Analiza indywidualnych elementów

Transkrypt

1 Metod Elementów Skończonych Studium mgisterskie Anliz indywidulnych elementów Element CST WYKŁAD 7 A Wersj elektroniczn, Litertur GOMULIŃSKI A., WITKOWSKI M.: Mechnik Budowli. Kurs dl zwnsownych. Oficyn Wydwnicz Politechniki Wrszwskiej, Wrszw Rozdz. 5.1, str KLEIBER M.: Wprowdzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT, PWN Wrszw Poznń Rozdz. 5.1, str Ktedr Wytrzymłości Mteriłów

2 nliz indywidulnych elementów - CST Uwgi wstępne Klsycznym językiem jest zpis mcierzowo opertorowy. Formułownie związków mcierzowych i lgorytmu obliczeniowego dowolnego elementu skończonego skłd się z kilku kroków: zsdnicze kroki są stndrdowe dl wszystkich elementów, inne mniej typowe dotyczą grup elementów i wynikją głównie ze stosowni różnych sformułowń teorii (np. elementy strukturlne różne hipotezy teoretyczne, różne funkcjonły wricyjne, itp.). Zgdnieni Płskiego Stnu Nprężeni (PSN) trcze, Płskiego Stnu Odksztłceni (PSO) orz Osiowo Symetryczne (OS) osiowo obrotowe, są 2 wymirowymi zdnimi płskimi i nleżą do njprostszych w formułowniu elementów skończonych. Klsyczne element PSN, PSO i OS nleżą do grupy tzw. elementów kontynulnych, bowiem chrkteryzuje je zgodność wymiru (liczby 2): współrzędnych dziedziny PSN, PSO ( xy, ), OS ( rz,), niezleżnych prmetrów teorii PSN, PSO ( uv,, ) OS ( uw,, ) węzłowych stopni swobody PSN, PSO ( u, v ), OS ( u, w ). Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/5

3 nliz indywidulnych elementów - CST Uwgi wstępne W rodzinie elementów 2 wymirowych rozróżni się elementy formułowne n bzie: trójkąt lub czworokąt (kwdrtu wzorcowego), elementy te mogą mieć różną liczbie węzłów: rodzin Lgrnge owsk le w sformułowniu klsycznym minimum wynosi 3 lub 4 węzły wierzchołkowe odpowiednio. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/7

4 nliz indywidulnych elementów - CST Prmetry teorii i dziedzin elementu, rząd proksymcji (PSN / PSO) PSN / PSO klsyczne sformułownie przemieszczeniowe, teori 2 prmetrow cłkowicie określon przez pol przesunięć ( uv,, ) ciągłość pól ( uv, ) klsy 0 C (bez pochodnych) spełni wymogi regulrności dotyczące słbego (wricyjnego) sformułowniu problemu brzegowego. CST (Constnt Strin Tringle) lub TRIM3 (TRIngulr Membrne, 3 nodes). (njprostszy) element trójkątny o liniowych funkcjch ksztłtu. CST klsyczny element trójkątny 3 węzły = 1, 2,3 ( N = 3) w nrożch, po 2 przesunięci (trnslcyjne) ( u, v ) w węzłch, 32 = 6 stopni swobody elementu (6 ss, 6 dof), dziedzin element brzeg elementu B. B zwrty i ogrniczony podobszr 2, Złożenie. Ukłd loklny elementu ( xy, ) kolinerny z ukłdem globlnym ( x, y ) nie muszą być rozróżnine. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/11

5 nliz indywidulnych elementów - CST Wielkości węzłowe elementu CST (PSN / PSO) ) elementowy wektor geometrii x określony jest poprzez geometrię węzłów x o numercji loklnej indywidulnego elementu = 1, 2,3. x x x y 1 1 x2 = x2 = y2 x3 x3 1 y 3, x x =, = 1, 2,3. y Formlnie x jest zbiorem współrzędnych węzłów elementu, przypdku zdń 2 wymirowych (2D n płszczyźnie) x = {( x, y ) B B, = 1,2,..., N }, tutj B B 2 definiuje się jko: x zwier,,obowiązkowe węzły nrożne nleżące tylko do brzegu B. Uwg. W ogólnym przypdku może być wymgne określenie tkże współrzędne węzłów znjdujących się wewnątrz B jk i poz nrożmi wzdłuż brzegów B elementu. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/15

6 nliz indywidulnych elementów - CST Wielkości węzłowe elementu CST (PSN / PSO) b) elementowe wektory uogólnionych przemieszczeń u i wirtulnych uogólnionych przemieszczeń określony są poprzez uogólnione przemieszczeni węzłów u i wirtulne uogólnione przemieszczeni węzłów δu δu, o numercji loklnej indywidulnego elementu = 1, 2,3. u u u v 1 1 u2 = u2 = v2 u3 u3 v 1 3, u u =, v δu δu δu δv 1 1 δu2 = δu2 = δv2 δ u3 δu3 δv 1 3, δu δu =, = 1, 2,3 δv Wektory u i δu są zbiormi wrtości poszukiwnego u U CB ( ) i wirtulnego δu TU TC( B) przybliżeni pól przemieszczeń w węzłch elementu x. u u Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/18

7 nliz indywidulnych elementów - CST Wielkości węzłowe elementu CST (PSN / PSO) c) elementowe wektory obciążeni do proksymcji funkcji obciążeni, c 1 ) wektory obciążeni brzegowe * t n B Bf w liczbie boków elementu (tutj 3) t bok (1) tx2 = t = bok (1), t y2 bok (1) t x3 bok (1) t y3 * * bok (1) 2bok (1) * t3bok (1) * t 1bok (2) * t bok (2) = 0, * t3bok (2) t t = 0 * 1bok (3) * * bok (3) t2bok (3) gdzie bok ( b) t * x t bok ( b) = bok ( b), b=, 1, 2,3. t y * Wektory bok ( b) * t, b = 1, 2,3 są zbiormi wrtości znnych (dnych) funkcji t ( x ) wzdłuż brzegu x B Bf elementu w węzłch będących brzegiem cił x B f. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/21

8 nliz indywidulnych elementów - CST Wielkości węzłowe elementu CST (PSN / PSO) c) elementowe wektory obciążeni do proksymcji funkcji obciążeni, c 2 ) wektor obciążeni powierzchniowe (objętościowe) f n B : f f f x1 y1 f1 f x2 = f2 = f y2 f3 f x3 f y3, f x f =, = 1, 2,3. f y Wektor f jest zbiorem wrtości znnego (dnego) pol fx, ( ) x B w węzłch elementu x. Pobiernie wielkości węzłowych elementu z odpowiednich wektorów globlnych ukłdu odbyw się n drodze ekstrkcji. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/24

9 nliz indywidulnych elementów - CST Ekstrkcję określ formlnie zerojedynkow mcierz Boole, tzw. mcierz incydencji A : q u. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/25

10 nliz indywidulnych elementów - CST Ekstrkcję określ formlnie zerojedynkow mcierz Boole, tzw. mcierz incydencji A : q u. Tblic incydencji A : q u określ przyporządkownie numercji węzłów: globlnej { cb,, } z wektor q, bc,, (1,2,..., N) i loklnej {,, } u (tutj N = 3) 123 z wektor ekstrkcj u (5) = u1 u2 u3 numercj lokln u u u c= 9 b= 6 = 5 numercj globln u u u u = u u u mcierz incydencji A u u = A q gdzie 10 1= = 00 Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/26

11 nliz indywidulnych elementów - CST Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie CST (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu N ( x ) 0 Zgodnie z koncepcją interpolcji i wymgniem ciągłości klsy C, poszukuje się 2 2 funkcji proksymującej u ( x) n x ( B B ), tkiej że: u( x, y ) = u, = 1, 2,3, tzn. proksymcj u przyjmuje te sme wrtości w węzłch ( x, y ) co funkcj proksymown u. O funkcji u ( x ) mówimy, że interpoluje funkcję ( ) ux w dziedzinie x B B przez zbiór węzłów { x = 1, 2,3}. Do proksymcji u jko funkcji wektorowej zstosujemy u v jednoczesną ( uv), i identyczną ( N= N N) interpolcję skłdowych w odniesieniu do stłej bzy ortonormlnej (knonicznych współrzędnych krtezjńskich). Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/29

12 nliz indywidulnych elementów - CST Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie CST (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu N ( x ) W wersji przemieszczeniowej niewidome przemieszczeni u ( x ) w elemencie x B B muszą być jednozncznie określone przez: prmetry węzłowe u niezleżne od x, bzowe funkcje interpolcyjne N ( ) x, tzn. funkcje ksztłtu. Schemt interpolcji w elemencie CST przyjmuje formę u( xy, ) 3 3 = N( xy, ) u (, ) (, ) 1 = N xyu xy = = 1 = N u, ( xy, ) B B gdzie N( xy, ), = 1, 2,3 są funkcjmi ksztłtu., Mcierz funkcyjną N1(,) xy 0 N2(,) xy 0 N3(,) xy 0 N (,) xy = [ N1(,) xy N2(,) xy N 3(,) xy] =, 0 N1(,) xy 0 N2(,) xy 0 N3(,) xy nzyw się mcierzą (funkcji) ksztłtu. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/32

13 nliz indywidulnych elementów - CST Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie CST (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu N ( x ) Funkcji ksztłtu wyznczymy w sposób trdycyjny, zkłdjąc postć wielominów interpolujących poszczególne skłdowe wektor przemieszczeń u: uxy (, ) = α+ αx+ αy, vxy (, ) = α + αx+ αy, xy, B B. Stłe α i są do wyznczeni, stąd ich liczb musi być równ liczbie ustlonych prmetrów węzłowych w u (tutj 6). Zkłdmy, że tutj wielominy interpolcyjne (funkcje ksztłtu) są liniowe względem x, y orz, że skłdowe u, v są rozprzężone, stąd poszukiwnie α i możn przeprowdzć oddzielnie dl kżdej ze skłdowych uv., Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/33

14 nliz indywidulnych elementów - CST Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie CST (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu N ( x ) Stłe i α wyznczmy z wrunku, że n wrtości uxy (, ), vxy (, ) u, ich wrtości z współrzędne wrtości z x. w węzłch, gdzie przyjmują one: N tej podstwie, wykorzystując rozprzężenie pól u, v, przykłdowo dl pol u możn zpisć zleżność u u1 ux ( 1, y1) 1 x1 y1 α1 = u ux (, y) 1 x y = α = Cα u, u ux (, y) 1 x yα Mcierz tego ukłdu jest nieosobliw, jest to w teorii proksymcji tzw. mcierz Vndermonde. Anlogiczny ukłd równń otrzymmy dl v, v = Cα v. Zuwżmy, że wyzncznik det C = ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) 2 = 2 pole trójkąt(123) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/34

15 nliz indywidulnych elementów - CST Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie CST (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu N ( x ) 1 1 Rozwiąznie ukłdów równń α u= C u i α v= C v dostrcz poszukiwnych współczynników α u i α v. Podstwienie α u i α v do wielominów interpolcyjnych i uporządkowniu ndją im postć gdzie stąd uxy = C + bx+ cyu+ + bx+ cyu + + bx+ cyu = Nu+ Nu+ Nu 1 (, ) det [( 1 1 1) 1 ( ) 2 ( ) 3] vxy bx cyv bx cyv bx cyv Nv Nv Nv, 1 (, ) = det C [( ) 1+ ( ) 2+ ( ) 3] = N( xy, ) = ( + bx+ cy) / det C, = 1, 2,3. 1= xy 2 3 xy 3 2, b1= y2 y3, c1= x3 x2, 2= xy 3 1 xy 1 3, b2= y3 y1, c2= x1 x3, 3= xy 1 2 xy 2 1, b3= y1 y2, c3= x2 x1,, Osttecznie przemieszczeni zpiszemy w postci u( xy, ) = N ( xy, ) u. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/35

16 nliz indywidulnych elementów - CST Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie CST (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu N ( x ) Grficzn interpretcj funkcji ksztłtu elementu CST N ( x ) N ( x ) 3 1 N ( x ) = δ b b N ( x ) 2 Uwg. Element CST jest płski i służy do nlizy zgdnień (n płszczyźnie 2D) PSN, PSO nie doznje ugięć w kierunku prostopdłym do swojej płszczyzny. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/36

17 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Mcierz odksztłceń B proksymcj relcji geometrycznej Aproksymcj relcji geometrycznej RG odksztłceni przemieszczeni: ε = Du prowdzi do zdefiniowni mcierzy gdzie B, tzw. mcierzy odksztłceń, ε( xy, ) = Du( xy, ) = DN ( xy, ) u = B ( xy, ) u, xy = B (, ) DN ( xy, ), [ ] [ DN (,) xy DN (,) xy DN (,) xy] [ B (,) xy B (,) xy B (,) xy] B (, xy) = DN (,) xy = D N (,) xy N (,) xy N (,) xy = = x N(,) xy 0 N(,) xy 0 N(,) xy 0 y x = 0 y 0 N1(,) xy 0 N2(,) xy 0 N3(,) xy. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/37

18 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Mcierz odksztłceń B Wobec liniowości funkcji ksztłtu zchodzi N1 N2 N x x x b1 0 b2 0 b3 0 N N N 1 B = = 0 c 0 c 0 c = B B B. [ ] y y y c1 b1 c2 b2 c3 b 3 N1 N1 N2 N2 N3 N 3 y x y x y x WNIOSEK. Mcierz B elementu CST nie zleży od współrzędnych ( xy, ) B, więc jest stł odksztłceni zwsze pozostją stłe w rmch elementu B. Stąd nzw elementu. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/38

19 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Mcierz odksztłceń B Aproksymcj odksztłceń wirtulnych z definicji, poprzez pochodną kierunkową w punkcie u i kierunku δu m postć d ε= εu [ ; u] = εu ( + u) Lin( u) = = D u, dη w nszym przypdku δ δ δ ηδ η= 0 δ δ po przyjęciu tej smej bzy funkcji interpolujących jk dl przemieszczeń u, tzn. 3 δ u( xy, ) = N( xyδ, ) u = N ( xyδ, ) u, ( xy, ) B B, = 1 jest identyczn z proksymcją (części liniowej!!!) odksztłceń δε( xy, ) = Dδu ( xy, ) = DN ( xyδ, ) u = B ( xyδ, ) u. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/39

20 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Mcierz sztywności K proksymcj wewnętrznej prcy wirtulnej Aproksymcj wewnętrznej prcy wirtulnej Gi[ u; δu ] w obszrze elementu B prowdzi do sformułowni mcierzy sztywności K elementu G [ u; δu] = ( Dδu ) E( Du )d V G [ u ; δu ] = δu [ B EB d V] u = δu K u. T T T T i i B B Uwzględnijąc blokową strukturę mcierzy odksztłceń B B1 B2... B N, = otrzymuje się blokową postć mcierzy sztywności elementu zgodną z loklną numercją węzłów K K K... K K... K N 22 2N = sym.... K N N, K = B EB dv = k dv, T k = B EB. T b b b B B b b Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/40

21 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Mcierz sztywności K W elemencie CST, wobec tego, że mcierz B jest stł, pondto zkłdjąc jednorodny (niezleżny od współrzędnych) mterił ortotropowy opisny stłą mcierzą konstytutywną E E E = E22 E 23 sym. E 33 E, otrzymuje się brdzo prostą formułę n mcierz sztywności elementu CST K = B EB da = B EB da = B EB. T T T UWAGA. Tylko w tym miejscu rozróżnimy sformułownie PSN, PSO. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/41

22 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Mcierz sztywności K Z powyższego wynik, że obliczenie mcierzy sztywności K elementu CST, przy stłej E sprowdz się do T wymnożeni iloczynu trzech mcierzy blokowych B EB przez pole trójkąt 123 orz grubość trczy h stłej w obszrze elementu, co dje T T T T B 1 B1 EB1 B1 EB2 B1 EB 3 K11 K12 K 13 T T T K = 123 hb2 E[ B1 B2 B3] = 123 h B2EB2 B2EB3= K22 K23, T T sym sym. B B EB K33 prowdząc do jwnej (zmkniętej) postci. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/42

23 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN /PSO) Mcierz sztywności K jwn (zmknięt) postć: K K K = = 123 sym. K 33 K K K E11bb 1 1 E12bc E13bc E13bb E13bc E23cc E33cc E33bc 1 1 E22cc E23bc E23bc E33bb 1 1 h sym. E11bb 1 2 E12bc 1 2 E11bb 1 3 E12bc E13bc E13bb E13bc E13bb E13bc E23cc E13bc E23cc E33cc E33b2c1 + E33cc E33bc 3 1 E12bc 2 1 E22cc 1 2 E12bc 3 1 E22cc E13bb E23bc E13bb E23bc E23cc E23bc E23cc E23bc E33bc E33bb E33bc E33b1 b3 E11bb 2 2 E12bc E bb 2 3 E12bc E13b2c2 + E13bb + E b2c3 + E13bb E13bc E23cc + E bc 3 2+ E23cc 2 3 E33cc 2 2 E33bc + E cc 2 3+ E33bc E22cc 2 2 E12bc 3 2 E22cc E23bc E13bb E23b2c 3 + E23bc E23cc 2 3+ E23bc E33bb E33bc E33bb 2 3 E11bb 3 3 E12bc E13bc 3 3+ E13bb E13bc 3 3+ E23cc E33cc 3 3+ E33bc 3 3 E22cc E23bc E23bc E33bb 3 3 Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/43

24 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Aproksymcj zewnętrznej prcy wirtulnej. Aproksymcj zewnętrznej prcy wirtulnej Ge[ u; δu ] w obszrze elementu B i n jego brzegu B prowdzi f t do sformułowni wektor obciążeni elementu r jko sumy r = r + r *. * W ogólnym przypdku f i t jko funkcje podlegją proksymcji. Njczęściej interpolowne są z tą smą dokłdnością jk przemieszczeni (identycznie, o ile jest to możliwe, choć niekoniecznie) f ( xy, ) = N ( xy, ) f, ( xy, ) B B, Zpisuje się formlnie t * bok ( b) ( xy, ) = N ( xy, ) t *, bok ( b) ( xy, ) B bok ( b ), b = 1, 2,3. N = + T ( b ) T * Ge [ u; δu] δufdv δ 1 bok ( b) da B b= ut B bok ( b ) N = + T T ( b ) T * Ge [ u ; δu ] δu N fdv N 1 tbok ( b) da B b= B bok ( b ) = δu [ r + r ] = δu r. * T f t T Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/44

25 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Aproksymcj zewnętrznej prcy wirtulnej. Uwzględnijąc blokową strukturę mcierzy ksztłtu N N1 N2... N N, = otrzymuje się blokową postć wektor obciążeń elementu zgodną z loklną numercją węzłów r r 1 r2 =,... r N N = dv + da T ( b ) T * r Nf Nt 1 bok ( b). B b= B bok ( b ) W elemencie CST zkłd się dodtkowo, że funkcje obciążeń są stłe: f w obszrze elementu i * t n jego brzegu, ztem problem ich proksymcji może być pominięty. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/45

26 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Aproksymcj zewnętrznej prcy wirtulnej. Uwzględnijąc wyniki cłkowni N ( xy, )d A = 123, 1, 2, =, 1 2 lb jesli boku ( b), N( xy, )ds= = 1, 2,3, lb 0 jesli boku ( b), otrzymuje się jwne postci wektorów obciążeń f x f y 1 f x f r = 123 h, 3 f y f x f y bok (2) bok (3) lt 2 x + lt 3 x bok (2) bok (3) lt 2 y + lt 3 y bok (1) bok (3) * 1 lt 1 x + lt t 3 x r = h bok (1) bok (3), 2 lt 1 y + lt 3 y bok (1) bok (2) lt 1 x + lt 2 x bok (1) bok (2) lt 1 y + lt 2 y gdzie b l są długościmi odpowiednich boków trójkąt, położonych nprzeciw węzł b, h jest stłą grubością trczy w obszrze elementu. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/46

27 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Trnsformcj zleżności elementowych do ukłdu globlnego ( x, y ) Omówienie zsd trnsformcj do ukłdu globlnego wymg osłbieni złożeni o kolinerności ukłdów. Złóżmy, że ukłdy loklne ( x, y ) w węzłch = 1, 2,3 elementu obrócone są o kąty φ= ( x, x) w stosunku do ukłdu globlnego, oznczonego tutj przez ( x, y ) współrzędne i ( u, v ) przemieszczeni, mmy: x = cosφx+ sin φy, y = sin φ x + cos φ y. W węźle, obowiązuje nstępujące prwo trnsformcji z ukłdu globlnego do loklnego T :( x, y) ( x, y), T Ortog., det T =+ 1, 1 T T = T, T T= TT = 1, T T Jwn form tej trnsformcji dl przemieszczeń m postć u u cosψ sinψ u = = v = sinψ cos ψ v Tu, u = Tu, u = Tu. T Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/47

28 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Trnsformcj zleżności elementowych do ukłdu globlnego ( x, y ) Ztem trnsformcję wielkości węzłowych elementu u = T u możn zpisć digonlną mcierz blokową zgodną z loklną numercją węzłów u = T u, T1 0 0 T = 0T 2 0, 00T3 T u = T u, δ = δ u T u. Uwzględnijąc, że przyporządkownie numercji węzłów, globlnej z = 1, 2,..., N wektor q i loklnej = 1, 2,3 z wektor A : q u, otrzymuje się relcje rozszerzone do wymiru ukłdu: u, określ tblic incydencji u = T u = T A q, δu = T δu = T A δq. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/48

29 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Trnsformcj zleżności elementowych do ukłdu globlnego ( x, y ) Dl funkcjonłu Ge[ u; δu ] w ogrniczeniu do elementu B B, wobec niezmienniczości G [ u; δu ] względem trnsformcji współrzędnych, obowiązuje e G [ u; δu] G [ u ; δu ] = δu [ K u r ] T G [ u ; δu ] = δu T [ K T u r ] T T = δu [ T K T u T r ] T T T = δu [ K u r ] T G [ q; δq] = δqa [ K A q r ] T T T T T = δq [ A K A q A r ] q [ K q r ]. T = δ Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/49

30 nliz indywidulnych elementów - CST Zleżności mcierzowe elementu CST (PSN / PSO) Trnsformcj zleżności elementowych do ukłdu globlnego ( x, y ) Relcje między wielkościmi w ukłdzie loklnym i globlnym n poziomie elementu (z kreską) mją postć: K = T K T, T r = T r, T n poziomie globlnym rozszerzonym do wymiru ukłdu (z tyldą) mją formę: K A T K A A T T T K T A, T T { T } = = = = Uwzględnijąc digonlno blokową strukturę mcierzy trnsformcji trnsformcji zleżności elementowych K K K... K TK T TK T... TK T N = = T T T N T T K22... K2N TK 2 22T2... TK 2 2N T N sym.... K N.... N sym T K T r A r A T r. T otrzymuje się ogólną zsdę blokowej N T N N N N, r T r 1 Tr 1 1 T r2 Tr 2 2 = = T r T r N N N Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/50

31 nliz indywidulnych elementów - CST PRZYKŁAD Zstosownie elementu CST do nlizy zginni trczy w PSN. Anliz geometrycznie i fizycznie liniow. Geometri zdni Deformcj ukłdu (skl skżon) N kolejnych stronch przedstwiono rozkłd nprężeń 11 σ wzdłuż długości trczy w zleżności od przyjętej dyskretyzcji. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/51

32 nliz indywidulnych elementów - CST Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/52

33 nliz indywidulnych elementów - CST Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/53

34 nliz indywidulnych elementów - CST UWAGI Omówione kolejne etpy formułowni elementu są wspólne dl większości elementów skończonych. Pokzny trdycyjny sposób poszukiwni funkcji ksztłtu (poprzez mcierz Vndermonde ) jest stosunkowo uciążliwy i nie ndje się do nlizy szerokiej klsy elementów. Element CST nie wymg kosztownych obliczeń numerycznych gdyż wszystkie mcierze mją jwną postć. W obliczenich z użyciem elementu CST nleży zwrcć uwgę n sposób dyskretyzcji. Przy ustlonym podzile n elementy wyniki mogą zleżeć od kątów nchyleni (dystorsji) sitki. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07A/54

35 Metod Elementów Skończonych Studium mgisterskie Anliz indywidulnych elementów Element QUAD 4 WYKŁAD 7 B Wersj elektroniczn, Litertur GOMULIŃSKI A., WITKOWSKI M.: Mechnik Budowli. Kurs dl zwnsownych. Oficyn Wydwnicz Politechniki Wrszwskiej, Wrszw Rozdz. 4.6, str ; 5.1, str KLEIBER M.: Wprowdzenie do metody elementów skończonych. PAN IPPT, PWN Wrszw Poznń Rozdz. 5.3, str Ktedr Wytrzymłości Mteriłów

36 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Prmetry teorii i dziedzin elementu, rząd proksymcji (PSN / PSO / OS) PSN / PSO / OS klsyczne sformułownie przemieszczeniowe, teori 2 prmetrow cłkowicie określon przez niezleżne pol przesunięć ( uv/(, ) uw,, ) ciągłość pól ( uv/(, ) uw, ) klsy 0 C (bez pochodnych) spełni wymogi regulrności dotyczące słbego (wricyjnego) sformułowniu problemu brzegowego. QUAD 4, (Q 1): 4-węzłowy element skończony (njprostszy) element czworoboczny o liniowych funkcjch ksztłtu. QUAD 4 klsyczny izoprmetryczny element czworoboczny 4 węzły = 1,2,3,4 ( N = 4) w nrożch, po 2 przesunięci (trnslcyjne) ( u, v ) w węzłch, 42 = 8 stopni swobody elementu (8 ss, 8 dof), dziedzin element B zwrty i ogrniczony podobszr brzeg elementu. B 2, Wyzncznie klsyczne funkcji ksztłtu (np. jk elementu CST) jest uciążliwe przy większej liczbie węzłów. Stndrdowo wykorzystuje się znne rodziny funkcji we współrzędnych nturlnych elementu wzorcowego Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/5

37 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Dziedzin elementu QUAD 4 Element skończony B( e) elementu stndrdowego E z przestrzeni fizycznej jest definiowny jko głdkie odwzorownie π( e) 2 Ń, zpisnego we współrzędnych nturlnych ξ ( ξ, ξ) ( rs, ) [ 1, + 1] [ 1, + 1] π e Ń ( ) Element wzorcowy (stndrdowy) π ( e) jest kwdrtem o bokch równych 2 z 4 węzłmi określonymi przez 4 pry wrtości wierzchołkowych współrzędnych nturlnych { ξ ; ξ ; ξ ; ξ } = {( + 1, + 1); ( 1, + 1); ( 1, 1); ( + 1 1)}, ξ = ( ξ, ξ ) = ( r, s ) π Ń ( e) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/6

38 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Wielkości węzłowe elementu QUAD 4 (PSN / PSO) ) elementowy wektor geometrii X określony jest poprzez geometrię węzłów X o numercji loklnej indywidulnego elementu = 1,2,3,4. X ( e) X X 1 2 =, X 3 X 4 X X ( ξ ) X X( ξ ) X 1 1( ) X( ξ) = = = X2( ξ) X 2( ) Y( ξ) Y. Formlnie X jest zbiorem współrzędnych węzłów elementu, przypdku zdń 2 wymirowych (2D n płszczyźnie) X = {( x, y ) B B, = 1,2,..., N }, tutj B B 2 definiuje się jko: X zwier,,obowiązkowe węzły nrożne nleżące tylko do brzegu B. Uwg. W ogólnym przypdku może być wymgne określenie tkże współrzędne węzłów znjdujących się wewnątrz B jk i poz nrożmi wzdłuż brzegów B elementu. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/7

39 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Wielkości węzłowe elementu QUAD 4 (PSN / PSO) UWAGA pozostłe kroki i wielkości tj. określenie: b) elementowe wektory uogólnionych przemieszczeń u = { u = 1,2,3,4} i wirtulnych uogólnionych przemieszczeń δu = { δu = 1,2,3,4} c) elementowe wektory obciążeni do proksymcji funkcji obciążeni, c 1 ) wektory obciążeni brzegowe bok ( b) b = n B Bf w liczbie boków elementu (4), * t, 1,2,3,4 c 2 ) wektor obciążeni powierzchniowe (objętościowe) f = { f = 1,2,3,4} n B, przebiegją jk w przypdku elementu CST uwzględnijąc = 1,2,3,4. Pobiernie wielkości węzłowych elementu z odpowiednich wektorów globlnych ukłdu odbyw się n drodze ekstrkcji. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/8

40 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Ekstrkcję określ formlnie zerojedynkow mcierz Boole, tzw. mcierz incydencji A : q u. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/9

41 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie QUAD 4 (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu i mcierz funkcji ksztłtu Do proksymcji u jko funkcji wektorowej zstosujemy u v jednoczesną ( uv), i identyczną ( N= N N) interpolcję skłdowych w odniesieniu do stłej ortonormlnej bzy współrzędnych nturlnych ξ ( ξ, ξ) ( rs, ) [ 1, + 1] [ 1, + 1] π e Ń ( ) Funkcje ksztłtu N( ξ ) spełniją one wrunki: N ( ξ ) = δ, b=, 1,2,3,4, b b 4 N ( ) 1 = 1 ξ =, π( e) ξ. Funkcje ksztłtu tworzą one mcierz funkcji ksztłtu 10 N( ξ) 0 N( ξ)= [ NNNN ], N( ξ) = N( ξ) 1 = N( ξ) = 01 0 N( ). ξ Przyjęt interpolcj jest jednkow i jednolit N = N N, nie wyróżnijąc skłdowych i kierunku. u v Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/10

42 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie QUAD 4 (PSN / PSO) Funkcje ksztłtu i mcierz funkcji ksztłtu W 4 węzłowym elemencie skończonym funkcje ksztłtu przyjmuje się w postci Lgrnge owskich biliniowych (iloczynów liniowych) wielominów interpolcyjnych N ( ξ) = (1 + ξξ )(1 + ξ ξ ) N ( r, s) = (1 + rr)(1 + ss) , = 1,2,3,4 UWAGA Element jest płski i służy do nlizy zgdnień PSN/PSO nie doznje przemieszczeń w kierunku prostopdłym do swojej płszczyzny. To funkcje ksztłtu przyjmują wrtości w kierunku prostopdłym do płszczyzny elementu. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/11

43 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie QUAD 4 (PSN / PSO) Opis deformcji elementu jest kombincją liniową postci: Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/12

44 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie QUAD 4 (PSN / PSO) Pochodne funkcji ksztłtu po współrzędnych nturlnych Jwn postć 1 2 ( ξ, ξ) (,) rs ( ξ ) 1 ( ) ( ξ ) 2 ( ) mją postć: N ( ), = ξ(1 + ξξ ) N( rs, ), = r(1 + ss), 1 1 ξ 4 r 4 N ( ), = ξ (1 + ξξ ) N ( r, s), = s (1 + rr). 1 1 ξ 4 s (1 + rr )(1 + ss ) 0 N (,) rs = (1 + rr )(1 + ss ) UWAGA Tk określony element skończony B ( e) jest prmetryzowny przez współrzędne nturlne 1 2 ( ξ, ξ) (,) rs Równni polowe MOC zwierją pochodne cząstkowe względem współrzędnych ( X1, X2) ( XY, ).. Niezbędn jest trnsformcj, pozwljąc wyrzić pochodne po współrzędnych ( X1, X 2) przez pochodne 1 2 po współrzędnych ( ξ, ξ ). Współrzędne wektor wodzącego X( ξ ) w dowolnym punkcie z obszru elementu B ( e), otrzymuje się n podstwie interpolcji wielkości węzłowych 4 4 X ( ξ) = N ( ξ) X = N ( ξ) X = N ( ξ) X = 1 = 1 ( e) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/13

45 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Konstrukcj loklnej bzy proksymcyjnej w elemencie QUAD 4 (PSN / PSO) j Trktując X jko funkcje złożoną, wyrżoną względem obu współrzędnych X( X i) = X ( ξ ( Xi)), n podstwie zminy zmiennych, otrzymuje się: 1 1 X1 X1 ξ ξ X X r r j 1 2 Xi Xi ξ X1 X ξ ξ 2 10 = = δ j ik r s X Y 10 = 2 2 X k ξ Xk X2 X 2 ξ ξ 01, = Y Y s s ξ ξ X1 X 2 r s X Y co po oznczeniu Jkobinu J X1 X1 X X X1 X2 X1 X2 1 2 J11 J 12 ξ ξ r s j = det J = ξ ξ ξ ξ J = = = J21 J, 22 X2 X2 Y Y X Y X Y 1 2 ξ ξ, r s r s s r dje poszukiwną regułę trnsformcji 1 1 ξ ξ X2 X2 ˆ ˆ r r Y Y 2 1 J 1 11 J 12 X1 X 2 1 ξ ξ X Y 1 s r J = = = j = j ˆ ˆ 2 2 J ξ ξ X 21 J 22 1 X1 s s X X 2 1 X ξ ξ X Y s r 1 X 2 Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/14

46 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Potrzebny przy numerycznym obliczniu cłek elementowych, powierzchniowy element różniczkowy da wynosi da = dx dx = j ξ dξ dξ = j r s dr ds, ( ) (,) pochodne funkcji ksztłtu po współrzędnych ( X1, X 2) mją jwną postć: N(,) rs r N(,) rs s 1 ˆ 1 N (, ), ˆ r s x= + = 4r(1 + ss ) J11 + 4s(1 + rr ) J21, r X s X N(,) rs r N(,) rs s 1 ˆ 1 N (, ), ˆ r s y= + = 4r(1 + ss ) J12 + 4s(1 + rr ) J22. r Y s Y ( ) ( ) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/15

47 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Koncepcj elementu izoprmetrycznego W izoprmetrycznych elementch skończonych, w kżdym węźle ( ) elementu B ( e) definiuje się tką smą jk dl geometrii X liczbę prmetrów węzłowych orz wirtulnych prmetrów węzłowych u u ( ξ ) u u( ξ ) u, 1 1( ) u( ξ) = = = u2( ξ) u2( ) v( ξ) v w w ( ξ ) w 1 1( ) w( ξ) = = w2 ( ξ) w2( ) δu δu1( ) δu( ξ) δu = =. δu2( ) δv( ξ) δv Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/16

48 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Zestwienie wektorów węzłowych rzem, węzeł po węźle, tworzy odpowiednie wektory dyskretnych przemieszczeń cłego elementu: q u u 1 2 ( e) = u3 u 4, Δq Δu Δu 1 2 ( e) = Δu 3 Δ u 4, δq ( e) w1 δu1 2 δ w u2 = =. w δu 3 3 w 4 δu 4 Ztem współrzędne wektor niewidomych przemieszczeń u( ξ ), wektor wirtulnych przemieszczeń δu( ξ) w( ξ ) w dowolnym punkcie z obszru elementu B ( e), są interpolowne w rmch elementu skończonego B ( e) według tej smej reguły jk jego geometri tzn. 4 4 N = 1 = 1 ( e) 4 4 N 1 1 δ δ = = ( e) u( ξ) = ( ξ) u = N ( ξ) u = N( ξ) q, w( ξ) = ( ξ) w = N ( ξ) u = N( ξ) q. Tutj, zgodnie z koncepcją elementów izoprmetrycznych, N( ξ ), N( ξ ) i N( ξ ) muszą być tkie sme jk w przypdku interpolcji geometrii elementu.. Osttecznie przedstwiony tu czterowęzłowy element skończony m łącznie osiem stopni swobody, n które w kżdym węźle skłdją się po dwie trnslcje (przesunięci). Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/17

49 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Mcierze elementowe Aproksymcj wewnętrznej prcy wirtulnej Gi[ u; δu ] w obszrze elementu B prowdzi do sformułowni mcierzy sztywności K elementu K T T T ( e) = N B EBN dv = B EB dv, B = B B ( e) ( e) BN W rozpisniu n węzły, jwn postc mcierzy odksztłceń brzmi B= [ B1, B2, B3, B 4], N, 0 x B = BN = 0 N, y N, y N, x Aproksymcj zewnętrznej prcy wirtulnej Ge[ u; δu ] w obszrze elementu B i n jego brzegu B prowdzi f t do sformułowni wektor obciążeni elementu r jko sumy r = r + r *. G = δq r, ( e) T e ( e) r Nf Nt da. T T = dv + * B B ( e) f ( e) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/18

50 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Występujące w powyższych zleżnościch pochodne funkcji ksztłtu po prmetrch ( X1, X 2) rchuje się wykorzystując relcje, J 1 1 ξ ξ X2 X2 ˆ ˆ r r Y Y 2 1 J 1 11 J 12 X1 X 2 1 ξ ξ X Y 1 s r = = = j = j ˆ ˆ 2 2 J ξ ξ X 21 J 22 1 X1 s s X X 2 1 X ξ ξ X Y s r 1 X 2 zś cłki oblicz się n drodze numerycznej. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/19

51 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Cłkownie numeryczne Uwg: Mcierz sztywności K T T T ( e) = N B EBN dv = B EB dv jest określon we współrzędnych B B 1 2 ( e) ( e) ( X, X ). Ale mcierz N, 0 x B = BN = 0 N, y jest określon we współrzędnych N, y N, x 1 2 ( ξ, ξ ) bo N(,) rs r N(,) rs s 1 ˆ 1 N (, ), ˆ r s x= + = 4r(1 + ss ) J11 + 4s(1 + rr ) J21, r X s X N(,) rs r N(,) rs s 1 ˆ 1 N (, ), ˆ r s y= + = 4r(1 + ss ) J12 + 4s(1 + rr ) J22. r Y s Y ( ) ( ) Wygodniej jest przeprowdzić cłkownie we współrzędnych nturlnych. Ale zpisnie zmkniętych wyrżeń n cłki dl dowolnej geometrii elementu jest niemożliwe. Stosuje się więc cłkownie numeryczne Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/20

52 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Koncepcj cłkowni numerycznego Zmin cłki n sumę wrtości funkcji podcłkowej oblicznych w wybrnych punktch obszru cłkowni tzw. punktch cłkowni. Jedną z metod cłkowni numerycznego jest reguł cłkowni (kwdrtur) Guss Legendre Możn stwierdzić, że w PSN/PSO występują cłki typu: K k ( ) ( ) = k ( ) ( ) ( ) A( e ) 1 2 ξ h0 ξ da ξ h [ 1, 1] [ 1, 1] 0 ξ j ξ dξ dξ. ( ) h ξ grubość Kwdrtur Guss Legendre, tk jk większość formuł cłkowni numerycznego, m postć: I I K = w ( ) 1 p p h0 ( p) p = k ξ ξ, ξ. 1 2 p = ( ξp, ξp) ( rp, sp) Tutj p= 1,2,..., I są punktmi cłkowni, ξ [ 1, + p 1] [ 1, + 1] są współrzędnymi tych punktów, w są współczynnikmi wgowymi w tych punktch. p Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/21

53 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Ogólnym zdniem metod cłkowni numerycznego jest zpewnienie zbieżności proksymcji I dl możliwie njszerszej klsy mcierzy funkcyjnych k( ξ) h0 ( ξ ). K I K przy Kwdrtur Guss Legendre, nleży do njbrdziej efektywnych, wysoce dokłdnych i prostych w implementcji komputerowej. Wykzno, że w przypdku czworobocznych elementów Lgrnge owskich o n n węzłch wymgny rząd cłkowni kwdrturą Guss Legendre wynosi n n punktów. Tki rząd cłkowni w nzyw się pełnym (ozncz się go przez FI, ng. full integrtion). Reguł FI w przypdku elementów czterowęzłowych wynosi 2 2 punkty. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/22

54 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Uwg: Oprócz cłkowni pełnego rozróżni się tkże cłkownie niepełne (zredukowne). Dl rozptrywnego elementu ozncz to oblicznie wrtości funkcji podcłkowej w jednym punkcie Guss Kwdrtur Guss Legendre : współrzędne r p i współczynniki + 1 I f() r dr = w ( ) 1 p 1 pf r = p węzły r p współczynniki w p w p Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/23

55 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Z doborem rzędu cłkowni jest związny problem blokdy rozwiązń (ng. Locking effect) Nleży mieć n uwdze, że cłkownie zredukowne może prowdzić do błędnych rozwiązń pojwiją się fłszywe postci zero-energetyczne. Zgdnieni te będą treścią kolejnych wykłdów. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/24

56 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Globlny ukłd równń Globlny ukłd równń budowny jest z mcierzy elementowych n drodze gregcji. Opercj gregcji poleg n odpowiednim sumowniu współczynników mcierzy, których wymiry są różne. Aby gregcj mił sens, dodwne współczynniki muszą mieć te sme znczeni fizyczne i muszą być odniesione do tego smego ukłdu współrzędnych. Pondto ukłd współrzędnych powinien umożliwić proste uwzględnienie wrunków brzegowych. Przedstwiony klsyczny izoprmetryczny element przemieszczeniowy spełni te wrunki z złożeni. Globlny ukłd m postć Kq = p Powstje w sposób stndrdowy z mcierzy elementowych =A = N ( e) K K, e 1 N =A e = 1 p r Tutj q jest globlnym wektorem poszukiwnych przemieszczeń węzłowych, N ozncz liczbę elementów w dyskretyzcji, symbol A gregcję. ( e). Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/25

57 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 PRZYKŁAD Zstosownie elementu 4-węzłowego do nlizy zginni trczy w PSN. Anliz geometrycznie i fizycznie liniow. Geometri zdni Deformcj ukłdu N kolejnych stronch przedstwiono rozkłd nprężeń 11 σ wzdłuż długości trczy w zleżności od przyjętej dyskretyzcji. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/26

58 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/27

59 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/28

60 nliz indywidulnych elementów QUAD 4 Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07B/29

61 ptch-test, dystorsje sitki dyskretyzcyjnej Bdnie odporności elementów skończonych (rozwiązń) n dystorsje sitki dyskretyzcyjnej, 3 klsyczne ptch testy deformcyjne: 2 czystego rozciągnięci n i orz czystego ścinni n. nieregulrn sitk dyskretyzcyjn dne liczbowe:,,. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07C/2

62 ptch-test, dystorsje sitki dyskretyzcyjnej Rozwiązni nlityczne: Test A rozciągnięci w kierunku x; Test B czystego ścinni nxx = const, n yy = 0, n xy = 0 nxy = const, n xx = 0, n yy = 0 1 υ 1+ υ 1+ υ u = xn xx, v= ynxx ; v= ynxy, v= xnxy Eh Eh Eh Eh wyniki przesunięć węzłów nrożnikowych Test A n xx = 10 kn/m Test B n xy = 10 kn/m węzeł u [mm] v [mm] u [mm] v [mm] ( 0, 0) (10, 0) (10, 10) ( 0, 10) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07C/5

63 ptch-test, dystorsje sitki dyskretyzcyjnej Test A rozciągnięci w kierunku x; stn nprężeni: n xx = 10 kn/m; Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07C/6

64 ptch-test, dystorsje sitki dyskretyzcyjnej Test A rozciągnięci w kierunku x; Test B czystego ścinni stn nprężeni: n xx = 10 kn/m; stn nprężeni: n xy = 10 kn/m Ob ptch testy muszą być są spełnione! Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07C/7

65 klsyfikcj i chrkterystyk zgdnień mechniki konstrukcji Elementy prętowe (jednowymirowe) dziedzin ξ π( e ), zgdnienie pręt krtowy krt przestrzenn, cięgn pręt skręcny belk Bernoulliego belk Timoszenki {, v φ } pręt przestrzenn (typu Bernoulliego) pręt przestrzenn (typu Timoszenko) skłdowe loklne przemieszczeń u w teori 1 prmetrow, 0 kls C (typu Lgrnge ) w {,, uvw } trnsformcj do globlnego teori 1 p. kls φ z 0 C 0 C teori 1 p. kls v teori 1 prmetrow, 1 kls C (typu Hermite ) 0 C teori 2 p. kls {,, uvwφ, z } 1 teori 4 p. kls C / C {,, uvwφ, x, φy, φ z} teori 6 p. kls 0 C 0 ξ skłdowe odksztłceń ε ε ε κ s r [ 1, + 1] 1 1 skłdowe nprężeń σ N N M s κ M. {, γκ } { TM, } {, εκx, κy, κ s} { NM, x, M y, M s} { γx, γy, εκ, x, κy, κ s} { Tx, Ty, NM, x, M y, M s}. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07D/3

66 klsyfikcj i chrkterystyk zgdnień mechniki konstrukcji Elementy bryłowe 2D (n płszczyźnie) dziedzin ξ π( e ), ( ξ, ξ) ( rs, ) [ 1, + 1] [ 1, + 1] zgdnienie skłdowe loklne przemieszczeń u skłdowe odksztłceń ε skłdowe nprężeń σ PSN {,} uv { εxx, εyy, γ xy} { σxx, σyy, τ xy} PSO {,} uv { εxx, εyy, γ xy} { σxx, σyy, τ xy} osiowo symetryczne {,} uv { ε, ε, γ, ε } { σ, σ, τ, σ } xx yy xy zz teori 2 prmetrow, 0 kls C (interpolcj typu Lgrnge ) xx yy xy zz Elementy bryłowe 3D (przestrzene) dziedzin zgdnienie trójwymirowy {,, } ( ξ, ξ, ξ ) ( rst,, ) [ 1, + 1] [ 1, + 1] [ 1, + 1] skłdowe loklne przemieszczeń u skłdowe odksztłceń ε skłdowe nprężeń σ uvw { εxx, εyy, εzz, γxy, γxz, γ yz} { σxx, σyy, σzz, τxy, τxz, τ yz} teori 3 prmetrow, 0 kls C (interpolcj typu Lgrnge ) Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07D/5

67 klsyfikcj i chrkterystyk zgdnień mechniki konstrukcji Elementy płytowe i powłokowe dziedzin ξ π( e ), zgdnienie płyt Kirchhoff Love płyt Mindlin Reissner skłdowe loklne przemieszczeń u w teori 1 prmetrow, 1 kls C (typu Hermite ) { w, φ, φ } x y teori 3 prmetrow, 0 kls C (typu Lgrnge ) ( ξ, ξ) ( rs, ) [ 1, + 1] [ 1, + 1] skłdowe skłdowe odksztłceń ε nprężeń σ { κxx, κyy,2 κ xy} { Mxx, M yy, M xy} { γx, γy, κxx, κyy,2 κ xy} { T, T, M, M, M } x y xx yy xy powłoki płskie trcz + płyt trcz + płyt trcz + płyt powłok wg teori Kirchhoff Love powłok wg teori Timoszenko Reissner orz tzw. elementy zdegenerowne powłok wg teori 6 prmetrowej {,, uvw } teori 3 p. kls {,, uvwφ,, φ } teori 5 p. kls {,, uvwφ, x, φy, φ z} teori 6 p. kls x y 1 C 0 C 0 C { εxx, εyy,2 εxy, κ, κ,2 κ } xx yy xy { εxx, εyy,2 εxy, γx, γy, κ, κ,2 κ } xx yy xy { εxx, εyy, εxy, εyx, εx, εy, κ, κ, κ, κ, κ, κ } xx yy xy yz x y { Nxx, Nyy, Nzz, M, M, M } xx yy xy { Nxx, Nyy, Nzz, Tx, Ty, M, M, M } xx yy xy { nxx, nyy, nxy, nyx, nx, ny, m, m, m, m, m, m } xx yy xy yx x y Ktedr Wytrzymłości Mteriłów W07D/8

68 Metod Elementów Skończonych Studium mgisterskie Dziękuję z uwgę cdn. Ktedr Wytrzymłości Mteriłów