TEORIA STEROWANIA I, w 4. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

Transkrypt

1 TEORIA STEROWANIA I, w 4 dr iż. Adam Woźiak ZTMiR MEiL PW

2 Rówaie stau układu LTI: Bieguy układów LTI xɺ Ax + Bw, x() x x( k + 1) Ax( k) + Bw( k), x() x Wielomia charakterystyczy macierzy A: w ( s) det( si A). A Pierwiastki tego wielomiau, s 1 (A),...,s (A), azywa się wartościami własymi (eigevalues) macierzy A (bieguami (poles) układu dyamiczego LTI). Widmo macierzy A (spectrum of a matrix) σ(a) to zbiór jej wartości własych: σ ( A) { s C w ( s) } { s ( A),..., s ( A)}. A 1 4

3 Bieguy układów LTI Pierwoty opis układu LTI czwórka macierzy (A,B m,c p,d p m ): t At A( t τ) ( ) ( ) L ( ; ; ) ( ) t x t ϕ t x w e x + e Bw τ dτ y( t) Cϕ ( t; x ; w) + Dw( t) L k k 1 ( k 1) l l ( k ) x( k) ϕ ( k; x ;{ w( l)}) A x + A Bw( l) y( k) Cϕ L ( k; x;{ w( l)}) + Dw( k) Opis pochody trasmitacje (x ): L G( s) C( si A) B + D G ( s) C( si A) 1 1 x G( z) C( zi A) B + D G ( z) zc( zi A) p s albo z, ( pi A) [ g ( p)] 1 1 x 1 ij Łatwo jest pokazać, że fukcje g ij są wymiere (tz. są ilorazami wielomiaów (o współczyikach rzeczywistych)) i mają wspóly miaowik: M (p) det(pi A) w A (p). Dlatego widmo macierzy A jest jedocześie zbiorem bieguów trasmitacji G(p) traktowaej jako fukcja zmieej zespoloej o macierzowych wartościach zespoloych: C p G(p) C p m 5

4 Normy (miary długości ), defiicje Normą euklidesową (długością) wektora x R azywamy liczbę: 1 i T i 1 i x x x x x orma l Norma Czebyszewa dla wektora x R to liczba: x max x. Niech I x I ozacza dowolą ormę wektora. Kula w przestrzei R to zbiór: K( r, x ) { x R I x x I r > } (, ) R ( R, ) x o i o x o orma l o 6

5 Normy (miary długości ), defiicje Niech I x I ozacza dowolą ormę wektora; orma macierzy B idukowaa przez tę ormę (orma operatorowa macierzy) to: IBxI B maxixi 1 IBxI maxixi 1IBxI maxixi IxI Z defiicji wyika, że: IBxI B IxI ( ) Norma macierzy B idukowaa przez ormę euklidesową wektora x (orma widmowa (spectral orm) macierzy): Bx T B B max Bx max Bx max 1 1 x max 1 i m si ( B B), x x x T T T gdzie s ( B B),..., s ( B B) to warto ści w łase macierzy B B. "orma l " 1 m Iterpretacja ormy widmowej (spektralej): maksymale wzmocieie przy przekształceiu wektorów, bo pokazuje co ajwyżej ile razy euklidesowa długość wektora przekształcoego y Bx jest większa od euklidesowej długości wektora przekształcaego x (ierówość ( )). Norma macierzy B idukowaa przez ormę Czebyszewa wektora x (wierszowa orma macierzy): "orma l Bx " B max Bx max Bx max max b x 1 x 1 x 1 i j ij x 7

6 Norma widmowa macierzy Jak pamiętamy trasmitacje G(p) wielowymiarowych układów LTI są fukcjami zmieej zespoloej p o macierzowych wartościach zespoloych: C p G(p) C p m T Ozacza to że wartość własa s ( G( jω) G( jω)) może być liczbą zespoloą, T i w kosekwecji si ( G( jω) G( jω)) też będzie liczbą zespoloą. 1 j T + j j T B, B, B B 1+ j j j j + j j T [ j][ j] [ j][ j j] T [ j j][ 1 1 j] [ j j][ j j] i Aby temu zaradzić, trzeba w stosowy sposób uogólić prezetowae wzory T zastąpić operator traspozycji ( ) operatorem sprzężeia Hermite'a ( traspose * T T ) ( ) rówym ( ) ( ) ο( ) ( ) ο( ) (( T * B B T * cojugate T )), gdzie ( ) to operator * T T T wyliczeia liczby sprzężoej: 3 j 3+ j, G [ Gij ] G [ G ji ] G. 8

7 Norma widmowa macierzy Jak łatwo sprawdzić symetrycza macierz B * B jest zawsze rzeczywista, tak samo jak jej wartości włase. Dostajemy więc wzór p m * dla B C : B max 1 i m si ( B B), Poleceie MATLBa: orm 9

8 Norma fukcji Rozpatrzmy przestrzeń fukcyją {T Rm }, T R, tj. zbiór wszystkich fukcji o dziedziie T (zbiorze chwil czasu) i przeciwdziedziie będącej zbiorem wektorów mających m rzeczywistych składowych. Traktujemy, każdą fukcję u( ) {T Rm } jak pukt w tej przestrzei. Możemy wiec próbować określić odległość pomiędzy tymi puktami. Moża to zrobić a wiele sposobów, teraz przedstawię pierwszy. m Dla fukcji R T t u( t) R liczbę u u( ) esssup u( t) t T azywamy ormą Czebyszewa (ormą przestrzei L ). u κ T u( ) t max t T κ 1

9 OLHP oraz OUD, defiicje Lewa otwarta półpłaszczyza (ope left half plae) (zespoloa): OLHP {s C Re(s) < } Otwarte koło jedostkowe (ope uit disc) płaszczyzy (zespoloej): OUD {z C z < 1} Im(s) s 1 Im(z) z Re(s) Re(z) 11

10 Przebiegi czasowe w układach LTI t At A( t τ) ( ) ( ) L( ; ; ) ( ) t x t ϕ t x w e x + e Bw τ dτ k k 1 ( k 1) l l ( k ) x( k) ϕ L( k; x ;{ w( l)}) A x + A Bw( l) składowa wymuszoa składowa swoboda Moża pokazać, że: Jeżeli σ( A) OLHP to prawdziwe jest oszacowaie: ( β > )( α < ) t αt α( t τ) t x( t) ϕ ( t; x, w) β e x + β e B w( τ) dτ L B αt αt β e x + β sup t w( t) β e x + γ w( ). α Jeżeli σ( A) OUD to prawdziwe jest oszacowaie: ( β > )( η [,1[) k l l l k x( k) ϕ ( k; x,{ w( l)}) βη x + β η B sup w( l) L B k k βη x + β sup l w( l) βη x + γ w( ). 1 η 1

11 Przebiegi czasowe w układach LTI σ( A) OLHP ( β > )( α < )( t ϕ ( t; x, w) β e x + γ w( ) ) αt Jeżeli σ( A) OLHP, to składowa swoboda zaika z czasem do zera i przebieg stau staje się główie zależy od pobudzeia (wejścia). σ( A) OUD ( β > )( η [,1[)( k ϕ ( k; x,{ w( l)}) βη x + γ w( ) ) Zatem przy założeiu: σ(a) OLHP (σ(a) OUD) dla każdego stau początkowego x, dla ograiczoych sygałów pobudzeia (wejścia), tz. takich że sup t w(t) w <, sta układu LTI jest ograiczoy: sup t x(t) x <. L k Jeżeli σ( A) OUD, to składowa swoboda zaika z czasem do zera i przebieg stau staje się główie zależy od pobudzeia (wejścia). Własość ta osi azwę stabilości ograiczoe wejście ograiczoe wyjście (bouded iput bouded output (BIBO) stability) dla każdego waruku początkowego. L 13

12 Przebieg składowych swobodych (mod) układu LTI w zależości od położeia bieguów ope left half plae Im(s) s Im(z) z z Re(s) Re(z) ope uit disc 14

13 Stabilość: wejście-sta Iput-to-State Stability (ISS) σ( A) OLHP ( β > )( α < )( x )( t ϕ ( t; x, w) β e x + γ w( ) ) αt L σ( ) OUD ( β > )( η [,1[)( )( ϕ ( ;,{ ( )}) βη + γ ( ) ) k A x k L k x w l x w O układzie który spełia waruek zapisay w astępiku powyższych implikacji mówimy, że przekształca wejście w sta w sposób stabily (jest IS stabily, albo jest ISS (Iput-to-State Stable). Obie własości (IS stabilość oraz odpowiadaie ograiczoym sygałem a ograiczoe wymuszeie (BIBO stabilość)) są istote dla prawidłowego działaia systemów sterowaia. Dlatego są pożądae i układy, które je posiadają mają swoją azwę są to układy stabile. IS stabilość BIBO stabilość σ( A) OLHP Układ (A,B,C,D) z czasem ciągłym jest stabily σ( A) OUD Układ (A,B,C,D) z czasem dyskretym jest stabily 15

14 Macierze i trasmitacje stabile Układ liiowy jest stabily (IS stabily), gdy wartości włase macierzy A determiującej jego zachowaie leżą w OLHP (układ z czasem ciągłym) albo w OUD (układ z czasem ziaristym); Macierze o takiej własości azywa się macierzami stabilymi, a także macierzami Hurwitza (gdy mówimy o układach z czasem ciągłym) albo Schura (dla układów z czasem ziaristym). lub, co rówoważe, gdy bieguy jego trasmitacji G(s) albo G(z) leżą w OLHP (układ z czasem ciągłym) albo w OUD (układ z czasem ziaristym). Trasmitacje o takiej własości azywa się trasmitacjami stabilymi. Podobie mówi się o wielomiaach stabilych, gdy wszystkie ich pierwiastki mają stosową własość. 16

15 Badaie stabilości układu LTI Wartości włase macierzy A to pierwiastki jej rówaia charakterystyczego: det(si A) w A (s). Bieguy trasmitacji układu SISO G(s), G(z) to pierwiastki jej miaowika: M (s), M (z). Odpowiedzi a pytaie: gdzie leżą pierwiastki wielomiau? moża poszukiwać dwoma sposobami: 1. Rozwiązując rówaie M (p) a p +a 1 p a 1 p +a. Sposobem 1. moża się posłużyć gdy mamy możliwość wykorzystaia MATLABa. w[a,...,a]; broots(w). Określając zależości jakie muszą spełiać parametry wielomiau a,...,a. Kryteria: Routha (1876), Hurwitza (1895). Najczęściej stosoway Sposób. to: kryterium Hurwitza. 17

16 Kryterium A. Hurwitza (1895) TWIERDZENIE:Pierwiastki wielomiau M (s) a s + a 1 s a 1 s + a leżą w otwartej lewej półpłaszczyźie (OLHP) wtedy i tylko wtedy gdy: wszystkie współczyiki wielomiau są róże od zera i tego samego zaku (tzw. wymagaie Stodoly), dalej, bez utraty ogólości możemy więc przyjąć, że są dodatie, i dla : ie ma dodatkowych waruków, 3: a 1 a a 3 a >, 4: jak dla 3 i dodatkowo: a 1 a a 3 (a 3 ) a a 4 (a 1 ) >,... 18

17 Aurel Stodola A. Stodola ur. w 1859 r. a Słowacji, początkowo studiował w Budapeszcie, a w latach a Politechice (ETH) w Zurichu, której profesorem został w 189 r. Był jedym z pierwszych kostruktorów owoczesych turbi parowych a astepie gazowych. Zajmował się m. i. projektowaiem dla ich układów regulacji wykorzystując podejście Wysziegradskiego i ie zając rezultatu Routha postawił poowie zagadieie ustaleia położeia pierwiastków wielomiau bez ich wyliczaia. Zagadieie to rozwiązał jego kolega z ETH matematyk A. Hurwitz. Był pioierem współczesej termodyamiki. Najsławiejszym studetem, którego uczył był A. Eistei. W czasie I wojy światowej skostruował sprawe protezy rąk i óg. Zmarł w 194 r. 19

18 Kryterium stabilości liiowych układów dyskretych Jak zbadać czy pierwiastki wielomiau M (z) leżą wewątrz koła jedostkowego (OUD)? Z teorii fukcji zespoloych wiadomo, że każda trasformacja homograficza (Moebius trasformatio) to zaczy p. fukcja z 1 z w z + 1 (tzw. iverse bi-liear trasformatio), przekształca wętrze koła jedostkowego płaszczyzy zespoloej z a lewą otwartą półpłaszczyzę płaszczyzy zespoloej w.

19 Trasformacje homograficze Iverse bi-liear trasformatio z h 1 ( z) w z z z j * j * j j w w h( w) z 1+ 1 w w j Bi-liear trasformatio 1

20 Kryterium stabilości dyskretego układu LTI Zatem o położeiu zer wewątrz koła jedostkowego (stabilości) wielomiau : M ( z) a z + a z + + a z + a moża sądzić a podstawie stabilości wielomiau (określoej już położeiem zer w lewej otwartej półpłaszczyźie) zdefiiowaego rówaiem M ( w) M ( z ). 1+ w Rozważmy przykład: z 1 w M ( z) z + z 1 z ( z + 1). 1 Zera wielomiau: z 1 1, z 1/

21 Kryterium stabilości dyskretego układu LTI M ( w) M ( z ) z + z 1 1+ w 1+ w z z 1 w 1 w 1+ w 1+ w (1 + w) + (1 + w)(1 w) (1 + w) w 1 w (1 w) Zerem wielomiau ie może być w 1. (1 + w + w ) + 1 w + w w (1 w + w ) 3w + 1 co daje : 1 w~ 3 1 ~ ~ + w z 1 w~ 1 z. Jedo zero zgubiło się. Wyika to z faktu, że z 1 1 przechodzi w w w Wiosek: Korzystając z homografii w h( w) z ależy przed zastosowaiem 1 w kryterium Hurwitza do wielomiau sprawdzić czy M z ; jeżeli tak, to układ dyskrety jest iestabily. M ( w) M ( z ) ( 1) + 1 w z 1 w 3

22 Kryterium stabilości dyskretego układu LTI Niech M S (z) będzie wielomiaem ie posiadającym pierwiastka z 1. M ( ) S z 4

23 Układy LTI- SISO Stacjoare, przyczyowe liiowe układy z jedym wyjściem i jedym wejściem ajczęściej modeluje się przy pomocy właściwej trasmitacji operatorowej m m 1 1 m bm p + bm 1 p + + b1 p + b liczik ( p) L ( p) G( p), 1 1 p + a 1p + a1 p + a miaowik( p) M ( p) gdzie dla układów z czasem ciągłym p s, a z dyskretym p z. charakterystyka amplitudowa t W cos(ω t) t y p (t) + Y(ω ) cos(ω t + ϕ(ω )) G(s) Dla układów stabilych y ( t) Trasmitacja widmowa : Y ( ω ) a( ω ) W jϕ( ω) j arg G f ( jω) ( )e f ( ) f ( ) e R ω a ω G jω G jω C p t charakterystyka fazowa Moża pokazać (patrz materiał 1SposobyOpisuN ), że: dla układów z czasem ciągłym: G f ( jω ) G( s ) s jω i ajczęściej jest fukcją wymierą. dla układów z czasem dyskretym G f ( jω ) G( z) ω z e zatem jest fukcją iewymierą. j T p Uwaga: dalej (jak zwykle to się robi) będziemy opuszczać ideks f i pisać G(jω) dla trasmitacji widmowej układu z czasem ciągłym oraz G*(jω) dla trasmitacji widmowej układu z czasem dyskretym. 5

24 1 Moduł trasmitacji silika G( s) s(.1s + 1) Fukcja C s G( s) C ie jest holomorficza w lewej domkietej półpłaszczyźie G( s) 1 s(.1s + 1) charakterystyka amplitudowa 1 G( j ω ) j ω (.1 j ω + 1) s 1 1+j bieguy jim s s +j Re 6

25 Patrz materiał 1SposobyOpisuN Dokłada trasmitacja dyskreta silika DAC G(s) ADC {u # (k)} ZOH u H ( ) k v s( Ts + 1) y( ) ZOH T p HG(z) { y # (k)} HG z z 1 G( s) z 1 G( s) z 1 k z 1 1 T T + 1 v ( ) Z ( L ( ) D ( ) D ( ) D ( k ( )) v 1 z s z s z s ( Ts + 1) z s s s + T z 1 T z Tz Tz ( T (1 + β ) T ) z + ((1 β) T βt ) kv ( + )... k z z z z z z p p p v ( 1) 1 β ( 1)( β) b1 ( Tp, T, kv ) z + b ( Tp, T, kv ) T p, β exp( ) ( z 1)( z β) T UWAGA: zależość współczyików trasmitacji HG(z) od współczyików trasmitacji G(s) to fukcje iewymiere! 7

26 Moduł dokładej trasmitacji dyskretej silika G 1 ( s ),.5 s(.1s + 1) T p HG( z) 1.653z +.9 ( z 1)( z.665) db 6 4 jim Re z +.9 HG( z) ( z 1)( z.665) 8

27 Moduł dokładej trasmitacji dyskretej silika HG *( jω ) j.5ω 1.653e +.9 j.5ω j.5ω ( e 1)( e.665) z j ω bieguy z 1 1+j db 6 jim 4 charakterystyka amplitudowa Re π ω π T p - -4 zero z j z +.9 HG( z), Tp.5 ( z 1)( z.665) 9

28 Moduł dokładej trasmitacji dyskretej silika 1.653z +.9 HG( z), Tp.5 ( z 1)( z.665) log HG( z) jim Re Fukcja C z HG( z) C ie jest holomorficza wewątrz domkiętego ko ła jedostkowego 3