MODELOWANIE STATYCZNEJ PĘTLI HISTEREZY MATERIAŁU MAGNETYCZNIE MIĘKKIEGO

Transkrypt

1 Zszyty Naukow WSInf Vol 9, Nr 3, 21 Zbigniw Gmyrk Wydział Informatyki I Zarządzania Wyższa Szkołą Informatyki w Łodzi MODELOWNIE STTYCZNEJ PĘTLI HISTEREZY MTERIŁU MGNETYCZNIE MIĘKKIEGO Strszczni Modlowani statycznj pętli histrzy matriału magntyczngo jst problmm, którym naukowcy zajmują się od wilu lat. W tym czasi powstało wil różnych modli matmatycznych, uwzględniających spcyfikę budowy matriału magntyczngo. Niktór z tych modli mają ograniczony zakrs stosowalności, inn zaś pozwalają na modlowani pętli histrzy podczas dużych zmian wartości maksymalnj indukcji. rtykuł przntuj opis matmatyczny kilku najbardzij popularnych modli statycznj pętli histrzy matriału magntyczni miękkigo. 1 Wprowadzni do modlu Jils-thrtona Tworząc matmatyczny modl Jils-thrtona autorzy wykorzystali widzę dotyczącą procsu magntyzacji matriału składającgo się z domn magntycznych, zaproponowango w postaci funkcji Langvina [1]. Używając tj torii stwirdzono, ż nrgię jaką posiada dipol magntyczny, posiadający momnt magntyczny m, umiszczony w zwnętrznym polu magntycznym można przdstawić w postaci E = µ m cos β (1) H gdzi: H natężni zwnętrzngo pola magntyczngo, β - kąt pomiędzy wktorm momntu magntyczngo m oraz wktorm natężnia zwnętrzngo pola magntyczngo. Langvin zakładał, ż w matriałach paramagntycznych momnty dipoli ni oddziaływają wzajmni. Używając statystyki Maxwlla- Boltzmana, okrślającj prawdopodobiństwo przyjęcia przz lktron okrślongo stanu nrgtyczngo, można napisać wyrażni okrślając liczbę cząstk magntycznych (domn) w jdnostc 141

2 Modlowani statycznj pętli... objętości, znajdujących się pomiędzy kątm α oraz α+dα w stosunku do zwnętrzngo pola magntyczngo ( µ βα n Πn o mh cos ) / kt = 2 sin β dβ (2) gdzi: n jst okrślony stosunkim liczby wszystkich cząstk obcnych w objętości V, odnisiony do tj objętości V, k jst stałą Boltzmana, T jst tmpraturą bzwzględną Tak więc magntyzacja rozumiana jako suma wktorowa momntów magntycznych w jdnostc objętości, równolgłych do wktora zwnętrzngo pola magntyczngo, moż być opisana zalżnością M = Π m cos β dn = N m Π Π ( µ mh cos β ) ( µ mh cos β ) / kt / kt cos β sin β dβ sin β dβ (3) Wprowadzając zminn okrślon jako = mh / kt, = cosβ, d= -sinβdβ można powyższ równani µ zapisać w innj formi M Mn 1 1 = 1 1 a x dβ dβ (4) Po wykonaniu nizbędnych przkształcń otrzymujmy ostatczną postać wzoru okrślającgo magntyzację paramagntyczngo matriału, w postaci M 1 = Nm coth (5) Funkcja w nawiasi znana jst pod nazwą funkcji Langvina. Poniważ dla wartości = posiada niciągłość więc w praktyc zapisuj się ją w postaci pirwszgo członu szrgu Taylora 142

3 Z. Gmyrk L ( ) coth = dla 3 1 dla dla > < (4) Funkcja Langvina jst wykorzystywana do gnracji przbigu krzywj anhistrzowj, opisując matriał magntyczny ni posiadający histrzy. Rzczywist matriały magntyczn stosowan do budowy maszyn i urządzń, są matriałami frromagntycznymi a ni paramagntycznymi. Tak więc aby lpij opisywać zachowani matriału frromagntyczngo podczas procsu przmagnsowania, nalży uwzględnić wnioski wynikając z torii Wissa. W tj torii, w matriałach frromagntycznych, sąsiadując momnty magntyczn oddziaływają na sibi tworząc tzw. pol wymiany [2]. Jżli założymy, ż wzajmn oddziaływania wszystkich momntów jst idntyczn i nizalżn od odlgłości, wtdy pol wymiany można opisać wzorm H wym = α m j = α M (5) j Wtdy całkowita wartość magntyzacji zostani opisana zalżnością H = H + αm (6) Uwzględniając powyższ zalżności i wstawiając do równania (3) oraz przyjmując M s =Nm, otrzymamy M = M gdzi a=kt/µ m s H + αm a coth (7) a H + αm Uwzględniając fakt występowania w ralnym matrial bardzij skomplikowango zjawiska fizyczngo stwirdzono, ż cały procs magntyzacji nalży podzilić na dwi części. W pirwszj części uwzględnimy magntyzację odwracalną, ni wywołującą strat Joul a, oraz na magntyzację niodwracalną, związaną w powstawanim strat mocy. Tak więc opis matmatyczny przyjmi nową formę 143

4 Modlowani statycznj pętli... M = M ir + M rv (8) gdzi M ir jst magntyzacją niodwracalną zaś M rv jst magntyzacją odwracalną. Pod pojęcim magntyzacji odwracalnj rozumimy zjawisko fizyczn polgając na tym, ż ściana Blocha powraca do pirwotngo położnia gdy znikni przyczyna jj przsunięcia (zwnętrzn pol magntyczn). Magntyzacja niodwracalna to zjawisko fizyczn w którym ściana Blocha ni powraca do pirwotngo położnia po zaniku przyczyny przsunięcia. Jst to spowodowan występowanim lokalnych minimów nrgtycznych związanych np. z nimtalicznymi wtrącniami występującymi w rzczywistj strukturz frromagntyka. Tak więc straty nrgii podczas ruchu ściany Blocha związan są z magntyzacją niodwracalną. Gęstość strat nrgii wynikającą z niodwracalngo ruchu ściany Blocha można okrślić wzorm dm dw= µ kδ (9) dh ir dh gdzi k jst współczynnikim pinningu będącym miarą gęstości dfktów struktury magntycznj. Paramtr δ przyjmuj wartości +1, -1 w zalżności od znaku pochodnj dh /dt. Wprowadzając pojęci magntyzacji anhystrzowj (czyli takij dla którj szrokość pętli histrzy wynosi zro) można napisać równani nrgtyczn w postaci dm ( = kδ dh (1) dh M an H ) dh µ M ( H dh + µ µ ) gdzi M an jst magntyzacją anhystrzową. W praktyc przyjmuj się ponadto, ż magntyzacja odwracalna jst pwną częścią różnicy między magntyzacją anhystrzową a magntyzacją niodwracalną, wyrażoną przz wartość współczynnika c. Można wtdy przdstawić koljną zalżność M rv ( M M ) = c (11) an ir W fkci prowadzi to do koljnj zalżności pozwalającj na opisani magntyzacji 144

5 Z. Gmyrk ( c) M ir cm an M = 1 + (12) W litraturz spotyka się więc znaną postać matmatyczną modlu Jilsa-thrtona zapisaną w postaci różniczkowj [3] dm dh M an M ir dm an = ( 1 c) + c kδ α (13) ( M M ) dh an ir Rys. 1. Statyczn pętl histrzy przykładowgo matriału magntyczngo 2 Inn popularn modl matmatyczn statycznj pętli histrzy Okazuj się, ż w pwnych szczgólnych przypadkach ni musimy stosować modlu Jilsa-thrtona aby wyznaczyć statyczną pętlę histrzy. Np. w obszarz niwilkich indukcji doskonal sprawdza się modl Rayligha [5]. Modl tn wykorzystuj paraboliczn przybliżni kształtu pętli histrzy. Obszar zastosowania takigo podjścia jst oczywiści ograniczony do warunków w których można przyjąć, ż prznikalność jst sumą prznikalności początkowj oraz składnika proporcjonalngo do zwnętrzngo pola wymuszającgo. µ = µ + ν H (14) a i 145

6 Modlowani statycznj pętli... gdzi µ a jst amplitudą prznikalności, µ i jst początkową prznikalnością, ν jst współczynnikim histrzy. Ostatczna postać równania opisującgo statyczną pętlę histrzy można przdstawić w postaci ν 2 2 B = µ ( µ i + νh ) H ± ( H H max ) } (15) 2 Rys. 2. Pętla histrzy modlowana opism Rayligha Podobni uproszczoną formę przyjmuj modl Chana-Vladimirscu [6]. W tym przypadku pętla histrzy jst okrślona przz dwa wyrażnia 146 H + H c B + ( H ) = Bs Bs H + H + 1 c Hc Br H H c B ( H ) = Bs (16) Bs H H + 1 c Hc Br gdzi B s jst indukcją nasycnia, H c jst natężnim korcji, B r jst indukcją rmnncji.

7 Z. Gmyrk Nico zbliżoną formę modlowania do tj jaką przntuj modl Jilsa-thrtona, jst modl Hodgdona [7]. Modl opisany jst równanim bh dt db db db = α [ f ( B) H ] + g B, (17) dt dt dt gdzi α jst stałym paramtrm, f oraz g są funkcjami zalżnymi od indukcji oraz jj pochodnj względm czasu. Dziląc obi strony równania przz db/dt otrzymamy bardzij znaną postać równania opisującgo tn modl gdzi funkcję s dfiniujmy jako dh db db =α s [ f ( B H )] + g( B, dt ) (18) db dt db 1 dla > db dt s = (19) dt db 1 dla < dt gdzi H max jst maksymalną wartością natężnia pola magntyczngo. Funkcj f oraz g mogą być zdfiniowan jako D1 f = D2B D1 g = D ( B + B ) ( B B ) ( 1+ D ) 1 3 D 2 D B : : D B : B < B : : B B B B B > B B > B gdzi D 1, D 2, D 3 oraz B są paramtrami modlu. (2) Modl Prisacha jst koljnym modlm frromagntyka, znanym i stosowanym od wilu lat. Zakłada on, ż matriał magntyczny zawira niskończoną liczbę magntycznych dipoli opisanych wyidalizowaną pętlą histrzy. Przskok an pętli histrzy następuj po osiągnięciu 147

8 Modlowani statycznj pętli... progowych wartości natężnia pola magntyczngo, oznaczonych jako x oraz y. Rys. 3. Pętla histrzy magntyczngo dipola, stosowana w modlu Prisacha. Przyjmując fakt indywidualngo zachowania dipoli magntycznych ragujących na lokalną wartość pola magntyczngo, można wskazać znormalizowaną wartość indukcji, otrzymaną jako całkę obliczoną na płaszczyźni przkroju, z uwzględninim statystyczngo charaktru funkcji przskoku po pętli histrzy. F ( x, y) dx dy = 1 (21) Wartość indukcji w okrślonym stani wzbudznia można opisać zalżnością uwzględniającą obcność rgionów o okrślonym kirunku położnia dipoli magntycznych. 148 B = B F( x, y) dx dy B F( x, y) dx dy (22) sat sat M + M Funkcja F(x,y) moż zostać użyta, wykorzystując całkę Evrtta lub rozkład Gausa.

9 Z. Gmyrk Litratura [1] Jils D., Introduction to Magntism and Magntic Matrial. Chapman and Hall, London,1991. [2] Bozorth R. M., Frromagntism. D. Van Nostrand Co. Pricton, Nw Jrsy, [3] Jils D. C., Tholk J. B., Dvin M., Numrical dtrmination of hystrsis paramtrs for th modling of magntic proprtis using th thory of frromagntic hysttrsis, IEEE Trans. Magn., vol. 28, no. 1, pp , January [4] Jils D. C. Tholk J. B., Thory of frromagntic hystrsis: Dtrmination of modl paramtrs from xprimntal hystrsis loops, IEEE Trans. Magn., vol. 25, no. 5, pp , Sptmbr 1989 [5] Rayligh, Nots on Elctricity and Magntism, III, Phil. Mag., Vol 23, p225, 1887 [6] Chan J.H., Vladirimscu., Gao X.C., Libmann P., Valainis J., Nonlinar transformr modl for circuit simulation, IEEE Transactions on Computr idd Dsign, Vol. 1, No 4, pril 1991, pp [7] Hodgdon M.L., Mathmatical Thory and Calculations of magntic hystrsis curvs, IEEE Transactions on Magntics, Vol. 24, No. 6, Nov 1988, [8] Boly C.D., Hodgdon M.L., Modl and Simulations of hystrsis in magntic cors, IEEE Transactions on Magntics, Vol. 25, No. 5, Sp 1989, pp [9] Hodgdon M.L., pplications of a thory of frromagntic hystrsis, IEEE Transactionson Magntics, Vol. 27, No 6, Nov 1991, pp [1] Evrtt D.H., gnral approach to hystrsis-part 4, Transactions of th Faraday Socity, Vol. 51, 1955, pp

10 Modlowani statycznj pętli... MODELING OF STTIC HYSTERESIS OF SOFT MGNETIC MTERIL Summary Modling th static hystrsis of magntic matrial is a problm of which scintists ar taking car for many yars. t that tim a lot of diffrnt mathmatical modls appard, taking into account th spcificity of th structur of magntic matrial. Som of ths modls hav th rducd scop of th applicability, whras othrs lt for modling th hystrsis undr wid chang of maximum valu of th induction. Th papr introducs th mathmatical dscription of a fw most popular modls of th static hystrsis of soft magntic matrial. 15