Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Transkrypt

1 Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III ( ) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału ufności dla średniej, wtedy gdy: 1. Populacja, z której pobrano próby ma w przybliżeniu rozkład normalny 2. Rozmiar próby jest mały, tzn. n < Odchylenie standardowe dla populacji jest nieznane 1

2 Rozkład t-studenta Rozkład t-studenta Zdefiniowany w roku 1908 przez W.S. Gosseta, pracownika browarów Guinnessa w Dublinie. Jest stosowany do badania małych próbek. Rozkład t-studenta zależy tylko od jednego parametru zwanego liczbą stopnii swobody, lub df (degree of freedom). Krzywa rozkładu T jest podobna do N(0,1), jest symetryczna, lecz bardziej spłaszczona. Dla dużej liczby stopni swobody jest nierozróżnialna od standaryzowanego rozkładu normalnego. N t Rozkład t-studenta Liczba stopni swobody () określa ile danych ze zbioru można zmienić bez zagrożenia zmianą wyznaczanego parametru. Przy obliczeniu wartości średniej: n 1 Rozkład T dla 7 elementowej próby, tzn. przy 6 stopniach swobody vs. N(0,1) N(0,1) t dla = 6 Wartość oczekiwana rozkładu T: E( ) 0 a odchylenie standardowe: V ( ) /( 2) T T Dla n=7: =7-1=6 odchylenie: 6 /(6 2)

3 Przedziały ufności dla małej próby Przedziałem ufności nazywamy taki przedział liczbowy, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem (1-), pokrywa nieznaną wartość parametru t w populacji generalnej. Przedział ufności służy do estymacji (oszacowania) wartości średniej populacji. P(L t P) 1 gdzie L i P to wartości krytyczne (krańcowe) dla przedziału ufności; to poziom istotności. Na poziomie ufności (1-) wartość średniej dla populacji zawiera się w przedziale: t s s gdzie s n Wartość t odczytujemy z tablicy rozkładu T przy stopniach swobody i przy zadanym poziomie istotności. Tabela rozkładu t-studenta Tablice zmiennej losowej t-studenta (T ) o stopniach swobody są opracowane tak, że podają przy założonym poziomie istotności taką wartość krytyczną (t, ) zmiennej losowej T dla której zachodzi zależność: P ( T, t ) 2 t, 1 0 t, 2 Powierzchnia pod krzywą rozkładu T / 3

4 Rozkład t-studenta, przykłady Przykład: Dla 18 obserwacji wyznacz wartość krytyczną (t, ) zmiennej losowej na poziomie ufności 90%. / Poziom ufności: 90% =0.9=(1-) Poziom istotności: = 0.1 n = 18, = n 1 = 17 t 0.1, Rozkład t-studenta, przykłady Przykład: Jaka jest wartość zmiennej losowej t-studenta o 4 stopniach swobody, która spełnia warunek: P t ) 0.05? ( T 0.05, 4 / Liczba spełnia warunek: P( T ) t 4

5 Rozkład t-studenta, przykłady Przykład: Dr Kowalski chciał oszacować średni poziom cholesterolu mieszkańców swojej miejscowości. Wykonał badanie na próbie 25 osób. Średni poziom cholesterolu w tej grupie wyniósł 186 z odchyleniem standardowym 12. Przy założeniu, że rozkład poziomu cholesterolu mieszkańców miejscowości jest rozkładem normalnym wyznaczyć 95% przedział ufności średniej zawartości cholesterolu dla wszystkich mieszkańców. Dane: n=25, =186, s=12, (1-)=0.95 = 25-1=24 = 0.05 t s? Rozkład t-studenta, przykłady Przykład, cd. Wartość t krytyczne z tablic: t 0.05,24 = s s n t t 0.05,24 s Z 95% zaufaniem można stwierdzić, że średni poziom cholesterolu mieszkańców miejscowości zawiera się w granicach: [ ] W tym przypadku wartość średnia dla próby 186 punktowym wartości średniej badanej populacji. jest estymatorem 5

6 Testowanie hipotez Testy statystyczne W przypadku każdego testu statystycznego można popełnić dwa rodzaje błędów: Błąd pierwszego rodzaju odrzucenie prawdziwej hipotezy Błąd drugiego rodzaju przyjęcie hipotezy fałszywej Trzecia opcja nie istnieje! Podział testów: Parametryczne stosowanie ich wymaga przyjęcia założeń o postaci rozkładu testowanej zmiennej losowej oraz znajomości wybranych statystyk Nieparametryczne nie wymagają powyższych założeń, ale nie są tak mocne jak testy parametryczne 6

7 Hipotezy Weryfikacja hipotezy przebiega według pewnego schematu postępowania zwanego testem statystycznym. Weryfikując hipotezę parametryczną mówimy o teście parametrycznym, w innym przypadku testy nazywamy nieparametrycznymi. Testy na podstawie wyników z próby losowej pozwalają podjąć decyzję o przyjęciu bądź odrzuceniu postawionej hipotezy. Weryfikacja hipotez rozpoczyna się od postawienia i sprawdzenia tzw. hipotezy zerowej, H 0. Następnie formułuje się hipotezę konkurencyjną, którą przyjmuje się w przypadku odrzucenia hipotezy zerowej. Taką hipotezę nazywamy hipotezą alternatywną, H 1. Hipotezy Przykład W zarządzaniu jakością często stawiane jest pytanie: czy wartość określonej statystyki uzyskanej z próby losowej (szczególnie gdy próbka ma małą liczebność) pozwala sądzić, że odpowiada ona wartości wymaganej (spodziewanej) lub też czy poprawa uzyskana w wyniku działań doskanalających jest tylko pozorna (wynika z małej liczby pomiarów sprawdzających), czy jest poprawą rzeczywistą Odpowiedzi na tak stawiane pytania uzyskuje się w tzw. testach statystycznych. 7

8 Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne sprowadza się do weryfikowania hipotez formułowanych na podstawie założonego modelu teoretycznego. Jednym z rodzajów takiego wnioskowania jest wnioskowanie oparte na przedziałach ufności. Przykład Interesuje nas populacja studentów I roku chemii i na podstawie pewnych przesłanek spodziewamy się, że średnia ocen z egzaminów w tej populacji wyniesie 0 = W takim przypadku należy na podstawie wybranej próby sprawdzić czy rzeczywiście wartość średnia populacji jest równa Przyjęcie hipotezy zerowej H 0 : = 3.18 oznacza, że =3.18 Można sformułować wiele hipotez alternatywnych, ale sens mają tylko trzy: H 1A : <3.18 H 1B : >3.18 H 1C : 3.18 Wnioskowanie statystyczne Poziom ufności (1-) jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość zmiennej losowej znajduje się wewnątrz przedziału ufności. Przedział ufności jest to przedział liczbowy, w którym z prawdopodobieństwem (1- ) znajduje się nieznana wartość zmiennej losowej. Poziom istotności () jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość zmiennej losowej nie znajduje się wewnątrz przedziału ufności. Wielkość parametru ustala statystyk. Jest to kluczowy parametr w statystyce matematycznej. 8

9 Wnioskowanie statystyczne Poziom ufności (1-) (1-)=0.9 pole niebieskiej powierzchni wynosi 0.9, czyli stanowi 90% całkowitej powierzchni pod krzywą rozkładu normalnego Przedział ufności z Poziom istotności =0.1 Suma niebieskich pól wynosi 0.1, czyli stanowi 10% całkowitej powierzchni pod krzywą rozkładu normalnego /2 = 0.05 /2 = z Wnioskowanie statystyczne Hipoteza typu: < 0,lub > 0 nazywa się hipotezą jednostronną, a test związany z jej weryfikacją - testem jednostronnym. Analogicznie, testem dwustronnym nazywa się test użyty do weryfikowania hipotezy dwustronnej, tzn. hipotezy postaci: 0. Może się zdarzyć, że formułując hipotezę jednostronną test statystyczny da podstawy do jej przyjęcia (bo odrzucona zostanie H 0 ), natomiast nie będzie można przyjąć hipotezy alternatywnej w przypadku hipotezy dwustronnej. Przed przystąpieniem do testowania muszą być sformułowane obie hipotezy: zerowa i alternatywna. 9

10 Test dwustronny zacieniowany obszar wynosi /2 zacieniowany obszar wynosi /2 odrzucenia =3.18 przyjęcia odrzucenia C 1 C 2 wartości krytyczne Test lewostronny zacieniowany obszar wynosi odrzucenia =3.18 przyjęcia C Wartość krytyczna 10

11 Test prawostronny zacieniowany obszar wynosi =3.18 odrzucenia przyjęcia C Wartość krytyczna Testy Podsumowanie zależności między znakiem hipotezy zerowej H 0 i alternatywnej H 1, a obszarem wykluczenia Test dwustronny Test lewostronny Test prawostronny Znak dla hipotezy zerowej H = = lub = lub 0 Znak dla hipotezy alternatywnej H 1 < > wykluczenia Skrajne wartości z obu stron Skrajne wartości z lewej strony Skrajne wartości z prawej strony 11

12 Testowanie - etapy Etapy testowania statystycznego: 1.Definicja hipotezy zerowej i alternatywnej 2.Wybór typu rozkładu 3.Wyznaczenie obszarów odrzucenia 4.Obliczenie wartości statystyki testującej 5.Podjęcie decyzji Testowanie Przykład W roku akad. 2007/2008 student poświęcał dziennie średnio minuty na sport. W roku 2008/2009, na podstawie ankiety przeprowadzonej na grupie 150 osób otrzymano, że średni czas przeznaczony na zajęcia sportowe wynosił a odchylenie standardowe 2.65 min. Na poziomie ufności 95% sprawdzić czy średni czas poświęcony na sport w roku 2008/2009 jest różny od wartości z roku 2007/2008. Dane: Rozmiar próby n=150, średnia z próby min odchylenie std dla próby s=2.65 min Etap 1. Definicja hipotezy zerowej i alternatywnej Hipoteza zerowa H 0 : = tzn. średni czas przeznaczony na sport w roku 2007/2008 i 2008/2009 jest taki sam. Hipoteza alternatywna H 1 : 12.44, tzn. średni czas przeznaczony na sport w roku 2008/2009 jest różny od min. 12

13 Testowanie Etap 2. Wybór typu rozkładu Ponieważ rozmiar próby n>30, to można założyć, że rozkład wartości średnich z próby podlega rozkładowi normalnemu. Etap 3. Wyznaczenie obszarów odrzucenia Założony 95% poziom ufności (czyli =0.05) oznacza, że całkowita powierzchnia do odrzucenia ze standaryzowanego rozkładu normalnego wynosi Wybór hipotezy alternatywnej (znak ) oznacza, że tę powierzchnię dzielimy na dwie części z obu stron należy odrzucić powierzchnie o wartości /2 = 0.05/2 = W celu znalezienia wartości krytycznej, rozdzielającej obszar odrzucenia od obszaru przyjęcia, korzystamy z tablic rozkładu normalnego i odczytujemy wartości z, które odpowiadają polu powierzchni o wartości oraz (= ). Testowanie 13

14 Testowanie Wartości krytyczne wynoszą 1.96 i Jeżeli wartość leżywprzedziale ufności, to należy przyjąć hipotezę zerową H 0,w innym przypadku hipoteza ta powinna zostać odrzucona. W tym celu dla wartości. dla próby (wartość obserwowalna) należy obliczyć wartość z, nazywana statystyką testującą. Jeśli statystyka testująca leży w przedziale [ ] to hipoteza zerowa H 0 nie powinna być odrzucona. Testowanie Etap 4. Obliczenie statystyki testującej Dla dużej próby statystyka z dla wartości średniej z próby wyznaczana jest następująco: - z jeżeli jest znane gdzie - z s jeżeli jest nieznane / n i s s / n. Wartość z obliczona dla wartości nosi nazwę obserwowalnej wartości z. Ponieważ nie jest znane, wartość z obliczana jest na podstawie : s s n Wartość z wyznaczona na podstawie wartości statystyki testującej z 5.87 s nazywana jest obliczoną wartością 14

15 Testowanie Poziom istotności =0.05 /2=0.025 /2= odrzucenia H 0 =12.44 akceptacji odrzucenia H z wartości krytyczne Testowanie Etap 5. Podjęcie decyzji Ponieważ wartość z przekracza górne granice przedziału [ ], należy więc odrzucić hipotezę zerową. Oznacza to, że średni dzienny czas przeznaczony na sport w roku akad. 2008/2009 różni się od min. Z 95% prawdopodobieństwem można stwierdzić, że w roku akad. 2008/2009 studenci w ciągu dnia nie przeznaczyli średnio na sport min. Z 5% prawdopodobieństwem można stwierdzić, że w roku 2008/2009 studenci przeznaczyli na sport tyle samo czasu co w roku 2007/