gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

Transkrypt

1 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy czym wyra enie Ax + B jest reszt¹ powsta³¹ przy dzieleniu przez trójmian x rx q. Wspó³czynniki A i B s¹ zale ne od r i q, tj. A = A(r, q) i B = B(r, q). Poniewa reszta ma byæ zerem, wiêc nale y rozwi¹zaæ równania Do tego celu stosuje siê metodê Newtona: Aby mo na by³o zastosowaæ metodê Newtona, nale y najpierw obliczyæ pochodne cz¹stkowe oraz wartoœci A i B. Ró niczkuj¹c wzór (5.10) wzglêdem r i q mamy (5.11) (5.1) Dziel¹c wielomian p 1(x) przez trójmian x rx q otrzymujemy (5.13) Zak³adaj¹c, e równanie x rx q = 0 ma dwa ró ne pierwiastki x 1 i x, mamy Zatem z równañ (5.11) i (5.1) wynika, e Poniewa x 1 x, wiêc z drugiego równania otrzymujemy (5.14) i po podstawieniu do pierwszego równania mamy

2 80 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych Ale wiêc mamy i z uwagi na fakt, e x 1 x otrzymujemy Uwzglêdniaj¹c w powy szych równaniach zale noœci (5.14) dostajemy Z równañ (5.14) i (5.15) mo emy wyznaczyæ pochodne cz¹stkowe wystêpuj¹ce w procesie iteracyjnym, o ile znane bêd¹ wielkoœci A i B. 1 1 Wielkoœci A 1i B 1wyznacza siê w podobny sposób, jak wielkoœci A i B. Jeœli wspó³czynniki wielomianu p (x) oznaczymy przez b (i = 0, 1,..., n ), tj. 1 i (5.15) To przez porównanie wspó³czynników przy tych samych potêgach x z lewej i prawej strony wzoru (5.10) otrzymamy Z kolei oznaczaj¹c wspó³czynniki wielomianu p (x) przez c i (i = 0, 1,..., n 4), tj. przez porównanie wspó³czynników w równaniu (5.13) dostajemy

3 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 81 Do okreœlenia liczby i po³o enia rzeczywistych pierwiastków wielomianu p(x) wykorzystuje siê w pojêcie ci¹gu Sturma. Definicja 5.3. Ci¹g wielomianów rzeczywistych nazywamy ci¹giem Sturma, jeœli a) wielomian p 0(x) stopnia n ma tylko pojedyncze pierwiastki, b) dla wszystkich rzeczywistych pierwiastków wielomianu p 0(x), c) dla i = 1,,..., n 1 mamy gdzie oznacza pierwiastek rzeczywisty wielomianu p i(x), d) ostatni wielomian p (x) nie zmienia swojego znaku. n Twierdzenie 5.. Liczba rzeczywistych pierwiastków wielomianu p(x) p 0(x) w przedziale [a, b) jest równa w(b) w(a), gdzie w(x) oznacza liczbê zmian znaku w punkcie x w ci¹gu Sturma p (x), p (x),..., p (x). 0 1 n Przed udowodnieniem tego twierdzenia, zwanego twierdzeniem Sturma, podamy sposób konstrukcji ci¹gu Sturma. Z definicji 5.3 mamy p (x) = p(x). Podstawiamy 0 i pozosta³e wielomiany p i(x) tworzymy za pomoc¹ wzoru gdzie q i(x) oznacza iloraz z dzielenia wielomianu p i 1(x) przez wielomian p i(x), a wielkoœci ci mog¹ byæ dowolnymi sta³ymi dodatnimi. Innymi s³owy: kolejny wielomian w ci¹gu Sturma jest reszt¹ z dzielenia dwóch poprzednich wielomianów wziêt¹ ze znakiem (minus) i pomno on¹ przez dowoln¹ sta³¹ dodatni¹. Mamy przy tym: stopieñ p i(x) > stopieñ p i+1(x). Poniewa stopieñ wielomianu p i(x) zmniejsza siê wraz ze wzrostem i, wiêc po n krokach, gdzie n oznacza stopieñ wielomianu p (x), mamy 0 (5.16) Wielomian p n(x) jest wiêc najwiêksz¹ czêœci¹ wspóln¹ wielomianów p(x) i p (x). Jeœli wielon(x) musi byæ sta³¹ ró n¹ od 0, a wiêc mian p(x) ma tylko pojedyncze pierwiastki, to wielomian p jest spe³niony warunek d) definicji 5.3. Jeœli p i( ) = 0, gdzie oznacza pierwiastek wielomianu p 0(x), to z równania (5.16) otrzymujemy

4 8 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych i jeœli p i+1( ) = 0, to z równania (5.16) wynika³oby, e p i+1( ) =... = p n( ) = 0, w sprzecznoœci z tym, e wielomian p n(x) jest sta³¹ ró n¹ od 0. Widaæ zatem, e spe³niony jest te punkt c) definicji 5.3. Udowodnimy teraz twierdzenie 5.. Dowód. Zbadamy, jak zmienia siê liczba zmian znaku w(a) w ci¹gu wraz ze wzrostem wartoœci a. Dopóki wartoœæ a jest ró na od 0, dla adnego z wielomianów p(x) i (i = 0, 1,..., n) wartoœæ w(a) nie zmienia siê. Dla pierwiastka a wielomianu p i(x) nale y rozpatrzyæ dwa przypadki: a) b) W przypadku a), z uwagi na punkty c) i d) definicji 5.3, mamy p i+1(a) 0, p i 1(a) 0 oraz i n. Dla dostatecznie ma³ego h > 0 znaki wartoœci p j(a) (j = i 1, i, i + 1) zachowuj¹ siê tak, jak pokazano w jednej z poni szych tabelek. a h a a + h a h a a + h a h a a + h a h a a + h i 1 i i + 1 W ka dym z tych przypadków w(a h) = w(a) = w(a + h), czyli liczba zmian znaku nie zmienia siê. W przypadku b) z punktu a) i b) definicji 5.3 mamy: i a h a a + h a h a a + h Za ka dym razem w(a h) = w(a) = w(a + h) 1 i przy przejœciu przez pierwiastek a wielomianu p (x) p(x) otrzymujemy jedn¹ zmianê znaku. Dla a < b ró nica 0 gdzie h > 0 oznacza wielkoœæ dostatecznie ma³¹, podaje liczbê pierwiastków wielomianu p(x) w przedziale a h < x < b h, tzn. pierwiastków w przedziale a x < b, bo wielkoœæ h > 0 mo e byæ dowolnie ma³¹. # Przyk³ad 5.1 Zastosujmy twierdzenie 5. do okreœlenia liczby pierwiastków wielomianu

5 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 83 w przedzia³ach (, 0) i [0, ). Mamy W celu okreœlenia wielomianu p (x) dzielimy wielomian p 0(x) przez p 1(x): Zgodnie z wzorem (5.16), wielomian p (x) jest reszt¹ z dzielenia wziêt¹ ze znakiem (minus). Resztê tê mo emy pomno yæ przez dowoln¹ sta³¹ dodatni¹. Zatem Aby otrzymaæ wielomian p 3(x), dzielimy wielomian p 1(x) przez p (x): Mo emy przyj¹æ p 3(x) = 1 (reszta ze znakiem jest sta³¹ ujemn¹, któr¹ mo emy podzieliæ przez 8865/1444) Do przeanalizowania liczby zmian znaków w ci¹gu Sturma p (x), p (x), p (x), p (x) wygodnie jest skonstruowaæ nastêpuj¹c¹ tabelkê:

6 84 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych 0 + p 0(x) p 1(x) p (x) p 3(x) w(x) W ostatnim wierszu tabelki s¹ wpisane liczby zmian znaku w ci¹gu Sturma. Na podstawie tych danych otrzymujemy, e liczba rzeczywistych pierwiastków wielomianu p(x) w przedziale (, 0) wynosi w(0) w( ) = 1 0 = 1, a w przedziale [0, + ) pierwiastków jest w(+ ) w(0) = 3 1 =. # Zadania 1. Równanie x = 0 ma pierwiastki Ile iteracji nale y wykonaæ w metodzie po³owienia, aby startuj¹c z przedzia³u [1, ] obliczyæ pierwiastek z dok³adnoœci¹ do czterech miejsc dziesiêtnych? Jaki jest maksymalny b³¹d po tej liczbie iteracji?. Pokazaæ, e równanie ma pierwiastek w przedziale [0, 1]. Ile iteracji trzeba wykonaæ, aby metod¹ po³owienia otrzymaæ przybli on¹ wartoœæ pierwiastka z b³êdem nie przekraczaj¹cym 0,5 10 4? 3. Ile iteracji nale y wykonaæ, aby metod¹ po³owienia znaleÿæ pierwiastek równania 4 z dok³adnoœci¹ 10, który le y w przedziale [1, ]? 4. Stosuj¹c metodê regula falsi znaleÿæ z dok³adnoœci¹ do dwóch miejsc dziesiêtnych pierwiastek równania le ¹cy w przedziale [1, ]. 5. Zastosowaæ metodê Newtona do obliczenia z dok³adnoœci¹ 10 pierwiastka równania z za- (0) dania 4 przyjmuj¹c x =. 6. Stosuj¹c metodê Newtona do równania wyprowadziæ wzór na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby dodatniej c. 7. Odwrotnoœæ liczby n mo na obliczyæ za pomoc¹ wzoru iteracyjnego

7 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 85 Wyprowadziæ ten wzór stosuj¹c metodê Newtona do funkcji 8. Zastosowaæ twierdzenie Sturma do okreœlenia liczby pierwiastków rzeczywistych wielomianu w przedziale [, ]. 9. Ile pierwiastków rzeczywistych ma wielomian 10. Wyznaczyæ liczbê pierwiastków rzeczywistych wielomianu wiêkszych od Ile pierwiastków rzeczywistych ma wielomian