Temat 1. Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę. Karol Bator. GGiIŚ, II rok, niestac. grupa 1

Transkrypt

1 Temt Afiniczne odwzorownie płszczyzny n płszczyznę Krol Btor GGiIŚ, II rok, niestc. grp

2 SPRAWOZDANIE DANE FORMALNO-PRAWNE:. Zleceniodwc: Akdemi Górniczo-Htnicz Wydził Geozdezji Górniczej i Inżynierii Środowisk. Wykonwc: Krol Btor. Czs wykonni: Rodzj prcy: Afiniczne odwzorownie płszczyzny n płszczyznę Dne dl N=04 Współrzędne n płszczyźnie S (i,yi) ( 4.756, ) [m] ( 69.55, 70.4 ) [m] ( 695.7, ) [m] Współrzędne n płszczyźnie S (i,i) ( 586.4, ) [m] ( , ) [m] ( 770., 96. ) [m]

3 WNIKI OBLICZEŃ: ) Równni prostych prmetrycznych dl =const i =const dl =const: dl =const: Teori: W odwzorowni finicznym proste przechodzi w proste linie prmetryczne w linie prmetryczne ) Współczynniki Gss E, F, G - dl powierzchni S : - dl powierzchni S : E = E =, F =0 F =-0, G = G =, Teori: N powierzchni oryginł linie prmetryczne są do sieie prostopdłe (tworzą sitkę ortogonlną), ntomist n powierzchni orz linie prmetryczne są do sieie prostopdłe. ) Kąt miedzy linimi prmetrycznymi Θ S = 90 o 00'00'' Θ S = 90 o 0'4.07'' Teori: N powierzchni oryginł linie prmetryczne są wzjemnie prostopdłe. Ntomist n powierzchni orz przecinją się pod kątem większym od 90. Odwzorownie nie jest więc wiernokątne, co pozwl oliczyć kiernki główne dl tego odwzorowni. 4) Skl odwzorowni m =, m =, m =, Teori: Elementrn skl znieksztłceń to stosnek odpowidjących soie elementrnych wielkości n powierzchni oryginł i n płszczyźnie orz. Umożliwi oliczenie znieksztłceń dłgości n podstwie skli dłgości.

4 5) Kiernki główne (I Tw. Tissot) k =-,66065 k =0, Teori: W dowolnym reglrnym odwzorowni, jeśli nie jest równokątne, istnieje jedn sitk ortogonln n powierzchni oryginł, której orz n drgiej powierzchni ędzie również sitką ortogonlną sitk krzywych głównych (I twierdzenie Tissot). Zgonie z pnktem rozptrywne odwzorownie nie jest równokątne, więc możliwe jest oliczenie kiernków głównych i wyznczenie skl dłgości w kiernkch ekstremlnych, stnowiących prmetry elipsy znieksztłceń. 6) Skl w kiernkch głównych (II Tw. Tissot) =, =0, Teori: Orzem elementrnych skl dłgości we wszystkich kiernkch wychodzących z dnego pnkt jest elips, której półosie są równe elementrnym sklom dłgości w kiernkch głównych. Umożliwi to określenie wrtości znieksztłceń, skl w kiernkch linii prmetrycznych. 7) Skl w kiernkch linii prmetrycznych (zleżność między sklmi) - dl =const: - dl =const m =, m =,0006 Teori: Skle nie są soie równe więc odwzorownie nie jest równokątne (w odwzorowni występją znieksztłceni kątowe). Skle dłgości w kiernkch linii prmetrycznych mozliwiją oliczenie skli pól. 8) Znieksztłceni kątów β =45 o 00'4.00'' β =44 o 59'9.00'' 9) Kąt o mksymlnym znieksztłceni ω m =0 o 0'4.98'' Teori: Występjące w odwzorowni znieksztłceni kątowe określne są przez njwiększą różnicę wrtości ezwzględnej między kątem n powierzchni orz odpowidjącym m kątem n powierzchni oryginł.

5 0) Znieksztłceni pól f=, z p =0, Teori: Ze względ n to, iż f, odwzorownie nie jest wiernopolowe.

6 OBLICZENIA: Współrzędne n płszczyźnie S Indywidlne zmienne modyfikjące 4,765 y 54,809 N 04 69,55 y 70,4 d N 0,005 d N 0, ,7 y 64,98 d N 0,005 d N 0,005 Współrzędne n płszczyźnie S 586,4 4576,980 7,976 d 5976,765 d 770,6 d 96,59 d Wzór odwzorowni pnktów z płszczyzny S n płszczyznę S y y y OBLICZENIE WSPÓŁCZNNIKÓW W ODWZOROWANIU AFINICZNM y A y LA LB y A LA A LB 890, , , ,794 0, , Wyprowdzenie postci linii prmetrycznych prostych dl =const orz =const S S S =const k k k k =const k' k' k' S k'

7 k k k k k k' k' k' k' k' Postć prmetryczn prostej dl =const Postć prmetryczn prostej dl =const k k k k, , Równni linii stłych prmetrów i n powierzchni S f f y f 8 4 f f f Wyznczenie I formy kwdrtowej orz współczynników Gss ds E d F d d G d Definicj fnkcji prmetrów, : f ; g ;

8 Powierzchni S Powierzchni S ds E d F d d G d ds E d F d d G d E E E, F 0 F F 0, G G, G. Oliczenie kąt pomiędzy linimi prmetrycznymi. F 80 Θ rccos Θ, rd Θ 90 stopni S E G S S π F Θ rccos Θ, S E G S rd Θ S 80 π 90,045099stopni SKALA ODWZOROWANIA Współrzędne płszczyzny S (i,yi) i S (i, i) 4,765 y 54, ,4 4576,98 69,55 y 70,4 74, ,45 695,7 y 64,98 770, 96, Oliczenie dłgości n powierzchnich S i S d y y d d y y d d y y d Oliczenie kiernków dl oków trójkąt ok (i-i) k dii dii y y - k k 0, d 999,99469d 400, k y y k,78948d 580, d 585, k y y k 9, d 5099,04989d 500,80548

9 Skl odwzorowń: n podstwie wzor n sklę dl kiernków w trójkącie m E F k G k k m, m E F k G k k m, m E F k G k k m, kontrol d m' d m', d m' d m', d m' d m', Kiernki główne odwzorowni: G E G E 4 F k k,66065 F G E G E 4 F k k 0, F kontrol wrnek poprwności: ki*kj= k k Skle w kiernkch linii prmetrycznych: dl =const (d=0) G m m, G wielkość znieksztłceni: z d m z d 0, z d 44, cm km

10 dl =const (d=0) E m m,0006 E wielkość znieksztłceni: z d m z d 0, z d,67508 cm km Skle i znieksztłceni dłgości w kiernkch głównych: E F k G k k, E F k G k k 0, wielkość znieksztłceni: z d z 0, d z z 0, d d Kąt o mksymlnym znieksztłceni: 80 ω rcsin ω 0, rd ω 0, stopni π kontrol: β rctg 80 β 0, rd β 45,0879 stopni π 80 β rctg β 0, rd β 44,9886 stopni π 80 ω β β ω 0, rd ω 0, stopni m m m π Skl i znieksztłceni pol: skl f f, znieksztłcenie z f z 0, p p kontrol f' f',