdnie.. Stosując lgorytm Horner obliczyć wrtość dziesiętną liczby (00) 4 zpisnej w systemie o podstwie 4. Dzielenie wielominu przez dwumin - lgorytm Horner Z pomocą lgorytmu Horner możn również wyznczyć współczynniki ilorzu i resztę z dzieleni wielominu w(x) przez dwumin d(x) = x c, gdzie c jest pewną stłą. Mmy, że i x i = ( n ) n b i+ x i (x c) + b 0 = b n x n + (b i b i+ c)x i. Porównując współczynniki przy tych smych potęgch i korzystjąc z lgorytmu Horner obliczni wrtości wielominu w punkcie otrzymujemy: { bn = n b i = b i+ c + i i = n,..., 0, gdzie b 0 = b c + 0 jest resztą z dzieleni. Zdnie.. Stosując lgorytm Horner obliczyć ilorz i resztę będące wynikiem dzieleni wielominu w(x) przez dwumin d(x). ) w(x) = x 0x + 8x, d(x) = x 5 b) w(x) = x 5 0x + 5x, d(x) = x c) w(x) = x 4 x + x +, d(x) = x d) w(x) = x 4 + x x +, d(x) = x +. Oblicznie wrtości unormownych pochodnych wielominu - lgorytm Horner Kolejnym zstosowniem lgorytmu Horner jest możliwość obliczni wrtości unormownych pochodnych wielominu w(x) w punkcie x 0, tj. w(k) (x 0) k! dl k = 0,,..., n. Zpisując w(x) = (x x 0 ) k v(x) + r(x), gdzie r(x) jest wielominem stopni niższego niż k, otrzymujemy po k-krotnym zróżniczkowniu, że w (k) (x 0 ) = k! v(x 0 ). Współczynniki wielominu v(x) = w(x) (x x 0) możn obliczyć dzieląc wielomin w(x) i kolejno otrzymne ilorzy w(x) k (x x 0), i =,,..., k przez x x i 0 lgorytmem Horner. Zdnie.4. Stosując lgorytm Horner obliczyć wszystkie znormlizowne pochodne wielominu w(x) w punkcie x 0 ) w(x) = 8x + 8x + x, x 0 = b) w(x) = x 5x 5x, x 0 = 6 c) w(x) = x 4 x + x +, x 0 = d) w(x) = x 4 + x x +, x 0 =. 4 Interpolcj Sformułownie zgdnieni interpolcji Złóżmy, że dne są wrtości pewnej funkcji f w punktch x i, i =,,..., n, x i [, b] zwnych węzłmi interpolcji. Interpolcj poleg n znlezieniu funkcji F, zwnej funkcją interpolującą, któr w węzłch interpolcji pokryw się z funkcją f, tzn. F (x i ) = f(x i ) dl i =,,..., n. Interpolcj jest wykorzystywn przy obliczniu przybliżonych wrtości dnej funkcji w punktch różnych od węzłów interpolcji (wewnątrz przedziłu interpolcji, jk i poz przedziłem interpolcji tzw. ekstrpolcj) jk również zstępowniu skomplikownych wzorów funkcji prostszymi (wygodnymi dl obliczeń, przetwrzni, itp.). Funkcji interpolującej poszukuje się zwykle jko funkcji z pewnej rodziny. Mogą to być wielominy lgebriczne, wielominy trygonometryczne, funkcje wymierne, funkcje sklejne itp. Możn powiedzieć, że interpolcj jest w pewnym sensie zdniem odwrotnym do tblicowni funkcji. Przy tblicowniu funkcji znjąc jej nlityczną postć tworzymy tblicę wrtości. Ntomist przy interpolcji n podstwie tblicy wrtości określmy jej postć nlityczną. Interpolcj wielominow Twierdzenie. 4.. Istnieje dokłdnie jeden wielomin interpolcyjny stopni co njwyżej n (n 0), który w punktch x i, i = 0,,,..., n, przyjmuje wrtości y i = f(x i ). 4

5 4 Interpolcj Interpolcj Lgrnge Dl dnej tblicy funkcji f nleży znleźć wielomin L n stopni nie wyższego niż n tkiego, że L n (x i ) = f(x i ), i = 0,,..., n. Twierdzenie. 4.. Zdnie interpolcyjne Lgrnge m jednozncznie określone rozwiąznie postci L n (x) = f(x i ) n j=0 j i x x j x i x j. Zdnie 4.. Znleźć wielomin interpolcyjny Lgrnge odpowiedniego stopni dl nstępujących funkcji dnych z pomocą tbeli: ) x i 4 f(x i ) 8 b) x i f(x i ) 5 8 c) x i 0 f(x i ) Zdnie 4.. Niech węzły x i będą rzeczywiste i równoodległe, tzn. x i = x 0 + ih, i = 0,,..., n, gdzie h jest stłą nzywną długością kroku. Zpisć wielomin interpolcyjny Lgrnge stosując podstwienie x = x 0 + th. Zdnie 4.. Skonstruowć wielomin interpolcyjny Lgrnge stopni dw pozwljący obliczyć wrtość 7. Oszcownie błędu interpolcyjnego Chcemy oszcowć z jką dokłdnością wielomin interpolcyjny Lgrnge przybliż funkcję f(x) w punktch przedziłu [, b] nie będących węzłmi interpolcji. Twierdzenie. 4.. Jeżeli f C (n+) ([, b]), to dl x [, b] mmy f(x) L n (x) ω n+ M n+ (n + )!, gdzie M n+ = mx y [,b] f (n+) (y), ω n+ = (x x 0 )(x x )...(x x n ). Zdnie 4.4. Z jką dokłdnością możn policzyć ln(00, 5) korzystjąc ze wzoru interpolcyjnego Lgrnge, jeżeli znne są wrtości ln(00), ln(0), ln(0) orz ln(0)? Zdnie 4.5. Z jką dokłdnością możn policzyć sin ( π 6) korzystjąc ze wzoru interpolcyjnego Lgrnge, jeżeli znne są wrtości sin(0), sin ( ) ( π 6, sin π ) ( 4, sin π ). Dobór węzłów interpolcji N podstwie twierdzeni 4. widć, że błąd interpolcji zleży od wielkości M n+ (n tę wrtość nie mmy wpływu, zleży on od funkcji f) orz ω n+ (tę wrtość możemy minimlizowć przez odpowiedni dobór węzłów). Chcemy ztem tk dobrć węzły x 0, x,..., x n, by liczb ω mx = mx (x x 0)(x x )...(x x n ) był możliwie njmniejsz. Szukmy x [,b] ztem wielominu, który n przedzile [, b] odchyl się njmniej od zer. Zdnie to postwił i rozwiązł P. L. Czebyszew. Niech x [, ]. Dl minimlizcji ω mx nleży wybrć jko węzły pierwistki wielominu Czebyszew T n+ (x) = cos((n + ) rccos(x)) ( i+ postci z i = cos n+ ), π i = 0,,..., n. Stąd optymlnymi węzłmi, n dowolnym przedzile [, b], są więc punkty: x i = ( ( ) ) i + (b ) cos n + π + + b, i = 0,,..., n. Są one zgęszczone n końcch przedziłu, błąd interpolcji dl tk wybrnych węzłów wynosi f(x) L n (x) M n+ (b )n+ (n + )! n+. Zdnie 4.6. Oszcowć błąd interpolcji funkcji f(x) = x n przedzile [, 4] 9 wielominem interpolcyjnym stopni co njwyżej trzeciego ) oprtym n węzłch Czebyszew b) oprtym n węzłch, 5 6, 6 9, 9 4 w punkcie x =. 5

6 4 Interpolcj Wzór interpolcyjny Newton Definicj. 4.. Ilorzem różnicowym rzędu k funkcji f, oprtym n prmi różnych węzłch x l, x l+,..., x l+k, dl których znmy wrtości funkcji, nzywmy wyrżenie f[x l, x l+,..., x l+k ] = l+k i=l l+k j=l j i f(x i ). (x i x j ) Ilorzem różnicowym rzędu zerowego oprtym n węźle x i nzywmy wrtość funkcji w tym punkcie f[x i ] = f(x i ). Twierdzenie Dl dowolnego ukłdu prmi różnych punktów x l, x l+,..., x l+k nleżących do dziedziny funkcji f, zchodzi zleżność rekurencyjn f[x l, x l+,..., x l+k ] = f[x l+, x l+,..., x l+k ] f[x l, x l+,..., x l+k ] x l+k x l. Złóżmy, że x 0, x,..., x n będą dnymi węzłmi interpolcji, f(x 0 ), f(x ),..., f(x n ) odpowidjącymi im wrtościmi funkcji f(x). Niech pondto p 0 (x) =, p i (x) = (x x 0 )(x x )...(x x i ), i =,,..., n. Wówczs gdzie b i = i k=0 L n (x) = b i p i (x), f(x k ) = f[x 0, x,..., x i ]. i (x k x j ) j=0 j k Z ilorzów różnicowych tworzy się zzwyczj tblicę, wg poniższej zsdy: x i f(x i ) rzędu rzędu rzędu rzędu 4 x 0 f(x 0 ) f[x 0, x ] x f(x ) f[x 0, x, x ] f[x, x ] f[x 0, x, x, x ] x f(x ) f[x, x, x ] f[x 0, x, x, x, x 4 ] f[x, x ] f[x, x, x, x 4 ] x f(x ) f[x, x, x 4 ] f[x, x 4 ] x 4 f(x 4 ) Wzór interpolcyjny Newton z ilorzmi różnicowymi jest postci: L n (x) = f(x 0 ) + f[x 0, x ](x x 0 ) f[x 0, x,..., x n ](x x 0 )(x x )...(x x n ). Zdnie 4.7. Wyzncz wielomin interpolcyjny Newton dl funkcji f(x) tkiej, że f(0) =, f() =, f() =, f(4) = 5 orz f(6) = 7. Zdnie 4.8. Wyzncz wielomin interpolcyjny Newton mjąc dne: ) x i 4 5 f(x i ) 0 0 b) Wzór interpolcyjny Hermit x i 5 6 f(x i ) Niech dnych będzie k + różnych węzłów x 0, x,..., x k wrz z odpowidjącymi im krotnościmi m 0, m,..., m k, gdzie k m i = n +. Zdnie interpolcyjne Hermite poleg n znlezieniu dl dnej funkcji f wielominu H n stopni co njwyżej n, spełnijącego wrunki: H (j) n (x i ) = f (j) (x i ), i = 0,,..., k, j = 0,,..., m i. Zmist f (j) (x i ) możemy przyjąć liczby f ij i tym smym uniezleżnić zdnie od funkcji f. Gdy m i =, i = 0,,..., k, to interpolcj Hermite sprowdz się do interpolcji Lgrnge. Zdefiniujmy funkcję { 0 dl i = 0 s(i) = m 0 + m m i dl i > 0. 6

7 5 Rozkłd LU i elimincj Guss Kżd liczb l, 0 l n dje się jednozncznie przedstwić w postci l = s(i)+j, 0 i k, 0 j m i. Zdefiniujemy nlogicznie jk przy interpolcji Newton wielominy p l = p s(i)+j wzormi p s(0) (x) =, p s(i)+j (x) = (x x 0 ) m0 (x x ) m...(x x i ) mi (x x i ) j. Wówczs wielomin interpolcyjny Hermite m postć H n (x) = b l p l (x) = l=0 k m i j=0 b s(i)+j p s(i)+j (x). W powyższym wzorze współczynniki b s(i)+j podobnie jk w przypdku interpolcji Newton są równe odpowiednim ilorzom różnicowym b s(i)+j = f[x 0, m 0 ; x, m ;...; x i, m i ; x i, j + ] zdefiniownym poniżej. Definicj. 4.. Ilorzy różnicowe oprte n wielokrotnych węzłch dl funkcji f określ się nstępującymi zleżnościmi: Niech funkcj f będzie różniczkowln w punkcie x i. Wtedy f[x i ; x i ] = f[x i, ] = f (x i ), ntomist dl m-krotnego węzł x p mmy f[x p, m] = f (m ) (x p) (m )!. W przypdku różnych węzłów x l, x l+,..., x l+k o krotnościch i l, i l+,..., i l+k mmy f[x l, i l ; x l+, i l+ ;...; x l+k, i l+k ] = f[x l, i l ; x l+, i l+ ;...; x l+k, i l+k ] f[x l, i l ; x l+, i l+ ;...; x l+k, i l+k ] x l+k x l Zkłdmy tu istnienie pochodnych f (j) (x l+m ), m = 0,,..., k orz j = 0,,..., i l+m. Podobnie jk w przypdku interpolcji Newton, z ilorzów różnicowych tworzy się tblicę. Pierwszą jej kolumnę stnowią węzły interpolcyjne, zpisne kolejno z uwzględnieniem ich krotności. Nstępne kolumny, będące ilorzmi różnicowymi odpowiednich rzędów, budujemy zgodnie z definicją 4.. Dl przykłdu poniżej zostł przedstwion tbel dl dwóch różnych węzłów x 0, x o krotnościch m 0 =, m =. x i f(x i ) rzędu rzędu rzędu rzędu 4 x 0 f(x 0 ) f[x 0, ] = f (x 0 ) x 0 f(x 0 ) f[x 0, ] = f (x 0)! f[x 0, ] = f (x 0 ) f[x 0, ; x ] = = f[x0,;x] f[x0,] x x 0 x 0 f(x 0 ) f[x 0, ; x ] = f[x0;x] f[x0,] x x 0 f[x 0, ; x, ] = f[x0,;x,] f[x0,;x] x x 0 f[x 0 ; x ] = f(x) f(x0) x x 0 f[x 0, ; x, ] = = f[x0;x,] f[x0,;x] x x 0 x f(x ) f[x 0 ; x, ] = f[x,] f[x0;x] x x 0 f[x, ] = f (x ) x f(x ) Wówczs wielomin interpolcyjny Hermite przyjmie postć: H 4 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f[x 0, ; x ](x x 0 ) + f[x 0, ; x, ](x x 0 ) (x x ).! Błąd interpolcji wyznczmy n podstwie twierdzeni 4. przyjmując ω n+ = (x x 0 ) m0 (x x ) m...(x x k ) m k. Zdnie 4.9. Znleźć wielomin interpolcyjny Hermite odpowiedniego stopni interpolujący funkcję f mjąc nstępujące dne: ) f() =, f() = 0, f() =, f () =, f () =, f () = 0, f () = b) f() =, f() = 6, f () =, f () = 7, f () = 8 c) f() =, f(4) =, f () = 0, f (4) =, f () = d) f() =, f() =, f() =, f () =, f () = 0. 5 Rozkłd LU i elimincj Guss Mcierz A = ( ij ) nzywmy górną trójkątną, gdy ij = 0 dl j < i, i =,,..., n, dolną trójkątną, gdy ij = 0 dl j > i. Mówimy, że mcierz A m rozkłd LU, gdy A = LU, gdzie L jest mcierzą dolną trójkątną, U jest mcierzą górną trójkątną. Wtedy rozwiąznie ukłdu Ax = b m dw etpy: njpierw rozwiązujemy ukłd Lz = b względem z, nstępnie ukłd Ux = z względem x. Nie kżd mcierz m jednk rozkłd LU. 7

8 6 Rozwiązywnie równń nieliniowych - metody itercyjne Twierdzenie. 5.. Jeśli wszystkie minory główne mcierzy kwdrtowej A są nieosobliwe, to posid on rozkłd LU. Jeśli l ii =, to powyższy rozkłd nzywmy rozkłdem Doolittle, gdy u ii = rozkłdem Crout, gdy U = L T rozkłdem Cholesky ego. Aby mcierz mił rozkłd Cholesky ego musi być rzeczywist, symetryczn i dodtnio określon. Zdnie 5.. Znjdź rozkłd LU Doolittle, Crout i Cholesky ego mcierzy A = Zdnie 5.. Wyzncz rozkłd LU mcierzy ) A = 4 b) A = Zdnie 5.. Przy pomocy rozkłdu LU rozwiąż ukłd równń x x = 4 4 x Metod elimincji Guss poleg n przeksztłceniu rozwiązywnego ukłdu równń Ax = b do równowżnego ukłdu o mcierzy górnej trójkątnej. Jest on równowżn rozkłdowi LU mcierzy A. Jeśli mcierz A jest wymiru n n, to proces elimincyjny przebieg w n etpch. Zdnie 5.4. Metodą elimincji Guss rozwiąż ukłd równń: x ) x = 4 b) 4 4 x x + x + x = c) x x = 5 d) x + x x = x x x = x + x + x = 6 4x + x + 4x = 9 x + 5x + x = 0 Algorytm Guss w opisnej postci nie jest zdwljący, poniewż zwodzi nwet dl ukłdów, które możn łtwo rozwiązć np. [ ] [ ] [ ] 0 x =. x Okzuje się, że przy numerycznej relizcji elimincji Guss jest wżnym by elementy główne nie tylko były różne od zer, le tkże by nie były zbyt młe co do modułu. W tkiej sytucji wykonuje się modyfikcję elimincji Guss polegjącą n wyborze elementu głównego. Przez częściowy wybór w k-tym kroku rozumie się znlezienie wśród elementów k ik (i = k, k +,..., n) elementu njwiększego co do modułu, oznczmy go przez k ξk, nstępnie przestwienie w mcierzy A (k) wiersz ξ-tego z wierszem k-tym. Tkim przestwieniom odpowid pewn permutcj p = (p, p,..., p n ) cigu (,,..., n). Odpowid to przemnożeniu mcierzy A przez mcierz P powstłą z mcierzy jednostkowej przez przestwienie wierszy zgodnie z permutcją p. Zminy wierszy powodują, że zmist ukłdu Ax = b rozwiązujemy ukłd P Ax = P b nstępująco: njpierw rozwiązujemy ukłd Lz = P b względem z, nstępnie ukłd Ux = z względem x, gdzie LU = P A jest rozkłdem LU mcierzy P A. Wybór elementu głównego (w elimincji Guss) zpewni numeryczną poprwność lgorytmu. Zdnie 5.5. Wykorzystując częściowy wybór elementów głównych elimincji Guss rozwiąż ukłd równń: x + x + x = x + x + x = ) x + x + x = 4 b) x + x = x + x + x = 6 x + x + x = 6 6 Rozwiązywnie równń nieliniowych - metody itercyjne Dne jest równnie f(x) = 0, gdzie funkcj f jest określon i ciągł w pewnym przedzile otwrtym (, b) (skończonym lub nieskończonym). Pondto często zkłdmy istnienie i ciągłość pierwszej i ewentulnie drugiej pochodnej. Metody itercyjne obliczjące pierwistki funkcji f(x) oprte n wzorze x i+ = F i (x i, x i,..., x i k+ ) nzywmy funkcyjnymi metodmi itercyjnymi. N ogół funkcj itercyjn jest stcjonrn, czyli nie zleży od kroków itercji. Jeśli lim x i = i α, to α = F (α, α,..., α). 8. 4

9 6 Rozwiązywnie równń nieliniowych - metody itercyjne Definicj. 6.. Niech f(α) = 0. Złóżmy, że ciąg przybliżeń x i+ = F (x i ) jest zbieżny do α, tzn. lim i x i = α. Mówimy, że w punkcie α metod jest rzędu p, jeżeli istnieje tk liczb rzeczywist p, że x i+ α lim i x i α p = c 0. Stłą c nzywmy stłą symptotyczną błędu, jest on zleżn od funkcji f. Gdy p =, to dl zpewnieni zbieżności metody itercyjnej musi być spełnion nierówność c, dl p > tkie ogrniczenie nie jest konieczne. Rząd metody p i stł c chrkteryzują szybkość zbieżności metody itercyjnej: ciąg kolejnych przybliżeń x 0, x,... jest tym szybciej zbieżny do pierwistk, im większy jest rząd metody i im mniejsz jest stł symptotyczn błędu. Spośród tych dwóch wielkości istotniejszą rolę odgryw wykłdnik zbieżności p. Wrunek wystrczjący zbieżności procesu itercyjnego podje nstępujące Twierdzenie. 6.. Złóżmy, że funkcj F (x) jest określon i różniczkowln w przedzile [, b] i jej wrtości nleżą do tego przedziłu. Wtedy, jeżeli istnieje ułmek włściwy q tki, że F (x) q < dl x (, b), to. proces itercyjny x n = F (x n ), n =,,... jest zbieżny niezleżnie od przybliżeni początkowego x 0 [, b]. wrtość grniczn lim i x i = α jest jedynym pierwistkiem równni x = F (x) w przedzile [, b]. Twierdzenie. 6.. Rząd kżdej jednopunktowej, stcjonrnej metody itercyjnej jest liczbą nturlną. Dokłdniej, funkcj itercyjn F (x) m rząd p wtedy i tylko wtedy, gdy:. F (α) = α. F (j) (α) = 0 dl j < p. F (p) (α) 0. N poszukiwnie miejsc zerowych funkcji nieliniowej f skłdją się dw etpy:. Loklizcj pierwistków poleg n ustleniu możliwie wąskich przedziłów (, b) zwierjących dokłdnie jeden pierwistek równni f(x) = 0. Jest to tk zwny przedził izolcji pierwistk. Przedził ten trktujemy jko pierwsze przybliżenie pierwistk.. Zstosownie lgorytmu itercyjnego do wyznczeni pierwistków przybliżonych z żądną dokłdnością i oszcownie błędu. W celu wyznczeni przedziłu izolcji pierwistk wykorzystć możn nstępujące Twierdzenie. 6. (Bolzno-Cuchy ego). Jeśli funkcj f m n końcch przedziłu domkniętego [, b] różne znki, tzn. f() f(b) < 0, to w przedzile (, b) istnieje co njmniej jeden pierwistek równni f(x) = 0. Pondto jeśli w przedzile (, b) istnieje pochodn f funkcji f i m w tym przedzile stły znk, to w tym przedzile istnieje dokłdnie jeden pierwistek równni f(x) = 0. Kryteri zkończeni procesu itercyjnego:. znlezienie przybliżeni, które spełni wrunek f(x i ) < ɛ. zbieżność itercji, tzn. x i+ x i < ɛ. wryjne kryteri zkończeni obliczeń w przypdku zbyt długo trwjącej itercji: ogrniczenie n mksymlną ilość itercji x i poz przedziłem (, b) f(x i+ ) > f(x i ). Zdnie 6.. Dl równni x + ln(x) = 0 sprwdzić, któr z poniższych dwóch metod itercyjnych jest zbieżn: ) x n+ = ln(x n ) b) x n+ = e xn. Zdnie 6.. Dl równni x x 5 = 0, x > skonstruowć dwie włsne metody itercyjne ich rozwiązni orz zbdć wykłdnik zbieżności dl kżdej metody i podć, któr jest szybciej zbieżn. Metod bisekcji (połowieni przedziłu) Algorytm:. wybrć przedził izolcji [, b ], wewnątrz którego znjduje się dokłdnie jeden pierwistek i dl którego f( ) f(b ) < 0; k =. obliczyć x k = k+b k 9

10 6 Rozwiązywnie równń nieliniowych - metody itercyjne. sprwdzić, czy f(x k ) = 0 ( f(x k ) < ɛ); jeżeli tk to KONIEC 4. jeśli f( k ) f(x k ) < 0, to k+ = k, b k+ = x k, w przeciwnym rzie k+ = x k, b k+ = b k 5. jeżeli nie jest spełniony wrunek zkończeni, to k := k + i powrót do punktu. Wrunek ztrzymni: b k k < ɛ. Metod bisekcji jest zbieżn liniowo z ilorzem. Tk zbieżność nie jest imponując, jednk metod t m kilk istotnych zlet. Oprócz jej prostoty, nleży podkreślić fkt, że bisekcj jest w pewnym sensie uniwersln. Jeśli tylko dysponujemy dwom punktmi i b tkimi, że przyjmuje w nich wrtości przeciwnych znków, to metod bisekcji z pewnością znjdzie miejsce zerowe funkcji, choćby początkow długość przedziłu b był brdzo duż: zbieżność metody bisekcji jest globln. Co wżniejsze, dl zbieżności metody bisekcji wystrcz jedynie ciągłość funkcji. Lemt W celu znlezieni zer x funkcji f z dokłdnością ɛ > 0, wystrczy wykonć k = k(ɛ) = log b ɛ kroków metodą bisekcji. Zdnie 6.. Wykonj trzy kroki metody bisekcji w celu wyznczeni dodtniego pierwistk równni x = 0 zczynjąc od przedziłu [, ]. Ile itercji nleży wykonć, by obliczyć pierwistek z dokłdnością 0? Metod Newton (stycznych) Ide metody Newton opier się n populrnym wśród inżynierów pomyśle lineryzcji: zmist szukć miejsc zerowego skomplikownej funkcji, przybliżmy ją linią prostą, dl niej już umiemy znleźć miejsce zerowe. Strtując z pewnego przybliżeni początkowego x 0, w kolejnych krokch metody, k-te przybliżenie x k jest punktem przecięci stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x k z osią Ox. Poniewż równnie stycznej m postć y(x) = f(x k )+f (x k )(x x k ), stąd otrzymujemy nstępujący Algorytm:. wybrć przedził izolcji [, b] (f() f(b) < 0); k = orz gdy f() f () > 0, to x =, gdy f(b) f (b) > 0, to x = b. obliczyć x k+ = x k f(x k) f (x k ). sprwdzić, czy f(x k+ ) = 0 ( f(x k+ ) < ɛ); jeżeli tk to KONIEC 4. jeżeli nie jest spełniony wrunek zkończeni, to k := k + i powrót do punktu. Uwg 6.. y(x k+ ) = 0 0 = f(x k ) + f (x k )(x k+ x k ) x k+ = x k f(x k) f (x k ). Jeżeli pochodną przybliżymy ilorzem różnicowym f (x k ) f(x k) f(x k ) x k x k to ze wzoru Newton otrzymmy wzór siecznych. Metod Newton i jej podobne nleżą do grupy metod zbieżnych loklnie, tzn. zbieżność ciągu (x k ) do zer dnej funkcji f jest zpewnion jedynie wtedy, gdy przybliżeni początkowe zostły wybrne dosttecznie blisko szuknego pierwistk. Jeśli f C ([, b]), f() f(b) < 0 orz f (x) i f (x) nie zmieniją znku w [, b], to przyjmując x 0 tk, że f(x 0 ) f (x 0 ) > 0, zpewnimy zbieżność tej metody. Są to wrunki wystrczjące, by metod stycznych był zbieżn. Wykłdnik zbieżności metody Newton (stycznych) wynosi p = w klsie funkcji o zerch jednokrotnych, orz p = w klsie funkcji o zerch wielokrotnych. Zdnie 6.4. Korzystjąc z metody Newton wyzncz wzór rekurencyjny n oblicznie pierwistk sześciennego z liczby dodtniej φ. Wykonj dw kroki dl φ = 0. Zdnie 6.5. Wyznczyć wykłdnik zbieżności metody Newton. Metod siecznych Kolejną metodą itercyjną, oprtą n podobnym pomyśle lineryzcyjnym co metod Newton, jest metod siecznych, w której zmist przybliżeni wykresu przez styczną, stosuje się przybliżenie sieczną. Metod t wykorzystuje więc do konstrukcji x k+ przybliżeni x k i x k. Musimy również wybrć dw różne punkty strtowe x 0 i x. Algorytm:. wybrć przedził izolcji [, b] (f() f(b) < 0); k = orz x 0 =, x = b. obliczyć x k+ = x k f(x k ) x k x k f(x k ) f(x k ). sprwdzić, czy f(x k+ ) = 0 ( f(x k+ ) < ɛ); jeżeli tk to KONIEC 0

11 7 Liczb i loklizcj pierwistków wielominu 4. jeżeli nie jest spełniony wrunek zkończeni, to k := k + i powrót do punktu. Metod siecznych może w wyjątkowych przypdkch nie być zbieżn np. gdy początkowe przybliżeni nie leżą blisko pierwistk. Wprowdz się dodtkowe wrunki stopu np. bd się czy ciąg f(x k ) i ciąg różnic między kolejnymi przybliżenimi jest mlejący. Jeśli f C ([, b]), f() f(b) < 0 orz f (x) i f (x) nie zmieniją znku w [, b], to przyjmując x 0 i x tkie, że f(x 0 ) f (x 0 ) > 0 orz f(x ) f (x ) > 0, zpewnimy zbieżność tej metody. Są to wrunki wystrczjące, by metod stycznych był zbieżn. Wykłdnik zbieżności metody siecznych dl zer jednokrotnych i dosttecznie głdkich funkcji wynosi p = + 5 =, Jest to metod zbieżn loklnie jko wrint metody stycznych. Zdnie 6.6. Wykonj jeden krok metody siecznych w celu obliczeni wrtości 7. Zdnie 6.7. Korzystjąc z metody siecznych wyzncz wzór rekurencyjny n oblicznie pierwistk kwdrtowego z liczby dodtniej β. Wykonj dw kroki dl β = 5. 7 Liczb i loklizcj pierwistków wielominu W poprzednim rozdzile mówiliśmy o itercyjnych metodch poszukiwni pierwistków dowolnego równni f(z) = 0. Dl wielominów lgebricznych postci: istnieją specjlne metody loklizowni pierwistków. w(z) = 0 z n + z n n (4) Twierdzenie. 7. (Zsdnicze twierdzenie lgebry). Wielomin lgebriczny stopni n o współczynnikch zespolonych m dokłdnie n pierwistków zespolonych, o ile kżdy pierwistek s-krotny uwż się z s pierwistków. Twierdzenie. 7.. Pierwistki zespolone wielominu (4) o współczynnikch rzeczywistych są prmi sprzężone, tj. jeżeli wielomin ten m s-krotny pierwistek ψ = α + iβ (α, β-rzeczywiste), to m on również pierwistek ψ = α iβ tej smej krotności s. Wniosek. 7.. Wielomin lgebriczny stopni nieprzystego o współczynnikch rzeczywistych m przynjmniej jeden pierwistek rzeczywisty. Liczb pierwistków rzeczywistych wielominu Metod Sturm Pozwl uzyskć informcje o loklizcji pierwistków rzeczywistych wielominu i ich dokłdnej liczbie w dnym przedzile. Dl wielominu w postci (4) tworzymy ciąg Sturm nstępująco: Uwg 7.. f 0 (x) = w(x) f (x) = w (x) f (x) reszt z dzieleni f 0 (x) przez f (x) wzięt ze znkiem przeciwnym, f (x) reszt z dzieleni f (x) przez f (x) wzięt ze znkiem przeciwnym,... f p (x) osttni różn od zer reszt f p+ (x) = 0. Jeżeli f p (x) jest stłą różną od zer, to rozptrywny wielomin nie m zer wielokrotnych. Jeśli f p (x) jest wielominem stopni k, to miejsce zerowe tego wielominu jest (k + )-krotnym pierwistkiem wielominu w. Przy wyznczniu kolejnych wyrzów ciągu Sturm otrzymuje się często ułmkowe współczynniki. Ze względu n to, że istotne są znki kolejnych wielominów ( nie ich wrtości) możn kżdy z nich pomnożyć przez odpowiednią liczbę dodtnią tk, by otrzymć wielomin o współczynnikch cłkowitych. Oznczmy przez N(x 0 ) liczbę zmin znku w ciągu Sturm w punkcie x 0 (różnym od zer wielominu). Twierdzenie. 7.4 (Sturm). Jeśli ciąg (f i (x)), i = 0,,..., p, jest ciągiem Sturm n przedzile (, b) i f 0 () f 0 (b) 0, to liczb różnych zer rzeczywistych wielominu w(x) leżących w przedzile (, b) jest równ N() N(b).

12 7 Liczb i loklizcj pierwistków wielominu Zdnie 7.. Z pomocą metody Sturm określić liczbę różnych pierwistków rzeczywistych orz podć ich loklizcję dl wielominu: ) w(x) = x x + b) w(x) = x + x x. Metod Fourier Dl wielominu w stopni n tworzymy ciąg jego pochodnych w(x), w (x),..., w (n) (x). Oznczmy przez M(x 0 ) liczbę zmin znku w ciągu (w i (x 0 )), i = 0,,..., n w punkcie x 0 (różnym od zer wielominu). Twierdzenie. 7.5 (Fourier). Niech w będzie wielominem stopni n określonym n przedzile (, b) i w() w(b) 0. Wówczs liczb zer wielominu w w tym przedzile jest równ M() M(b) lub jest od tej liczby mniejsz o liczbę przystą. Zdnie 7.. Z pomocą metody Fourier określić loklizcję pierwistków wielominu: ) w(x) = x 4x x + 0 b) w(x) = x + x x c) w(x) = 8x 4x 8x + 9. Metod Lguerre Dl wielominu w stopni n tworzymy ciąg wielominów: f 0 (x) = 0, f (x) = 0 x +, f (x) = 0 x + x +,..., f n (x) = w(x). Oznczmy przez L(x 0 ) liczbę zmin znku w ciągu (f i (x)), i = 0,,..., n w punkcie x 0 (różnym od zer wielominu). Twierdzenie. 7.6 (Lguerre ). Jeśli w jest wielominem stopni n określonym n przedzile (, b) i w() w(b) 0, to liczb pierwistków wielominu w w tym przedzile jest równ L() L(b) lub jest od tej liczby mniejsz o liczbę przystą. Zdnie 7.. Z pomocą metody Lguerre określić loklizcję pierwistków wielominu ) w(x) = x x x + b) w(x) = 8x 4x 8x + 9. Metod Krtezjusz Jest on przypdkiem szczególnym metody Lguerre. Mówi on, że liczb dodtnich zer wielominu postci (4) (z uwzględnieniem ich krotności) jest równ liczbie zmin znków w ciągu współczynników 0,,..., n lub jest od tej liczby mniejsz o liczbę przystą. Chcąc znleźć liczbę ujemnych zer wielominu postci (4) nleży skonstruowć wielomin w( x) i zbdć liczbę jego dodtnich zer. Zdnie 7.4. Z pomocą metody Krtezjusz określić loklizcję pierwistków wielominu w(x) = x x x +. Loklizcj pierwistków rzeczywistych W przypdku, gdy chcemy określić przedził zwierjący (potencjlnie) wszystkie pierwistki rzeczywiste wielominu postci (4) nleży wyznczyć kres górny R dodtnich pierwistków tego wielominu orz kresy górne dodtnich zer nstępujących równń pomocniczych: f (x) = x n w( x ) = 0, f (x) = w( x) = 0, f (x) = x ( n w( ) x ) = 0 odpowiednio R, R, R. Wtedy wszystkie dodtnie pierwistki wielominu postci (4) leżą w przedzile R, R, ntomist ujemne ) w przedzile ( R, R. Twierdzenie. 7.7 (Lgrnge ). Niech 0 0 i k, k będzie pierwszym ujemnym współczynnikiem wielominu postci (4). Wszystkie dodtnie pierwistki tego wielominu są mniejsze niż A R = + k 0, gdzie A ozncz mksimum modułu ujemnych współczynników wielominu. Jeśli wszystkie współczynniki wielominu są tego smego znku, to nie m on pierwistków dodtnich. Wyznczenie przedziłu, w którym mogą znjdowć się pierwistki rzeczywiste nie ozncz, że wielomin m tkie zer (m je zwsze wielomin stopni nieprzystego). Zdnie 7.5. Znjdź przedziły zwierjące wszystkie pierwistki rzeczywiste wielominu w(x) = x 9 + x 7 x 5 + 6x x + 9.

13 8 Cłkownie numeryczne Loklizcj pierwistków zespolonych Twierdzenie. 7.8 (Cuchy ego). Niech w będzie wielominem postci (4), 0 0 orz F (z) = 0 z n n k z n k. Jeżeli α ozncz jedyny dodtni pierwistek rzeczywisty wielominu F, ntomist z, z,..., z n są pierwistkmi wielominu w, to z k α dl k =,,..., n. Twierdzenie Niech w będzie wielominem postci (4), 0, n 0. Niech pondto A = mx{,,..., n }, B = mx{ 0,,..., n }. Wszystkie pierwistki wielominu w spełniją nierówność r = + B n z k + A = R, k =,,..., n. 0 Twierdzenie Niech w będzie wielominem postci (4), i R +. Moduły wszystkich pierwistków wielominu w spełniją nierówność ( min, ) ( n,..., z k mx, ) n,...,. 0 0 n Twierdzenie. 7.. Jeśli współczynniki wielominu w postci (4) spełniją wrunek 0 > >... > n > 0, to moduły wszystkich pierwistków wielominu w są mniejsze niż. Jeśli n > n >... > 0 > 0, to moduły wszystkich pierwistków wielominu w są większe niż. Zdnie 7.6. Stosując twierdzeni 7.8, 7.9, 7.0 znleźć oszcownie modułów zer wielominu w(z) = z + z +. 8 Cłkownie numeryczne Definicj. 8. (cłk oznczon Riemnn). Cłką oznczoną Riemnn funkcji f n [, b] R, I(f) = nzywmy grnicę sum S n = n k=0 n k= f(x) dx (x k+ x k ) f(ξ i ), gdzie = x 0 < x <... < x n+ = b, jest dowolnym podziłem przedziłu [, b] tkim, że mx 0 k n x k+ x k 0 przy n, ntomist ξ k [x k, x k+ ] są dowolnymi punktmi pośrednimi. Jedynie dl niewielkiej klsy funkcji potrfimy obliczyć cłkę w sposób nlityczny. Z metod przybliżonych korzystmy, jeżeli:. nie potrfimy wyznczyć funkcji pierwotnej. funkcj pierwotn jest trudno obliczln. funkcj podcłkow dn jest tbelrycznie. Zdnie przybliżonego obliczni cłek możn trktowć jko proksymcję funkcjonłu liniowego I z pomocą funkcjonłów prostszych do obliczeni. Funkcjonł I możemy przybliżć funkcjonłem Q postci: Kwdrtury liniowe n 0 n n k Q(f) = A i,0 f(x i,0 ) + A i, f (x i, ) A i,k f (k) (x i,k ). (5) Funkcjonły Q nzywmy kwdrturmi liniowymi, współczynniki A i,j i punkty x i,j odpowiednio współczynnikmi i węzłmi kwdrtury Q. Jednk njczęściej stosowne są kwdrtury korzystjące tylko z wrtości funkcji f postci: Q(f) = A i f(x i ). (6) W zleżności od wyboru wrtości współczynników A i i węzłów x i otrzymujemy różne metody cłkowni przybliżonego. Definicj. 8. (rząd kwdrtury). Kwdrtur Q jest rzędu n, o ile jest dokłdn dl wszystkich wielominów stopni mniejszego od n, tzn. Q(w) = I(w) dl kżdego wielominu w stopni mniejszego niż n orz istnieje wielomin w n stopni n, dl którego Q(w n ) I(w n ). Uwg 8.. Przy ustlonej liczbie węzłów njwyższy rząd mją kwdrtury Guss, których węzłmi są pierwistki odpowiednich wielominów ortogonlnych. Zdnie 8.. Wyzncz tkie A, B, C, by wzór możliwie wysokiego stopni. x f(x) dx A f(0)+b f()+c f() był dokłdny dl wielominów 0

14 8 Cłkownie numeryczne Kwdrtury interpolcyjne Jednym ze sposobów otrzymywni kwdrtur postci (6) jest cłkownie wielominu interpolującego funkcję podcłkową. Definicj. 8.. Kwdrtury interpolcyjne to kwdrtury otrzymne przez cłkownie wielominu interpolcyjnego Hermite (w szczególności Lgrnge ) funkcji podcłkowej f. Lemt. 8.. Kwdrtury interpolcyjne oprte n węzłch o łącznej krotności n + są rzędu co njmniej n +. Kwdrtury Newton-Cotes Definicj Kwdrturmi Newton-Cotes nzywmy kwdrtury interpolcyjne postci Q(f) = I(L n ), gdzie L n jest wielominem interpolcyjnym Lgrnge funkcji f oprtym n równoodległych węzłch x 0 =, x = + h, x = + h,..., x n = + nh = b. Wzór Lgrnge dl węzłów x 0, x,..., x n jest postci Ztem f(x) dx L n (x) = L n (x) dx = f(x i )l i (x) = f(x i ) f(x i ) l i (x) dx = n j=0 j i x x j x i x j. f(x i )A i, gdzie A i = N podstwie zdni 4. wzór Lgrnge dl węzłów równoodległych jest postci L n (x) = L n (x 0 + th) = Ztem kwdrtur Newton-Cotes jest postci Wrtości Ai h Q(f) = A i f(x i ) = f(x i )l i (t) = L n (x) dx = f(x i ) f(x i ) l i (x) dx = h są tblicowne dl różnych n (dl n =,, ptrz tbel poniżej). n A i h Błąd Nzw 4 h h5 9 8 n j=0 j i t j i j. f(x i ) f () (ξ) wzór trpezów 90 f (4) (ξ) wzór Simpson 8 h5 80 f (4) (ξ) wzór "/8" Twierdzenie. 8.. Kwdrtury Newton-Cotes oprte n n + węzłch są rzędu { n + dl n przystych n + dl n nieprzystych. Zdnie 8.. Wyzncz kwdrturę Newton-Cotes dl cłki Kwdrtury trpezów n f(x) dx i węzłów 0,,,. 0 0 l i (x) dx. l i (t) dt.. Funkcję f przybliżmy wielominem interpolcyjnym Lgrnge oprtym n dwóch węzłch, b. Stąd Q(f) = I(L ) = ( f() x b b + f(b)x ) b dx = b (f() + f(b)). (7) Wzór (7) jest dokłdny dl wielominów stopni co njwyżej pierwszego. W innych przypdkch błąd wynosi R = I(f) Q(f) = (b ) f (ξ), ξ (, b). 4

15 8 Cłkownie numeryczne. Stosując wzór trpezów (7) n kżdym z przedziłów (x i, x i+ ), i = 0,,..., n, otrzymmy złożony wzór trpezów postci x n i+ n ( ) xi+ x i Q(f) = L (x) dx = (f(x i ) + f(x i+ )). (8) x i Dl przedziłów jednkowej długości tj. x i = + ih, h = b n ( Błąd przybliżeni wynosi Q(f) = h R = Zdnie 8.. Wyzncz rząd metody trpezów. Zdnie 8.4. Obliczyć przybliżoną wrtość cłki błąd przybliżeni. powyższy wzór jest postci ) n f() + f( + ih) + f(b). i= (b ) n f (ξ), ξ (, b). Zdnie 8.5. Z pomocą złożonego wzoru trpezów oblicz przybliżoną wrtość cłki Przyjmij krok h równy. Oblicz błąd przybliżeni. x dx stosując złożony wzór trpezów z krokiem h = 0,. Obliczyć 0 0 (x + x + ) dx. Kwdrtury Simpson. Funkcję f przybliżmy wielominem interpolcyjnym Lgrnge oprtym n trzech węzłch, +b, b. Stąd ( + b Q(f) = I(L ) = b (f() + 4f 6 ) + f(b)). (9) Wzór (9) jest dokłdny dl wielominów stopni co njwyżej trzeciego. W innych przypdkch błąd wynosi (b )5 R = I(f) Q(f) = 880 f (4) (ξ), ξ (, b).. Stosujemy wzór Simpson (9) n kżdym z przedziłów (x i, x i ), i =,..., n jednkowej długości. Niech x i = + ih, i = 0,,..., n, gdzie h = b n. Wtedy otrzymmy złożony wzór Simpson postci x i ( ) h n Q(f) = L (x) dx = f() + 4 f(x i ) + f(x i ) + f(b). (0) i= x i= i= i Błąd przybliżeni wynosi Metod Simpson jest rzędu cztery. Zdnie 8.6. Obliczyć przybliżoną wrtość cłki błąd przybliżeni. (b )5 R = 880n 4 f (4) (ξ), ξ (, b). Zdnie 8.7. Stosując złożony wzór Simpson oblicz wrtość cłki (x 4 +) dx stosując złożony wzór Simpson z krokiem h = 8. Obliczyć 0 0 (x + ) dx. Przyjmij krok h równy 4. Dlczego otrzymujemy wynik dokłdny? 5

16 8 Cłkownie numeryczne Kwdrtury Guss Niech Q będzie kwdrturą oprtą n dowolnych węzłch x 0, x,..., x k o dowolnych krotnościch m 0, m,..., m k, n + czyli Q(f) = m 0 m A i,0 f (i) (x 0 ) + m k A i, f (i) (x ) W klsie tkich kwdrtur szukmy kwdrtury o mksymlnym rzędzie przybliżjącej cłkę k m i = A i,k f (i) (x k ). () p(x)f(x) dx. Twierdzenie. 8.. Kwdrtur postci () o mksymlnym rzędzie równym n+ jest kwdrturą interpolcyjną, której węzłmi są pierwistki wielominu stopni n + ortogonlnego n [, b] z wgą p(x). Uwg 8.. Ciąg wielominów (P i (x)) = (P 0 (x), P (x),..., P n (x),...) jest złożony z wielominów ortogonlnych z wgą p(x) n przedzile [, b], gdy p(x)p k (x)p j (x) dx = 0 dl k j. Kwdrtury opisne w twierdzeniu 8. nzywne są kwdrturmi Guss. Widomo, że wielominy ortogonlne mją pierwistki pojedyncze, rzeczywiste i leżące w przedzile [, b]. Ztem kwdrtury Guss są postci Q(f) = n A i f(x i ). Wrtości A i orz x i są tblicowne. W zleżności od wielominów ortogonlnych mmy różne kwdrtury Guss. Jedn z nich jest opisn poniżej. Kwdrtury Guss-Legendre Jest to kwdrtur Guss dl przedziłu obustronnie skończonego [, b] i wdze p(x) =. W przedzile [, ] ciąg wielominów ortogonlnych tworzą wielominy Legendre : d i P i (x) = i i! dx i (x ) i. Np. P 0 (x) =, P (x) = x, P (x) = (x ). Węzły x k stnowią pierwistki wielominu P n+ (x). Ztem f(x) dx = k=0 A k f(x k ) + R(f), gdzie R(f) = n+ ((n + )!) 4 (n + )((n + )!) f (n+) (ξ), ξ (, ). Dl kwdrtur niskiego rzędu węzły x k i współczynniki A k są stblicowne. n k x k A k 0, ( /+) ,, ( /+) , 0 5/9,5/9,8/9 0,,, ( /+)0.866, ( /+) , , , ,4,,, ( /+) , ( /+) , , 0.697, , , Aby zstosowć wzory z przedziłu [, ] w przedzile [, b] nleży dokonć trnsformcji liniowej zmiennej niezleżnej postci t k = +b + b x k. Wówczs f(x) dx = b k=0 A k f(t k ) + R(f), gdzie R(f) = (b )n+ ((n + )!) 4 (n + )((n + )!) f (n+) (ξ), ξ (, b). Zdnie 8.8. Oblicz cłkę dx x przy pomocy kwdrtur Guss-Legendre. Przyjmij n =. 6