14. Grupy, pierścienie i ciała.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "14. Grupy, pierścienie i ciała."

Transkrypt

1 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn. Czli : (A,o ) jest grupą, jeśli :. o :A A A (działanie wewnętrzne). dla dowolnch a, b, c A (ao o c = ao (bo c) (łączność działania) 3. istnieje taki element e A, Ŝe dla kaŝdego a A zachodzi równość ao e = eo a = a (e nazwam elementem neutralnm) 4. dla kaŝdego a A, istnieje element b A, taki Ŝe ao b = bo a = e (b nazwam elementem odwrotnm do a) Jeśli ponadto spełnion jest warunek : 5. dla dowolnch a, b A zachodzi ao b = bo a (działanie przemienne) to (A,o ) nazwam grupą abelową. Przkład : Zbiór R \ {0} wraz z mnoŝeniem jest grupą abelową. Zbiór Z (zbiór liczb całkowitch) wraz z dodawaniem jest grupą abelową. Definicja : Trójkę (A, o, ) nazwam ciałem, jeśli (A, o ) jest grupą abelową, jeśli (A \ {0}, ) jest grupą (smbolem 0 oznaczliśm element neutraln działania o ), oraz jeśli działanie jest rozdzielne względem działania o, to znacz : jeśli dla dowolnch a, b, c A a (bo c) = a bo a c jeśli ponadto działanie * jest przemienne, to ciało (A, o, ) nazwam ciałem przemiennm. Przkład : Zbiór R wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi ciało. Zbiór Q (zbiór liczb wmiernch) wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi ciało. Definicja : Pierścieniem nazwam strukturę algebraiczną (D, *, o ) o następującch własnościach:. (D, *) jest grupą abelową,. działanie o jest łączne, czli dla dowolnch a, b, c D a o (b o c) = (a o o c 3. działanie o jest rozdzielne względem działania *, czli dla dowolnch a, b, c D a o (b * c) = a o b * a o c (a * o c = a o c * b o c Jeśli ponadto: 4. działanie o jest przemienne to pierścień (D, *, o ) nazwam pierścieniem przemiennm, 5. w zbiorze D istnieje element neutraln działania o to pierścień (D, *, o ) nazwam pierścieniem z jednością. Przkład : Zbiór Z (zbiór liczb całkowitch) wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi pierścień. 5. Homomorfizm i izomorfizm struktur algebraicznch.

2 Homomorfizmem ze struktur A w strukturę B (tego samego tpu) jest kaŝde przekształcenie h : A B, które zachowuje funkcje i relacje struktur A, tzn. spełnia odpowiednie warunki: struktura Grup ( G, o ) (, ) odwzoro wanie G h : G G h( ao = h( a) h( ) a, b G b h()= Warunki Pierścienie i ciała ( P,+,o),( S,, ) Przestrzenie liniowe ( V, K, +, o), ( W, K, +, o) h : P S ϕ :V W h a, b P ( a+ = h( a) h( h( ao = h( a) h( h()=, h(0)=0 v, v V, a a K ϕ a v + a v ) = aϕ( v ) + a ϕ( ), ( v Homomorfizm f : A B nazwam izomorfizmem wted i tlko wted, gd jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznm(róŝnowartościowe i na ) zbioru A na zbiór B. Odwzorowanie odwrotne h jest równieŝ izomorfizmem. Przkład Dana jest funkcja h : Z Z, określona wzorem h ( a) = na, gdzie n N. Dla dowolnego a Z mam na Z.Ponadto h ( 0) = 0 oraz dla kaŝdch a, b Z jest h ( a+ = n( a+ = na+ nb= h( a) + h(. Przkład Dane są pierścienie( R,+, ),( R,, ). W zbiorze R określone są działania i : h ( a = a+ b+, a, b R h ( a = a+ b+ ab h(x)=x+, x ( R,, ) h ( a = a+ b+ + = a+ b+ =a++b+=h(a)+h( 6. Rachunek zdań. Tautologie. Zdanie w sensie logicznm jest stwierdzeniem, o którm moŝna powiedzieć, Ŝe jest prawdziwe lub fałszwe, tzn. moŝem mu przpisać wartość logiczną ( - prawda, 0 fałsz). WróŜniam następujące spójniki (funktor zdaniotwórcze): negacja (inaczej zaprzeczenie) to zdanie mające postać nieprawda, Ŝe p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapiswana jest jako: ~ p. Negację moŝna zdefiniować jako jednoargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które kaŝdemu zdaniu p przporządkowuje zdanie nieprawda, Ŝe p. Negację zdania p uwaŝa się za prawdziwą, gd zdanie p jest fałszwe, zaś za fałszwą, gd zdanie p jest prawdziwe

3 koniunkcja to zdanie złoŝone mające postać p q (p i, gdzie p, q są zdaniami. Koniunkcję moŝna zdefiniować jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przporządkowuje zdanie p q. Zdanie utworzone z innch zdań za pomocą koniunkcji jest teŝ nazwane ilocznem logicznm. Koniunkcję zdań uznaje się za prawdziwą wted i tlko wted, gd oba zdania p, q są prawdziwe. alternatwa to zdanie złoŝone mające postać p q (p lub, gdzie p, q są zdaniami. Alternatwę moŝna zdefiniować jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przporządkowuje zdanie p q. Zdanie utworzone z innch zdań prz uŝciu alternatw jest teŝ nazwane sumą logiczną. Alternatwa jest prawdziwa, jeŝeli którekolwiek z jej zdań składowch jest prawdziwe. W przeciwnm razie alternatwa zdań jest fałszwa. implikacja (inaczej wnikanie) to zdanie złoŝone mające postać p q (jeśli p, to, gdzie p, q są zdaniami. Zdanie p nazwam poprzednikiem implikacji, a q - jej następnikiem. Implikację zdań uznaje się za fałszwą w przpadku, kied zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q - fałszwe. W pozostałch przpadkach implikację uznaje się za prawdziwą. równowaŝność to zdanie mające postać p q (p wted i tlko wted, gd, gdzie p, q są zdaniami. RównowaŜność zdań uznaje się za prawdziwą wted i tlko wted, gd wartości logiczne zdań p, q są takie same. p q ~ p ~ q p q p q p q p q Tautologia zdanie złoŝone, które jest zawsze prawdziwe, niezaleŝnie od wartości logicznch zdań prostch. Podstawowe prawa rachunku zdań (waŝniejsze tautologie): prawo de Morgana (prawo zaprzeczenia alternatw) ~ ( p ~ p ~ q Dowód: p q p q ~ ( p ~ p ~ q ~ p ~ q prawo de Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji) ~ ( p ~ p ~ q prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatw [ p ( q r) [( p ( p prawo rozdzielności alternatw względem koniunkcji

4 [ p ( q r) [( p ( p prawo zaprzeczenia implikacji [~ ( p ] [ p ~ q] /*******************DODATKOWE**************************** prawo kontrapozcji (transpozcji) ( p (~ q ~ p) prawo przemienności koniunkcji p q q p prawo przemienności alternatw p q q p prawo włączonego środka (z dwóch zdań: p lub ~ p jedno zawsze jest prawdziwe) p ~ p prawo sprzeczności (nie moŝe bć jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie) ~ ( p ~ p) prawo łączności koniunkcji [( p r] [ p ( q prawo łączności alternatw [( p r] [ p ( q prawo toŝsamości p p prawo idempotentności koniunkcji p ( p p) prawo idempotentności alternatw p ( p p) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatw [ p ( q r) [( p ( p prawo rozdzielności alternatw względem koniunkcji [ p ( q r) [( p ( p prawa pochłaniania [ p ( p ] p [ p ( p ] p *******************KONIEC DODATKOWEGO*******************/ Kwantfikator: kwantfikator ogóln ( dla kaŝdego x ) p(x) - zdanie to jest prawdziwe, gd zdanie złoŝone p (x) jest prawdziwe dla x U kaŝdego x U kwantfikator szczegółow ( istnieje takie x... ) p(x) - zdanie to jest prawdziwe, gd dla co najmniej jednego x U zdanie p (x) x U jest prawdziwe

5 7. Rachunek predkatów. Zmienne wolne i związane. Jest to sstem logiczn, w którm kwantfikator mogą mówić tlko o obiektach, nie zaś o ich zbiorach. Inaczej mówiąc jest to logiczna reprezentacja stwierdzeń o obiektach. Tak więc nie mogą wstępować kwantfikator tpu "dla kaŝdej funkcji X na Y...", "istnieje własność p, taka Ŝe..." cz "dla kaŝdego podzbioru X zbioru Z...". Predkat mają argument (obiekt np. człowiek, kartka) i wartość logiczną. Rachunek ten nazwa się teŝ krótko rachunkiem kwantfikatorów. ZaleŜnie od liczb predkatów rozróŝniam predkat -noargumentowe, -arg., wieloargumentowe. Krótko mówiąc: predkat to funkcja której wartością jest prawda lub fałsz. Sstem rachunku predkatów pierwszego rzędu składa się z: - stałch, - zmiennch, - funkcji n-argumentowch dla pewnego n naturalnego, - relacji n-argumentowch dla pewnego n naturalnego, - relacji logicznch (takich jak alternatwa, koniunkcja i negacja), - kwantfikatora ogólnego ( lub ) zwanego teŝ uniwersalnm i egzstencjalnego ( lub ) zwanego równieŝ szczegółowm. JeŜeli dana zmienna wstępuje pod kwantfikatorem mówi się o niej, Ŝe jest to zmienna związana. W przeciwnm wpadku jest zmienną wolną. RozwaŜm trz następujące form zdaniowe: R( ), R( ), R( ) x x W pierwszej z nich związane są obie zmienne, w drugim tlko pierwsza zmienna, w trzecim tlko druga. Pierwsze jest zdaniem, drugie i trzecie to funkcje zdaniowe odpowiednio zmiennch, x. Funkcja zdaniowa to wraŝenie zawierające zmienne wolne, które w wniku związania tch zmiennch kwantfikatorami lub podstawienia za nie odpowiednich nazw staje się zdaniem. Przkład: - Dla kaŝdego x istnieje taki, Ŝe x>

6 x> - Jeśli samochód naleŝ do Karola to jest on zielon. posiada(karol, auto) kolor(auto, zielon) auto - Niektórz ludzie lubią lod. x x ( x) posiada( Karol, X) kolor( zielon) 8. Indukcja matematczna Jeśli T(n) oznacza pewne twierdzenie mówiące o liczbach naturalnch n, to ab udowodnić, Ŝe twierdzenie to jest prawdziwe dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0 (samo n 0 moŝe bć równe albo bć inną ustaloną liczbą naturalną), wstarcz: * dowieść, Ŝe jest ono prawdziwe dla liczb n 0, to znacz sprawdzić, Ŝe zachodzi T(n 0 ). * dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0, wchodząc z załoŝenia, Ŝe twierdzenie to jest prawdziwe dla liczb n, wprowadzić, Ŝe jest ono prawdziwe dla n +, chodzi bowiem o to, ab wkazać, Ŝe dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0 prawdziwa jest implikacja: T(n) => T(n+) Przkład: n(+ n) Dowód n= Teza: Dla kaŝdego n N n(+ n) (*) n= (+ ) T() =, P =, L = P ZałoŜenie ind. n(+ n) T(n): n= Teza ind. ( n+ )( n+ ) T(n+): n + ( n+ ) = Dowód: n ( + n) ++ +n+(n+)=(++ +n)+(n+)= +(n+)= n ( n+ )( n+ ) =(n+)( +)= Na moc indukcji wzór (*) jest prawdziw dla kaŝdej liczb naturalnej. 9. Relacje i funkcje. Relacje porządku. Relacje równowaŝności i ich własności. Relacje Dane są zbior Def. Relacja S, T. RozwaŜm zbiór S T (iloczn kartezjański)

7 Dowoln podzbiór R zbioru S T ( R S T) S T. W przpadku, gd RóŜne sposob zapisu relacji: ) XxX ) ( ) R 3) xr S = przkład R= nazwam relacja dwuargumentowa na S = T mówim o relacji w zbiorze S. { 0,,,3}, R= {( ) : x= 3 } {( 0,3 )(,,)(,, )(, 3,0) } Zawsze istnieje relacja odwrotna f = {( x) : = f( x) } funkcja f jest odwracalna. I oczwiście wówczas f = f. Relacja równości (w zbiorze S ): E = {( ) : x S} S S Inaczej def ( ) E x= Relacja nierówności(słaba) w zbiorze liczb rzeczwistch R = {( ) : x } R R R = { xr : x } R R Relacja nierówności(słaba) < w zbiorze liczb rzeczwistch R = : x< R {( ) } R, relacja ta jest funkcja, gd dana Relacje równowaŝności Relacje R w zbiorze S, która jest zwrotna, smetrczna i przechodnia nazwam relacja równowaŝności Rs Zwczajowo dla takiej relacji uŝwam smbolu ~. O elementach miedz, którmi da się napisać s ~ t mówim, ze są równowaŝne (podobne, przstające, izomorficzne). Własności relacji Mówim, ze relacja R w zbiorze S jest: Z x R ( ) x S( ) ( PZ) x S( x) R ( S) S( ) R (, x R) ( AS) S( ( ) R (, x) R) x= ( P), z S( ( ) R (, z) R) ( z) R ( Z) x S xrx ( S) S xr Rx ( AS) S( xr Rx) x= ( P) ( xr Rz) xrz, z S

8 Z-zwrotna, PZ-przeciwzwrotna, S-smetrczna, AS-antsmetrczna, P-przechodnia. Przkład X-zbior prostch równoległch kaŝde dwie są równolegle R XxX Relacja l l określona w zbiorze prostch na płaszczźnie oznaczająca, Ŝe proste l i l Pokrwają się lub są równoległe: Z l l ( ) ( S) l l l l ( P)( l l ) ( l l ) ( l l ) 3 relacja ta jest relacja równowaŝności f R R jeŝeli x f i x f x = x (lub za f podstawiam G) 3 0. Zliczanie. Zasada szufladkowa. Zasada szufladkowa Dirichleta twierdzenie mówiące, Ŝe jeŝeli m przedmiotów włoŝm do n róŝnch szufladek, prz czm m > n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmiot. Sformułowanie twierdzenia przpisuje się Dirichletowi, a w bardziej formalnm jęzku moŝna wsłowić je na przkład tak: JeŜeli zbiór X licz n elementów i i n > k, to którś ze zbiorów X i musi liczć prznajmniej dwa element. Inna wersja formalna brzmi następująco: JeŜeli zbiór X licz n elementów, zbiór Y m elementów i n > m, to nie istnieje funkcja róŝnowartościowa ze zbioru X do zbioru. Przkład: Dsponujem 5 szufladkami, oraz n kulkami, n>5. Na podstawie powŝszej zasad łatwo wkazać, Ŝe w co najmniej jednej szufladce znajdą się więcej niŝ dwie kulki.

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach Scenariusz lekcji. Temat lekcji: Zwierciadła i obraz w zwierciadłach 2. Cele: a) Cele poznawcze: Uczeń wie: - co to jest promień świetln, - Ŝe światło rozchodzi się prostoliniowo, - na czm polega zjawisko

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Historia teorii mnogości Teoria mnogości to inaczej nauka o zbiorach i ich własnościach; Zapoczątkowana przez greckich matematyków i filozofów w

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA EWA PAWŁUSZEWICZ

MATEMATYKA dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA EWA PAWŁUSZEWICZ MATEMATYKA dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA EWA PAWŁUSZEWICZ Wrzesień 1998 2 Spis treści Wstęp 7 1 Podstawy 9 1.1 Elementy logiki............................

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Piotr Koczenasz Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Leszka Pacholskiego Wrocław,

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:

ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego: ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1 Wykład 3 3. Otymalizacja z ograniczeniami Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia otymalizacyjnego: g i HxL 0, i = 1, 2,..., m (3.1)

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja

Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zaprzeczenie 2 Negacja 3 Negacja w logice Sprzeczne grupy

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II

X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II X rocławski Konkurs Matematczn dla uczniów klas I-III gimnazjów rok szkoln 04/05 Etap II Zadanie Uczniowie otrzmali z prac klasowej ocen,, 4 i 5. Ocen, i 5 ło tle samo, a czwórek ło więcej niż wszstkich

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego Podstaw programowania obiektowego wkład 5 klas i obiekt namespace ConsoleApplication1 // współrzędne punktu int, ; Jak, korzstając z dotchczasowej wiedz, zdefiniować w programie punkt? = 3; = 2; Może tak?

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Fizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1

Fizyka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Fizka I (mechanika), ćwiczenia, seria 1 Układ współrzędnch na płaszczźnie. Zadanie 1 Odcinek o stałej długości porusza się tak, że jego punkt końcowe A i B ślizgają się po osiach odpowiednio x i pewnego

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 8. Temat: Podstawy języka zapytań SQL (część 2)

Laboratorium nr 8. Temat: Podstawy języka zapytań SQL (część 2) Laboratorium nr 8 Temat: Podstawy języka zapytań SQL (część 2) PLAN LABORATORIUM: 1. Sortowanie. 2. Warunek WHERE 3. Eliminacja powtórzeń - DISTINCT. 4. WyraŜenia: BETWEEN...AND, IN, LIKE, IS NULL. 5.

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki dla studentów pierwszego roku

Repetytorium z matematyki dla studentów pierwszego roku 1 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy Janina Płaskonka Karol Selwat Repetytorium z matematyki dla studentów pierwszego roku Legnica 2010 2 Recenzent: prof. zw. dr hab. Tadeusz Galanc

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

wypowiedzi inferencyjnych

wypowiedzi inferencyjnych Wnioskowania Pojęcie wnioskowania Wnioskowanie jest to proces myślowy, w którym na podstawie mniej lub bardziej stanowczego uznania pewnych zdań zwanych przesłankami dochodzimy do uznania innego zdania

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ę Ą Ę ŚĘ Ę Ś ń Ę Ę Ą Ł Ż Ń Ł ć Ą ć Ł Ę Ó ć Ź ć ź ń Ń ń Ś Ą Ę Ł Ę Ą Ę ń ć ń Ź ć ń ć ń Ś ń ŚĆ ć ź Ł Ę Ę Ś Ę Ę Ę ń ŚĘ Ń Ę Ę ń ŚĘ Ę Ę Ś Ś ć ń Ę ń Ś Ę ć ć Ę Ę ć ź ć ń Ę Ń ń ć Ł Ę Ę Ę Ę ć Ę ć ć ź

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Wstęp do... Układy

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL.

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Plan wykładu Bazy danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Deficja zależności funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny. Katedra Automatyki i Elektroniki. Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: TECHNIKA CYFROWA 2 TS1C300 020

Wydział Elektryczny. Katedra Automatyki i Elektroniki. Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: TECHNIKA CYFROWA 2 TS1C300 020 Politechnika Białostocka Wdział lektrczn Katedra Automatki i lektroniki Instrukcja do ćwiczeń laboratorjnch z przedmiotu TCHNIKA CFROWA TSC Ćwiczenie Nr CFROW UKŁAD KOMUTACJN Opracował dr inż. Walent Owieczko

Bardziej szczegółowo

opracowała Jowita Malecka

opracowała Jowita Malecka opracowała Jowita Malecka JeŜeli chcecie nauczyć się pływać, to trzeba, Ŝebyście weszli do wody. JeŜeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywać zadania, to trzeba, Ŝebyście je rozwiązywali. George Polya W

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna

Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna dr inż. Grzegorz ilcek & dr inż. Maciej Hojda Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji, Instytut Informatyki, Politechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

PROJEKT CZĘŚCIOWO FINANSOWANY PRZEZ UNIĘ EUROPEJSKĄ. Opis działania raportów w ClearQuest

PROJEKT CZĘŚCIOWO FINANSOWANY PRZEZ UNIĘ EUROPEJSKĄ. Opis działania raportów w ClearQuest PROJEKT CZĘŚCIOWO FINANSOWANY PRZEZ UNIĘ EUROPEJSKĄ Opis działania raportów w ClearQuest Historia zmian Data Wersja Opis Autor 2008.08.26 1.0 Utworzenie dokumentu. Wersja bazowa dokumentu. 2009.12.11 1.1

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Wykład 9 Rejestracja stanu prawnego nieruchomości Księgi wieczyste - Kw

Wykład 9 Rejestracja stanu prawnego nieruchomości Księgi wieczyste - Kw Wykład 9 Rejestracja stanu prawnego nieruchomości Księgi wieczyste - Kw 1.Wstęp W EGiB rejestrujemy przede wszystkim informacje o stanie faktycznym gruntów. Obiektem stanu faktycznego jest działka. Drugim

Bardziej szczegółowo

Zdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych w nim wyrażeń).

Zdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych w nim wyrażeń). Tautologia to schemat zdań wyłącznie prawdziwych. Kontrtautologia to schemat zdań wyłącznie fałszywych. Zdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Przykład: Płatew swobodnie podparta o przekroju z dwuteownika IPE

Przykład: Płatew swobodnie podparta o przekroju z dwuteownika IPE Dokument Ref: SX01a-PL-EU Strona 1 z Dot. Eurocodu EN Wkonanł Mladen Lukic Data Jan 006 Sprawdził Alain Bureau Data Jan 006 Przkład: Płatew swobodnie podparta o przekroju z Przkład ten podaje szczegół

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Grymek Zespół Szkół Ogólnokształcących, II Liceum Ogólnokształcące w Świdnicy

Agnieszka Grymek Zespół Szkół Ogólnokształcących, II Liceum Ogólnokształcące w Świdnicy www.awans.net Publikacje nauczycieli Agnieszka Grymek Zespół Szkół Ogólnokształcących, II Liceum Ogólnokształcące w Świdnicy Zestaw zadań z logiki na godzinny sprawdzian w różnych klasach Praca opublikowana

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................

Bardziej szczegółowo

Program 14. #include #include using namespace std;

Program 14. #include <iostream> #include <ctime> using namespace std; Program 14 Napisać: * funkcję słuŝącą do losowego wypełniania tablicy liczbami całkowitymi z podanego zakresu (*). Parametrami funkcji mają być tablica, jej długość oraz dwie liczby stanowiące krańce przedziału

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŝności między nimi Średnie liczbowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja Plan Zależności funkcyjne 1. Zależności funkcyjne jako klasa ograniczeń semantycznych odwzorowywanego świata rzeczywistego. 2. Schematy relacyjne = typ relacji + zależności funkcyjne. 3. Rozkładalność

Bardziej szczegółowo

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna

Bardziej szczegółowo

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 )

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 1 S t r o n a Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 14-20 Liczby. Rozwinięcia liczb dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. MnoŜenie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie implementacja języka WolframAlpha

Wprowadzenie implementacja języka WolframAlpha Wprowadzenie implementacja języka WolframAlpha Każdą spójną logicznie metodę zapisu problemów matematycznych w jednym wierszu nazywamy językiem linearnym matematyki. Portal WolframAlpha jest przykładem

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Technologie baz danych

Technologie baz danych Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

Operacje morfologiczne w przetwarzaniu obrazu

Operacje morfologiczne w przetwarzaniu obrazu Przekształcenia morfologiczne obrazu wywodzą się z morfologii matematycznej działu matematyki opartego na teorii zbiorów Wykorzystuje się do filtracji morfologicznej, wyszukiwania informacji i analizy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Podział i oznakowanie substancji rakotwórczych i mutagennych zgodnie z rozporządzeniem (WE) nr 1272/2008 (CLP)

Podział i oznakowanie substancji rakotwórczych i mutagennych zgodnie z rozporządzeniem (WE) nr 1272/2008 (CLP) Podział i oznakowanie substancji rakotwórczych i mutagennych zgodnie z rozporządzeniem (WE) nr 1272/2008 (CLP) Materiał opracowany przez Oddział Higieny Pracy Działu Nadzoru Sanitarnego Wojewódzkiej Stacji

Bardziej szczegółowo