OBLICZANIE EFEKTYWNEJ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH W PRZYPADKU NIEUSTALONEGO PRZEPŁYWU CIEPŁA

Transkrypt

1 KOMPOZYTY (COMPOSITES) 5(005)4 Natalia Rylko Akadmia Pdagogiczna im. KEN, Instytut Tchniki, ul. Podchorążych, Kraków OBLICZANIE EFEKTYWNEJ PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ KOMPOZYTÓW WŁÓKNISTYCH W PRZYPADKU NIEUSTALONEGO PRZEPŁYWU CIEPŁA Rozważano niustalony przpływ cipła matriału kompozytowgo z jdnokirunkowo ułożonymi włóknami o przwodności ciplnj λ w osnowi o przwodności ciplnj λ. Rozpatrywany matriał kompozytowy jst przdstawiony w postaci jdnostkowj komórki rprzntatywnj. Lokalni tmpratura spłnia równani przwodnictwa ciplngo. Kontakt doskonały włóknoosnowa opisano za pomocą warunków sprężnia na brzgu włókna. W clu okrślnia makroskopowj przwodności λ przprowadzono uśrdnini prawa Fourira w komórc jdnostkowj. Szczgólną uwagę poświęcono przypadkowi, gdy zwnętrzny strumiń ciplny zminia się w czasi zgodni z funkcją wykładniczą. Wówczas rozpatrywan zagadnini sprowadza się do zagadninia brzgowgo dla równania Hlmholtza, któr rozwiązano dla kompozytów słabo nijdnorodnych, czyli dla wystarczająco małych Δ = (λ λ )/(λ + λ ). Po rozwiązaniu otrzymano analityczny wzór na λ, odpowiadający klasycznmu wzorowi Clausiusa-Mossottigo dla procsów stacjonarnych. Otrzymany wynik pokazuj, ż fktywna przwodność kompozytów w przypadku nistacjonarnym zalży od historii procsu. Słowa kluczow: nistacjonarny przpływ cipła, matriał włóknist fktywna przwodność CALCULATION OF THE EFFECTIVE THERMAL CONDUCTIVITY OF FIBER COMPOSITES IN NON-STATIONARY CASE Unstady hat conduction of th unidirctional fibrs of conductivity λ mbddd in a host matrial of conductivity λ is discussd whn th considrd composit is rprsntd by a unit-priodicity cll. First, th local tmpratur fild in th unit cll is modld by th hat quation. Th prfct contact btwn diffrnt matrials is dscribd by conjugation conditions on th boundary of th fibrs. In ordr to dtrmin th macroscopic conductivity λ of th composit w prform th spatial avrag of th Fourir law ovr th unit cll. Spcial attntion is paid to th cas whn th givn trnal flu obys th dcrasing ponntial law in tim. Thn th problm is rducd to a boundary valu problm for th Hlmholtz quation. Th lattr problm is solvd for wakly inhomognous composits, i.. Δ = (λ λ )/(λ + λ ) is sufficintly small. As a rsult an analytical formula for λ is obtaind. It corrsponds to th classical Clausius-Mossotti approimation for th stady hat conduction. Th obtaind rsult implis that th ffctiv conductivity of composits in unstady cas dpnds on tim. This dpndnc is plicitly writtn in th considrd cas. Ky words: unstady hat conduction, fibr matrial, ffctiv conductivity WPROWADZENIE Obliczni makroskopowych fktywnych właściwości matriałów kompozytowych w przypadku nistacjonarngo przpływu cipła jst zadanim skomplikowanym []. Pirwszym krokim w rozwiązaniu tgo zadania jst obliczni fktywnych właściwości komórki rprzntatywnj. Taki podjści jst uzasadnion torią [-4], zgodni z którą możliw jst uogólnini otrzymanych wyników na właściwości matriału kompozytowgo w całości, jżli możliw jst sprowadzni równań parabolicznych do liptycznych [5, 6]. Właśni taki przypadk będzi przdmiotm naszych badań. Rozpatrzmy lmntarną komórkę kwadratową Q, utworzoną z matriału o przwodności ciplnj λ, cipl właściwym c oraz gęstości ρ, zawirającą wtrącni z inngo matriału o przwodności ciplnj λ (w stosunku do przwodności ciplnj osnow, o cipl właściwym c oraz gęstości ρ. Nich pirwszy matriał zajmuj w komórc podstawowj obszar D, drugi, odpowidnio, D. Na razi kształt wtrącnia D moż być dowolny. Nich v oznacza udział objętościowy wtrącnia (pol powirzchni w ujęciu dwuwymiarowym), wówczas v jst udziałm objętościowym osnowy. Wwnątrz komórki występuj przpływ cipła, lokalni okrślony równanim [6] q = λ T () gdzi w wtrącniu λ = λ, w osnowi λ = λ. Równość () wyraża prawo Fourira, któr jst słuszn takż dla nistacjonarngo przpływu cipła. W przypadku ni- mgr

2 Obliczani fktywnj przwodności ciplnj kompozytów włóknistych w przypadku niustalongo przpływu cipła 97 stacjonarnym rozbiżność (dywrgncja) gęstości struminia cipła wyraża się wzorm [6] q = ρ c () gdzi t oznacza czas, funkcj ρ i c przyjmują wartości ρ, c i ρ, c w obszarach D i D, odpowidnio. Jśli podstawimy () do (), to otrzymamy lokaln równani przwodnictwa ciplngo [6] ρ c = któr zapiszmy w postaci [6] T = a T ( λ T ) (3) gdzi a = a = λ /( ρ c) w obszarz D i a = a = = λ /( ρ c ) w obszarz D. Wilkość a nazywa się współczynnikim wyrównania tmpratury lub dyfuzyjnością ciplną [6]. Warunki kontaktu doskonałgo na L w przypadku niustalongo przpływu cipła mają postać [-5]: T = T T λ = λ (4) gdzi L jst brzgim obszaru D, T jst rozkładm tmpratury w obszarz D, T - w obszarz D. Wprowadzamy warunki brzgow na kwadratowj komórc Q o jdnostkowym polu powirzchni: T ( +, = T + G( T y +, = T ( +, = y +, = (5) (6) gdzi G( to znany przyrost tmpratury na komórc. W clu poprawngo sformułowania zagadninia nalży wziąć pod uwagę warunki początkow, czyli rozkład tmpratury w czasi zrowym T 0) = f, T 0) = f ) (7) ( y Rozwiązani problmu polga na znalziniu fktywnych właściwości poprzz uśrdnini zalżności () i () w komórc rprzntatywnj. Zacznijmy od równania (). Wprowadźmy oprację uśrdninia na drodz całkowania po komórc = Q ddy. Wybór kirunku obliczania λ dla matriałów makroskopowo izotropowych moż być dowoln wybirzmy zatm kirunk OX. Wówczas współczynnik fktywnj przwodności ciplnj λ dla matriałów makroskopowo izotropowych okrśla się wzorm [6] q = λ (8) gdzi q jst współrzędną wktora q na osi OX. Zauważmy ponadto, ż uśrdnini zalżności (8) przbiga wdług zminnych przstrznnych, a ni wdług czasu t, tak więc współczynnik λ moż być zalżny od czasu. Uśrdnini zalżności () sprowadza się do równości r q = (ρ c) T w którj fktywna wilkość (ρ c) ma postać ρ ) = ρ c v + ρ c ( ) (9) ( c v Można sprawdzić, ż równowaga procsu przpływu cipła ma mijsc, jżli w komórc ogólna ilość cipła ni zminia się w czasi, tzn. ρ c ddy + ρ c = 0 ddy t D D PRZEPŁYW CIEPŁA Z WYKŁADNICZYM SPADKIEM TEMPERATURY W CZASIE Rozpatrzmy przypadk, gdy strumiń cipła zminia kt się w czasi zgodni z zalżnością, co odpowiada ochłodzniu matriału. W tj sytuacji zagadnini sprowadza się do równania typu liptyczngo, a, jak omawialiśmy wczśnij [5], makroskopowy rozkład tmpratury w całym matrial kompozytowym moż być odtworzony poprzz homognizowaną tmpraturę w komórc, w następstwi czgo fktywn właściwości komórki rprzntatywnj i matriału w całości są taki sam. Przy badaniu procsów niustalongo przpływu cipła wpływ początkowgo rozkładu tmpratury w rozważanym momnci jst znikom jśli jst on wystarczająco oddalony w czasi od początkowgo. W tym przypadku możmy rozpatrywać zagadnini bz warunków początkowych (5).

3 98 N. Rylko Rozpatrzmy procs ochłodznia matriału, gdy rozkład tmpratury zminia się w czasi w następujący sposób: T = u( p( k T = u p( k gdzi u (, u ( jst poszukiwanym rozkładm tmpratury w czasi t = 0. Funkcj t spłniają równania Hlmholtza: u + ω u = 0 w obszarz D () u + ω u = 0 w obszarz D gdzi: ω = k / a, ω = k / a. Warunk kontaktu doskonałgo (4) przyjmuj postać u = u, λ = λ na L () Nich przyrost tmpratury G( = p( k, wówczas warunk priodyczności (5) dla u = u lub u = u zapisuj się w formi: u( +, = u( + u( y + ) = u( ( +, = y + ) = (3) (4) Zbadajm w jaki sposób można obliczyć fktywną przwodność ciplną λ, okrśloną za pomocą wzoru (8). Obliczmy wilkość E o charaktrz nrgtycznym, okrśloną przz wzór [5] E = Q q ddy = D λ ddy + D λ ddy Przkształćmy prawą część ostatnigo wyrazu na podstawi wzoru Grna i pirwszgo warunku (5) / / [ T ] dy = λ p( ) E = λ kt (5) Obliczmy tę samą wilkość w inny sposób E = λ D = λ p( k + ( λ λ ) ddy + λ D L ddy = T dy (6) Z porównania (5) i (6) otrzymamy wzór na fktywną przwodność ciplną λ = λ + p( k( λ λ ) = λ + ( λ λ ) D L T dy = ddy (7) Uzyskano wzór na obliczni λ, w którym występuj wyłączni poszukiwana funkcja u, która wyraża zrowy rozkład tmpratury w wtrącniu. Zajmimy się szczgólnym przypadkim rozpatrywango zagadninia, kidy to wtrącnia mają kształt koła. Po rozwiązaniu zagadninia -(4) możmy obliczyć λ z wzoru (7). Załóżm ż matriał kompozytowy jst słabo nijdnorodny. To oznacza, ż różnic Δ = λ λ ) /( λ + ) i δ k ( ρ c / λ ρ c λ )= ( λ ω = / = ω są wystarczająco mał. Wprowadzon zało- żnia w odnisiniu do paramtrów zagadninia pozwolą otrzymać rozwiązani w postaci analitycznj. Przprowadźmy oblicznia, pomijając wilkości rzędu O(Δ) i O(δ). Przdstawmy rozwiązani zagadninia ()-(4) - funkcję u ) - w postaci szrgu względm δ y u( = u + δ u + δ u... Podstawiając tn szrg do pirwszgo równania () i przyrównując współczynniki przy jdnakowych potęgach δ, otrzymujmy ciąg koljnych równań: () u + ω u () u () = 0 + ω u = u (8) () u + ω u... () = u () spłnionych w obszarz D. W układzi równań (8) najpirw rozwiązujmy zrow równani na u, uwzględniając przy tym warunki sprzężnia i priodyczności, potm, podstawiając u do następngo rów- () nania, wyznaczamy u itd. W zrowym przybliżniu rozwiązanim zagadninia ()-(4) będzi funkcja ( ω u = sin ( ω ) / sin ( / ) (9) Funkcja (9) spłnia pirwsz równani (8) oraz warunki (3) i (4). Warunki sprzężnia () równiż są spłnion z dokładnością O(λ λ ), poniważ w zrowym przybliżniu u = sin ( ω ) / () ( sin ( ω / )) + O ( λ ) w obszarz D i ( λ λ stąd = ( λ λ ) + λ = λ + O( λ ) na L λ

4 Obliczani fktywnj przwodności ciplnj kompozytów włóknistych w przypadku niustalongo przpływu cipła 99 = + O(( λ λ ) / λ ) na L Stosując twirdzni o wartości śrdnij [7] dla równania Hlmholtza, w rozpatrywanym przypadku przstrzni dwuwymiarowj mamy π r ddy = (0,0) J0( r0ω ) 0 D gdzi r 0 jst prominim wtrącnia D, J 0 - funkcją Bssla rzędu 0. Zauważm ż funkcja u /, tak samo jak i funkcja u, spłnia pirwsz równani Hlmholtza (). Rozpatrzmy zrow przybliżni (9). Wówczas obliczając całkę poprzz u (0,0), z (7) uzyskujmy wzór, który można zapisać w postaci wzoru Clausiusa-Mossottigo λ + vδj0( r0ω ) ω /(sin( ω / )) = + O( Δ ) () λ vδj ( r ω ) ω /(sin( ω / )) 0 0 gdzi Δ = ( λ λ) /( λ + λ) - paramtr kontrastu, v - kon- cntracja. Dla sprawdznia zalżności () rozpatrzmy przypadk procsu stacjonarngo, gdy k = 0, wówczas ω = 0. Obliczając granicę ω 0 w (), uzyskujmy klasyczny wzór Clausiusa-Mossottigo [5] λ + vδ () λ vδ Otrzymaną zalżność () zastosujmy do opisania procsu ochłodznia matriału kompozytowgo, utworzongo z włókin szklanych, wtopionych w osnowę z żywicy poksydowj. Właściwości matriału podano w tabli. TABELA. Wybran właściwości kompozytu TABLE. Givn proprtis of th composit Paramtry Żywica poksydowa Włókna szklan gęstość, kg/m cipło właściw, J/kg K przwodność ciplna, W/m K 0, 0,4 0, l k 0-6 Rys.. Zalżność współczynnika fktywnj przwodności ciplnj od historii procsu (współczynnika chłodznia k). Linia przrywana odpowiada wartości r = 0,08, kropkowana - r = 0,06, ciągła - r = = 0,04 Fig.. Dpndnc of th ffctiv thrmal conductivity on history of th procss (cofficint of cooling). Brokn lin corrsponds to th valu r = 0.08, dot lin - to r = 0.06, solid lin - to r = 0.04 Rozpatrzmy procs ochłodznia charaktryzujący się współczynnikim k = Odpowiada to spadkowi tmpratury rzędu 3 o, osiąganym w czasi od 3 do 4 godzin w zalżności od k. Wyniki obliczń przdstawiono na rysunku, gdzi lini poziom odpowiadają procsom stacjonarnym. Na wykrsi widać różnicę wartości współczynnika fktywnj przwodności cipła dla procsów nistacjonarnych w porównaniu do stacjonarngo. Różnic t rosną wraz z wzrostm współczynnika k oraz prominia wtrącń, co wyraża pośrdnią zalżność współczynnika fktywnj przwodności cipła od czasu. PODSUMOWANIE W artykul za pomocą mtody analizy asymptotycznj wyprowadzono wzór (7) na fktywną przwodność ciplną matriałów włóknistych w przypadku ochło- dznia z wykładniczym spadkim tmpratury w czasi. Na podstawi (7) otrzymano uogólnini przybliżongo wzoru Clausiusa-Mossottigo () dla włókin o przkroju kołowym. Porównamy () z klasycznym wzorm Clausiusa-Mossottigo (). W obydwóch występują wilkości v Δ, możmy więc rozszrzyć zastosowani wzoru () na przypadk dowolnych Δ i małych koncntracji wtrącń v. Jżli współczynnik k jst mały (procs ochłodznia jst powoln, to δ = k( ρ c / λ ρ c / λ ) jst mał, wobc czgo wzór () jst słuszny w przypadku procsów wolngo ochłodznia (małość k) dla matriałów słabo nijdnorodnych lub dla małych koncntracji wtrącń (małość v Δ). Obok wzorów Furmańskigo [-4] jst to koljny wzór analityczny pozwalający na obliczni fktywnj przwodności ciplnj λ dla procsów nistacjonarnych.

5 00 N. Rylko LITERATURA [] Buyvich Yu.A., Ustinov V.A., Effctiv conductivity of a macroscopically inhomognous disprsion, Int. J. Hat Mass Transfr 995, 38, [] Furmanski P., Hat Conduction in Composits: Homognization and Macroscopic Bhavior, Appl. Mch. Rv. 997, 50,, [3] Furmanski P., Effctiv macroscopic dscription for hat conduction in htrognous matrials, Int. J. Hat Mass Transfr 99, 35, 6, [4] Furmanski P., A mitur thory for hat conduction in htrognous matrials, Int. J. Hat Mass Transfr 994, 37, 8, [5] Jikov V.V., Kozlov S.M., Oljnik O.A., Homognization of Diffrntial Oprators and Intgral Functionals, Springr- -Vrlag, Brlin 994. [6] Tikhonov A.N., Samarskij A.A., Uravnnija matmaticzskoj fiziki, Nauka, Moskva 980. [7] Courant R., Hilbrt D., Mthods of mathmatical physics, vol., Intrscinc, 96. Rcnznt Zbigniw Konopka