Wykład 9 Wnioskowanie o średnich

Transkrypt

1 Wykład 9 Wnioskowanie o średnich Rozkład t (Studenta) Wnioskowanie dla jednej populacji: Test i przedziały ufności dla jednej próby Test i przedziały ufności dla par Porównanie dwóch populacji: Test i przedziały ufności dla dwóch niezależnych prób Odporność procedur typu Studenta (t)

2 The t distribution: Cel: oszacowanie μ, gdy σ jest (również) nieznane. Rozwiązanie: oszacuj σ przez s i inteligentnie używaj we wzorach. Wyzwanie: zmieni się rozkład statystyk testowych.

3 Założenia: normalna populacja, nieznane odchylenie standardowe Załóżmy PP: X 1,, X n z rozkładu N(μ, σ); X ~ N, n Załóżmy, że zarówno μ, jak i σ są nieznane. można oszacować przez n SE X s n SE nazywa się standardowym błędem średniej z próby

4 t-test, rozkład t (Studenta) Jeśli znamy σ, to używamy statystyki testowej Jeśli nie znamy σ, to używamy statystyki t z Jest to odpowiednio unormowana" średnia z próby. Ta wielkość nie ma rozkładu normalnego, zamiast tego ma rozkład t z n-1 stopniami swobody. Dla każdego rozmiaru próby n jest inny rozkład t. x x s n n

5 Rozkład t Krzywa gęstości rozkładu t z k stopniami swobody jest symetryczna o środku 0 i kształcie dzwonu. Im większe są stopnie swobody (df), tym węższy jest rozrzut rozkładu t. n 1 < n d.f. = n 1 d.f. = n Większy rozrzut niż N (0,1), zwłaszcza gdy df jest małe. Wraz ze wzrostem df krzywa gęstości rozkładu t zbliża się coraz bardziej do gęstości dla N(0,1). 0

6

7

8 Tabela rozkładu Studenta P =.10 t=1.35 Degrees of Freedom t.1 t.05 t.05 t.01 t ,078 6,314 1,706 31,81 63,657 1,886,9 4,303 6,965 9, ,35 1,75,086,58, ,86 1,653 1,97,345,601 z* 1,8 1,645 1,96,36,576

9 Przedział dla μ dla jednej próby, gdy σ jest również nieznane to x t SE Oznacza to: przedział dla μ na poziomie ufności C = 1-α wynosi * s * s * s x t, or x t, x t n n n t * jest takie, że obszar pomiędzy -t * i t * wynosi C dla krzywej gęstości rozkładu t oraz df = n-1. Używamy 95% ufności, jeśli nie podano inaczej. Przedział jest dokładny dla normalnej populacji i w przybliżeniu dokładny dla dużego n przy innych rozkładach. *

10 Czytaj t * z tabeli t α=0.05 α=0.01 α=0.10 df=3 df=10 df=130

11 Przykład 1 Z bieżącej produkcji mieszanki kukurydziano-sojowej pobieramy próbkę do oznaczania zawartości witaminy C: Znajdź 95% przedział ufności dla średniej zawartości witaminy C w tej produkcji. Zinterpretuj. Wskaż SE i margines błędu.

12

13 Przykład Fundusz inwestycyjny szacuje zwrot z inwestycji w spółki, które w ubiegłym roku zdobyły nagrody jakości. SRS 50 takich firm jest wybierany, a zwrot z inwestycji jest obliczany. Dane są podsumowane w następujący sposób: x 14.75, s Skonstruuj i zinterpretuj przedział ufności dla średniego zwrotu z inwestycji.

14

15 t-test dla μ dla jednej próby (z nieznanym σ) Testujemy H 0 : μ = μ 0 w oparciu o PP rozmiaru n; obliczamy statystykę x t 0 s n Zwróć uwagę na SE w mianowniku. Użyj istotności 5%, jeśli nie określono inaczej.

16 Przykład 1 cd. Sprawdź, czy poziom wit. C jest zgodny ze specyfikacjami: H 0 : μ = 40 vs. H a : μ 40

17

18

19 Przykład 1 cd. Sprawdź, czy poziom wit. C jest niższy deklarowany: H 0 : μ = 40 vs. H a : μ <40

20

21 Dyskusja: jak/kiedy powinniśmy wybrać kierunkowość testu?

22 Rozważmy zmienną losową T z rozkładem Studenta z df=n - 1 i wartość statystyki t. P-wartość P testu H 0 : μ = μ 0 przeciw H a : μ > μ 0 wynosi P(T t) H a : μ < μ 0 wynosi P(T t) H a : μ μ 0 to P(T t ) Excel: tdist()

23 Przypomnienie: P-wartość mówi, jak mało prawdopodobna jest wartość uzyskanych przez nas statystyk testów, jeśli H0 było prawdziwe. Ta P-wartości jest dokładna, jeśli rozkład populacji jest normalny i jest dość dokładna dla dużych n w innych przypadkach. Długie ogony i ciężka skośność rozkładu populacji może unieważnić otrzymane P-wartości. Możemy oszacować P-wartości P za pomocą tabeli rozkładu t.

24 oszacuj t=.1 t=.1 t=.7 t=-1.8 P-wartość df=3 df=6 n=13 n=10 H a : μ μ 0 <P< <P< <P< <P< H a : μ>μ 0 <P< <P< <P< <P< H a : μ<μ 0 <P< <P< <P< <P<

25 Porównuj! Porównawcze wnioskowanie jest bardziej powszechne niż wnioskowanie o parametrze pojedynczego rozkładu. Dlatego często mamy dwie próby do porównania. W pewnych okolicznościach badanie porównawcze prowadzi do procedur z jedną próbą

26 Test dla par Analiza par: dwa pomiary lub obserwacje (para) na każdą osobę, albo badamy przed i po itp. Dla każdej pary oblicz po przed. Analizuj te różnice za pomocą przedziału lub testu t dla jednej próby.

27 Przykład 3 0 francuskich nauczycieli bierze udział w kursie doskonaląc swoje umiejętności. Nauczyciele biorą udział w teście odsłuchowym Modern Language Association na początku kursu i na końcu. Wyniki "po" - "przed" mają średnią,5 i SD.893. Zbuduj 95% przedział ufności dla średniej poprawy umiejętności. Czy poprawa jest znacząca?

28 X i =po i przed i, i=1,,0 μ-średnia poprawa

29 H 0 : μ = 0 H a : μ > 0

30 Praktyczne wskazówki: Rozmiar próbki <15: Użyj procedur t, tylko jeśli dane są zbliżone do normalnych. Wielkość próby 15: Stosuj procedury t, za wyjątkiem obecności wartości odstających lub silnej skośności. Użyj normalnego wykresu kwantyl-kwantyl, histogramu lub boxplotu do zbadania tych właściwości danych. Duży rozmiar próbki ( 40): użyj procedur t nawet w przypadku wyraźnie wypaczonych rozkładów. Założenie, że dane są PP jest niezbywalne!

31 Problemy z dwoma próbami Problemy z dwoma próbami zwykle wynikają ze zrandomizowanego doświadczenia porównawczego z dwiema grupami terapeutycznymi. (Badania eksperymentalne.) Porównanie losowych próbek oddzielnie wybranych z dwóch populacji jest również problemem dwóch prób. (Badania obserwacyjne.) W przeciwieństwie testu dla par, nie ma kojarzenia jednostek w dwóch próbach, a próby mogą mieć różne rozmiary.

32 Zapis dla dwóch prób Populacja 1 Średnia populacji 1 SD dla populacji σ 1 σ Próba (PP) Rozmiar próby Średnia z próby SD dla próby 1 n 1 x 1 x n s 1 s

33 Przykład 4 (poziom metabolizmu dla mężczyzn i kobiet): Obs Płeć Waga Poziom 1 M M F F F F M F F M F F M F F F F M M Obs Płeć Waga Poziom 1 F F F F F F F F F F F F M M M M M M M

34 Zestawione boxploty: R a t e

35 Dwie populacje: znane σ 1, σ ma średnią μ 1 μ oraz SD Jeśli rozkłady obu populacji są normalne, to rozkład jest również normalny, zatem statystyka ma standardowy rozkład normalny N(0,1). 1 x x 1 1 n n 1 x x ) ( ) ( n n x x z

36 Przedział ufności Gdy σ 1, σ są znane to przedział ufności na poziomie C dla μ 1 μ wynosi x 1 x z * n 1 1 n gdzie P(-z* Z z*) = C.

37 Test istotności Testujemy H 0 : μ 1 = μ przeciw jednej z następujących alternatywnych hipotez : H a : μ 1 > μ H a : μ 1 < μ H a : μ 1 μ Statystyka z jest odpowiednia, gdy σ 1, σ są znane: z x n x 1 1 n 1

38 P-wartości (z rozkładu normalnego) Alternatywna Hipoteza P-wartość H a : μ 1 > μ P(Z>z) H a : μ 1 < μ P(Z<z) H a : μ 1 μ *P(Z> z )

39 Dwie populacje: nieznane σ 1, σ Załóżmy, że μ 1, μ, σ 1 oraz σ są nieznane. Statystyka t dla różnicy średnich: t ( x x ) ( ) 1 s ma w przybliżeniu rozkład t, gdzie df liczymy oprogramowaniem lub jako min(n 1 1, n 1). Mianownik nazywany jest błędem standardowym: 1 n 1 s n 1 SE x 1 x

40 Przedziały ufności Gdy σ 1 oraz σ są nieznane, to przedział ufności mna poziomie C dla μ 1 μ wynosi gdzie jest z tabeli t. 1 s ( x x ) t * 1 df n * * P( t t t ) df df:=min(n 1 1, n 1) lub z oprogramowania. df C 1 s n

41 Przykład 4 (Poziom metabolizmu kobiet i mężczyzn). n 1 1, x , s n 7, x 1600, 189. Oszacuj różnicę średnich poziomów metabolizmu u mężczyzn i kobiet z 95% pewnością. s

42 Przedział ufności i konkluzja:

43 Testy istotności: podsumowanie Testujemy H 0 : μ 1 = μ przeciwko jednej z następujących alternatywnych hipotez, dla nieznanych σ 1, σ : H a : μ 1 > μ H a : μ 1 < μ H a : μ 1 μ Satystyka t wynosi t x s x 1 s 1 n n 1 Stopnie swobody jak poprzednio: min(n 1 1, n 1) lub z oprogramowania.

44 P-wartości (z tabeli t, gdy σ 1, σ nieznane) Alternatywy P-wartość H a : μ 1 > μ P(T t) H a : μ 1 < μ P(T t) H a : μ 1 μ *P(T t )

45 Przykład 4 cd.: Czy kobiety mają inny poziom metabolizmu niż mężczyźni?

46

47 Stopnie swobody dla procedur z dwiema próbami df:=min(n 1 1, n 1) lub software Wybór min(n 1 1, n 1) jest konserwatywny. Software zwykle da mniejsze P-wartości. W naszym przykładzie z metabolizmem calculator will daje df=1.6 (i bierzemy 1 w tabeli t). Bez różnicy dla końcowego wniosku...

48 Odporność procedur t Wnioskowanie statystyczne nazywa się odporne, jeśli nie jest wrażliwe na naruszenie przyjętych założeń. Prawdziwe populacje nigdy nie są całkiem normalne; procedury t są odporne na nienormalność populacji, z wyjątkiem wartości odstających lub silnej skośności. Procedury t są raczej konserwatywne, tzn. Twoje obliczone wartości P mogą być większe niż w rzeczywistości. To jest bezpieczne