TEORIA STEROWANIA I, w 5. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

Transkrypt

1 TEORIA STEROWANIA I, w 5 dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

2 Układy LTI- SISO Stacjonarne, przyczynowe liniowe układy z jednym wyjściem i jednym wejściem najczęściej modeluje się przy pomocy właściwej transmitancji operatorowej m m m bm p + bm p + + b p + b licznik ( p) L ( p) G( p) = = =, n n n p + an p + a p + a mianownik( p) M ( p) gdzie dla układów z czasem ciągłym p = s, a z dyskretnym p = z. charakterystyka amplitudowa t W cos(ω t) t y p (t) + Y(ω ) cos(ω t + ϕ(ω )) czas t ciągły albo ziarnisty G(p) Dla układów stabilnych y ( t) Transmitancja widmowa : Y ( ω ) = a( ω ) W jϕ( ω) j arg G f ( jω) ( )e f ( ) f ( ) e R ω a ω = G jω = G jω C p t charakterystyka fazowa Można pokazać (patrz materiał SposobyOpisuN ), że: dla układów z czasem ciągłym: G f ( jω ) = G( s ) s = jω i najczęściej jest funkcją wymierną. dla układów z czasem dyskretnym G f ( jω ) = G( z) ω z = e zatem jest funkcją niewymierną. j T p Uwaga: dalej (jak zwykle to się robi) będziemy opuszczać indeks f i pisać G(jω) dla transmitancji widmowej układu z czasem ciągłym oraz G*(jω) dla transmitancji widmowej układu z czasem dyskretnym.

3 Moduł transmitancji silnika G( s) = s(.s + ) Funkcja C s G( s) C nie jest holomorficzna w lewej domknietej półpłaszczyźnie G( s) = s(.s + ) 8 charakterystyka amplitudowa G( j ω ) = j ω (. j ω + ) s = = +j bieguny jim s s = = +j Re 3

4 Patrz materiał SposobyOpisuN Dokładna transmitancja dyskretna silnika DAC G(s) ADC {u # (k)} ZOH u H ( ) k v s( Ts + ) y( ) ZOH T p HG(z) { y # (k)} HG z z G( s) z G( s) z k z T T = = = = + = v ( ) Z ( L ( ) D ( ) D ( ) D ( k ( )) v z s z s z s ( Ts + ) z s s s + T z T ( ( ) ) (( ) ) ( pz Tz Tz T )... p + β T z + β T βtp = kv + = = kv = z ( z ) z z β ( z )( z β) b ( Tp, T, kv ) z + b ( Tp, T, kv ) =, β = exp( ) ( z )( z β) T UWAGA: zależność współczynników transmitancji HG(z) od współczynników transmitancji G(s) to funkcje niewymierne! T p

5 Moduł dokładnej transmitancji dyskretnej silnika G ( s ) =,.5 s(.s + ) T = p HG( z).53z +.9 = ( z )( z.5) db jim Re.5.53z +.9 HG( z) = ( z )( z.5) 5

6 Moduł dokładnej transmitancji dyskretnej silnika HG *( jω ) = j.5ω.53e +.9 j.5ω j.5ω ( e )( e.5) z =.5 =.5+j ω = bieguny z = =+j db jim charakterystyka amplitudowa Re π ω = = π T p - - zero z =.87 =.87 + j z +.9 HG( z) =, Tp =.5 ( z )( z.5)

7 Moduł dokładnej transmitancji dyskretnej silnika.53z +.9 HG( z) =, Tp =.5 ( z )( z.5) log HG( z) jim Re Funkcja C z HG( z) C nie jest holomorficzna wewnątrz domkniętego ko ła jednostkowego 7

8 Układ LTI: Charakterystyka amplitudowa t At A( t η) ( t ) y( t) = C[e x + e Bw( η) dη ] + Dw( t) Jego opis transmitancyjny: y s C si A B D w s G s w s ( ) = ( ( ) + ) ( ) = ( ) ( ) ν Lij ( s) Gp m( s) = [ Gij ( s)] =, n n ν M ij ( s) x = Dla stabilnych układów SISO LTI, składowa wymuszona y w przy wymuszeniu (wejściu) harmonicznym t w(t)=we jωt j t jest równa t yw( t) = G( jω) We ω. Zatem wzmocnienie takiego sygnału dla dowolnej chwili t w stanie ustalonym jest jωt równe y ( ) ( ) w t G jω We = = G( jω). jωt w( t) We i nie zależy od amplitudy W sygnału wejściowego. Wobec tego interpretacja charakterystyki amplitudowej układu SISO jest następująca: jest to funkcja opisująca zależność wzmocnienie układu SISO LTI od pulsacji sygnału wejściowego ω a(ω) = G( jω). 8

9 Charakterystyka amplitudowa układu MIMO Układ LTI z wieloma wejściami i wieloma wyjściami (Multi-Input Multi-Output), MIMO LTI : y( s) = ( C( si A) B + D) w( s) = G( s) w( s) Układ SISO: Dla układ MIMO (zgodnie z własnościami normy spektralnej macierzy) mamy: a ν Lij ( s) Gp m( s) = [ Gij ( s)] =, n n ν M ij ( s) Norma spektralna jest indukowana jωt y ( ) ( ) w t G jω We a( ω ) = = = G( jω). jωt w( t) We G( jω) We G( j ) W jωt yw( t) G( jω) W ω ( ω ) = = = = G( jω) jωt w( t) We W W przez normę euklidesową W świetle tej nierówności normę spektralną macierzy transmitancji G( jω) układu MIMO (równą G( jω ) = max ) można i m si ( G( jω) G( jω)) traktować jako szacunkową (od góry) charakterystykę amplitudową układu wielowymiarowego (rzeczywiste wzmocnienie układu dla danej pulsacji nie przekroczy wartości normy spektralnej dla tej pulsacji). 9

10 Charakterystyka amplitudowa układu MIMO Przyjmujemy, że dla układu MIMO LTI charakterystyka amplitudowa jest równa: R ω a( ω ) = G( jω ) = max s ( G( jω) G( jω)) R i m i Polecenie MATLBa: sigma

11 Zera transmitancji układu MIMO Przyjmujemy, że pierwotnym opisem układu LTI jest czwórka macierzy (A,B,C,D) a w opisie pochodnym macierzach transmitancji: Gp m ( s) = C( si A) B + D Gx ( s) = C( si A) nie dokonano żadnych skróceń. Zerami transmitancji C s G(s) C p m nazywamy takie liczby zespolone sz i, i ν n dla których rank Gp m( s) < min( p, m) ( m to liczba wej ść, p to liczba wyj ść )

12 Bieguny i zera transmitancji układu MIMO Opis pierwotny układu LTI: Bieguny: s =, s = 3 Transmitancja: Zera: s( s + 3) ( s + 3) ( s + )( s + 3) ( s + )( s + 3) = ( s + 3) s 8s + ( s + )( s + 3) ( s + )( s + 3) Ponieważ p = m =, to zera wyznacznika det G( s) sa zerami G( s) = sz = 8.89, sz =.89

13 MATLAB Porównanie charakterystyk amplitudowych ω G( jω ) = = max s ( G( jω) G( jω)) i m i s=tf('s'); g=-s/(s+); g=/(s+); g=g/; g=(-s^-8*s+)/((s+)*(s+3)); GG=[g,g;g,g]; SO=sigmaoptions; SO.magunits='abs'; BO=bodeoptions; BO.PhaseVisible='off ; BO.MagUnits='abs'; w=logspace(-3,3); % -3 w 3 SVH=sigma(GG,w,SO); semilogx(w,svh(,:)) hold bode(g,'r',w,bo); bode(g, g',w,bo); bode(g,'c',w,bo); bode(g,'m',w,bo); grid 3

14 Porównanie charakterystyk amplitudowych.5 Magnitude (abs) ω G( jω ) = = max s ( G( jω) G( jω)) i m i ω G (ω) ω G (ω) ω G (ω) ω G (ω) Frequency (rad/sec)

15 Rozkład sygnału Rozkład sygnału w przestrzeni funkcji bazowych {ψ l ( )}: t s ( t ) = c lψl ( t ). l= Funkcje bazowe to np. funkcje harmoniczne, funkcje Walsha, falki (wavelets)... W rozważaniach praktycznych najczęściej obcinamy sumę nieskończoną: t s( t) c ψ ( t). L l= l l 5

16 Rozkład sygnału w przestrzeni funkcji harmonicznych Ponieważ opis układu SISO LTI za pomocą transmitancji widmowej jest stosunkowo łatwo określić, jako funkcje bazowe przy projektowaniu układów regulacji najczęściej wybiera się funkcje harmoniczne: R t ψ l ( t) = exp( jω lt + ϕl ) C R t cos( jω lt + ϕ l ) = Re (exp( jω lt + ϕl )) R Rozważamy funkcje ciągłe o skończonym czasie trwania T : R T t f ( t) R. Przy stosownych założeniach (które spełnia większość funkcji, z którymi mamy do czynienia w praktyce) taką funkcję można traktować jako nieskończoną sumę tzw. szeregu Fouriera c = z, cl = zl, ϕ l = arg( zl ), l =,3,... π T t f ( t) = c + c cos(( ) ) l l l t + ϕ = l R π T zl = T f ( t)exp( j ( l ) T t) dt, l =,,... W praktyce współczynniki c l są małe w pewnym zakresie indeksów: do l albo l + do, albo też < l do l +. W związku z tym mówi się o paśmie (bandwidth) BW zajmowanym przez sygnał: π + π π + π [ l + ϑ, [ albo [, l ϑ] albo [ l + ϑ, l ϑ] T T T T mierzonym w rad/sek ( ϑ to współczynniki korekcyjne). T

17 Skończony szereg Fouriera t r t c L c l π + t l l = T + ϕ Kolejne składowe szeregu Fouriera ( ) cos(( ) ) l Wybrany sygnał zadany, jego pochodna i przyspieszenie ϕ () =, c() = 5.95 ϕ () =.897, c() = 5.5 ϕ (3) =.577, c(3) = czas (sek) ϕ () =.88, c() =.997 ϕ (5) =.583, c(5) =.7958 ϕ () =.585, c() = ϕ (7) =.589, c(7) =.535 ϕ (8) =.9, c(8) =.97 ϕ (9) =.5959, c(9) =.3979 ϕ () =.59, c() =

18 Sygnał zadany i jego odtworzenia czas (sek) Suma wyrazów szeregu Fouriera 8 rf=ifft(fft(r)); 8 plot(tr,rf),grid - Suma wyrazów szeregu Fouriera Odwrotna dyskretna transformata Fouriera

19 Określenie pasma sygnału zadanego Dyskretne widmo sygnału 8 c() =.35 ω = 5.55 rad/sek -.5 Pasmo [,5] c() =.798 ω = 5. rad/sek poziom odcięcia:.5 pasmo [, 5] rad/sek czas (sek) c(7) =. ω = 9.8 rad/sek = T Pasmo sygnału [,3] pulsacja (rd/sek) Na rysunku jest 5 prążków, wystawionych co π/t = π/5. 9

20 Projektowanie systemu sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym czas (sek) r e C(s) u G(s) y Chcemy Transmitancja uchybowa: e = I + G s C s r = S s r ( ( ) ( )) ( ), Idealnego zera uchybu e nie osiągniemy lecz takie wymaganie oznacza, że musimy zaprojektować system sterowania (dobrać regulator (controller) C) tak aby sygnał zadany r dostatecznie stłumić. Innymi słowami: projektowanie to takie dobieranie C aby S było filtrem nie przepuszczającym r.

21 System sterowania jako filtr dolno-zaporowy czas (sek) r e C(s) u G(s) y r W ( s) e Chcemy Transmitancja uchybowa: e = I + G s C s r = S s r ( ( ) ( )) ( ), -. Phase (deg) Magnitude (abs) ω f = Bode Diagram Pasmo przenoszenia W s l ( s) = ; l ( s + ω f ) l =,, Stopień licznika transmitancji filtra dolno-zaporowego musi być równy stopniu jego mianownika (filtr w paśmie przenoszenia musi przenosić sygnał bez zniekształceń). 8-3 Frequency (rad/sec)

22 System sterowania jako filtr tłumiący sygnał zewnętrzny.9.8 Bode Diagram W s k ( s) = ; k ( s + ω f ) k =,, Magnitude (abs) Suma wyrazów szeregu Fouriera Phase (deg) prążków bo skala logarytmiczna - 3 ω f = Frequency (rad/sec)

23 System sterowania jako filtr tłumiący sygnał zewnętrzny Magnitude (abs) Bode Diagram 8 W s k ( s) = ; k ( s + ω f ) Suma wyrazów szeregu Fouriera k =,, Phase (deg) prążków bo skala logarytmiczna ω f = Frequency (rad/sec) 3

24 8 5 3 System sterowania jako filtr dolno-zaporowy r W ( s) l s ( s + ) l e r e ( s) = r ( s) = S( s) r ( s) + G( s) C( s) e u y C(s) k s( Ts + ) W ( s) W ( s) = S( s) = C( s) = + G( s) C( s) G( s) C( s) l ( s+ω f ) l l l l W ( s) l ( ) l... s s Ts + s + a s + + ω f s = = = = k l G( s) s( Ts+ ) k s l l s( Ts + )( al s ω f ) L( s) = = l ks M ( s) deg( L( s)) = l + deg( M ( s) = l Tak wyznaczona transmitancja regulatora jest niewłaściwa. Dokładniejsza analiza takiego podejścia pozwoliła na sformułowanie następującej konkluzji: w ważnym przypadku praktycznym (stopień licznika transmitancji obiektu jest mniejszy o albo więcej od stopnia mianownika) takie dopasowanie transmitancji regulatora do wybranej transmitancji filtra dolno-przepustowego przeważnie nie daje stosowalnego rezultatu. Regulator jest niewłaściwy lub filtr jest marny.

25 Konstatacja: Obiekt jest zawsze zakłócany. Model (opis) strukturalny obiektu wejścia, na których d e przebieg nie mamy wpływu zakłócenia u wejścia, na których przebieg możemy wpływać sterowania Obiekt pierwotny y wyjścia obiektu P o m iar n zakłócenia pomiarowe OBIEKT y zmierzone wyjścia 5

26 Modelowanie wpływu zakłóceń na obiekt wejścia, na których przebieg n d e nie mamy wpływu zakłócenia u wejścia, na których przebieg możemy wpływać sterowania (sygnały sterujące) model wyjścia niezakłócone wyjścia obiektu d sygnał zakłócający sprowadzony do wyjścia n szum zakłócenia pomiarowe y wyjścia obiektu y+n najprostszy model układu pomiarowego d e model d d K {T D} Generator szumu* n *o określonych własnościach K mniej lub bardziej dokładnie określona klasa zakłóceń.

27 Obiekt jest zawsze zakłócany r e n C(s) d e u G d (s) G(s) OBIEKT d y n e = r y e n = r y n 7

28 Pasmowe modelowanie obiektu i zakłóceń.5 Charakterystyka amplitudowa obiektu G( jω), z reguły powyżej pewnej pulsacji, ma przebieg jak na poniższych rysunkach: Bode.Diagram Bode Diagram Bode Diagram Magnitude (abs) Magnitude (abs) ω P.8... Naturalne pasmo przenoszenia ω P Magnitude (abs).5.5 ω P.5 Naturalne pasmo przenoszenia Frequency (rad/sec) - 3 Frequency (rad/sec).5 Naturalne pasmo przenoszenia - - Frequency (rad/sec) Mówimy, że obiekty mają tzw. naturalne pasmo przenoszenia (passband) PB = [,ω P ] poza którym silnie tłumią sygnały wejściowe. Ponieważ zakłócenia d e co najmniej częściowo przechodzą przez obiekt to za rozważaną klasę zakłóceń przyjmuje się K = {zbiór zakłóceń o paśmie ograniczonym od góry przez ω d ω P }, d BW d = [, ω d ]. 8

29 Modelowanie wpływu zakłóceń na obiekt zakłócenia sprowadzone do wyjścia K = { d BW d = [, ω d ]} d K n szum u W wielu przypadkach nie potrzeba dokładnie określać generatora szumu. Wystarczy ustalenie, że szum jest szybko zmienny a jego pasmo zaczyna się odpowiednio daleko na prawo od naturalnego pasma przenoszenia obiektu: n BW n = [ ω, [, gdzie ω istotnie większe niż ω. n model obiektu PB = [,ω P ] n P y wyjścia obiektu Magnitude (abs) Bode Diagram zakłóceń d y+n Pasmo Naturalne.5 pasmo przenoszenia ω P ω n Pasmo szumu n - 3 Frequency (rad/sec) 9

30 r e C(s) u G(s) y Obiekt G, regulator C, układ otwarty L=GC Transmitancja układu otwartego: L( s) = G( s) C( s) Pulsacja odcięcia układu otwartego ω g : L( jω g) = G( jω g ) C( jω g) = Magnitude (abs) 3 - G(jω) Bode Diagram 5G(jω) L(jω) = G(jω)C(jω) - Naturalne pasmo przenoszenia obiektu -3 [, 8] - -5 ω g = Frequency (rad/sec) 3 Powiększanie naturalnego pasma przenoszenia obiektu jest związane z powiększaniem wzmocnienia regulatora. Pociąga to za sobą znaczne powiększanie amplitudy sterowania, co może doprowadzić do przekroczenia ograniczenia na sterowanie. 3