Spis treści. 3 Geometria analityczna 20

Transkrypt

1 Spis treści Arytmetyka liczb ca kowitych. Podzielność Liczby pierwsze Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki Arytmetyka modulo m Funkcja Eulera Liczby zespolone. Liczby rzeczywiste Liczby "urojone" Arytmetyka liczb zespolonych Geometria liczb zespolonych Pierwiastki z jedynki i wielokaty foremne Zasadnicze Twierdzenie Algebry Geometria analityczna 0 Uk ady równań liniowych i macierze. Uk ad równań liniowych Macierze Iloczyn skalarny i mno zenie macierzy Algebraiczne w asności dzia ań na macierzach Metody rozwiazywania uk adów równań liniowych

2 . Macierze odwracalne Wyznacznik macierzy Rozwiniecie Laplace a Odwrotność macierzy Regu a Cramera Przestrzenie wektorowe 9. De nicja przestrzeni wektorowej Podprzestrzenie Liniowa niezale zność Baza i wymiar przestrzeni wektorowej Przekszta cenia liniowe 8

3 Arytmetyka liczb ca kowitych Zbiór liczb ca kowitych oznaczamy przez Z = f:::; ; ; ; 0; ; ; ; :::g. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N = f; ; ; :::g.. Podzielność De nicja Niech a; b Z. Mówimy, ze b dzieli a (co zapisujemy jako b j a) je zeli istnieje liczba ca kowita n Z taka, ze a = bn. Liczb e b nazywamy dzielnikiem liczby a. Liczb e a nazywamy wielokrotnościa liczby b. Twierdzenie Niech a; b; c; n b ed a liczbami ca kowitymi. Wówczas:. j a i a j a.. Je zeli a j b i b j c, to a j c.. Je zeli n j a i n j b, to n j ax + by, dla dowolnych x; y Z. Twierdzenie (O dzieleniu z reszta) Niech a Z i b N. Wówczas istnieje dok adnie jedna para liczb ca kowitych q, r taka, ze a = bq + r i 0 r < b: Liczb e q nazywamy ilorazem, a liczb e r nazywamy reszta (z dzielenia a przez b).

4 Dowód. Przyjmujac q = a b i r = a b a b dostajemy pare spe niajac a teze twierdzenia. Ponadto, warunki twierdzenia okraślaja te pare jednoznacznie. W istocie, przypuśćmy, ze mamy równie z a = bq 0 + r 0 i 0 r 0 < b. Wówczas b(q q 0 ) = r 0 r. Stad q q 0 = 0. Najwi ekszy wspólny dzielnik liczb ca kowitych a i b oznaczamy przez (a; b). De nicja Je zeli (a; b) =, to mówimy, ze liczby a i b sa wzgl ednie pierwsze. Twierdzenie (Euklides) Niech a; b N. Je zeli (a; b) = to istnieja liczby ca kowite x; y takie, ze ax + by = : Dowód. Niech a b. Je zeli a = b =, to mo zna przyjać x = i y = 0. Przypuśćmy, ze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich par liczb wzgl ednie pierwszych, których suma jest mniejsza ni z a + b. Niech b = aq + r gdzie r < a jest reszta z dzielenia b przez a. Z w asności podzielności wynika, ze = (a; b) = (a; r). Poniewa z a + b a + a > a + r wi ec, na mocy za o zenia indukcyjnego, istnieja liczby ca kowite x 0 ; y 0 takie, ze ax 0 + ry 0 = : Podstawiajac do tego równania r = b aq dostajemy ax 0 + (b aq)y 0 = a(x 0 qy 0 ) + by 0 = : Zatem, x = x 0 qy 0 i y = y 0 sa liczbami ca kowitymi spe niajacymi równanie ax + by =. Wniosek Je zeli (a; b) = i a j bc, to a j c.

5 Dowód. Wówczas Niech x; y b eda liczbami ca kowitymi, które spe niaj a równanie ax + by =. acx + bcy = c: Poniewa z a j bc, wiec a j acx + bcy = c.. Liczby pierwsze De nicja Liczb e naturalna p nazywamy liczba pierwsza je zeli p > i jedynymi jej dzielnikami sa i p. Liczb e naturalna n >, która nie jest liczba pierwsza nazywamy liczba z o zona. Je zeli n > jest liczba z o zona, to istnieje rozk ad n = ab na iloczyn liczb naturalnych spe niajacych warunek < a; b < n. Je zeli p jest liczba pierwsza i p = ab, to musi być a = i b = p (lub a = p i b = ). Liczby pierwsze mo zemy zde niować równie z w nast epujacy geometryczny sposób. ka zdego k N zde niujmy zbiór punktów A k Dla = f(k; kn) : n = ; ; :::g i rozwa zmy sume A = A [ A [ :::. Liech L n b edzie prosta o równaniu x = n. Wówczas p jest liczba pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy jl p \ Aj =. Twierdzenie 8 Je zeli p jest liczba pierwsza i p j ab, to p j a lub p j b. Dowód. Je zeli p nie dzieli a, to mamy (p; a) =. Stad, na mocy Wniosku?, p j b. Podobnie, je zeli p nie dzieli b, to musi dzielić a. Twierdzenie 9 Niech n > b edzie liczba naturalna. Najmniejszy dzielnik liczby n wi ekszy od jest liczba pierwsza. Ponadto, je zeli n jest liczba z o zona, to dzielnik ten nie przekracza p n. Dowód. Niech p > b edzie najmniejszym dzielnikiem liczby n. Przypuśćmy, ze p jest liczba z o zona i p = ab, < a; b < p. Wówczas a j n i a < p, co przeczy minimalności p. Zatem p musi być liczba pierwsza. Je zeli n jest liczba z o zona, to n = ab, przy czym < a b < n. Zauwa zmy, ze a p n (poniewa z n = ab aa a ). Niech q b edzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby a. Poniewa z q jest dzielnikiem n, wiec p q. Z drugiej strony q a p n, a wiec p p n.

6 Twierdzenie 0 (Euklides) Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Dowód. Niech p k oznacza k-ta z kolei liczb e pierwsza i niech a = p p :::p k b edzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych od p do p k. Rozwa zmy liczb e n = a + = p p :::p k + : Niech p b edzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby n. Poka zemy, ze p > p k. W istocie, przypuśćmy, ze p = p i dla pewnego i = ; :::; k. Poniewa z, p j n i p j a, wiec p j n a = : To jest sprzeczność. Zatem p nie mo ze być zadna z liczb pierwszych p ; :::; p k. Wobec tego zbiór liczb pierwszych nie mo ze być skończony. Twierdzenie Istnieja dowolnie du ze odst epy mi edzy kolejnymi liczbami pierwszymi. Dowód. Niech n b edzie dowolna liczba naturalna. Rozwa zmy ciag n liczb naturalnych n! + ; n! + ; :::; n! + n: kolejnych Zadna z tych liczb nie jest liczba pierwsza. Twierdzenie (Postulat Bertranda) Dla ka zdego n, mi edzy n a n znajduje si e liczba pierwsza. Rozwa zmy naturalne ustawienie liczb ; ; :::; n w kwadrat K n. Na przyk ad, dla n = mamy K = : Conjecture (Sierpiński) W ka zdym wierszu kwadratu K n znajduje si e liczb pierwsza.

7 De nicja Mówimy, ze funkcje f(n) i g(n) sa równe asymptotycznie (co zapisujemy jako f(n) g(n)) je zeli f(n) lim n! g(n) = : Niech (n) oznacza liczb e liczb pierwszych nie wi ekszych od n. Poni zsze twierdzenie orzeka, ze prawdopodobieństwo tego, ze losowo wybrana liczba spośród ; :::; n jest pierwsza da zy do = ln n przy n!. Twierdzenie (Twierdzenie o Liczbach Pierwszych) (n) Twierdzenie (Dirichlet) Je zeli (a; b) =, to ciag arytmetyczny an + b, n = 0; ; ; ::: zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. n ln n : Twierdzenie (Green & Tao, 00) Istnieja dowolnie d ugie ciagi arytmetyczne sk adajace si e z samych liczb pierwszych.. Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki Ka zda liczba ca kowita n > rozk ada si e na iloczyn liczb pierwszych. Oczywiście czynniki w iloczynie moga sie powtarzać; mo zemy je wówczas pogrupować, zapisać w postaci poteg i uporzadkować wed ug wielkości podstaw. W ten sposób otrzymamy rozk ad kanoniczny liczby n: n = p k pk :::pks s ; gdzie p < p < ::: < p s sa ró znymi liczbami pierwszymi, a k i dla i = ; ; :::; s. Twierdzenie 8 (Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki) Rozk ad kanoniczny liczby ca kowitej n > jest jednoznaczny. Dowód. Za ó zmy, ze istnieja liczby z o zone, które maja ró zne rozk ady kanoniczne. Niech N b edzie najmniejsza z takich liczb. Mamy wiec N = p p :::p k = q q :::q m ;

8 gdzie p i ; q j sa liczbami pierwszymi. Zauwa zmy, ze p nie mo ze być równe zadnej z liczb q j, poniewa z wtedy liczba N=p by aby liczba mniejsza od N posiadajac a dwa ró zne rozk ady kanoniczne. Niech a j = q j q j+ :::q m. Poniewa z p j q a, wiec p j q lub p j a. W pierwszym przypadku mamy p = q, co ju z wykluczyliśmy, zatem musi być p j a. Ale wówczas mamy p j q a i stad p j q lub p j a. Podobnie, pierwszy przypadek oznacza, ze p = q co przeczy minimalności N, a wiec mamy p j a. Kontynuujac w ten sposób dostajemy w końcu p j a m = q m, czyli p = q m, co tak samo przeczy minimalności N. To kończy dowód.. Arytmetyka modulo m Niech m > 0 b edzie ustalona liczba ca kowita. Rozwa zmy zbiór wszystkich reszt z dzielenia przez m Z m = f0; ; :::; m g: W zbiorze reszt Z m określamy dzia ania dodawania i mno zenia modulo m przyjmujac za wynik reszte z dzielenia przez m zwyk ej sumy a + b i zwyk ego iloczynu ab liczb a; b Z m. Dzia ania modulo m oznaczamy zwyk ymi symbolami dzia ań arytmetycznych z ewentualnym dopiskiem (mod m). Na przyk ad + = (mod ); = (mod ): Dopisek (mod m) zwykle opuszczamy je zeli liczba m jest ustalona i jasna z kontekstu. Wyniki dodawania i mno zenia (mod m) dogodnie jest przedstawiać w formie tabliczki (na wzór tabliczki mno zenia). Na przyk ad, dla m = mamy

9 De nicja 9 Niech a Z m. Je zeli równanie ax = ma rozwiazanie w Z m, to a nazywamy elementem odwracalnym w Z m. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych w Z m oznaczamy symbolem Z m. Na przyk ad, Z = f; g. Twierdzenie 0 Element a Z m jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a i m sa wzgl ednie pierwsze. Dowód. Przypuśćmy, ze a jest elementem odwracalnym w Z m. Niech x Z m b edzie rozwiazaniem równania ax =. dzieleniu przez m: To oznacza, ze liczba ca kowita ax zostawia reszt e przy ax = mq +. Niech d = (a; m). Poniewa z d j a i d j m wiec d j ax i d j mq i w konsekwencji d j ax mq =. Stad d =. Na odwrót, przypuśćmy, ze (a; m) =. Niech x < y b eda dowolnymi elementami z Z m. Przypuśćmy, ze ax = ay w Z m. Wówczas a(y x) = 0, co oznacza, ze m j a(y x). Na mocy Wniosku? otrzymujemy m j y x. Ale 0 < y x < m co daje sprzeczność. Zatem, je zeli x = y, to ax = ay w Z m. Wobec tego, wśród elementów a 0; a ; :::; a (m ) zadne dwa nie sa identyczne, a poniewa z jest ich tyle samo ile wszystkich reszt (mod m), wiec któryś z nich musi być równy. Stad, ax = dla pewnego x Z m, co oznacza, ze a jest elementem odwracalnym.. Funkcja Eulera Niech n b edzie liczba naturalna. Symbolem '(n) oznaczamy liczb e nieskracalnych u amków w aściwych o mianowniku n. Na przyk ad, '(8) = : 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 : 9

10 Funkcja n! '(n) nosi nazwe funkcji Eulera. Twierdzenie Niech n = p k pk :::pkr r, b edzie rozk adem kanonicznym liczby n. Wówczas '(n) = (p k p k )(p k p k ):::(p kr p kr ): Dowód. Rozwa zmy zbiór U n wszystkich u amków w aściwych o mianowniku n. Spośród nich dok adnie n p n p = n u amków skraca sie przez p. Odrzucajac ka zdy taki u amek pozostanie n p u amków znajduje sie dok adnie p n p u amków. Wśród tych n takich, których licznik dzieli sie przez p. Zatem, po ich odrzuceniu pozostanie p n p n p p = n p p u amków. Post epujac dalej w ten sam sposób a z do ostatniego czynnika p r, usuniemy ze zbioru U n wszystkie u amki skracalne, a liczba tych, które pozostana wyniesie dok adnie n p p ::: p r : Podstawiajac za n rozk ad kanoniczny otrzymujemy wzór stanowiacy tez e twierdzenia. Wniosek Je zeli (a; b) =, to '(ab) = '(a)'(b). Twierdzenie (Euler) Je zeli a jest elementem odwracalnym w Z m, to a '(m) = (mod m). Dowód. Niech a Z m i niech r ; :::; r k Z m b edzie dowolnym ustawieniem wszystkich elmentów odwracalnych w ciag. Na mocy Twierdzenia? mamy k = '(m). Rozwa zmy ciag ar ; ar ; :::; ar k. Zadne dwa z jego wyrazów nie sa równe poniewa z ar i = ar j implikuje r i = r j. Ponadto ka zdy z wyrazów ar i jest odwracalny (odwrotnościa elementu ar i jest iloczyn a ri ). Stad ciag ar ; :::; ar k jest permutacja wyrazów ciagu r ; :::; r k. Zatem (ar )(ar ):::(ar k ) = r r :::r k : Stad a k r r :::r k = r r :::r k : 0

11 Wobec tego, ze ka zdy element r i jest odwracalny, ostatnia równość implikuje a k =.

12 Liczby zespolone. Liczby rzeczywiste Zbiór liczb rzeczywistych b edziemy oznaczać przez R. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy litera Q. Przpomnijmy, ze ka zda liczb e wymierna mo zemy przedstawić w postaci u amka a b, gdzie a i b sa liczbami ca kowitymi, przy czym b = 0. Bedziemy w dalszym ciagu wykorzystywać naturalna geometryczna interpretacj e liczb rzeczywistych jako punktów na prostej (osi liczbowej). Twierdzenie Ka zdy odcinek o dodatniej d ugo sci na osi liczbowej zawiera liczb e wymierna. Dowód. Niech x i y b ed a dowolnymi ró znymi punktami na prostej i niech d oznacza odleg ość miedzy x i y. Wybierzmy liczb e naturalna n tak, aby n < d. Wówczas odk adaj ac odcinek o d ugości n odpowiednia liczb e razy, powiedzmy m, dostaniemy liczb e m n sie miedzy x a y. Twierdzenie Zbiór liczb wymiernych mo zna ustawíc w ciag. znajdujac a Dowód. Najpierw ustawimy w ciag liczby wymierne dodatnie. Mo zna to zrobić na przyk ad wed ug wzrostu sumy licznika i mianownika: ; ; ; ; ; ; ; ; ; :::. W ten sposób, ka zdy u amek nieskracalny dodatni (czyli ka zda liczba wymierna dodatnia) ma swoje miejsce w tym ciagu. U amki ujemne ustawiamy tak samo i przeplatamy z dodatnimi

13 umieszczajac dodatkowo na poczatku liczb e 0: 0; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; :::. Twierdzenie Zbioru liczb rzeczywistych nie da si e ustawíc w ciag. Dowód. Przypuśćmy, ze ciag P ; P ;... zawiera wszystkie liczby rzeczywiste. Niech I b edzie dowolnym odcinkiem o dodatniej d ugości. Wybierzmy odcinek I zawarty w I tak aby punkt P nie nale za do I. Nastepnie wybierzmy odcinek I I, tak aby P = I. Postepujac tak dalej otrzymamy ciag odcinków I I ::: takich, ze P i = I i, dla i = ; ; :::. Niech P b edzie punktem nale z acym do ka zdego z odcinków I i. Wówczas P = P i dla ka zdego i = ; ; :::. Zatem, ciag P ; P ; ::: nie mo ze zawierać wszystkich liczb rzeczywistych. Twierdzenie D ugo sć przekatnej kwadratu o boku nie jest liczba wymierna. Dowód. Niech x oznacza d ugość przekatnej kwadratu o boku. Przypuśćmy, ze x = a b, dla pewnych liczb naturalnych a i b. Z Twierdzenia Pitagorasa dostajemy + = x : Stad a = b : Ale to równanie jest sprzeczne z Podstawowym Twierdzeniem Arytmetyki. W istocie, kwadrat ka zdej liczby naturalnej zawiera w rozk adzie parzysta liczb e dwójek. Zatem liczba dwójek w rozk adzie a jest parzysta, natomiast liczba dwójek w rozk adzie b jest nieparzysta. De nicja 8 Liczb e rzeczywista nazywamy liczba algebraiczna je zeli istnieje wielomian f(x) o wspó czynnikach wymiernych taki, ze f() = 0. Stopniem liczby algebraicznej nazywamy najmniejsza liczb e ca kowita n = deg() taka, ze istnieje wielomian f(x) o wspó czynnikach wymiernych stopnia n, którego jest pierwiastkiem.

14 Na przyk ad, ka zda liczba wymierna q jest liczba algebraiczna stopnia, poniewa z jest pierwiastkiem wielomianu f(x) = x q. Na odwrót, ka zda liczba algebraiczna stopnia musi byc liczba wymierna. Liczba p jest liczba algebraiczna stopnia, poniewa z jest niewymierna i pierwiastkiem wielomianu kwadratowego f(x) = x. Twierdzenie 9 Zbiór liczb algebraicznych mo zna ustawíc w ciag. Dowód. Zbiór wszystkich skończonych ciagów liczb naturalnych mo zna ustawić w ciag, np. wed ug wielkości sumy wyrazów ciagu: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; :::: Stad, mo zna ustawić w ciag wszystkie wielomiany o wspó czynnikach wymiernych, a poniewa z wielomian stopnia n ma co najwy zej n pierwiastków, wi ec tak ze ich wszystkie pierwiastki. Z tego twierdzenia wynika w szczególności, ze istnieja liczby, które nie sa algebraiczne. Nazywamy je liczbami przest epnymi. Chocia z wiemy, ze musi istnieć nieskończenie wiele liczb przest epnych, to jednak w przypadku konkretnej liczby stwierdzenie czy jest ona przest epna czy nie jest na ogó trudne. Ze liczba jest przest epna udowodni dopiero Lindemann w roku 88, a jego dowód rozstrzygna ostatecznie kwesti e s ynnej kwadratury ko a. Problem ten polega na skonstruowaniu kwadratu o polu równym polu danego ko a jednostkowego. D ugość boku tego kwadratu powinna wynosić zatem p. Jak sie okaza o znacznie później zadanie to jest niewykonalne. Przypuśćmy, ze mamy dany odcinek o d ugości i chcemy skonstruować (cyrklem i linijka) odcinek o zadanej d ugości x. Czy dla ka zdej liczby rzeczywistej dodatniej x taka konstrukcja istnieje? Liczby konstruowalne to d ugości odcinków, które moga być skonstruowane geometrycznie. Twierdzenie 0 Liczba rzeczywista x > 0 jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczba algebraiczna, której stopień jest pot eg a dwójki. Poniewa z liczba p nie jest nawet algebraiczna wiec nie jest równie z konstruowalna. Podzielmy odcinek [0; ] na dwa równe odcinki, lewy L i prawy P. Nastepnie podzielmy ka zda z po ówek L i P znowu na po owy i oznaczmy je symbolicznie jako LL, LP, P L i P P. I

15 tak dalej. Otrzymujemy w ten sposób s owa zbudowane z dwóch liter L i P, a ka zdemu s owu d ugości n odpowiada pewien odcinek d ugości n. Niech x [0; ] b edzie liczba rzeczywista i niech S, S,... b edzie ciagiem s ów takich, ze ka zdy z odpowiednich przedzia ów zawiera liczb e x. Zamieniajac L na 0 i P na w s owie S n dostaniemy rozwini ecie dwójkowe liczby x z dok adnościa do n miejsc po przecinku. Podobnie ma si e rzecz z rozwini eciami dziesi etnymi, z tym, ze teraz dzielimy odcinki na 0 identycznych cz eści. W aśnie dlatego potrzebujemy a z dziesi eciu cyfr do zapisywania takich rozwini eć. Oto kilka przyk adów rozwini eć dziesi etnych wa znych sta ych matematycznych: + p = : p = : = : e = : ln = : Liczby "urojone" Rozwa zmy równanie x + = 0. Oznaczmy "liczb e" spe niajaca to równanie symbolem i (od ang. imaginary = urojony). Oczywiście i nie jest liczba rzeczywista. Wszystko co na razie mo zemy powiedzieć o tej "urojonej liczbie" to w asność i = : Zbiór liczb zespolonych powstaje jako efekt końcowy w aczenia liczby i do systemu arytmetycznego liczb rzeczywistych. De nicja Liczba zespolona nazywamy dowolne wyra zenie postaci a+bi, gdzie a; b sa liczbami rzeczywistymi. Zbiór liczb zespolonych b edziemy oznaczać przez C.

16 . Arytmetyka liczb zespolonych W zbiorze C określamy dzia ania dodawania i mno zenia jak nastepuje. Niech z = a + bi, z = c + di, gdzie a; b; c; d R b ed a liczbami zespolonymi. Sum e i iloczyn liczb zespolonych z ; z de niujemy wzorami z + z = (a + c) + (b + d)i z z = (ac bd) + (ad + bc)i: Twierdzenie Mno zenie liczb zespolonych jest dzia aniem przemiennym, acznym i rozdzielnym wzgl edem dodawania. Ponadto, dla ka zdej liczby zespolenej z = 0 istnieje liczba zespolona t taka, ze zt =. Dowód. Dowód twierdzenia zostawiamy do samodzielnego przeprowadzenia.. Geometria liczb zespolonych Liczb e zespolona z = x + yi określa para liczb rzeczywistych (x; y). Naturalna geometryczna interpretacja liczb zespolonych jest wi ec zbiór punktów p aszczyzny; liczbie z = x+yi odpowiada punkt o wspó rz ednych (x; y). Niech P = (x; y) b edzie punktem odpowiadajacym liczbie z i niech r = p x + y b edzie odleg ościa punktu P od środka uk adu wspó rzednych O. Niech oznacza kat (skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegarka) miedzy odcinkiem P O a dodatnia cześcia osi X. Wówczas, z de nicji funkcji trygonometrycznych dostajemy z = r(cos + i sin ): Ten zapis nazywamy postacia trygonometryczna liczby z. Twierdzenie Niech z = r(cos + i sin ), t = s(cos + i sin ) b ed a liczbami zespolonymi w postaci trygonometrycznej. Wówczas zt = rs(cos( + ) + i sin( + )):

17 Dowód. Korzystajac z wzorów trygonometrycznych na sinus i cosinus sumy dwóch katów dostajemy: zt = r(cos + i sin ) s(cos + i sin ) = rs ((cos cos sin sin ) + i(sin cos + cos sin )) = rs(cos( + ) + i sin( + )): To kończy dowód. Wniosek Niech z = r(cos + i sin ). Wówczas z n = r n (cos n + i sin n).. Pierwiastki z jedynki i wielokaty foremne De nicja Niech t b edzie liczba zespolona i niech n b edzie liczba naturalna. Pierwiastkiem stopnia n z liczby t nazywamy dowolne rozwiazanie równania z n = t w zbiorze liczb zespolonych. Twierdzenie Niech t = s(cos +i sin ), n N. Wówczas wszystkie rozwiazania równania z n = t dane sa wzorami: z k = np s cos + k + i sin + k ; k = 0; ; :::; n : n n Dowód. Na mocy Wniosku? dostajemy zk n n = p s n cos n + k + i sin n + k n n = s (cos( + k) + i sin( + k)) = s (cos + i sin ) : Ponadto z i = z j dla i = j, (i; j = 0; ; :::; n ). Zatem sa to wszystkie rozwiazania równania z n = t, poniewa z wielomian stopnia n nie mo ze mieć wiecej ni z n pierwiastków. Wniosek Wszyskie pierwiastki stopnia n z liczby t = dane sa wzorami " k = cos k n k + i sin ; k = 0; ; :::; n : n

18 Punkty p aszczyzny odpowiadajace liczbom " k tworza n-kat foremny wpisany w okrag jednostkowy, którego jednym z wierzcho ków jest punkt (; 0). Ponadto, " k " l = " k+l(mod n) dla dowolnych k; l = 0; ; :::; n. Liczb e zespolona z = x + yi nazywamy liczba konstruowalna je zeli liczby rzeczywiste x i y sa konstruowalne. Liczby ca kowite postaci F k = k + ; k 0; nazywamy liczbami Fermata. Pierwszych pi eć liczb Fermata to ; ; ; ;. Wszystkie sa liczbami pierwszymi. Nie wiadomo, czy istnieje choćby jeszcze jedna liczba pierwsza Fermata. Twierdzenie 8 (Gauss) Wielokat foremny jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jego wierzcho ków ma postać n = r p p :::p s ;gdzie r; s 0, a p ; p ; :::; p s sa ró znymi liczbami pierwszymi Fermata. Dowód. Niech G N = cos N + i sin N. Mo zna pokazać, ze G N jest liczba algebraiczna stopnia '(N). Wystarczy wi ec zobaczyć, ze '(N) jest potega dwójki wtedy i tylko wtedy, gdy N ma postać opisana w tezie twierdzenia. Niech N = r q r :::qrs s b edzie rozk adem liczby N na czynniki pierwsze, w którym r 0; r i, a liczby q i sa nieparzyste i parami ró zne. Wówczas '(N) = '( r ) sy i= q r i i (q i ): Stad r i = i q i musza być potegami dwójki. To kończy dowód. Z tego tiwerdzenia wynika w szczególności, ze nie istnieje konstrukcja geometryczna 9-kata foremnego, natomiast mo zna skonstruować -kat foremny. 8

19 . Zasadnicze Twierdzenie Algebry 9

20 Geometria analityczna 0

21 Uk ady równań liniowych i macierze. Uk ad równań liniowych Równanie liniowe mo zna zapisać w ogólnej postaci nast epujaco a x + a x + ::: + a n x n = b: (.) Liczby a ; :::; a n nazywamy wspó czynnikami równania, a liczb e b - wyrazem wolnym. Te liczby sa w danym równaniu sta e. Natomiast x ; :::; x n to zmienne lub niewiadome. Rozwiazaniem równania liniowego (.) nazywamy dowolny ciag liczb s ; :::; s n spe niajacych to równanie, to znaczy takich, ze je zeli podstawimy x = s ; :::; x n = s n do równania (.) to otrzymamy prawdziwa równość. Na przyk ad, liczby ; ; rozwiazań równania x x + x = ; stanowia jedno z mo zliwych poniewa z k adac x =, x = i x = dostajemy () () + ( ) = 9 = : Bardziej ogólnie, zbiór sk adajacy sie z m równań liniowych, z których ka zde ma n niewiadomych

22 nazywamy uk adem równań liniowych. Taki uk ad zapisujemy nast epujaco a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b ::::: (.) a m x + a m x + ::: + a mn x n = b m Rozwiazaniem uk adu równań liniowych (.) jest ciag liczb s ; :::; s n spe niajacych ka zde równanie tego uk adu. Aby znaleźć wszystkie rozwiazania danego uk adu równań liniowych mo zna zastosować metod e eliminacji. Polega ona, zgrubsza, na eliminowaniu kolejnych niewiadomych z kolejnych równań, a z do otrzymania równania z jedna niewiadoma. Do tego celu s u z a operacje mno zenia równania przez niezerowa sta a i dodawania równań stronami. Przyk ad 9 Rozwa zmy nast epujacy uk ad równań. x y = x + y = 8: Aby wyeliminować x z drugiego równania dodajemy do niego pierwsze równanie pomno zone przez ( ). Otrzymujemy wówczas równanie y = ; skad dostajemy natychmiast y =. Nast epnie podstawiamy y = do pierwszego równania i otrzymujemy x =. Podstawiajac obie liczby do równań uk adu widzimy, ze oba równania sa spe nione. Przyk ad 0 (brak rozwiazań) x y = x y = :

23 Przyk ad (x = ; y = ; z = ) x + y + z = x y + z = x + y z = : Przyk ad (nieskończenie wiele rozwiazań, x = r + ; y = r ; z = r) x + y z = x + y z = : Przyk ad (x = ; y = ) Przyk ad (brak rozwiazań) x + y = 0 x y = x + y = : x + y = 0 x y = x + y = 0: Metoda eliminacji polega wi ec na wielokrotnym powtarzaniu nast epujacych trzech operacji.. Zamiana miejscami dwóch równań.. Mno zenie równania stronami przez niezerowa sta a.. Dodawanie pomno zonego równania do innego równania stronami.. Macierze Na poczatek przedstawimy szereg podstawowych de nicji wraz z ilustrujacymi je przyk adami. De nicja Macierza A wymiaru m n nazywamy prostokatn a tablic e zawierajac a mn liczb

24 u o zonych w m poziomych wierszach i n pionowych kolumnach: A = a a ::: a n a a ::: a n ::: ::: ::: ::: a m a m ::: a mn : W przypadku m = n mówimy, ze A jest macierza kwadratowa wymiaru n, a elementy a ; a ; :::; a nn stanowia jej g ówna przekatn a. Macierz A zapisujemy równie z skrótowo jako A = [a ij ] ; gdzie i m oraz j n: Przyk ad Rozwa zmy macierze A = D = ; B = h ; E = [] ; F = ; C = 0 i : ; Na przyk ad A jest macierza wymiaru, w której a =, a =. B, D i E sa macierzmi kwadratowymi wymiarów, i, odpowiednio. Ponadto, b =, d = i e =, a liczby, 0, le z a na g ównej przekatnej macierzy D. Warto podkre slíc, ze macierze takie jak C i F moga być równie z traktowane jako wektory. De nicja Macierz kwadratowa A = [a ij ], w której ka zdy element le z acy poza g ówna przekatn a jest zerem, to znaczy, a ij = 0, gdy i = j, nazywamy macierza diagonalna.

25 Przyk ad 8 Macierze G = 0 0 ; H = sa diagonalne. De nicja 9 Macierz diagonalna A = [a ij ], której wszystkie elementy na g ównej przekatnej sa równe, nazywamy macierza skalarna. W notacji matematycznej a ij = c, dla i = j, oraz a ij = 0, je zeli i = j. Przyk ad 0 Nast epujace macierze sa skalarne I = ; J = 0 0 : De nicja Dwie macierze A = [a ij ] i B = [b ij ] wymiaru m n sa równe je zeli a ij = b ij, dla wszystkich i m, j n. Macierze ró znych wymiarów nigdy nie sa porównywane. De nicja (Dodawanie macierzy) Je zeli A = [a ij ] i B = [b ij ] sa macierzami wymiaru mn, to ich suma jest macierz C = [c ij ], tak ze wymiaru m n, okre slona warunkiem c ij = a ij + b ij ; ( i m; j n): Innymi s owy, C powstaje przez dodanie odpowiadajacych sobie elementów macierzy A i B. Oczywíscie sum e macierzy A i B zapisujemy jako A + B. Przyk ad Je zeli A = i B = 0 ; to A + B = ( ) = 0 0 :

26 De nicja (Mno zenie macierzy przez liczb e) Je zeli A = [a ij ] jest macierza wymiaru m n, a r jest liczba rzeczywista, to iloczynem macierzy A przez liczb e r jest macierz B = [b ij ] wymiaru m n spe niajaca warunek b ij = ra ij ; ( i m; j n): Iloczyn macierzy A przez liczb e r oznaczamy jako ra. Przyk ad Je zeli r = i A = 0 ; to ra = ( ) 0 = 9 = 0 : 9 8 ( ) ( )( ) ( )() ( ) ( )( ) ( )(0) ( )() ( )() ( )( ) Ró znice macierzy A i B de niujemy jako A B = A + ( )B. De nicja (Transpozycja macierzy) Je zeli A = [a ij ] jest macierza m n, to macierz A T = h i a T ij wymiaru n m okra slona warunkiem a T ij = a ji ; ( i m; j n); nazywamy transpozycja macierzy A. Innymi s owy, Macierz A T powstaje z macierzy A poprzez zamian e wierszy na kolumny.

27 Przyk ad Niech A = D = 0 h ; B = 0 i ; E = : ; C = ; Wówczas A T = D T = 0 0 ; BT = h i ; ET = : ; CT = ;. Iloczyn skalarny i mno zenie macierzy W tej cz eści wprowadzimy operacj e mno zenia macierzy. Inaczej ni z w przypadku dodawnia macierzy, operacja ta posiada posiada cechy znacznie odró zniajace ja od zwyk ego mno zenia liczb. De nicja 8 Iloczynem skalarnym dwóch wektorów h a = a a ::: a n i i b = b b ::: b n

28 nazywamy liczb e a b okre slona wzorem a b = a b + a b + ::: + a n b n = nx a i b i : i= Iloczyn skalarny jest wa zna operacja, która b edzie wykorzystywana tak ze w nast epnych cz eściach wyk adu. Przyk ad 9 Iloczyn skalarny wektorów h u = i i v = wynosi u v = ()() + ( )() + ()( ) + ()() = : De nicja 0 (Mno zenie macierzy) Je zeli A = [a ij ] jest macierza wymiaru m p, a B = [b ij ] jest macierza wymiaru p n, to iloczyn macierzy A i B, oznaczany przez AB, jest macierza C = [c ij ] wymiaru m n; okre slona wzorem dla wszystkich i m; j n. c ij = a i b j + a i b j + ::: + a ip b pj = px a ik b kj ; (.) Równanie (.) mówi, ze element na pozycji (i; j) w iloczynie macierzy A i B jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i k= j-tej kolumny macierzy B. Oznaczmy przez w i (A) i k j (B) ów wiersz i owa kolumn e. Wówczas wzór (.) mo ze być zapisany jako c ij = w i (A) k j (B): Zauwa zmy ponadto, ze iloczyn macierzy A i B jest określony jedynie wtedy, gdy liczba elementów w wierszu macierzy A jest taka sama jak liczba elementów w kolumnie macierzy B, lub inaczej, gdy liczba kolumn macierzy A zgadza sie z liczba wierszy w macierzy B. 8

29 Mo zna zadać sobie naturalne pytanie, dlaczego mno zenie macierzy zosta o zde niowane w tak skomplikowany sposób, podczas gdy równość macierzy czy dodawanie sa tak naturalne? Otó z, jedynie dog ebne zrozumienie zwiazku pomi edzy macierzami a przekszta ceniami liniowymi, oraz operacja sk adania funkcji, pokazuje, ze ta de nicja jest równie z ca kowicie naturalna. Przyk ad Niech A = i B = : Wówczas AB = = ()( ) + ()() + ( )() ()() + ()( ) + ( )() ()( ) + ()() + ()() ()() + ()( ) + ()() : Przyk ad Niech A = 0 i B = : Obliczmy jedynie element znajdujacy si e na pozycji (; ) w macierzy AB. Zgodnie z de nicja mno zenia macierzy, przy oznaczeniu AB = C, mamy c = w (A) k (B) h i = 0 = : Jak ju z wspomnieliśmy wcześniej, mno zenie macierzy ró zni si e pod wieloma wzgl edami od mno zenia liczb. Na przyk ad, nie jest ono przemienne, to znaczy AB nie musi być równe BA. Jest kilka powodów, dla których tak si e dzieje. 9

30 . BA mo ze nie być wogóle określone; tak jest wtedy, gdy n = m.. Je zeli BA jest określone, co oznacza, ze m = n, to macierz BA ma wymiar p p, zaś AB jest macierza wymiaru m m, stad, je zeli m = p, to AB i BA sa ró znych wymiarów i nie moga być równe.. Nawet jeśli AB i BA sa tego samego wymiaru, to nie musza być równe.. Nale zy podkreślić, ze je zeli AB i BA sa tego samego wymiaru, to mo ze sie zdarzyć, ze AB = BA. Zilustrujemy te cztery mo zliwe sytuacje na przyk adach. Przyk ad Je zeli A jest macierza, a B jest macierza, to AB ma wymiar, za s BA nie istnieje. Przyk ad Je zeli A jest macierza, a B jest macierza, to AB ma wymiar, za s BA ma wymiar. Przyk ad Niech A = ; B = 0 : Wtedy AB = ; natomiast BA = : Przyk ad Je zeli A i B sa macierzami diagonalnymi tego samego wymiaru, to z pewno scia zachodzi równo sć AB = BA. Czasami potrzebne jest jedynie obliczenie jednej kolumny macierzy AB bez wyznaczania ca ego iloczynu. atwo widać, ze j-ta kolumna macierzy AB jest iloczynem macierzy A i j-tej kolumny macierzy B, co mo zna zapisać wzorem k j (AB) = A(k j (B)): (.) 0

31 Przyk ad Je zeli A = i B = ; to druga kolumna iloczynu AB jest równa A(k (B)) = = : Poka zemy teraz pewien zapis wykorzystujacy mno zenie macierzy, który b edzie szczególnie przydatny przy uk adach równań liniowych. Niech A = a a ::: a n a a ::: a n ::: ::: ::: ::: i C = c c ::: : a m a m ::: a mn c n

32 Wówczas mo zemy napisać a a ::: a n c a AC = a ::: a n c = ::: ::: ::: ::: ::: a m a m ::: a mn c n a c + a c + ::: + a n c n a = c + a c + ::: + a n c n ::: a m c + a m c + ::: + a mn c n = c a a ::: + c a a ::: a m a m + ::: + c n = c k (A) + c k (A) + ::: + c n k n (A): w (A) C w (A) C ::: w m (A) C a n a n ::: a mn To ostatnie wyra zenie nazywamy kombinacja liniowa kolumn macierzy A. Widzimy zatem, ze iloczyn macierzy A wymiaru m n i macierzy C wymiaru n mo ze być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej kolumn macierzy A, której wspó czynniki sa elementami macierzy C: AC = c k (A) + c k (A) + ::: + c n k n (A): (.) Przyk ad 8 Niech A = i C = :

33 Wówczas AC = = = + : Wobec wzorów (.) i (.) mo zemy wi ec napisać k j (AB) = A(k j (B)) = b j k (A) + b j k (A) + ::: + b pj k p (A): Przyk ad 9 Dla macierzy z Przyk adu 0 mamy AB = = : Kolumny macierzy AB moga być rozpisane nast epujaco. k (AB) = k (AB) = k (AB) = = A(k (B)) = = A(k (B)) = = A(k (B)) = :

34 Rozwa zmy teraz ogólna postać uk adu równań liniowych a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b ::::: : a m x + a m x + ::: + a mn x n = b m Nast epnie zde niujmy macierze A = a a ::: a n a a ::: a n ::: ::: ::: ::: ; X = x x ::: ; B = b b ::: : a m a m ::: a mn x n b m Wówczas AX = a a ::: a n a a ::: a n ::: ::: ::: ::: x x ::: = a x + a x + ::: + a n x n a x + a x + ::: + a n x n ::::: : a m a m ::: a mn x n a m x + a m x + ::: + a mn x n Elementy iloczynu AX to nic innego jak lewe strony równań rozwa zanego uk adu, zatem ca y uk ad równań mo zna zapisać w postaci jednego równania macierzowego AX = B: Macierz A nazywamy macierza wspó czynników uk adu, a macierz a a ::: a n a a ::: a n ::: ::: ::: ::: a m a m ::: a mn b b ::: b n ;

35 nazywamy macierza rozszerzona. Macierz rozszerzona mo ze być równie z zapisana w skrócie jako [Aj b]. Na odwrót, ka zda macierz zawierajaca wiecej ni z jedna kolumn e mo ze być traktowana jako macierz rozszerzona pewnego uk adu równań. Obie macierze odgrywaja kluczowa role w metodach rozwiazywania uk adów równań. Przyk ad 0 Rozwa zmy uk ad równań x + y z = x + z = x + y + z = : Podstawiajac A = 0 ; X = x y z ; B = ; mo zemy zapisać uk ad równań w postaci macierzowej AX = B: Macierza wspó czynników uk adu jest A, za s macierz rozszerzona ma postać 0 : Przyk ad Macierz jest macierza rozszerzona uk adu 0 x y + z = x + z = :

36 Z naszej poprzedniej dyskusji wynika, ze uk ad równań mo ze być tak ze zapisany w postaci kombinacji liniowej kolumn macierzy A: x a a ::: + x a a ::: + ::: + x n a n a n ::: = b b ::: : a m a m a mn b m Odwrotnie, ka zde równanie tego typu przedstawia jakiś uk ad równań.. Algebraiczne w asności dzia ań na macierzach W tej cz eści przedstawimy szereg podstawowych w asności zde niowanych wcześniej dzia ań na macierzach. W asności te b ed a prezentowane w postaci twierdzeń, których dowody, w wi ekszości przypadków, zostana pomini ete, lub pozostawione do samodzielnego przeprowadzenia. Twierdzenie (W asności dodawania macierzy) Niech A, B, C i D b ed a macierzami wymiaru m n. Wówczas zachodza nast epujace w asno sci. (a) A + B = B + A: (b) A + (B + C) = (A + B) + C: (c) Istnieje dok adnie jedna macierz O wymiaru m n taka, ze A + O = A; dla ka zdej macierzy A. Macierz O nazywamy macierza zerowa. (d) Dla ka zdej macierzy A istnieje dok adnie jedna macierz D, tego samego wymiaru, spe niajaca równanie A + D = O: Macierz D oznaczamy przez A i nazywamy macierza przeciwna do A. Twierdzenie (W asności mno zenia macierzy) Przy za o zeniu, ze macierze A, B i C sa odpowiednich wymiarów mamy:

37 (a) A(BC) = (AB)C; (b) A(B + C) = AB + AC; (c) (A + B)C = AC + BC: Przyk ad Niech A = ; B = i C = : Wówczas A(BC) = = 0 8 i (AB)C = = 0 8 : Przyk ad Niech A = ; B = 0 i C = 0 : Wtedy A(B + C) = 0 = i AB + AC = + 0 = :

38 Szczególna rol e odgrywa macierz skalarna wymiaru n n, której g ówna przekatna sk ada sie z samych jedynek: I n = 0 ::: 0 0 ::: 0 ::: ::: ::: ::: 0 0 ::: : Nazywamy ja macierza jednostkowa. Je zeli A jest macierza wymiaru m n, to, jak atwo sprawdzić, I m A = AI n = A: Je zeli A jest macierza kwadratowa wymiaru n, a p jest liczba naturalna, to w znany sposób mo zemy określić pot eg e Podobnie, de niujemy równie z A p = A A{z ::: A} : p czynników A 0 = I n : atwo sprawdzić, ze zachodza znane wzory A p A q = A p+q ; oraz (A p ) q = A pq : Nale zy jednak zwrócić uwage na to, ze w ogólności (AB) p = A p B p ; chyba, ze AB = BA. Odnotujemy teraz dwie kolejne osobliwości dotyczace mno zenia macierzy. Je zeli a i b sa liczbami rzeczywistymi, to równość ab = 0 mo ze mieć miejsce tylko wtedy, gdy jedna z liczb a lub b jest zerem. Inaczej jest w przypadku macierzy. 8

39 Przyk ad Je sli A = i B = ; to AB = ; pomimo, ze ani A ani B nie jest macierza zerowa. Je zeli a, b i c sa liczbami rzeczywistymi, dla których zachodzi równość ab = ac i a = 0, to w konsekwencji a = b. Ta w asność, zwana prawem skracania, nie zachodzi w przypadku macierzy, jak pokazuje nast epny przyk ad. Przyk ad Je sli A = ; B = i C = ; to AB = AC = 8 0 ; ale B = C. Twierdzenie 8 (W asności iloczynu macierzy przez liczb e) Je zeli r i s sa liczbami rzeczywistymi, a A i B sa macierzami, to (a) r(sa) = (rs)a; (b) (r + s)a = ra + sa; (c) r(a + B) = ra + rb; (d) A(rB) = r(ab) = (ra)b: Twierdzenie 9 (W asności transpozycji macierzy) Je zeli r jest liczba rzeczywista, a A i B sa macierzami, to (a) A T T = A; (b) (A + B) T = A T + B T ; 9

40 (c) (AB) T = B T A T ; (d) (ra) T = ra T : Przyk ad 80 Niech A = i B = 0 : Wówczas (AB) T = i B T A T = 0 = : De nicja 8 Macierz A = [a ij ] nazywamy symetryczna je zeli A T = A: Inaczej mówiac, A jest symetryczna je sli jest kwadratowa i a ij = a ji, dla wszystkich i; j = ; ; :::; n. W takiej macierzy elementy po o zone symetrycznie wzgl edem g ównej przekatnej sa równe. Przyk ad 8 Macierze A = i I = sa symetryczne. 0

41 . Metody rozwiazywania uk adów równań liniowych W tej cz eści usystematyzujemy znana ju z metode rozwiazywania uk adu równań, polegajac a na sukcesywnej eliminacji niewiadomych. Punktem wyjścia jest macierz rozszerzona danego uk adu, która nast epnie poddawana jest transformacjom przekszta caj acym ja do pewnej szczególnej postaci. Otrzymana w ten sposób nowa macierz reprezentuje uk ad równań o dok adnie tych samych rozwiazaniach co wyjściowy, ale ma o wiele dogodniejsza postać. Na przyk ad, je zeli macierz rozszerzona pewnego uk adu ma postać ; to jego rozwiazania moga być znalezione bardzo atwo. Zadanie polega wi ec na takim manipulowaniu macierza rozszerzona uk adu, aby przybra a ona podobna postać, bez naruszenia zbioru rozwiazań. De nicja 8 (Postać kanoniczna macierzy) Mówimy, ze macierz ma postać kanoniczna je sli spe nia nast epujace warunki: (a) Wszystkie wiersze sk adajace si e z samych zer, o ile wogóle wyst epuja znajduja si e na samym dole. (b) Pierwsza od lewej niezerowa liczba (o ile wiersz nie sk ada si e z samych zer) jest równa. Nazywamy ja wiodac a jedynka tego wiersza. (c) Wiodaca jedynka ni zszego wiersza znajduje si e na prawo od wiodacej jedynki wy zszego wiersza. (d) Je zeli kolumna zawiera wiodac a jedynk e pewnego wiersza, to wszystkie pozosta e jej elementy sa zerami.

42 Przyk ad 8 Macierze A = C = ; B = ; ; znajduja si e w postaci kanonicznej. Przyk ad 8 Macierze A = C = ; B = ; D = ; ; nie sa w postaci kanonicznej, poniewa z nie spe niaja warunku (a), (b), (c), i (d), odpowiednio. Zajmiemy si e teraz procedura doprowadzajac a macierz do postaci kanonicznej. Opiera si e ona na wierszowych operacjach elementarnych, które odpowiadaja w oczywisty sposób znanym operacjom na równaniach. De nicja 8 Trzy nast epujace rodzaje operacji na wierszach macierzy A nazywamy operacjami elementarnymi: (a) Zamiana miejscami dwóch wierszy macierzy A. (b) Pomno zenie wszystkich elementów wiersza przez liczb e c = 0.

43 (c) Dodanie do wiersza innego wiersza pomno zonego przez pewna liczb e. Przyk ad 8 Niech A = : Wówczas zamiana wierszy pierwszego i trzeciego, co zapisujemy jako w (A) w (A), daje macierz B = : Po pomno zeniu trzeciego wiersza macierzy B przez, w skrócie w (B), dostajemy C = : Wreszcie, dodajac do trzeciego wiersza macierzy C drugi wiersz pomno zony przez ( ), w notacji ( )w (C) + w (C), otrzymujemy D = : De nicja 88 Macierze A i B wymiaru m n nazywamy równowa znymi (wierszowo), je zeli jedna znich mo zemy otrzymać z drugiej w wyniku skończonego ciagu wierszowych operacji elementarnych. Przyk ad 89 Macierz A =

44 jest wierszowo równowa zna macierzy D = 8 8 : W istocie, wykonujac operacj e w (A) + w (A) dostaniemy B = 8 ; a nast epnie zamieniajac w (B) i w (B), otrzymujemy C = 8 : Wreszcie, po wykonaniu operacji w (C) otrzymamy macierz D. Twierdzenie 90 Ka zda macierz jest równowa zna dok adnie jednej macierzy w postaci kanonicznej. Zilustrujemy dowód tego wa znego twierdzenia na przyk adzie, pokazujac kolejne kroki doprowadzajace pewna macierz A do postaci kanonicznej. pominiemy. Dowód jednoznaczności tej postaci Przyk ad 9 Niech A = : Krok. Znajdujemy pierwsza od lewej kolumn e zawierajac a element niezerowy (kolumn e wiodac a) i zaznaczamy w niej pierwszy od góry taki element. Nazywamy go elementem wioda-

45 cym. A = : Krok. górnym rogu. Je sli trzeba, zamieniamy wiersze tak aby zaznaczony element znalaz si e w lewym 0 0 A = ; (w w ) : Krok. Mno zymy pierwszy wiersz A przez odwrotno sć elementu wiodacego, aby otrzymać wiodac a jedynk e. A = ; w : Krok. Teraz dodajemy pierwszy wiersz pomno zony przez odpowiednie sta e do pozosta ych wierszy, po to by wszystkie elementy wiodacej kolumny, oprócz wiodacej jedynki, sta y si e zerami. A = ; ( w + w ) : Krok. Nast epnie powtarzamy wszystko od poczatku na macierzy, która powstaje przez pomini ecie pierwszego wiersza macierzy A. B = ;

46 0 B = 0 0 ; (w w ) 0 0 B = 0 0 ; 0 w 0 B = 0 0 ; (w + w ) : 0 0 Krok. Podobnie powtarzamy kroki - na macierzy ograniczonej do nast epnych wierszy. C = C = C = C = ; ; w ; ( w + w ) : Krok (ostatni). Kiedy ju z wszystkie wiodace jedynki si e ujawni y, mo zemy, po dopisaniu pomini etych wcze sniej wierszy, przystapíc do zerowania elementów znajdujacych nad nimi. W tym celu wygodnie jest wykonywać odpowiednie operacje w odwrotnym kierunku, z do u do góry. D = ;

47 0 0 D = ; D = ; w + w w + w D = ; ( w + w ) : Ta ostatnia macierz ma nareszcie upragniona postać kanoniczna. Twierdzenie 9 Niech AX = B i CX = D b ed a dwoma uk adami m równań z n niewiadomymi. Je zeli macierze rozszerzone [Aj B] i [Cj D] sa równowa zne, to uk ady te maja takie same zbiory rozwiazań. Wniosek 9 Je zeli A i C sa równowa zne, to uk ady równań AX = 0 i CX = 0 maja ten sam zbiór rozwiazań. Metoda rozwiazywania uk adu równań, przedstawiona w Przyk adzie, znana jest równie z pod nazwa redukcji Gaussa-Jordana. Sk ada si e ona z trzech g ównych kroków: Krok. Utworzenie macierzy rozszerzonej uk adu [Aj B]. Krok. elementarne na wierszach. Doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci kanonicznej, poprzez operacje Krok. Uzyskanie rozwiazania uk adu poprzez wyznaczenie niewiadomych odpowiadajacych wiodacym jedynkom. Przedstawimy teraz szereg przyk adów stosowania tej metody, prowadzacych do ró znych mo zliwych sytuacji.

48 Przyk ad 9 (Dok adnie jedno rozwiazanie) Rozwia zemy nast epujacy uk ad równań x + y + z = 9 x y + z = 8 x z = metoda Gaussa-Jordana. Krok. Tworzymy macierz rozszerzona: : Krok. Przekszta camy macierz rozszerzona do postaci kanonicznej ; za pomoca (raczej sporej liczby) operacji elementarnych. Krok. Odczytujemy rozwiazanie: x = y = z = : Przyk ad 9 (Nieskończenie wiele rozwiazań) Dany jest uk ad równań x + y + z w = x + y z 9w = x + y z + w = x y + z + w = : 8

49 Krok. Tworzymy macierz rozszerzona 9 : Krok. Redukcja Gaussa-Jordana : Krok. Wyznaczamy niewiadome odpowiadajace wiodacym jedynkom x = w y = + w z = + w i zapisujemy rozwiazanie x = r y = + r z = + r w = r; gdzie r oznacza dowolna liczb e rzeczywista. 9

50 Przyk ad 9 (Nieskończenie wiele rozwiazań) Dany jest (raczej nieprzyjemny) uk ad równań x + x x + x = x + x + x x + x + x = x + x x + x + x = x + x + x 9x + x + x = 9: Krok. Macierz rozszerzona ma postać : Krok. Po redukcji Gaussa-Jordana otrzymujemy : Krok. Wyznaczamy niewiadome odpowiadajace wiodacym jedynkom x = x + x + x x = x x = x ; 0

51 i zapisujemy pe ne rozwiazanie x = r + s + t x = r x = t x = s x = t x = t; gdzie r; s i t oznaczaja dowolne liczby rzeczywiste. Przyk ad 9 (Brak rozwiazań) Niech dany b edzie uk ad równań x + y + z + w = x + y + z + w = x z w = : Po zredukowaniu macierzy rozszerzonej do postaci kanonicznej otrzymujemy macierz : Ostatnie równanie odpowiadajacego jej uk adu 0x + 0y + 0z + 0w = nie ma zadnych rozwiazań. W konsekwencji, ca y uk ad równań, tak ze nie posiada rozwiazań.

52 De nicja 98 Uk ad równań postaci a x + a x + ::: + a n x n = 0 a x + a x + ::: + a n x n = 0 ::::: a m x + a m x + ::: + a mn x n = 0 nazywamy uk adem jednorodnym. Rozwiazanie x = x = ::: = x n = 0 nazywamy rozwiazaniem trywialnym, natomiast rozwiazanie, w którym choćby jedna z liczb x i jest ró zna od zera, nazywamy rozwiazaniem nietrywialnym. Oczywiście, ka zdy jednorodny uk ad równań posiada co najmniej jedno rozwiazanie, mianowicie rozwiazanie trywialne. Mo ze si e zdarzyć, ze jest ono jedynym rozwiazaniem takiego uk ady, ale mo zy być równie z tak, ze rozwiazań b edzie nieskończenie wiele. Przyk ad 99 Rozwa zmy jednorodny uk ad równań x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y z = 0: Postać kanoniczna macierzy tego uk adu jest równa I, zatem jedynym rozwiazaniem jest rozwiazanie trywialne x = y = z = 0: Przyk ad 00 Rozwa zmy uk ad równań x + y + z + w = 0 x + w = 0 x + y + z = 0:

53 Macierz przedstawia postać kanoniczna macierzy rozszerzonej tego uk adu. Otrzymujemy wi ec nieskończenie wiele rozwiazań postaci x = r y = r z = r w = r; gdzie r jest dowolna liczba rzeczywista. Twierdzenie 0 Je zeli liczba równań jednorodnego uk adu jest mniejsza od jego liczby niewiadomych, to uk ad ten posiada rozwiazanie nietrywialne.. Macierze odwracalne W tej cz eści skupimy uwag e na macierzach kwadratowych i określimy poj ecie macierzy odwrotnej, stanowiace uogólnienie odwrotności liczby niezerowej. De nicja 0 Macierz A wymiaru nn nazywamy odwracalna (lub nieosobliwa), je sli istnieje taka macierz B wymiaru n n, ze AB = BA = I n : Macierz B nazywamy wówczas odwrotno scia macierzy A. Je zeli taka macierz B nie istnieje, to A nazywamy nieodwracalna (lub osobliwa). Przyk ad 0 Niech A = ; B = :

54 Wówczas AB = BA = I ; co oznacza, ze A jest macierza odwracalna i B jest odwrotno scia A. Twierdzenie 0 Je zeli macierz A jest odwracalna, to jej odwrotno sć jest jednoznaczna. Dowód. Niech B i C b ed a odwrotnościami macierzy A. Wówczas BA = AC = I n : Stad B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C; co kończy dowód. Od tej pory b edziemy oznaczać odwrotność macierzy A przez A. Przyk ad 0 Niech A = : Aby znale zć A oznaczmy A = a b c d : Równanie AA = I prowadzi do uk adu równań z rozwiazaniem a = ; b = ; c = i d = : Stad A = : Przyk ad 0 Niech A = :

55 Podobny uk ad równań tym razem nie ma rozwiazania. Wnioskujemy wi ec, ze macierz A jest osobliwa. Twierdzenie 0 (W asności odwrotności) (a) Je zeli A jest macierza nieosobliwa, to A te z jest macierza nieosobliwa i (A ) = A: (b) Je zeli macierze A i B sa nieosobliwe, to macierz AB te z jest nieosobliwa i (AB) = B A : (c) Je zeli A jest nieosobliwa, to (A T ) = (A ) T : Dowód. Punkt (a) wynika wprost z de nicji odwrotności. W punktach (b) i (c) wystarczy sprawdzić, ze macierze B A i (A ) T spe nieja de nicj e macierzy odwrotnej, odpowiednio. Wniosek 08 Je zeli macierze A ; A ; :::; A r wymiaru n n sa nieosobliwe, to ich iloczyn te z jest macierza nieosobliwa i (A A :::A r ) = A r A r :::A : Twierdzenie 09 Przypu sćmy, ze A i B sa macierzami wymiaru nn. Wówczas, je sli AB = I n, to równie z BA = I n. Opiszemy teraz praktyczna metode wyznaczania macierzy odwrotnej A. dana macierza wymiaru n n, to poszukujemy macierzy B takiej, ze Je zeli A jest AB = I n :

56 Oznaczmy kolumny macierzy B przez X ; X ; :::; X n, gdzie X j = b j b j ::: b nj ; ( j n): Natomiast kolumny macierzy jednostkowej I n oznaczmy przez E ; :::E n. Na mocy wzoru k j (AB) = Ak j (B) wnioskujemy, ze problem znalezienia macierzy B jest równoznaczny ze znalezieniem macierzy X j spe niajacych równania AX j = E j ; ( j n): Zatem, wyznaczenie B jest równowa zne rozwiazaniu n uk adów równań liniowych, z których ka zdy ma n równań i n niewiadomych. Ka zdy z tych uk adów mo ze być rozwiazany z osobna metoda Gaussa - Jordana, ale, poniewa z macierz wspó czynników ka zdego uk adu jest ta sama, wi ec mo zemy przeprowadzić redukcj e na wspólnej macierzy rozszerzonej, postaci [Aj E E :::E n ] = [Aj I n ] : Po przeprowadzeniu redukcji tej macierzy do postaci kanonicznej [Cj D] mo zliwe sa dwie sytuacje. () C = I n. Wtedy oczywiście mamy B = D. () C = I n. Wtedy macierz C musi zawierać wiersz zerowy i któryś z rozpatrywanych uk adów równań nie ma rozwiazania. istnieje. Zatem, macierz odwrotna do A w tym wypadku nie Procedur e wyznaczania macierzy odwrotnejdo A mo zemy zatem streścić w trzech krokach. Krok. macierzy jednostkowej I n. Tworzymy macierz rozszerzona [Aj I n ] wymiaru n n przez dopisanie do A Krok. Sprowadzamy macierz [Aj I n ] do postaci kanonicznej metoda Gaussa - Jordana. Krok. Niech [Cj D] b edzie otrzymana postacia kanoniczna. Mo zliwe sa dwie sytuacje. (a) Je zeli C = I n, to A = D.

57 (b) Je zeli C = I n, to A nie istnieje. Przyk ad 0 Znajdziemy (o ile istnieje) odwrotno sć macierzy A = 0 : Krok. Tworzymy macierz [Aj I ] [Aj I ] = : Krok. Redukujemy t e macierz do postaci kanonicznej [Cj D] = : Krok. Odczytujemy rozwiazanie A = : Przyk ad Znale zć (o ile istnieje) odwrotno sć macierzy A = :

58 Krok. Formujemy macierz rozszerzona [Aj I ] = : Krok. Przeprowadzamy redukcj e Gaussa - Jordana, w wyniku której otrzymujemy macierz : Krok. W tym momencie jest jasne, ze nie jest mo zliwe aby C = I n. Wnioskujemy zatem, ze A nie istnieje. Twierdzenie Macierz wymiaru nn jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest równowa zna macierzy jednostkowej. Przypuśćmy, ze A jest macierza nieosobliwa i rozwa zmy uk ad równań AX = B: Poniewa z istnieje macierz odwrotna do A, wi ec mo zemy rozwiazać ten uk ad równań mno z ac obie strony przez A : A (AX) = A B (A A)X = A B I n X = A B X = A B: Zatem, w przypadku gdy macierz wspó czynników uk adu jest nieosobliwa, uk ad ma dok adnie jedno rozwiazanie X = A B. 8

59 Twierdzenie Je zeli A jest macierza wymiaru n n, to jednorodny uk ad równań AX = 0 ma rozwiazanie nietrywialne wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest osobliwa. Twierdzenie Macierz wymiaru n n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy uk ad równań AX = B ma dok adnie jedno rozwiazanie, dla dowolnej macierzy B wymiaru n. Podsumujmy nasze spostrze zenia w postaci listy zdań równowa znych w asności nieosobliwości. n. Nastepujace zdania sa równowa zne.. Macierz A jest nieosobliwa.. Uk ad AX = 0 ma tylko trywialne rozwiazanie.. Macierz A jest równowa zna macierzy I n.. Uk ad AX = B ma dok adnie jedno rozwiazanie, przy dowolnej macierzy B, wymiaru. Wyznacznik macierzy De nicja Niech S = f; ; :::; ng b edzie zbiorem liczb naturalnych od do n. Dowolne ustawienie elementów zbioru S w jakimkolwiek porzadku j j :::j n nazywamy permutacja zbioru S. Dla przyk adu, jest permutacja zbioru S = f; ; ; g. atwo zauwa zyć, ze istnieje dok adnie n! ró znych permutacji zbioru S. Pare elementów j r i j s nazywamy inwersja w permutacji j j :::j n je zeli r < s, ale j r > j s. Na przyk ad, i stanowia inwersj e w permutacji. Permutacje dzielimy na parzyste i nieparzyste w zale zności od parzystości liczby inwersji w nich wystepujacych. Na przyk ad, permutacja jest nieparzysta poniewa z zawiera inwersji ; ; ; ;. 9