Ćw. 27. Badanie właściwości statystycznych elektronów emitowanych z katody lampy próżniowej

Transkrypt

1 Ćw. 7. Badani właściwości statystycznych lktronów itowanych z katody lapy próżniowj Michał Urbański 1. Wprowadznia Kintyczna toria gazów i atrii została sforułowana pod konic XIXw. i spowodowała rwolucję w nauc. Podstawowy wkład do rozwoju torii kintycznj atrii wniśli Rudolf Clausius, Jas Clrk Maxwll, Ludwig Boltzann, Josiah Willard Gibbs, Willia Thoson (Lord Klvin), Josf Loschidt, Albrt Einstin i Marian Soluchowski. Kintyczna toria pozwala na wyjaśnini właściwości akroskopowych atrii na podstawi odlu ikroskopowgo. Cl ćwicznia jst piryczn wykazani, ż lktrony itowan przz katodę w lapi próżniowj opisan są rozkład Maxwlla. Układ poiarowy składa się z lapy lktronowj (diody), batrii zadającj prąd anodowy, irników napięcia i prądu lktryczngo oraz układu zasilania żarznia. W lapi lktronowj jst próżnia wobc tgo lktrony ni zdrzają się z cząstkai powitrza. Katoda lapy lktronowj jst grzana wobc tgo niktór lktrony (prawdopodobiństwo tgo będzi obliczon) ają wystarczającą nrgi aby opuścić tal. Elktrony t tworzą prąd lktryczny, który będzi irzony aproirz. Prąd tn zalży od napięcia haującgo. Wyniki poiarów będzi zalżność prądu diody (czyli prądu lktronów któr opuszczą katodę) od napięcia haującgo. W clu wyprowadznia wzorów na natężni prądu diody nalży założyć, ż lktrony ożna opisać jako gaz lktronów swobodnych i obliczyć il śrdnio lktronów oż opuścić katodę i dotrzć do anody. Poniżj przdstawion będą podstawow fakty nizbędn do wyprowadznia wzorów i zrozuinia ćwicznia, jdnak zalca się zapoznać z podręcznikai np. [3, 1, ].. Układ poiarowy Ćwiczni będzi polgało na poiarz zalżności prądu anodowgo diody od napięcia przyłożongo na diodę. W ty ćwiczniu będziy irzyli jdyni prąd przy napięciu haujący ruch lktronów czyli gdy batryjka podłączona jst bigun ujny do anody (czyli lktrony będą odpychan od anody). Układ poiarowy przdstawiony jst na rysunku 1 Rysunk 1: Schat układu do poiaru zalżności prądu anodowgo od napięcia. Potncjotr służy do rgulacji napięcia w zakrsi 0-1,5V. 3. Rozkład statystyczny cząstk w gazi Gaz doskonały opisany jst równani stanu wiążący ciśnini p, objętość V, liczbę oli cząstk gazu n i tpraturę T : pv = nrt (1) gdzi R - stała gazowa (stał gazowa oż być wyrażona przz liczbę Avogadro N A i stałą Boltzana k B następująco: R = N A k B ). Równani gazu doskonałgo ożna wyprowadzić przyjując następując założnia dotycząc właściwości cząstczk z których składa się gaz: spłnia następując założnia: 1) Enrgia potncjalna oddziaływań cząstczk jst zrowa E p = 0, jdyną forą oddziaływania cząstk gazu są zdrznia sprężyst. ) Roziary cząstk są bardzo ał, ożna uznać, ż są punktow. 3) Ruch cząstczk ożna opisać odl probabilistyczny, w który zakłada się, ż prędkości wszystkich cząstczk opisan są taki say rozkład praw- 1

2 dopodobiństwa, rozkłady t są wzajni nizalżn i ni ulgają ziani w wyniku zdrzń sprężystych. Z założń tych wynika: 1) Enrgia całkowita gazu U (nrgia wwnętrzna) zawartgo w pwnj objętości V jst równa sui nrgii kintycznych cząstczk: N U = E k,i = N E k = nn A E k () i=1 gdzi N - liczba cząstczk w gazi (w rozpatrywanj objętości), E k,i - nrgia kintyczna i-tj cząstki, E k - nrgia śrdnia kintyczna jdnj cząstki. ) rozkład prawdopodobiństwa jdnj składowj wktora prędkości opisany jst równani (rys. ): v x f(v x ) = Π (3) gdzi k B - stała Boltzana, - asa cząstk, 3) związk poiędzy ciśnini, objętością, i tpraturą opisuj równani stanu gazu doskonałgo (1). Równani (3) ożna wyprowadzić rozważając sytrię zdrzń sprężystych w gazi (np. [3]). Rozkład statystyczny intrprtujy jako częstość występowania zjawiska (wzór (6)). Jśli w naczyniu o objętości V jst N cząstk to liczba cząstk N(v x ) o składowj x-owj prędkości zawartj w przdzial [v x, v x + v x ] wynosi: vx N(v x ) = Nf(v x ) = N Π (5) Przyponijy, ż w torii prawdopodobiństwa dla dowolngo zdarznia A prawdopodobiństwo P (A) zdarznia A intrprtujy jako stosunk liczby zdarzń N(A) ralizujących zdarzni A do całkowitj liczby zdarzń: P (A) = N(A) N Jśli wykonay pwin ksprynt N, a zdarzni A pojawi się N(A) to równani (6) okrśla prawdopodobiństwo piryczn, jśli liczba powtórzń kspryntu jst niskończona to wzór tn okrśla prawdopodobiństwo wystąpinia zdarznia A. Wzór tn jst ty dokładnijszy i większ jst N. W przypadku rozważango gazu w wzorz (5) liczba cząstk N jst na tyl duża, ż wzór tn ożna traktować jako dokładny. (6) 4. Gaz lktronowy w diodzi próżniowj Rysunk : Rozkład składowj v x prędkości lktronów swobodnych w talu. Modl gazu jst więc zbiór cząstczk o bardzo ałych roziarach, poruszających się w wszystkich kirunkach z jdnakowy prawdopodobiństw, a wktor prędkości a rozkład Maxwlla. Enrgia wwnętrzna gazu oż być wyznaczon na podstawi śrdnij statystycznj (wzór ()) gdzi nrgia jdngo stopnia swobody (czyli dla składowj związanj z prędkości v x ) wynosi: E k (v x ) = v x f(v x)dv x = 1 k BT (4) Dioda próżniowa składa się z talowj katody wyposażonj w grzjnik oraz anody. Wszystko uiszczon jst w bańc próżniowj na tyl szczlnj, ż ożna założyć, ż w bańc praktyczni ni a żadnych cząstk. Elktrony po opuszczniu katody ogą się więc poruszać w próżni swobodni i w zalżności od ich nrgii ogą dotrzć do anody. Elktrony w talu ożna opisać w przybliżniu jak gaz lktronów. Poniważ znajdują się on w polu jonów więc w przybliżniu ożna uznać, ż lktrony ni oddziałują z sobą, czyli ożna opisać lktrony jako gaz doskonały. Elktrony oddzilon są od otocznia barirą potncjału nazywana pracą wyjścia (oznaczyy ją W ). Można sobi wyobrazić lktrony jako piłki na boisku oddzilony od otocznia wysoki płot. Każdy lktron a inną prędkość, przy czy rozkład statystyczny tych prędkości opisany jst równani (3). W analogii z piłkai na boisku, piłki rzucan są z różnyi prędkościai. przz barirę potncjału (czyli płot) przlcą t lktrony, któr ają nrgię kintyczna większą od nrgii potncjalnj bariry W : vk > W (7)

3 Enrgia ta jst stała i równa nrgii początkowj E 0, czyli E 0 = E k (x) + E p (x). Enrgia potncjalna wynosi więc: E k (x) = E 0 E p (x). Warunki dotarcia do anody jst to aby nrgia kintyczna była większa od zra dla x = d: E k (d) > 0, czyli E 0 E p (d) > 0. Poniważ E p (d) = U + W więc warunk dotarcia lktronu do anody a postać: E 0 > U + W. Enrgia początkowa E 0 jst nrgią kintyczną, ożna ja zapisać w postaci: E 0 (x) = v (gdzi v - prędkość początkowa lktronu), warunk dotarci do anody a więc postać v > W + U co jst zapisan równani (8), jst to przdstawion na rys. 4. Rysunk 3: Dioda próżniowa, zaznaczon są katoda i anoda w postaci koncntrycznych rur. gdzi v jst prędkością lktronu nizbędną do opuszcznia talu. Poniważ diodę połączyliśy z batrią tak, ż inus jst na anodzi (schat 1) więc pol wytworzon przz napięci anodow będzi haować ruch lktronów. Na rysunku 4 pokazano nrgi potncjalna w funkcji położnia x (x - odlgłość od katody). Do anody dotrą lktrony (znajdując się w katodzi), któr ają nrgię kintyczną większa od suy pracy wyjścia i nrgii pola lktryczngo wytworzongo przz batrię. Warunk dotarcia lktronu do anody a więc postać: v > W + U (8) gdzi U jst napięci batrii a U- nrgia potncjalna lktronu o ładunku w polu o różnicy potncjałów U 1. Do anody dotrą więc t lktrony, któr ają prędkość większą od prędkości krytycznj v k : (W + U) v k = (9) Na rysunku 4 pokazano zalżność nrgii potncjalnj i kintycznj od położnia x względ katody. Pokazana jst nrgia kintyczna lktronu od położnia w przypadku gdy nrgia początkowa lktrony E 0 jst na tyl duża, ż lktron odrwi się od katody i dotrz do anody. Enrgia lktronu E(x) jst suą nrgii kintycznj E k (x) i potncjalnj E p (x) dla każdgo położnia x: E(x) = E K (x)+e p (x). 1 Napięci U A,B poiędzy punkt A i B jst to praca na jdnostkowy ładunk: U = W A,B, q W A,B - praca potrzbna do prznisinia ładunku q poiędzy punkt A i B, praca ta jst równa różnicy nrgii potncjalnych. Rysunk 4: Wykrs zalżności nrgii potncjalnj (linia ciągła) i kintycznj (linia przrywana) lktronów w diodzi połączonj z źródł napięcia o polaryzacji haującj od położnia x - względ granicy katody (talicznj). Linia prosta poiędzy katodą a anodą opisuj zalżność nrgii potncjalna pola lktryczngo wytworzongo przz batrię (podłączoną poiędzy katodę i anodę) od odlgłości od katody. Liną przrywaną zaznaczono zalżność nrgii kintycznj lktronu od położnia dla nrgii początkowj E 0 > U + W. Enrgia kintyczna E K (d) przy anodzi jst większa od zra, d - odlgłość anody od katody. Nalży dodać, ż gaz lktronowy podlga zasado chaniki kwantowj, jdnak dla lktronów, któr ają na tyl dużą nrgię, ż ogą opuścić tal ożna w przybliżniu zastosować rozkład Maxwlla. (3) Prąd lktronów w diodzi Prąd jst struini lktronów jaki przpływa przz pwną powirzchnię, natężni prądu I zdfiniowan jst jako stosunk ładunku q jaki przpłynął przz

4 pwną powirzchni S do czasu w jaki tn ładunk przpłyną: I = q t gdzi q jst ładunki jaki przpłyni przz powirzchnię S w czasi t. W clu wyprowadznia wzoru na natężni prądu płynącgo od katody do anody diody próżniowj założyy, ż dioda a sytrię płaską, czyli katoda i anoda są płaszczyznai, wtdy nalży rozważyć struiń lktronów poruszających się równolgl i przpływających przz pwną powirzchnię S. W clu ułatwinia obliczń wyobraźy sobi, ż lktrony iszczą się w rurz, którj przkrój a pol powirzchni S. (10) gdzi n 0 jst liczbą cząstk (lktronów) w jdnostc objętości. Pisząc tn wzór w równaniu (11) zaiast gęstości ładunku n(v x ) (czyli liczby cząstk o prędkości v x na jdnostkę objętości) wstawiliśy n(v x ) = n 0 f(v x ) v x, czyli liczbę cząstk ających prędkość w przdzial [v x, v x + v x ] na jdnostkę objętości. Wynika to z wzoru (5) podzilongo przz objętość (tak aby uzyskać gęstość): n(v x ) = N(v x) = N V V f(v x) = n 0 f(v x ) (14) Z anody do katody dotrą tylko t lktrony, których nrgia kintyczna jst większa od pracy wyjścia W i nrgii pola lktryczngo haującgo ruch lktronów (wzór (8)). Oznacza to, z w clu wylicznia prądu anodowgo diody usiy wysuować (czyli scałkować) składniki prądu z równania (13): I = v x> di(v x ) = v x> n 0 Sv x f(v x )dv x (15) Rysunk 5: Natężni prądu obliczyy rozważając ilość lktronów jaka przpływa w czasi t przz powirzchnię S. W objętości V znajduj się N(v x ) = n(v x )S x = n(v x )Sv x t lktronów o prędkości v x. Jśli rozważyy lktrony poruszając się od katody do anody z prędkością v x to ładunk nisiony przz t lktrony wynosi: q = N(v x ) = n(v x )Sv x t (11) Prąd utworzony przz lktrony o prędkości v x, płynący od katody do anody oż być opisany wzor: I(v x ) = n(v x )Sv x (1) gdzi n(v x ) - liczba lktronów w jdnostc objętości o prędkości v x. Gaz lktronowy składa się z cząstk o różnj prędkości, rozkład tj prędkości zadany jst wzor Maxwlla (3). Dlatgo usiy zapisać wzór na prąd (1) dla cząstk o prędkości z przdziału [v x, v x + v x ]: I(v x ) = n(v x ) Sv x = n 0 f(v x ) v x Sv x (13) Rysunk 6: Rozkład Maxwlla prędkości lktronów na powirzchni katody poruszających się w kirunku anody. Zaznaczono pol pod krzywą rozkładu rprzntując cząstki, któr pokonają barirę potncjału i dotrą do anody. Całkując równani (15) otrzyay (wykorzystujy ż x xp ( 1 x )dx = xp ( x ): Sn 0 I = Sn 0 Π v x f(v x )dv x = Sn 0 Π [ v x ] = Sn 0 vx Π v x dv x = U+W

5 ostatczni wynik zapiszy jako: gdzi stała I 0 = Sn 0 Π Równani (16) ożna zlinaryzować logarytując: I = I 0 U (16) W Wykrs zal no ci -ln(i/i_0)(u) y = ln I = I 0 U (17) Równani to a postać y = au, gdzi a jst nachylni prostj i zgodni z równani powinno wynosić: a = (18) W opracowaniu danych nalży todą najnijszych kwadratów wyznaczyć współczynnik nachylnia danych zalżności ln I I 0 od napięcia i następni nalży wyznaczyć tpraturę z równania (18). 5. Poiary i opracowani danych Natężni prądu diody (wzór (16) silni zalży od tpratury i napięcia. Nalży wykonać poiary natężnia prądu anodowgo od napięcia w ożliwi szroki zakrsi napięć. Nalży ustawić woltoirz na zakrs V i ni ziniać w trakci poiaru. Natężni prądu nalży zirzyć tak aby dla każdgo zakrsu poiarowgo wykonać ponad 10 poiarów. Poiary zalżności prądu od napięcia nalży wykonać dla dwóch prądów żarznia (ok 0,6A i 0,5A). Uzyska się kilka srii danych któr nalży wykrślić w skali logaryticznj czyli ln(i) w funkcji napięcia U. W opracowania nalży, dla każdj wartości prądu żarznia, wyznaczyć todą najnijszych kwadratów współczynniki nachylnia dla zalżności pirycznj y = ln(i) od U (czyli dla równania (17)) dla poszczgólnych zakrsów poiaru prądu i dla całości danych (dotyczących jdnj wartości prądu żarznia). Taki oblicznia nalży wykonać dla każdj wartości żarznia i dla każdj wartości żarznia nalży wyznaczyć tpraturę z wzoru 18. Nalży paiętać o ty, ż zazwyczaj wykrśla się zalżność logarytu prądu od odułu napięcia (napięci haując jst ujn) wtdy współczynnik nachylnia jst dodatni wynosi a = (patrz wzór (18)). Wyniki obliczń będą więc tpratury wyznaczon dla srii poiarowych wykonanych dla jdngo zakrsu (przynajnij 10 poiarów) i dla wszystkich danych dla jdnj wartości prądu żarznia. Otrzyan wyniki dla jdngo prądu żarznia ogą się różnić i nalży przdyskutować ożliw przyczyny tgo zjawiska -ln(i/i_0) , 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 Rysunk 7: Wykrs zalżności logarytu prądu diody od napięcia dla pędu żarznia I z = 0, 59A. Pokazan są trzy prost uzyskan toda najnijszych kwadratów dla trzch zakrsów poiarowych aproirza oraz prosta dla wszystkich danych (prosta przrywana). Widać różnic w uzyskanych nachylnia szczgóln dla ałych napięć. (fkt dkadowy związany z ziana paratrów przyrządu przy ziani zakrsów poiarowych). Przykład uzyskango wykrsu pokazuj rysunku 7 W analizi danych nalży wyznaczyć nipwności tpratury (na podstawi nipwności nachylnia) i przdyskutować uzyskany wynik. W wnioskach nalży podsuować todę poiaru, wynik poiaru i podać intrprtację. Litratura U(V) [1] W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fizyki, Oficyna Wydawnicza Politchniki Warszawskij, Warszawa [] F. Rif, Fizyka statystyczna, PWN [3] A. W. Astachow, Mchanika Toria kintyczna, WNT, 1988.