Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
|
|
- Mikołaj Stefaniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 # # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna Katowice www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl Krzywa rozkładu normalnego krzywa rozkładu Gaussa lub krzywą rozkładu normalnego pomiar pomiar ( x) = exp σ π ( x µ ) Φ σ chemików
2 Rozkład normalny Kiedy mówimy o rozkładzie normalnym to: 68% pomiarów znajduje się w przedziale µ ± σ 95% pomiarów znajduje się w przedziale µ ± σ 99,7% pomiarów znajduje się w przedziale µ ± 3σ Standardyzowana zmienna Dla rozkładu normalnego, dokładną proporcję próbek, o które są w określonym interwale można odszukać w tablicach statystycznych. Tablice zakładają, że zmienna jest standardyzowana: z = x µ σ z N(0,) chemików
3 Rozkład standardyzowanej zmiennej Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego (postać unormowana, standardyzowana). ϕ ( x) ( z) = exp σ π ( x µ ) Φ σ z = exp π Całka Laplace a prawdopodobieństwo wystąpienia wartości zmiennej w przedziale od 0 do z i µ 0 z i z z ( ) = exp dz Φ z i π z i 0 chemików 3
4 Przykład Podczas miareczkowania uzyskano normalny rozkład wyników, ze średnią 0,5 ml oraz odchyleniem standardowym 0,0 ml. Jaka część pomiarów będzie w przedziale od 0, ml do 0,0 ml? z = (0,-0,5)/0,0 = -,5 Φ(z ) = 0,0668 z = (0,0-0,5)/0,0 =,5 Φ(z ) = 0,9938 Przykład Z tablic statystycznych proporcja obiektów, o wartości poniżej z i z z µ 0,0668 0,9938 z p = 0,9938 0,0668 = 0,970 9,70% pomiarów znajduje się w przedziale od 0, ml do 0,0 ml chemików 4
5 Przedział ufności Pewna wartość leży w przedziale, którego zakres determinuje: precyzja danej metody (σ), liczba pomiarów (z liczbą powtórzeń rośnie nasza pewność co do wyniku). Załóżmy, że robimy po 5 powtórzeń 5 pomiarów rozkład indywidualnych średnich rozkład próbkowania średniej błąd standardowy średniej: informuje o stopniu rozproszenia średnich z próbki względem średniej dla populacji: σ/ n Przedział ufności Zakres wartości, których z określoną ufnością możemy być pewni. O przedziale ufności decyduje stopień ufności im większy tym przedział jest szerszy. Dla dużej liczby pomiarów przedział ufności ma postać: µ ± zα/ ( σ/ n ) wartość tablicowa odczytana dla danego poziomu ufności chemików 5
6 Przedział ufności 90% 95% 98% 99% ( σ / n ) < x < µ +,64( / n ) µ,64 σ ( σ / n ) < x < µ +,96( / n ) µ,96 σ ( σ / n ) < x < µ +,33( / n ) µ,33 σ ( σ / n ) < x < µ +,58( / n ) µ,58 σ Przedział ufności dla małej liczby próbek Im mniej próbek, tym σ jest mniej dokładnie wyznaczone, zatem przedział ufności ma postać: µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) Wprowadza się pojęcie liczby stopni swobody (n-): liczba niezależnych różnic (x i -µ). Wartość t zależy od przyjętego poziomu ufności i liczby stopni swobody. chemików 6
7 Przedział ufności dla małej liczby próbek 0,05 0,05 0,0 0,005 6,34,706 3,8 63,657,90 4,303 6,965 9,95 3,353 3,8 4,54 5,84 4,3,776 3,747 4,604 5,05,57 3,365 4,03 6,943,447 3,43 3,707 7,895,365,998 3,499 8,860,306,896 3,355 9,833,6,8 3,50 0,8,8,764 3,69 µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) Przykład Zawartość sodu w moczu wyznaczono stosując elektrodę selektywną. Uzyskano następujące wyniki: 0, 97, 99, 98, 0 i 06 mm. Ustal 95% i 99% przedziały ufności dla tychże pomiarów. µ = 00,5 mm σ = 3,7 mm df = 6 - µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) ( 6) = 00,5 3,4 mm ( 6) = 00,5 5,4 mm 00,5 ±,57 3,7 / ± 00,5 ± 4,03 3,7 / ± chemików 7
8 Dokładność oszacowanej wielkości ε = t ( α/, n )( σ/ n ) n = t ( α/,n ) ε σ Przykład Dla poziomu ufności 95% określ liczbę próbek jaka jest potrzebna do oszacowania grubości powłoki chromu, jeśli dokładność pomiaru wynosi ±0,0 mm, a σ obliczone dla 6 pierwszych pomiarów wynosi 0,0 mm.,57 0,0 = 0,0 n = 7 chemików 8
9 Testowanie hipotez - wprowadzenie Testowanie hipotez Cel: ustalenie w sposób obiektywny na podstawie zgromadzonych wyników pomiarów słuszności postulowanej hipotezy chemików 9
10 Porównanie średniej z daną wartością Przygotowujemy lek, który zawiera wszystkie składniki oraz czynny komponent w ilości 00,0 mg. Przykład : 4 razy oznaczono składnik aktywny; średnia wynosi 98, mg, a odchylenie standardowe jest znane a priori (0,8). Przykład : 6 razy oznaczono aktywny składnik i uzyskano następujące wartości: 98,9 00,3 99,7 99,0 00,6 98,6 Porównanie średniej z daną wartością Średnia pomiarów wynosi: 99,5 Odchylenie standardowe wynosi: 0,8 Czy wartość średnia jest naprawdę różna niż faktyczna masa substancji aktywnej (µ 0 = 00 mg)? Aby sprawdzić czy powyższe jest prawdą, konieczny jest test hipotezy. chemików 0
11 Porównanie średniej z daną wartością Zarówno średnia jak i odchylenie standardowe są przybliżeniem wartości prawdziwych. Estymatory Czy możemy przyjąć, że te dwa estymatory są równe odpowiednio µ oraz σ??? Hipoteza zerowa i alternatywna Hipoteza 0 (H 0 ): średnia µ zbioru pomiarów jest równa wartości µ 0 H 0 : µ = µ 0 Hipoteza alternatywna (H ): średnia µ zbioru pomiarów jest różna od wartości µ 0 H : µ µ 0 chemików
12 Hipoteza Czasem hipotezę alternatywną formułuje się jako: H > H < Przedział ufności Dla przykładu, przyjmując 95% przedział ufności: ( σ / n ) < x < µ +,96( / n ) µ,96 σ ( σ / ) = 98, ±,96 0,4 = 98, 0, 78 98, ±,96 n ± odrzucamy hipotezę H 0 bo 00 mg jest poza przedziałem ufności, a przyjmujemy hipotezę H chemików
13 Przedział ufności φ(x) z µ ± z α/ ( )( σ/ n ) Przedział ufności Dla przykładu, odchylenie standardowe nie jest a priori znane, lecz oszacowane na podstawie ograniczonej liczby pomiarów Dlatego, stosujemy test t (przyjmując 95% przedział ufności) µ ± t ( α/, n )( σ/ n ) 0,8 ( n ) = 99,5±,57 = 99,5 0,85 99,5 ±,57 σ/ ± 6 00 mg jest w przedziale ufności dlatego przyjmujemy hipotezę H 0 chemików 3
14 Kroki testowania hipotez Ustal hipotezy H 0 i H Ustal poziom α, np. α = 5% Ustal przedział ufności Sprawdź, czy µ 0 znajduje się w przedziale ufności Przyjmij, lub odrzuć hipotezę H 0 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Możemy powiedzieć, że 95% wszystkich pomiarów znajduje się w przedziale: ( n ) < x < µ,96( σ/ n ) µ,96 σ/ + Jeśli przyjmiemy, że H 0 : µ = µ 0 jest prawdą, wówczas H 0 jest także spełniona dla wszystkich pomiarów z tego interwału chemików 4
15 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Dla oryginalnych i z-transformowanych wartości Porównanie wartości testu z wartością krytyczną w jednostkach z µ µ z = σ/ n 0 < crit Gdy crit =,96 to przyjmujemy 95% chemików 5
16 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Ustal hipotezy H 0 i H Ustal poziom α, np. α = 5% Jaka jest krytyczna z-wartość? Jaką wartość przyjmuje z dla µ Jeśli z <crit to przyjmujemy H 0 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Przykład : µ µ 0 z = σ/ n = 98, 00 0,8/ 4 = 4,50 >,96 Zatem, odrzucamy H 0 chemików 6
17 Porównanie wartości testu z wartością krytyczną Przykład : t µ µ 0 99,5 00 = = =,5 t σ/ n 0,83/ 6 ( 0,05,5 ) =,57 Poziom ufności i błąd α Przyjmując, że przedział ufności obejmuje 95% rozkładu, 5% znajduje się poza przedziałem (poziom ufności p = 95%). Te 5% zwane jest poziomem istotności BŁĄD I rodzaju, zwany także błędem α. Jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu związanego z odrzuceniem hipotezy H 0, podczas gdy jest ona prawdziwa. chemików 7
18 Błąd β Przyjmijmy, że nasza metoda jest obciążona błędem systematycznym, tzn. zamiast 00 mg mamy 98,0 mg. błąd systematyczny bez błędu systematycznego Błąd β Błąd β jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu związanego z przyjęciem hipotezy H 0, podczas gdy jest ona nieprawdziwa błąd systematyczny - (z>=,55) = - 0,994 = 0,006 chemików 8
19 Testowanie hipotez Tablice statystyczne dwustronny jednostronny chemików 9
20 Tablice statystyczne α - poziom istotności - α: poziom ufności t vs. rozkład normalny rozkład t, n=5 rozkład t, n= rozkład normalny 0.35 rozkład normalny dla nieskończenie dużej liczby pomiarów t 0,05 = z 0,05 chemików 0
21 Testowanie hipotez Poprzednio, rozważaliśmy czy średnia jest statystycznie różna niż deklarowana wartość? Testowaliśmy następującą hipotezę zerową: H 0 : µ = µ 0 Wartości krytyczne dla rozkładu normalnego lub t, w zależności od sytuacji. Testowanie hipotez Kiedy hipoteza może zawierać nierówność? H : µ µ 0 H : µ µ 0 Wyobraźmy sobie, że kupujemy rudę pewnego metalu, a sprzedawca gwarantuje jego zawartość na poziomie co najmniej równym 0g/kg. Dla nas im więcej tym lepiej Kupujący testuje zatem ryzyko związane z mniejszą zawartością metalu. Sprzedający testuje ryzyko sprzedaży większej niż deklarowana zawartości metalu. chemików
22 Porównanie średnich dwóch populacji Mamy dwa zbiory zawierające n i n wyników. Czy średnie dwóch zbiorów są takie same? H 0 : µ = µ Porównanie średnich dwóch populacji Dla zbiorów, w których n > 30 możemy przyjąć normalny rozkład średniej, nawet jeśli nie mamy do końca do czynienia z rozkładem normalnym samych pomiarów, a wariancja wynosi: σ /n. Wówczas, różnice µ -µ też śledzą rozkład normalny, a wariancja tego rozkładu wynosi: (σ /n + σ /n ). z = ( σ /n ) + ( σ /n ) µ µ chemików
23 Porównanie średnich dwóch populacji Jeśli: H 0 : µ = µ H : µ µ H 0 jest przyjęta, gdy z < z crit (test dwustronny). Porównanie średnich dwóch populacji Jeśli H 0 : µ = µ H : µ > µ H 0 jest przyjęta, gdy z < z crit (test jednostronny). chemików 3
24 Porównanie średnich dwóch populacji Jeśli H 0 : µ = µ H : µ < µ H 0 jest przyjęta, gdy z > -z crit (test jednostronny). Porównanie średnich dwóch populacji Przyjmujemy H 0 jeśli 0 jest w przedziale ufności: ( µ µ ) ± z ( σ /n ) + ( σ ) α/ /n test dwustronny ( µ µ ) ±,95 ( σ /n ) + ( σ ) α = 5% /n chemików 4
25 Porównanie średnich dwóch populacji H 0 : µ = µ H : µ > µ Test jednostronny ( µ ) +,95 ( σ / n ) + ( σ n ) µ / α =,5% Jeśli 0 jest mniejsze niż wartość krytyczna to hipoteza H 0 jest spełniona Przykład Porównujemy dwie procedury, które mają wpływ na zawartość azotu w próbkach Procedurę podejrzewamy, że wpływa na obniżenie zawartości azotu H 0 : µ = µ H : µ < µ Procedura : µ =,05 g/00g, σ = 0,050 (n = 30) Procedura : µ =, g/00g, σ = 0,040 (n = 3) chemików 5
26 Porównanie średnich dwóch populacji H 0 : µ = µ µ - µ = 0 H : µ < µ µ - µ < 0 Test jednostronny ( µ µ ),95 ( σ / n ) + ( σ n ) / Porównanie średnich dwóch populacji H 0 : µ = µ H : µ < µ Test jednostronny ( µ µ ),95 ( σ / n ) + ( σ n ) / Jeśli 0 jest większe niż wartość krytyczna H 0 jest spełniona chemików 6
27 Przykład z = ( σ /n ) + ( σ /n ) µ µ z =,05, ( 0,050/30) + ( 0,040/3) =,96 Porównanie średnich dwóch populacji Dla małej liczby próbek: test t opiera się o następujące założenia: próbki o średniej µ i µ oraz wariancjach σ i σ mają rozkład normalny wariancje są równe Gdy ostatni warunek jest pełniony możemy obliczyć łączną wariancję jako: σ = ( n σ ) + ( n ) n + n σ chemików 7
28 Porównanie średnich dwóch populacji Test t dla porównania dwóch średnich o małej liczbie próbek przyjmuje postać: t ( α/,n + n ) = σ µ µ ( /n + /n ) Porównanie średnich dwóch populacji Dla testu dwustronnego H 0 jest przyjęta jeśli t < t crit Dla testu jednostronnego, gdy H : µ > µ, H 0 jest przyjęta dla t < t crit Dla testu jednostronnego, gdy H : µ < µ, H 0 jest przyjęta dla t > -t crit chemików 8
29 Przykład Procedura : µ =,05 g/00g, σ = 0,050 (n = 8) Procedura : µ =, g/00g, σ = 0,040 (n = 7) H 0 : µ = µ H : µ < µ 7 0, ,040 σ = = 0, ,6 t = =,46 0,045(/7 + /8) t crit (3 st. swobody, 95%) =,77 Test Cochrana Jeśli wariancje nie są statystycznie porównywalne, wówczas aby porównać dwie średnie stosujemy test Cochrana µ µ t = t ( σ /n ) + ( σ/n ) dla n - stopni swobody t dla n - stopni swobody t t' = ( σ /n ) + t ( σ/n ) ( σ /n + ( σ /n ) chemików 9
30 Przykład Procedura : µ =,05 g/00g, σ = 0,050 (n = 9) Procedura : µ =, g/00g, σ = 0,00 (n = 8) H 0 : µ = µ H : µ < µ t =,860 t' = 0,6 =,8 ( 0,050/8) + ( 0,0/7) ( 0,050/8) +,895( 0,00/7) ( 0,050/8) + ( 0,00/7) =,86 Jeśli t < -t' to przyjmujemy hipotezę H Porównanie średnich - parowanie Próbki są parowane jeśli istnienie pomiędzy nimi odpowiedniość :, np.: zmierzono zawartość azotu w próbkach dwiema technikami analitycznymi, których wyniki przedstawiono poniżej: Procedura Procedura chemików 30
31 Porównanie średnich - parowanie Pod uwagę bierzemy różnice odpowiednich próbek d = d i = x i -x i n d i H 0 : H : d = 0 d 0 Porównanie średnich - parowanie Tak sformułowana hipoteza zerowa sprowadza problem do testowania, czy różnica pomiędzy wartością średnia, a zerem jest statystycznie istotna. Możemy stosować ten sam test co wcześniej, kiedy rozmawialiśmy o tabletkach. W zależności od liczby pomiarów w rachubę wchodzą wartości krytyczne rozkładu normalnego lub rozkładu t. chemików 3
32 Porównanie średnich - parowanie Dla dużej liczby próbek (co najmniej), możemy przyjąć rozkład normalny. Wówczas statystyka ma postać: z = d 0 σ/ n odchylenie standardowe różnic Zakładając dany poziom α, wówczas w tablicach odczytujemy wartość krytyczną dla tego poziomu (np. 0,05) Porównanie średnich - parowanie Zakładając dany poziom α, wówczas w tablicach odczytujemy wartość krytyczną dla tego poziomu (np. 0,05) zakładając H 0 : H : d = 0 d 0 wartość krytyczna wynosi,96 dla testu dwustronnego z < crit chemików 3
33 Porównanie średnich - parowanie Zakładając dany poziom α, wówczas w tablicach odczytujemy wartość krytyczną dla tego poziomu (np. 0,05) zakładając H 0 : H : d d = 0 > 0 t < crit H 0 : H : d d = 0 < 0 t > -crit Przykład Procedura Procedura di 0. -0, -0, 0, 0, 0, 0, -0, z d 0 = di d = = 0,05 n σ/ n σ = n ( di d) i= n = 0,6 chemików 33
34 Rozwiązanie n d ( di d) i i= d = = 0,05 σ = n n = 0,6 d 0,05 t = = = 0,88 σ/ n 0,6/ 8 Porównanie wariancji Do porównania dwóch wariancji stosujemy test F Wyraża on stosunek dwóch wariancji σ F = > σ, σ σ df = n df = n chemików 34
35 Wartości krytyczne dla testu F α = 0,05 dla testu jednostronnego lub α = 0,05 dla testu dwustronnego Liczba stopni swobody n ,79 799,50 864,6 899,58 9,85 937, 948, 956,66 963,8 968,63 Liczba stopni swobody n 38,5 39,00 39,7 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 3 7,44 6,04 5,44 5,0 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 4,4 4, 0,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,90 8,84 5 0,0 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6 8,8 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,5 5,46 7 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,90 4,8 4,76 8 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 9 7, 5,7 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,0 4,03 3,96 0 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,07 3,95 3,85 3,78 3,7 Test F Formułowanie hipotez H 0 : H : σ σ = σ σ test dwustronny H 0 : H : σ σ = σ > σ test jednostronny α dla testu jednostronnego odpowiada α testu dwustronnego chemików 35
36 Przykład σ σ = 0,05 = 0,04 (n= 8) (n = 7) 0,05 F = =,5 0,04 Przykład Czy różnice pomiędzy wariancjami dwóch metod są statystycznie istotne? F < crit -> H 0 F 0,05,7,6 = 5,70 chemików 36
Wprowadzenie do statystyki dla. chemików testowanie hipotez
chemików testowanie hipotez Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl http://www.sites.google.com/site/chemomlab/
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25
Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoRozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowodr hab. Dariusz Piwczyński, prof. nadzw. UTP
dr hab. Dariusz Piwczyński, prof. nadzw. UTP NIEZBĘDNE DO ZROZUMIENIA WYKŁADU POJĘCIA Doświadczenie jednogrupowe (jednopróbkowe), dwugrupowe (dwupróbkowe) Doświadczenie niezależne i wiązane (zależne, sparowane)
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza
Bardziej szczegółowoOdchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoSMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec
SMOP - wykład Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów Ewa Pawelec 1 iepewność dla rozkładu norm. Zamiast dodawania całych zakresów uwzględniamy prawdopodobieństwo trafienia dwóch wartości: P x 1, x
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoWykład 9 Wnioskowanie o średnich
Wykład 9 Wnioskowanie o średnich Rozkład t (Studenta) Wnioskowanie dla jednej populacji: Test i przedziały ufności dla jednej próby Test i przedziały ufności dla par Porównanie dwóch populacji: Test i
Bardziej szczegółowoMatematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.
WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska
Porównanie modeli statystycznych Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska Jaka jest miara podobieństwa? Aby porównywać rozkłady prawdopodobieństwa dwóch modeli statystycznych możemy użyć: metryki dywergencji
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych testy dla dwóch zbiorowości
Weryfikacja hipotez statystycznych testy dla dwóch zbiorowości Informatyka 007 009 aktualizacja dla 00 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu. Przypomnienie testu dla
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoWykład 8: Testy istotności
Wykład 8: Testy istotności Hipotezy Statystyki testowe P-wartości Istotność statystyczna Test dla średniej w populacji Dwustronny test a przedział ufności Używanie i nadużywanie testów Testy istotności
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne Czyli jak bardzo jesteśmy pewni że parametr oceniony na podstawie próbki jest
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoTesty post-hoc. Wrocław, 6 czerwca 2016
Testy post-hoc Wrocław, 6 czerwca 2016 Testy post-hoc 1 metoda LSD 2 metoda Duncana 3 metoda Dunneta 4 metoda kontrastów 5 matoda Newman-Keuls 6 metoda Tukeya Metoda LSD Metoda Least Significant Difference
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoKatedra Biotechnologii i Genetyki Zwierząt, Wydział Hodowli i Biologii Zwierząt, UTP w Bydgoszczy
Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. MS EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w MS Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Statystyka matematyczna - część matematyki
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych testy t Studenta
Weryfikacja hipotez statystycznych testy t Studenta JERZY STEFANOWSKI Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Standardowy schemat postępowania (znane σ) Założenia: X ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.
Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii. Zadanie 1.
Zadania ze statystyki cz. 8 I rok socjologii Zadanie 1. W potocznej opinii pokutuje przekonanie, że lepsi z matematyki są chłopcy niż dziewczęta. Chcąc zweryfikować tę opinię, przeprowadzono badanie w
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne. #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji
gkrol@mail.wz.uw.edu.pl #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji 1 Ryzyko błędu - powtórzenie Statystyka niczego nie dowodzi, czyni tylko wszystko mniej lub bardziej prawdopodobnym
Bardziej szczegółowoAutor: Dariusz Piwczyński 1 Ćwiczenie: Doświadczenia 2-grupowe w układzie niezależnym i zależnym.
Autor: Dariusz Piwczyński 1 Ćwiczenie: Doświadczenia 2-grupowe w układzie niezależnym i zależnym. Zadania: Arkusz kalkulacyjny Excel Do weryfikacji różnic między dwiema grupami obiektów w Excelu wykorzystujemy
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ budynek Centrum Mechatroniki, iomechaniki i Nanoinżynierii) wwwzmispmtputpoznanpl tel +48
Bardziej szczegółowoDane dotyczące wartości zmiennej (cechy) wprowadzamy w jednej kolumnie. W przypadku większej liczby zmiennych wprowadzamy każdą w oddzielnej kolumnie.
STATISTICA INSTRUKCJA - 1 I. Wprowadzanie danych Podstawowe / Nowy / Arkusz Dane dotyczące wartości zmiennej (cechy) wprowadzamy w jednej kolumnie. W przypadku większej liczby zmiennych wprowadzamy każdą
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE
Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowo