Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Transkrypt

1 Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania PWSZ Gªogów, 2009

2 Iloczyn skalarny Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (, ) R iloczyn skalarny wektorów w i v w przestrzeni R n (w, v) = n w i v i i=1 iloczyn skalarny funkcji f i g w przestrzeni L 2 [a, b] b (f, g) = f (x)g(x) dx iloczyn skalarny funkcji f i g w przestrzeni L 2w [a, b] b a (f, g) = f (x)g(x)w(x) dx a Wªasno± : f = (f, f )

3 Aproksymacja ±redniokwadratowa Model F (x) w postaci (funkcja aproksymuj ca): F (x) = a 0 ϕ 0 (x) + a 1 ϕ 1 (x) a m ϕ m (x) gdzie {ϕ k (x)} m k=0 s liniowo niezale»ne Rozwi zaniem zadania aproksymacji ±redniokwadratowej jest ukªad równa«liniowych w postaci: m (ϕ i, ϕ k )a k = (f, ϕ i ), i = 0, 1,..., m k=0

4 Przykªad - przypadek dyskretny Dopasowanie funkcji kwadratowej Punkty pomiarowe: Model F (x) postaci: Funkcje bazowe: i x i f (x i ) ϕ 0 (x i ) ϕ 1 (x i ) ϕ 2 (x i ) F (x) = a 0 ϕ 0 (x) + a 1 ϕ 1 (x) + a 2 ϕ 2 (x) ϕ i = x i ϕ 0 (x) = x 0 = 1, ϕ 1 (x) = x, ϕ 2 (x) = x 2

5 Przykªad - przypadek dyskretny Otrzymujemy ukªad równa«w postaci: (ϕ 0, ϕ 0 )a 0 + (ϕ 0, ϕ 1 )a 1 + (ϕ 0, ϕ 2 )a 2 = (f, ϕ 0 ) (ϕ 1, ϕ 0 )a 0 + (ϕ 1, ϕ 1 )a 1 + (ϕ 1, ϕ 2 )a 2 = (f, ϕ 1 ) (ϕ 2, ϕ 0 )a 0 + (ϕ 2, ϕ 1 )a 1 + (ϕ 2, ϕ 2 )a 2 = (f, ϕ 2 ) gdzie: (ϕ 0, ϕ 0 ) = 2 i=0 ϕ 0(x i )ϕ 0 (x i ) = 3 (f, ϕ 0 ) = 2 i=0 f (x i)ϕ 0 (x i ) = 4 (ϕ 0, ϕ 1 ) = (ϕ 1, ϕ 0 ) = 6 (f, ϕ 1 ) = 8 (ϕ 0, ϕ 2 ) = (ϕ 2, ϕ 0 ) = 14 (f, ϕ 2 ) = 18 (ϕ 1, ϕ 1 ) = 14 (ϕ 1, ϕ 2 ) = (ϕ 2, ϕ 1 ) = 36 (ϕ 2, ϕ 2 ) = 98

6 Przykªad - przypadek dyskretny Po podstawieniu otrzymujemy: 3a 0 + 6a a 2 = 4 6a a a 2 = 8 14a a a 2 = 18 Czyli: Rozwi zanie: a 0 = 2, a 1 = 4, a 2 = 1 Zatem: F (x) = x 2 + 4x 2 a 0 a 1 a 2 =

7 Przykªad - przypadek dyskretny y x

8 Przykªad przypadek ci gªy Aproksymowa przebieg funkcji f (x) = x 2 za pomoc staªej na przedziale [a, b] = [0, 2] Dane: F (x) = a 0 ϕ 0 (x); ϕ 0 (x) = x 0 = 1 Rozwi zanie: (ϕ 0, ϕ 0 )a 0 = (f ( ), ϕ 0 ) b b 1 1 dx x 2 1 dx a 2 x 2 dx 0 a 0 = 2 dx 0 a 0 = a = [ 1 3 x 3] 2 [x] = = 4 3

9 Przykªad - przypadek ci gªy f(x)=x 2 y F(x)=4/ x

10 Wielomiany ortogonalne Rodzina trójk tna wielomianów ortogonalnych (φ i, φ i ) = 0 dla i k {φ k (x)} n k=0 nosi nazw rodziny trójk tnej wielomianów ortogonalnych Dowolny wielomian ma posta : p(x) = n c i φ i (x) Pierwiastki wielomianów ortogonalnych w przestrzeni L 2w [a, b] s rzeczywiste, jednokrotne i le» wewn trz przedziaªu [a, b] i=0

11 Wielomiany Czebyszewa Denicja T n (x) = cos(n arccos(x)) Dziedzina [ 1, 1] Funkcja wagowa w(x) = 1 1 x 2 Wzór rekurencyjny T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x) T 0 (x) = 1; T 1 (x) = x 0 dla p k Ortogonalno± (T p, T k ) = π dla p = k = 0 dla p = k 0 π 2 Zera x k = cos ( 2k+1 n 1 (T 1 (x), T 2 (x)) = ) π 2 T 1 (x) T 2 (x) w(x) dx = x (2x 2 1) 1 1 x 2 dx = 0

12 Wielomiany Legendre'a Denicja P 0 (x) = 1; P n (x) = 1 Dziedzina [ 1, 1] Funkcja wagowa w(x) = 1 ( d n 2 n n! dx n x 2 1 ) n Wzór rekurencyjny P n (x) = 2n 1 n P 0 (x) = 1; xp n 1 (x) n 1 n P 1 (x) = x P n 2(x) { 0 dla p k Ortogonalno± (P p, P k ) = 2 2n+1 dla p = k

13 Wielomiany Laquerre'a Denicja L n (x) = ( 1) n e x dn dx n (x n e x ) n Dziedzina [0, ] Funkcja wagowa w(x) = e x Wzór rekurencyjny L n (x) = (2n 1)xL n 1 (x) (n 1) 2 L n 2 (x) L 0 (x) = 1; L 1 (x) = 1 x { 0 dla p k Ortogonalno± (L p, L k ) = 1 dla p = k

14 Wielomiany Hermite'a Denicja H 0 (x) = 1; H n (x) = ( 1) n e x2 d n dx n e x2 Dziedzina [, ] Funkcja wagowa w(x) = e x2 Wzór rekurencyjny H n (x) = 2xH n 1 (x) 2(n 1)H n 2 (x) H 0 (x) = 1; H 1 (x) = 2x { Ortogonalno± (H p, H k ) = 0 dla p k p! 2 p π dla p = k H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x ,...

15 Wielomiany ortogonalne zastosowania Interpolacja wielomianowa problem doboru w zªów interpolacji Optymalny dobór w zªów: n + 1 w zªów interpolacji w zerach n + 1 wielomianu Czebyszewa Przykªad: Interpolacja dla funkcji y = x - równoodlegªe w zªy (n=4) - równoodlegªe w zªy (n=10) - w zªy dobrane optymalnie (n=10)

16 Wielomiany ortogonalne zastosowania y x

17 Wielomiany ortogonalne zastosowania Aproksymacja ±redniokwadratowa wybieraj c za funkcje bazowe ϕ i wielomiany ortogonalne kolejnych stopni znacz co upraszcza (przy zachowaniu warunków ortogonalno±ci danej rodziny wielomianów ortogonalnych) wyznaczenie rozwi zania (poniewa» zeruj si mieszane iloczyny skalarne (ϕ p, ϕ k ) dla p k macierz ukªadu równa«liniowych b dzie diagonalna!). Caªkowanie numeryczne przy konstrukcji kwadratur Gaussa (pozwala to m.in. na numeryczne liczenie caªek dla funkcji z osobliwo±ciami na przedziale caªkowania (np. asymptoty pionowe tan(x)) a tak»e na liczenie caªek niewªa±ciwych w postaci f (x) dx, 0 f (x) dx, f (x) dx 0