Logika klasyczna i rozmyta. Rozmyte złożenie relacji (ang. fuzzy composition) Złożenie relacji (ang. composition)

Transkrypt

1 Złożenie relacji ang. compoition) Niech X Y, Y Z. Ptanie: X Z? Cz można znaleźć taą relację, tóra wiąże te ame element z X, tóre zawiera z tmi ammi elementami z Z, tóre zawiera? Czli cz zuam X Z. Przład Podtawowe form operacji złożenia max-min i max-product czaem nazwana max-dot):. max-min o χ x,z). max-product χ x,z) V χ x,) χ,z Y max min χ x,), χ,z) Y max χ x,) χ,z V χ x,) χ,z Y Y ozmte złożenie relacji ang. fuzz compoition) Ja w przpadu crip. Niech ~ będzie relacją tóra mapuje element z przetrzeni X na Y, a ~ relacją, tóra mapuje element z Y na Z. zuam ~ z X Z. max-min ~ ~ o ~ x,z) V x,),z ~ ~ ~ Y max min x,),,z) Y ~ ~. max-product ~ ~ ~ x,z) V x,),z ~ Y ~ ~ Y ~ ~ max min x,),z) Operacje na macierzach). aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 40 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 4 ogia laczna i rozmta ogia laczna Załóżm, że mam dwa twierdzenia P: prawda, że x Q: prawda, że x Prawdziwość mierzona jet natępująco: Jeżeli x, P) ; w przeciwnm wpadu P) 0 Jeżeli x, Q) ; w przeciwnm wpadu Q) 0 pójnii logiczne ang. logical connective) Djuncja Koniuncja Negacja P Q: x lub x P Q) maxp),q P Q: x i x P Q) minp),q Jeżeli P), to P) 0 Jeżeli P) 0, to P) P Q): x lub x P Q) P Q) ównoważność P Q): P Q), dla P) 0, dla P) Q) Q) Klaczna impliacja P Q jet prawdziwa we wztich przpadach, oprócz taiego, gd poprzedni jet prawdą, a natępni fałzem. Przład:. Jeżeli + to 4>0. Jeżeli +3 to 4>0 3. Jeżeli +3 to 4<0 4. Jeżeli + to 4<0 Czli P Q) P) Q) P) Q) Wobraźm obie, że impliacja dotcz dwóch różnch przetrzeni P jet twierdzeniem termem) wrażonm przez zbiór oreślonm na X Q jet twierdzeniem termem) wrażonm przez zbiór oreślonm na Y P Q może bć też wrażona przez relację : jeżeli to Y) aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 4 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 43

2 jeżeli to, w przeciwnm razie C C ) w logice P Q) P ) gdzie : C, C Y Deducja wnioowanie, w tórm z przełane wnia logicznie wnioe Deducja modu ponen reguła odrwania) Z prawdziwości przełani i impliacji wnia prawdziwość wniou. Przład autologie W logice pomocne ą związi, tóre ą zawze prawdziwe tautologie) w ażdej nieputej dziedzinie. Przład tautologii: Każd pie jet aiem Każd pie jet ręgowcem w domśle Każd a jet ręgowcem ) jet jet C jet C ~ Λ x) V ~ x) x x jet zbiorem liczb pierwzch,,, 33, 45..., wted twierdzenie i nie jet podzielne przez 6 jet tautologią. C Przełana Wnioe Jan jet ierowcą Jan poiada prawo jazd Deducja modu tollen Przełana Wnioe Jan nie poiada prawa jazd Jan nie jet ierowcą aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 44 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 45 Wnioowanie deducjne Załóżm, że mam regułę ) JEŻEI, O ) Y gdzie jet zdefiniowane na X, a na Y.? cz znając now poprzedni możem wwnioować now natępni? może bć znalezione natępująco: ) Y Parado logii dwuwartościowej Golibroda z evilli goli wztich i tlo tch mężczzn, tórz ami ię nie golą, to goli golibrodę? ubię wztich tch i tlo tch tórz ami iebie nie lubią. Cz łamca z Kret łamie gd mówi wzc Kreteńczc ą łamcami. Niech golibroda am ię goli golibroda am ię nie goli Wted oraz, tzn., czli ) ) ) ) ½ półprawda pół fałz) aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 46 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 47

3 ogia rozmta Załóżm, że twierdzenie P ~ jet przpiane do zbioru ~, wted wartość prawdziwa twierdzenia będzie wrażona: P ~ ) x), gdzie x) [0, ] ~ topień prawdziwości P ~ ) jet odpowiada topniowi prznależności x do ~. Niech P ~ będzie oreślone na zbiorze ~, a Q ~ na zbiorze ~. Wted ~ Jeżeli x jet ~ to jet ~ funcja prznależności ~ ~ ~ ) ~ Y) x, ) max[ x), x] ~ ~ ~ ~ Jeżeli x jet ~ to jet ~, w przeciwnm razie jet C ~ ~ ~ ~ ) ~ C ~ ) x, ) max[ x), x ~ ~ ~ ~ C ~ ] Negacja P ~ ) P ~ ) Djuncja P ~ v Q ~ : x jet ~ lub ~ P ~ v Q ~ ) maxp ~ ), Q ~ Koniuncja P ~ Q ~ : x jet ~ i ~ P ~ Q ~ ) minp ~ ), Q ~ [Zadeh, 973] P ~ Q ~ : x jet ~, to jet ~ P ~ v Q ~ ) max P ~ ), Q ~ aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 48 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 49 Wnioowanie przbliżone Wnioowanie z niepreczjnch twierdzeń) Uogólniona rozmta) reguła wnioowania modu ponen. Przład: Przełana x jet ~ Jeżeli x jet ~ to jet ~ Wnioe jet ~ Przełana Wnioe ~ ~ ~ Prędość amochodu jet duża Jeżeli prędość amochodu jet bardzo duża, to poziom hałau jet woi Poziom hałau w amochodzie jet średniowoi Inne operacje rozmtej impliacji Zadeha 973) x, ) max{min[ x), )], ~ ~ ~ ~ amdani ego 976) x, ) min{ x), ~ ~ ~ arena x,) x) ~ ~ ~ Łuaiewicza x, ) min{,[ x) + Ocena przełani ) )} ~ ~ ~ )]} x)} Wnioowanie rozmte - ocena topnia pełnienia przełane pozczególnch reguł i przenieienie go na onluzje. poób obliczania topnia pełnienia przełani JEŻEI x x) x x aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 50 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 5

4 Przład graficzne wnioowania. Jeżeli x to wejście jet crip) Obliczenia dla uprozczonej werji dretnej, tzn x 6.5, tzn. ' crip) ' fuzz) amdaniego i ilocznowa Jeżeli x to wejście jet fuzz) ad.. \ [ ] ad.. \ [ ] aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 5 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 53 ozmte tem regułowe trutura temu rozmtego x Fuzz tem n input output x x tem x Fuzz tem n input output ) Fuz Inferencja Defuz x x xn Fuzz tem n input output Potać anoniczna temu rozmtego eguła : JEŻEI c, O r eguła : JEŻEI c, O r n Nazwa oper. Fuzfiacja rozmwanie) Oper. obliczanie topnia prznależności wartości wejść modelu do zbiorów rozmtch tch wejść Elem. funcje prznależności wejść Inferencja wnioowanie) ocena topnia pełn. przełane reguł oreślenie f. przn. onluzji oreślenie wniowej f. przn. wztich reguł baza reguł mechanizm inferencji funcje prznależności wjścia Defuzfiacja otrzenie) zatąpienie zbioru rozmtego wartością otrą mechanizm defuzfiacji aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 54 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 55

5 Deompozcja reguł złożonch Wiele oniuncji poprzedniów JEŻEI x jet ~ oraz x jet ~ ~ ~ ~... ~ x)] x) t[ x),..., ~ ~ ~ JEŻEI x jet ~ O jet ~ Dla dwóch przełane protch: JEŻEI x ) I x ) O jet ~ to dla x x oraz x x topień jej prawdziwości jet obliczan x,x ) x,x ) t x), ~ gdzie t jet jednm z operatorów t-norm. Operator t-norm. min-operator t x), x min x), x. iloczn algebraiczn t x ), x x ) x ) x Wiele djuncji poprzedniów JEŻEI x jet ~ lub x jet ~ ~ ~ ~... ~ x) max[ x),..., ~ ~ ~ JEŻEI x jet ~ O jet ~ Dla dwóch przełane protch: x)] O jet ~ JEŻEI x ) U x ) x,x ) x,x ) x), ~ Operator -norm:. max-operator x ), x max x ), x. uma algebraiczna x ), x x ) + x ) x) x) x x t, x x x aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 56 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 57 gregacja zbioru reguł rozmtch W oreślaniu trategii agregacji itnieją dwa etremalne przpadi: a. Koniuncjn tem reguł. Wztie reguł muzą bć pełnione, połączenie and. and and and r r funcja prznależności ) min ), ),..., r b. Djuncjn tem reguł. dla Y u wmagane jet pełnienie prznajmniej jednej reguł. Łączni or. or or or r r funcja prznależności ) max ), ),..., r dla Y Graficzne technii wnioowania tem reguł z wieloma przełanami) Załóżm rozmt tem regułow, djuncjn: wejścia i wjście 4 przpadi:. x i x ą crip funcjami delta), wted Wg metod wnioowania amdaniego, ) max[min[ inputi, inputj]],,...,r ~ ~ ~. x i x ą crip funcjami delta), wted Wg metod max-product inference method) ) max[ inputi inputj],,...,r ~ ~ ~ 3. x i x ą rozmte Wg metod wnioowania amdaniego ) max[min{max[ x) x )], ~ max[ ~ ~ x) x )]}],,...,r 4. x i x ą rozmte Wg metod wnioowania max-product ) max[max[ x) x )],max[ x) x )]] ~ ~ ~ aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 58 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 59

6 lgortm inferencji eguła : JEŻEI x I I x n n, O eguła j: JEŻEI x j I I x n jn, O j eguła m: JEŻEI x m I I x n jn, O m Kro. Oreślić topień pełnienia przełane pozczególnch reguł agregacja przełane, t-norma) h t x ),..., x h t h j m j t m x ),..., x ),..., n jn x mn n n x n ) th, j ) th, m j m j ) th, m Kro 3. Oreślić wniową funcję prznależności ) przez aumulację zmodfiowanch funcji prznależności ) onluzji pozczególnch reguł j ) ) ),..., m Kro. Oreślić zmodfiowane funcje prznależności j ) onluzji natępniów) pozczególnch reguł inferencja w regułach). lo dla reguł, tórch przełani pełnione ą w topniu h>0. aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 60 aciej Hape ogia rozmta w zatoowaniach inżnierich 6